浅谈杨辉三角的奥秘及应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用杨辉三角，又称帕斯卡三角形，是一个以数学的方式表示的二阶等腰三角形，它是具有多种特殊性质的几何图形，也是概率论、组合数学、代数和初等数论中的重要工具，在日常生活中也有很多有趣的应用。
首先，杨辉三角在日常生活中最常见的应用就是数学中计算阶乘的快速方法，有一句俗话“一个数的阶乘等于它上面一行所有数之和”，这句俗话正是杨辉三角的一个重要性质，即每一行的数都等于前面一行的相邻两个数之和，因此可以用杨辉三角来计算阶乘，大大减少了计算量。
其次，杨辉三角也可以用来计算组合数，组合数是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，而不考虑元素的先后次序，有多少种可能的组合情况，组合数的计算公式为Cmn=n!/(m!*(n-m)!)，其中阶乘之间的关系正是杨辉三角的一个重要性质，因此可以用杨辉三角来计算组合数，大大减少了计算量。
此外，杨辉三角也可以用来计算二项式系数，二项式系数是指在二项式中，两个未知数x和y的幂次之和为n，它有多少种可能的组合情况，二项式系数的计算公式为Cmn = n!/[m!*(n-m)!]，其中阶乘之间的关系正是杨辉三角的一个重要性质，因此可以用杨辉三角来计算二项式系数，大大减少了计算量。
再者，杨辉三角也可以用来解决一些经典游戏，例如“兔子赛跑”游戏，它是一个典型的动态规划问题，它要求求解最佳解，这就要求分析多种解法并做出最优决策，而杨辉三角可以帮助解决这类问题，因为它的性质有助于计算多种可能的解决方案，从而帮助玩家做出最优的决策。
最后，杨辉三角也可以用来计算几何图形的面积，例如梯形、菱形、梯形等几何图形，这些几何图形都可以用杨辉三角来计算它们的面积，因为这些几何图形都可以分解成多个三角形，而杨辉三角的性质有助于计算每个三角形的面积，从而计算出这些几何图形的面积。
总之，杨辉三角在日常生活中有着很多有趣的应用，它不仅可以用来计算阶乘、组合数、二项式系数等数学问题，还可以用来解决一些经典游戏，这些都使得杨辉三角在日常生活中变得格外有趣。
杨辉三角的规律总结
杨辉三角的规律总结一、规律总结： 1、《杨辉三角》定理：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
应用定理：将三角形的一个角用内部的点和一条直线段分别与另外两个角的两边分别相连，这三条线段交于一点，则该点就是这个三角形的重心。
2、《杨辉三角》性质：等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
二、注意事项： 1、在解决具体问题时，需要结合图形中已知的一些关键信息或特征来推导出杨辉三角定理。
基本思路：利用重心计算两底边上的高。
一般地，由于一个角的顶点在另一个角的底边上，所以可以采用内心法来确定其重心。
也可以利用其他方法来确定重心。
比较常用的方法有：（ 1）利用内部的两条线段或内部的三条线段构造三角形。
（ 2）将重心分别向顶点延长，做出所要求的三角形。
2、做题时要灵活运用杨辉三角定理及性质，不要拘泥于杨辉三角定理。
3、在解题过程中，只要遇到角，总可以联想到三角形，但是，这时候我们应先找出其重心再判断出是不是在三角形内部，否则会把角放错位置。
例如：等腰三角形的性质与杨辉三角有什么关系呢？答案：因为任何等腰三角形的两底角的平方和等于第三个角的平方。
《杨辉三角》公式：两个互为补角的三角形的重心，它们的连线平分第三边。
1、例如：△abc是等腰直角三角形，∠a=∠b=90°， ad=dc=1，bc=ca=3，∠c=90°，则△abc的重心在（ a） b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a） b例如：△abc是等腰直角三角形，∠abc=180°，∠ab=90°，∠ad=∠dc=1，∠bc=ca=3，∠a=∠b=90°，则△abc的重心在（ a）b（ c） d（ e） e或e（ c） d（ b） e（ d） e或b（ c） d（ a）b（ d） c的解析：第1步：由∠acb=180°可得∠abc=180°，即△abc的三边长均为整厘米数。
20-21版：数学探究 杨辉三角的性质与应用（创新设计）
