1第十一章 曲线积分与曲面积分习题

第十一章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

1. 选择题：

(1) 对弧长的曲线积分的计算公式

⎰

L

ds y x f ),(=

⎰'+'β

αφϕφϕdt t t t t f )()()]

(),([22中要

求 . A α>β, B α=β, C α<β; (2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰L

ds 6= A π， B π6， C π12.

2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰

+L

ds y x )(，其中L 为

I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周2

2

2

R y x =+；

(2)⎰

L

yds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；

(3) ⎰

Γ

+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；

)20(π≤≤t

(4) ⎰

+L

ds y x 2

2，其中L 为y y x 22

2

-=+；

(5)⎰

Γ

++ds z y x )(222，其中Γ为4222=++z y x 与平面1=z 的交线.

3．求均匀摆线⎩⎨⎧-=-=),

cos 1(8),

sin (8t y t t x )0(π≤≤t 的质心.

第二节 对坐标的曲线积分

1．填空题

(1) 已知一质点在力2+=的作用下，沿xOy 面内光滑曲线L 从点A 移动到点B ，则

力F 所做的功=W ； (2) 对坐标的曲线积分的计算公式

⎰

+L

dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'β

α

φφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{

中，下限α对应于L 的 点，上限β对应于L 的 点； (3) 第二类曲线积分

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分

是 ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的

的方向角.

2．选择题：

(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向

I ) 无关， II )有关；

(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则

I) ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰

+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，

II )

⎰

-

+L dy y x Q dx y x P ),(),(=

⎰+L

dy y x Q dx y x P ),(),(.

3．计算下列对坐标的曲线积分：

(1)⎰

+L

dx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x

(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；

(2)

⎰

-L

ydx xdy ，其中L 为2

x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；

(3)

⎰

+L

xdy y ydx x 32，其中L 为x y =2与1=x 所围成区域的整个边界

（按逆时针方向绕行）；

(4)zxdz xydy dx y ++⎰

Γ

2，其中Γ为从点)0,0,0(O 到点)111(，，C ，沿着

I ）直线段； I ）有向折线OABC ，这里的O 、A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、

)0,0,1(、)011(，，、)111(，，；

(5)

⎰-++L

dy y x dx y x )()(2222，其中L 为曲线|1|1x y --=从对应于0=x 的点到2=x 的点；

(6) ⎰Γ

-+-+-dz y x dy z x dx y z )()()(，其中Γ是曲线⎩⎨

⎧=+-=+,

2,

122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看，Γ的方向是顺时针的.

4．把⎰

+L

dy y x Q dx y x P ),(),(化为对弧长的曲线积分，其中L 为沿x

y =2从点)0,0(O 到点)1,1(A .

5．设L 为xOy 面内直线c y =上从点),(c a 到点),(c b 的一段，证明： (1)

0),(=⎰L

dy y x Q ；

(2) ⎰L

dx y x P ),(= ⎰

b

a

dx c x P ),(.

第五节对坐标的曲面积分

1. 选择题

(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向

I)无关，II）有关；

(2) 已知⎰⎰

∑

dxdy

z

y

x

R)

,

,

(存在，则

⎰⎰∑

dxdy

z

y

x

R)

,

,

(+⎰⎰

-

∑

dxdy

z

y

x

R)

,

,

(=

I）0，II）⎰⎰

∑

dxdy

z

y

x

R)

,

,

(

2.

2. 计算下列对坐标的曲面积分：

(1) ⎰⎰

∑

+zdxdy

y

x)

(2

2，其中∑为曲面2

2

1y

x

z-

-

=在第一卦限部分的

上侧. (2)、⎰⎰

∑

+

+dxdy

ydzdx

dydz

x)1

(＋，其中∑为1

=

+

+z

y

x在第一卦限的部分且取法线的方向与z轴的夹角为锐角.

(3) ⎰⎰

∑

zdxdy

x2，其中∑为9

2

2

2=

+

+z

y

x的外侧.