1第十一章 曲线积分与曲面积分习题
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第十一章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
1. 选择题：
(1) 对弧长的曲线积分的计算公式
⎰
L
ds y x f ),(=
⎰'+'β
αφϕφϕdt t t t t f )()()]
(),([22中要
求 . A α>β, B α=β, C α<β; (2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰L
ds 6= A π， B π6， C π12.
2.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰
+L
ds y x )(，其中L 为
I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周2
2
2
R y x =+；
(2)⎰
L
yds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；
(3) ⎰
Γ
+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；
)20(π≤≤t
(4) ⎰
+L
ds y x 2
2，其中L 为y y x 22
2
-=+；
(5)⎰
Γ
++ds z y x )(222，其中Γ为4222=++z y x 与平面1=z 的交线.
3．求均匀摆线⎩⎨⎧-=-=),
cos 1(8),
sin (8t y t t x )0(π≤≤t 的质心.
第二节 对坐标的曲线积分
1．填空题
(1) 已知一质点在力2+=的作用下，沿xOy 面内光滑曲线L 从点A 移动到点B ，则
力F 所做的功=W ； (2) 对坐标的曲线积分的计算公式
⎰
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'β
α
φφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{
中，下限α对应于L 的 点，上限β对应于L 的 点； (3) 第二类曲线积分
⎰+L
dy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分
是 ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的
的方向角.
2．选择题：
(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向
I ) 无关， II )有关；
(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则
I) ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰
+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，
II )
⎰
-
+L dy y x Q dx y x P ),(),(=
⎰+L
dy y x Q dx y x P ),(),(.
3．计算下列对坐标的曲线积分：
(1)⎰
+L
dx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x
(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；
(2)
⎰
-L
ydx xdy ，其中L 为2
x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；
(3)
⎰
+L
xdy y ydx x 32，其中L 为x y =2与1=x 所围成区域的整个边界
（按逆时针方向绕行）；
(4)zxdz xydy dx y ++⎰
Γ
2，其中Γ为从点)0,0,0(O 到点)111(，，C ，沿着
I ）直线段； I ）有向折线OABC ，这里的O 、A 、B 、C 依次为点)0,0,0(、
)0,0,1(、)011(，，、)111(，，；
(5)
⎰-++L
dy y x dx y x )()(2222，其中L 为曲线|1|1x y --=从对应于0=x 的点到2=x 的点；
(6) ⎰Γ
-+-+-dz y x dy z x dx y z )()()(，其中Γ是曲线⎩⎨
⎧=+-=+,
2,
122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看，Γ的方向是顺时针的.
4．把⎰
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(化为对弧长的曲线积分，其中L 为沿x
y =2从点)0,0(O 到点)1,1(A .
5．设L 为xOy 面内直线c y =上从点),(c a 到点),(c b 的一段，证明： (1)
0),(=⎰L
dy y x Q ；
(2) ⎰L
dx y x P ),(= ⎰
b
a
dx c x P ),(.
第五节对坐标的曲面积分
1. 选择题
(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向
I)无关，II）有关；
(2) 已知⎰⎰
∑
dxdy
z
y
x
R)
,
,
(存在，则
⎰⎰∑
dxdy
z
y
x
R)
,
,
(+⎰⎰
-
∑
dxdy
z
y
x
R)
,
,
(=
I）0，II）⎰⎰
∑
dxdy
z
y
x
R)
,
,
(
2.
2. 计算下列对坐标的曲面积分：
(1) ⎰⎰
∑
+zdxdy
y
x)
(2
2，其中∑为曲面2
2
1y
x
z-
-
=在第一卦限部分的
上侧. (2)、⎰⎰
∑
+
+dxdy
ydzdx
dydz
x)1
(＋，其中∑为1
=
+
+z
y
x在第一卦限的部分且取法线的方向与z轴的夹角为锐角.
(3) ⎰⎰
∑
zdxdy
x2，其中∑为9
2
2
2=
+
+z
y
x的外侧.