数学探究杨辉三角的性质与应用相关知识阅读杨辉三角的历史沿革北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶(约公元1050年)贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”．元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”．意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚．在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”．布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形．21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：贾宪中国北宋11世纪《释锁算术》杨辉中国南宋1261《详解九章算法》记载之功朱世杰中国元代1299《四元玉鉴》级数求和公式阿尔·卡西阿拉伯1427《算术的钥匙》阿皮亚纳斯德国1527米歇尔．斯蒂费尔德国1544《综合算术》二项式展开式系数薛贝尔法国1545B·帕斯卡法国1654《论算术三角形》其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质杨辉三角(也称帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．在欧洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形．帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文将一一为您揭晓．1．最外层的数字始终是12．第二层是自然数列3．第三层是三角数列什么是三角数列，看一下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．4．三角数列相邻数字相加可得方数数列什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形．5．每一层的数字之和是一个2倍增长的数列6.斐波那契数列没错，如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列．斐波那契数列是指从0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和．这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数0.618(或1.618，两数互为倒数)．斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见，在人类的艺术设计中也是应用非常广泛．7．素数素数是指只能被1和它本身整除的数字．然而在杨辉三角里，除了第二层自然数列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数．8．可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案．。
计算杨辉三角形的规律与应用
计算杨辉三角形的规律与应用杨辉三角形是一种数学图形，它的形状像一个等边三角形，由数字构成。
它以中国古代数学家杨辉的名字命名，他在13世纪时首次提出了这个概念。
杨辉三角形具有许多有趣的规律和应用，本文将对这些内容进行探讨。
一、杨辉三角形的构造方法杨辉三角形可以通过以下规律来构造：1. 第一行只有一个数字1。
2. 第二行有两个数字，均为1。
3. 从第三行开始，每行的首尾元素都是1。
4. 从第三行开始，中间的元素等于上一行中相邻两个元素的和。
例如，下面是一个由6行组成的杨辉三角形：```11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1```二、杨辉三角形的规律杨辉三角形具有一些有趣的规律，可以通过观察和计算得出：1. 每一行的数字之和等于2的n次方，其中n为行数。
例如，第三行的数字之和为2^3=8。
2. 每一行的首尾数字都是1。
3. 从第三行开始，除了首尾数字外，每个数字等于上一行对应位置的左上方和右上方两个数字之和。
三、杨辉三角形的应用杨辉三角形在数学和其他领域中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用：1. 组合数学：杨辉三角形中的数字可以表示组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
每一行的数字依次对应组合数的值，例如第三行的数字1 2 1对应组合数C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)。
2. 概率论：杨辉三角形可以用于计算二项式分布的概率。
每一行的数字可以表示在n次独立重复试验中，获得k次成功的概率。
3. 数列与数学函数：杨辉三角形中的数字可以形成一些有趣的数列，如斐波那契数列、素数数列等。
此外，杨辉三角形中的数字还与二项式定理、多项式展开等数学函数有关。
