届高考数学立体几何理科专题二面角
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2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角
1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=︒侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ；
(2)若15360AC BC A AB ==∠=︒，，,求二面角11B A C C --的余弦值.
2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形
与上底面
平行，
且，,，，平面平面，点为的中点．
（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；
（2）求平面与平面
所成锐二面角的余弦值．
3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， 3BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=u u u v u u u v
，求二面角Q BD C --的大小.
4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.
5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.
（1）求证： //EF 平面PCD ；
（2）若0
,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.
6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o
P ,平面PAD ⊥底面ABCD ,
Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1
2,1,2
PA PD BC AD CD ===
==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ;
（Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o
,设PM tMC =,试确定t 的值.
2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角（教师版）
1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=︒侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ；
(2)若15360AC BC A AB ==∠=︒，，,求二面角11B A C C --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
21
14
-
.
Q 侧面11A ABB ⊥底面,90ABC ABC ∠=︒，CB ∴⊥侧面11A ABB ，1CB AB ∴⊥.
又1A B BC B ⋂=Q ,1AB ∴⊥平面1A BC .
(2)在Rt ABC n 中， 5,3,4AC BC AB ==∴=,又菱形11A ABB 中， 160A AB ∠=︒Q ，1A AB ∴n 为正三角形.
设(),,n x y z =为平面11A CC 的方向量，则1110,2230,
{ { 0.22330.
n C C x y n C A x y z =-+=∴=+-=u u u u r u u u u r
n n 令3x =,得()
n 3,3,4=为平面11A CC 的一个法向量.又()
10,23,0OB =-u u u r
为平面1A BC 的一个法向量，
11121
cos , 142723
n OB n OB n OB ==
=-n n n u u u r
u u u r u u u r .∴二面角11B A C C --的余弦值为21-. 2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面
平行，
且，
,
，
，平面
平面
，点为
的中点．
（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
试题解析：（1）取的中点，
的中点，连接、、，
如图所示．则平面
平面
，平面即为所求的平面． 理由如下：在平行四边形
中，点
分别是
与
的中点，
所以，在中，点分别是的中点，所以．
显然，，所以平面平面
，亦即平面 平面
． （2）不妨设
,
,，故,
．
在平行四边形中，
，所以
． 取的中点，则．又平面平面，平面
平面，所以
平面
．
连接
，因为
，
，所以
，又
，所以
． 如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
,
，． 所以
，
，
，
．
设平面的法向量为，
则由，即，整理得．令，．所以．
所以．
3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， 3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=u u u v u u u v
，求二面角Q BD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）
4
π
试题解析：（1）证明：∵2
2
2
AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，∴//AD BC ，∴BC BD ⊥. 又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD . 而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD . （2）解：由（1）知， BC ⊥平面PBD ，