湖北省襄樊市2019-2020学年高考第一次适应性考试数学试题含解析

湖北省襄樊市2019-2020学年高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角．【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B P ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=，∴1tan 3BAC ∠=160BAC ∠=︒. 故选C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．2．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【详解】由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，B DO β=∠'．设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．sin ,sin OB OB AB DB αβ''==''Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；Q 3]OB '∈，∴1sin [0,]2α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-，2αβ∴…．综上可得，2αβα<…． 故选：A ． 【点睛】本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．3．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<…，则A B =I （ ） A ．(0,2) B ．(2,2]- C ．{1} D ．{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B =I {1}. 故选：C 【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 4．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】5． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-， ∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．6．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x 剟?，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x x …B ．{|112}<x x …C ．{|110}-<x x …D ．{|56}-<x x …【答案】C 【解析】 【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论. 【详解】因为集合{|15}=-B x x 剟，所以{|51}=--B x x 剟， 则*{|61}=-<A B x x …，所以*(*){|110}=-<B A B x x …. 故选:C. 【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 7．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）A B ．1C ．2D【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】 ∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴22||112z =+=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．8．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上． 9．设实数满足条件则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.10．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（）A．B．C．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案． 【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的．故选：B ． 【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．11．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键．12．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项. 【详解】函数()3sin 3x f x x π=+易知()f x 为奇函数，故排除D. 又()2cos x f x x π'=+，易知当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>；又当,2x π⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()24f x f ππ⎛⎫''>= ⎪⎝⎭， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增. 又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C. 故选：B 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭，所得直线方程是20x y --=，若将它继续旋转2πα-角，所得直线方程是210x y +-=，则直线l 的方程是______.【答案】230x y --= 【解析】 【分析】求出点P 坐标，由于直线210x y +-=与直线l 垂直，得出直线l 的斜率为12，再由点斜式写出直线l 的方程. 【详解】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩= 由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α，再继续旋转2πα-角得到，则直线210x y +-=与直线l 垂直，即直线l 的斜率为12所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-，即230x y --= 故答案为：230x y --= 【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系，属于中档题.14．已知实数,x y 满足40x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则12y z x +=+的最大值为________.【答案】34【解析】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，将目标函数看作点()2,1P --与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过()2,2A 时，直线的斜率取得最大值，代入点A 的坐标可得答案. 【详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域，如下图所示，由4x y y x+=⎧⎨=⎩得点()2,2A ，目标函数1y z +=表示点()2,1P --与可行域的点所构成的直线的斜率，当直线过()2,2A 时，直线的斜率取得最大值，此时12y z x +=+的最大值为34. 故答案为：34.【点睛】本题考查求目标函数的最值，关键在于明确目标函数的几何意义，属于中档题.15．已知向量(1,1)a =r ，||3b =r (2)2a b a +⋅=rr r ，则||a b -=r r __________.【答案】3 【解析】 【分析】由题意得2a b ⋅=-r r ，2a r ||=，再代入222(|2|)a b a b a a b b --⋅==-+r r r r r r r r .【详解】由题意可得2a r ||=2(2)24a b a a b a a b ⋅=+=++⋅⋅r r r r r r r r，∴42a b =⋅+r r，解得2a b ⋅=-r r， ∴222|()23|243a b a b a a b b =-+-=-=++=⋅rrr r r r r r .故答案为：3. 【点睛】本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用.16．三棱柱111ABC A B C -中， AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且三棱柱的侧面积为33若该三棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】分析题意可知，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心O ，设棱柱的底面边长为a ，高为h ，则三棱柱的侧面积为333a h ⋅=，球的半径表示为2223a h R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由重要不等式即可得球O 表面积的最小值 【详解】 如下图，∵三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ∴设11A C a =，1BB h = ∴三棱柱的侧面积为333a h ⋅= ∴3a h ⋅=又外接球半径22212233a h a h R ⎛⎫⎛⎫=+≥⋅⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴外接球表面积244S R ππ=≥. 故答案为：4π【点睛】考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题三、解答题：共70分。