四、杨辉三角形的扩展除了基本的杨辉三角形构造方法外，还可以通过一些扩展规则来生成更多的图形和规律：1. 帕斯卡三角形：将杨辉三角形的每个数字乘以2再减去1，可以得到帕斯卡三角形。
帕斯卡三角形在概率论、组合数学和数学函数等领域有广泛的应用。
要杨辉三角的原理与应用
要杨辉三角的原理与应用一、原理介绍杨辉三角是一种数学图形，它由数字排列而成，具有以下特点：1.每一行的端点数字均为1。
2.每一行的第二个数字到倒数第二个数字均等于上一行相邻两个数字之和。
3.每个数字等于它上方两数字之和。
以下是杨辉三角的前几行：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、应用场景杨辉三角在数学和计算机科学领域具有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用场景。
1. 组合数计算杨辉三角可以被用来计算组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数量。
通过观察杨辉三角中的数字规律，我们可以发现组合数可以通过杨辉三角中的数字来表示。
例如，要计算组合数C(5, 3)，我们可以直接在第5行中找到第3个数字，即为组合数的值。
2. 概率计算杨辉三角也可以用于概率计算。
在概率领域，二项式定理表示了一个二项式的展开，其中杨辉三角中的数字被用来计算二项式系数。
通过利用杨辉三角中的数字规律，可以轻松计算不同概率事件的发生概率。
3. 递归算法实现杨辉三角还可以作为递归算法的一个经典案例。
通过递归的方式生成杨辉三角，可以简洁地实现该图形的生成过程。
递归算法可以通过将大问题划分为更小的子问题来解决，而杨辉三角的生成过程正是通过不断计算上一行数字来生成下一行的。
4. 动态规划动态规划也是杨辉三角的一个重要应用。
在动态规划中，前一状态的信息被用来计算当前状态的值。
杨辉三角的生成规律与动态规划中的状态转移函数相似，因此可以将杨辉三角的原理应用于动态规划的问题求解中。
三、总结杨辉三角作为一种数学图形，在计算与编程领域有着重要的应用。
它不仅可以用于计算组合数和概率，还可以被用作递归算法和动态规划的示例。
通过深入理解杨辉三角的原理，我们可以掌握更多有用的数学和计算机科学技巧，为问题求解提供更多可能性。
通过灵活运用杨辉三角的原理，我们能够解决更加复杂的问题，提高算法效率和编程能力。
希望本文对读者有所启发，并能够在实际应用中发挥积极作用。
杨辉三角在日常生活中的有趣应用
杨辉三角在日常生活中的有趣应用杨辉三角，也被称为帕斯卡三角，是一个在数学中非常重要的结构。
它不仅仅在数学中有广泛的应用，而且在日常生活中也有很多有趣的应用。
下面我们就来看看杨辉三角在日常生活中的一些有趣应用。
1.组合数学：杨辉三角的一个重要应用是在组合数学中。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示在n个不同元素中选取k个元素的组合数。
杨辉三角的第n行第k个数字就是二项式系数，也就是C(n, k)。
这使得杨辉三角成为了一个非常方便的工具，可以快速地查找二项式系数。
2.概率论：在概率论中，杨辉三角也被广泛应用。
比如，在赌博游戏中，我们可以用杨辉三角来计算各种可能的结果的概率。
假设有一个游戏，玩家可以猜一个骰子的点数，如果猜对了就得奖。
我们可以用杨辉三角来计算玩家猜对点数的概率。
3.编码理论：在编码理论中，杨辉三角也被用来构造一些特殊的编码。
比如，有一种叫做"里德-所罗门码"的编码，就是用杨辉三角来生成的。
这种编码具有很强的纠错能力，被广泛应用在各种数字设备和通信系统中。
4.图形学：在图形学中，杨辉三角也被用来生成一些特殊的图形。
比如，有一种叫做"杨辉三角图"的图形，就是用杨辉三角来生成的。
这种图形具有很强的对称性和美感，被广泛应用在各种设计和艺术作品中。
5.生物学：在生物学中，杨辉三角也被用来描述一些生物学的现象。
比如，在遗传学中，有一种叫做"孟德尔遗传"的现象，就是用杨辉三角来描述的。
这种现象描述了基因在遗传过程中的规律，对于理解生物的遗传和进化具有重要意义。
6.投资理财：在投资理财中，杨辉三角也可以被用来计算投资收益。
假设有一个投资计划，每年投资一定的金额，并且每年的收益率为一定的百分比。
我们可以用杨辉三角来计算在一定年限后，投资的总金额和总收益。
7.教育教学：在教学活动中，杨辉三角也是一个非常好的教学工具。
它可以帮助学生更好地理解数学概念，比如组合数学、概率论等。
杨辉三角与路径问题探究内容
杨辉三角与路径问题探究内容标题建议：《杨辉三角与路径问题：从数学到生活的探究》一、引言在中国的数学史上，杨辉三角是一个不可或缺的篇章。
这一三角形的规律性和特性，不仅在数学领域有着广泛的应用，还与现实生活中的路径问题有着密切的联系。
本文旨在深入探究杨辉三角的奥秘，并探讨其与路径问题的关联。
二、杨辉三角的特性与规律杨辉三角是一个二项式系数表，它以其独特的排列方式展示了二项式系数之间的内在联系。
杨辉三角的每一行数字都与上一行相邻两个数字有关，具体规律如下：1. 每行的第一个数字和最后一个数字都是1。
2. 每行的中间数字等于上一行相邻两个数字之和。
3. 每行的数字都是上一行的两个相邻数字的差值的一半的绝对值依次加1。
这些规律不仅使得杨辉三角的每一行数字都具有高度的逻辑性和规律性，还为解决一系列复杂的数学问题提供了有力工具。
三、杨辉三角与路径问题的联系当我们从数学角度深入研究杨辉三角时，不难发现其与路径问题的紧密联系。
例如，我们可以使用杨辉三角来解决图论中的最短路径问题、网络流问题等。
这主要归功于杨辉三角中的数字规律，这些规律在解决路径问题时能够提供有效的算法和优化策略。
以最短路径问题为例，我们可以通过杨辉三角中的数字规律，找到从起点到终点的最短路径。
具体来说，我们可以利用杨辉三角中的数字来构建一个权重矩阵，然后使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法等路径算法求解最短路径。
这种方法在解决现实生活中的交通规划、物流配送等问题时具有很高的实用价值。
四、结论通过以上探究，我们可以看到杨辉三角不仅在数学领域有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
从路径问题到网络流问题，杨辉三角的规律性和算法都为我们的生活和工作带来了极大的便利。
未来，随着科学技术的不断进步，相信杨辉三角将会在更多领域发挥出更大的作用。
同时，也希望通过本文的探究，能够激发更多人对杨辉三角和路径问题的兴趣，进一步推动数学与实际应用的结合。
杨辉三角
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
（a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
6
（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
斐波那契数列
换一角度“斜”向看：
斜线的和依次为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 有：an=an-1+an-2 (n≥3)
1 11 12
1112358
1 3 31
14 641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花 5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
问：纵横各有五条路呢？
A
B
图1
结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案( 6)． 一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法 数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
A
1
A
1
1
A
1
2
1
D
3
3
C
6
B
B
B
在弹球游戏中的应用
弹球游戏，小球向容器内 跌落，碰到第一层挡物后 向两侧跌落碰到第二层阻 挡物，再向两侧跌落第三 层阻挡物，如此一直下跌 最终小球落入底层。根据 具体地区获的相应的奖品 （AG区奖品最好，BF区 奖品次之，CE区奖品第三， D 区奖品最差）。
浅谈杨辉三角的奥秘及和实际中的应用
y 11n
110
111
112
113
1 11 1 21 1 3 31
14 641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
………………………………
与数字2的幂的关系
杨辉三角
这样的二项式系 数表，早在我国南 宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九 章算法》一书里就 已经出现了，在这 本书里，记载着类 似下面的表：
杨辉
中国南宋末年数学家、数 学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、 杭一带。字谦光，钱塘 （今杭州）人。其生卒年 及生平无从详考。杨辉的 数学著作甚多有《日用算 法》 《杨辉算法》等
a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 有：an=an-1+an-2 (n≥3)
1 11 12
1112358
1 3 31
14 641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花 5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花 8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
与二项式展开系数的关系
11 1 21
（a+b)1= 1a+1b
1 3 31 146 41
（a+b)2= 1a2+2ab+1b2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
杨辉三角知识讲解
杨辉三角知识讲解杨辉三角是中国古代数学宝库中的一颗明珠，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
杨辉三角是由中国数学家杨辉在13世纪发现并命名的，但实际上它的起源可以追溯到更早的时期。
这个三角形的形式非常简单，但它蕴含的数学规律却非常复杂。
在本文中，我们将深入探讨杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用。
让我们来看一下杨辉三角的形式。
它是一个由数字构成的三角形，第一行只有一个数字1，接下来的行每一行的数字都是上一行相邻两个数字之和。
例如，第二行有两个数字1，第三行有三个数字1，第四行的两个1之间的数字是上一行两个1之和，即2，以此类推。
这种规律一直延续到三角形的最后一行，最后一行的数字就是杨辉三角的第n行。
杨辉三角的规律不仅仅是一些数字的排列，它还有一些非常有趣的数学性质。
首先，杨辉三角的每一行都对应着二项式系数的展开式中的一项。
例如，第n行的数字依次是1、n、n(n-1)/2、n(n-1)(n-2)/6，以此类推。
这个性质可以通过数学归纳法来证明，但我们不会在文章中提到具体的证明过程。
除了二项式系数的性质，杨辉三角还有一些其他有趣的应用。
其中之一是计算组合数。
组合数是指从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
在杨辉三角中，第n行的第m个数字就是从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
这个性质可以通过杨辉三角的定义和组合数的定义来证明。
杨辉三角还有一些其他的应用，例如在概率论中的二项分布、多项式定理的展开、计算幂等等。
这些应用都与杨辉三角的数学规律密切相关，但我们不会在文章中详细讨论它们。
总结一下，杨辉三角是中国古代数学的宝贵遗产，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
它不仅仅是一种数字的排列，还有一些非常有趣的数学性质和应用。
通过研究杨辉三角，我们可以更好地理解数学中的一些基本概念和原理。
希望本文能够帮助大家更好地理解杨辉三角的知识，并对数学产生更浓厚的兴趣。
注：本文旨在介绍杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用，不涉及具体的数学证明和计算过程。
中国古代数学杨辉三角
中国古代数学杨辉三角是一个重要的数学概念，它是一种用数字排列形成的三角形模式，通常用于表示数字之间的比例、排列和组合关系。
在中国古代，杨辉三角的起源可以追溯到十世纪末和十一世纪初，当时数学家们开始研究数字之间的规律和关系。
首先，杨辉三角是一个数学概念，它可以通过不同的数字排列和组合来表达不同的数学关系。
例如，它可以用于计算数字之间的比例、排列和求和等问题。
此外，杨辉三角还可以用于解决一些复杂的数学问题，如组合数学中的排列组合问题、概率论中的概率计算问题等。
在中国古代数学中，杨辉三角的应用非常广泛。
它不仅被用于解决数学问题，还被用于记录数字之间的规律和关系，以及用于数学教育等方面。
在古代，数学家们通过研究杨辉三角，发现了一些有趣的规律和特点，如数字之间的对称性、重复性和递推关系等。
这些规律和特点不仅有助于理解杨辉三角的本质，还为后来的数学研究提供了重要的基础。
在具体的应用方面，杨辉三角在古代的商业、军事、天文等领域都有广泛的应用。
例如，在商业中，商人可以通过杨辉三角来计算货物运输的成本和利润；在军事中，军事家们可以通过杨辉三角来分析敌我双方的实力和战略布局；在天文学中，天文学家们可以通过杨辉三角来研究天体之间的距离和运动规律等。
综上所述，中国古代数学中的杨辉三角是一种重要的数学概念，它具有广泛的实用价值和理论意义。
在古代，数学家们通过研究和发现杨辉三角中的规律和特点，为后来的数学研究奠定了基础。
在现代，杨辉三角仍然被广泛应用于数学、计算机科学、统计学等领域，成为现代数学的重要组成部分。
最后，值得一提的是，中国古代数学中的杨辉三角不仅仅是一种数学概念，它还体现了中国古代数学文化的独特性和智慧。
通过研究杨辉三角，我们可以更好地了解中国古代数学的发展历程和特点，进一步弘扬中国古代数学文化。
杨辉三角与路径问题探究内容
杨辉三角与路径问题探究内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：杨辉三角是一种数学结构，由于其独特的规律和性质，一直以来都在数学领域内备受关注。
它的发现可以追溯到公元四世纪的中国，由数学家杨辉所发现，故而得名为“杨辉三角”。
杨辉三角是一种由一列数字组成的三角形，每个数字是上一行相邻两个数字的和。
这个神奇的数学三角形在数学内部有着许多应用，其中之一就是路径问题的探究。
路径问题是指在一个网格或者图形中，通过某种特定规则，从起点出发，沿着边缘或者其他限定条件，到达终点的问题。
在实际应用中，路径问题常常出现在交通规划、游戏设计、网络通信等方面。
而杨辉三角与路径问题的关系，正是在探究不同规则下路径的数量、路径的方式以及路径的可能性。
我们来看杨辉三角中的数值规律对路径问题的应用。
在杨辉三角中，每个数字都是上一行相邻两个数字的和，这一规律可以帮助我们求解路径问题中的路径条数。
在一个网格中，从左上角到右下角的路径，我们可以将网格中纵向和横向的路径数进行求和，就可以得到总路径数。
这个求解过程的本质，就是利用了杨辉三角中数值的累加特性，从而得到路径数量的结果。
这种方法可以帮助我们快速得到路径问题的答案，是一种有效的计算路径数量的手段。
杨辉三角中的对称性和规则性也可以为路径问题的解决提供思路。
在杨辉三角中，每个数字都有其特定的位置和规律，而且整个三角形是对称的。
这种对称性和规则性可以帮助我们在路径问题中找到一定的规律，从而更好地解决问题。
在某些网格路径问题中，我们可以利用杨辉三角的对称性，将问题简化成对称的结构，从而减少计算量或者找到更加简便的解法。
这种思维方式可以为我们解决路径问题提供新的角度和方法，使得问题更容易解决。
第二篇示例：杨辉三角是中国古代数学家杨辉创造的一种数学结构，由数字排列组成的三角形。
这种数学结构在数学上有着非常广泛的应用，特别是在组合数学和概率论领域。
除了在数学理论上的应用，杨辉三角还可以用来解决实际生活中的问题，比如路径问题。
杨辉三角原理
杨辉三角原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊超有意思的杨辉三角原理！你知道不，这杨辉三角就像是一个神奇的魔法阵。
咱就说，你看那杨辉三角，一层一层的，多像我们小时候叠的纸金字塔呀！每一行的数字都有它独特的规律，就好像它们在悄悄告诉我们什么秘密一样。
比如说，从最上面开始，每层的数字两边都是 1，这就好像一个守护宝物的卫士，坚定地站在那里！然后呢，中间的数字可就有趣啦，它们是上一行相邻两个数字之和。
哎呀呀，这可不是一般的厉害呀！
有一次，我和小伙伴一起研究杨辉三角，我们就像是探险的小伙伴，试图解开这个神秘三角的谜团。
我们一个数一个数地看，一个规律一个规律地找，那种投入的感觉，简直太棒啦！我当时就在想，这杨辉三角背后到底隐藏着多少奇妙的东西呢？
它可不只是一堆数字的排列哦！它在数学、科学甚至艺术领域都有广泛的应用呢！这不就和我们生活中的很多小事物一样吗？看似普通，实则蕴含着巨大的能量。
杨辉三角就像是一个智慧的宝库，等待我们去不断挖掘。
你难道不想去探索一下吗？你不想知道它还能给我们带来哪些惊喜和启示吗？我觉得呀，我们应该好好去研究它，去发现它更多的美妙之处。
相信我，一旦你深入了解了杨辉三角原理，你一定会被它深深地吸引，就像我一样，对它充满着好奇和喜爱！
总之，杨辉三角原理真的太神奇、太有趣啦！大家可别错过这个探索的好机会哦！。
杨辉三角的现实例子
杨辉三角的现实例子1. 你知道杨辉三角吗？它在组合数学里可是超级重要的存在呢！就像我们搭积木，每一层的积木数量都有着特定的规律，杨辉三角就是这样神奇。
比如说在计算彩票的组合可能性时，杨辉三角就像一个神奇的指南，帮助我们理解其中的奥秘。
2. 嘿，杨辉三角可不仅仅是书本上的东西哦！它就像一个隐藏在生活中的密码。
比如在排队买东西的时候，我们可以通过杨辉三角来计算不同排列方式的可能性，这难道不酷吗？3. 哇塞，杨辉三角啊！它就好像是一把解开很多难题的钥匙呢。
像是在分配任务的时候，根据杨辉三角的规律可以更合理地安排人员和任务，难道不是吗？4. 你想过杨辉三角在建筑设计中的作用吗？它好比是建筑师手里的魔法棒呀！当设计一个大楼的结构时，杨辉三角能帮助确定最佳的支撑点分布，多神奇啊！5. 杨辉三角啊，那简直就是数学世界里的一颗璀璨明珠！就像我们玩游戏要遵守规则一样，很多数学问题都要遵循杨辉三角的规律呢。
比如计算比赛的场次安排，用杨辉三角就能快速搞定，你说厉害不厉害？6. 哦哟，杨辉三角可牛了！它就如同一个智慧的小精灵藏在数学里。
想想看，在计算投资组合的风险时，杨辉三角就能发挥大作用，这可太妙了吧！7. 嘿呀，杨辉三角可不是吃素的！它好像是我们生活中隐藏的好帮手。
在安排聚会座次的时候，依据杨辉三角来安排，会更加有序和有趣呢，不是吗？8. 哇哦，杨辉三角啊！简直就像一个神秘的宝藏等待我们去挖掘。
在设计图案的时候，杨辉三角的规律能创造出独特又美丽的作品，超级神奇呀！9. 杨辉三角真的太有意思啦！它其实就在我们身边，默默发挥着巨大的作用，就像一个低调的大师。
我们真应该好好去探索和发现它更多的神奇之处呀！我的观点结论是：杨辉三角在众多领域都有着意想不到的应用，它真的非常神奇且重要！我们要重视和运用好它。
有趣的中国古代数学故事
中国古代数学故事——杨辉三角的奇妙之旅中国古代的数学学问博大精深，在古代数学的发展历程中，不乏许多有趣的故事。
其中，杨辉三角是一种独特的数学图形，它曾经给人们带来无限的惊喜和启发。
本文将为你讲述杨辉三角的奇妙之旅。
杨辉三角的诞生与发展杨辉三角最早出现在公元5世纪，也就是南北朝时期的中国。
这一数学图形是由中国古代数学家杨辉发现并研究的，因此得名杨辉三角。
杨辉三角是一种规律的数字阵列，它的构造方法很简单：首先在第一行放置一个数字1，然后从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字之和。
通过这样的方法，一个奇妙的图形便逐渐形成。
杨辉三角的神奇与应用杨辉三角不仅仅是一个数学图形，它还蕴含着许多神奇的特性和应用。
下面，让我们一起来探索其中的奥秘。
二项式定理的发现杨辉三角中最为人津津乐道的神奇特性之一，就是它与二项式定理的关系。
二项式定理是数学中的重要定理之一，它表达了任意整数幂的多项式展开式中各项的系数。
通过观察杨辉三角的一些特点，我们可以发现每一行的数字之和正好是2的n次方，其中n代表行数。
这个规律与二项式定理中的二项展开系数恰好吻合，从而使杨辉三角与二项式定理紧密联系在一起。
杨辉三角在概率中的应用杨辉三角还可以应用于概率的计算中。
我们知道，概率是描述事物发生可能性的数值，而杨辉三角中的数字又与组合数相关联。
在杨辉三角中，每个数字都可以表示为它所在位置的行数和列数，也就是组合数C(n, k)。
通过计算不同行数和列数的组合数，我们可以得到一系列与概率相关的数值。
这种方法在离散数学和概率统计中有着广泛的应用。
加密中的利用——编码与解码在古代，人们常常使用杨辉三角进行加密和解码。
通过特定的编码规则，将明文转化为杨辉三角中的数字，然后通过解码规则将数字重新还原为明文。
杨辉三角加密法的基本思想是，将明文的每个字母与阵列中的数字相对应，然后将这些数字按照特定的规律排列成杨辉三角。
通过这种加密方式，即使有人获得了密文，也很难通过逆向推理得到明文的内容。
数学探究杨辉三角的性质与应用课件
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角"，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发,并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切.假设y=11n当n=0时: y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时: y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时: 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知:11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等(证明还有待证明)即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110) 1 1 (111）1 2 1 (112）1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 （114)1 5 10 10 5 1 （115）1 6 15 20 15 6 1 （116) ……其实这个关系我们早就学习过了,只是用另一种方式表达而已。
浅谈杨辉三角奥秘及应用
浅谈杨辉三角奥秘及应用杨辉三角是由中国古代数学家杨辉在13世纪前提出的一种数学模型，它以三角形的形式展示了关于二项式系数的一些重要性质和规律。
这个三角形被称为杨辉三角，因为这个数学模型最早由杨辉所研究。
杨辉三角被广泛应用于数学、概率、组合数学等领域，其奥秘和应用价值都是十分重要的。
首先，让我们来看一下杨辉三角的构造规则。
杨辉三角的第一行是数字1，每一行的两端也是数字1。
从第二行开始，每个数是上一行两个数的和。
用数学语言描述，杨辉三角的第n行第i个数（从第0项开始数）等于第n-1行第i-1个数和第i个数的和。
用公式表示为：C(n,i) = C(n-1,i-1) + C(n-1,i)这个规则使得杨辉三角的每一行都符合二项式展开式中各项的系数。
例如，第4行的数字依次为1, 3, 3, 1，对应的二项式展开式为(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3。
当然，这只是杨辉三角的一个应用之一。
杨辉三角的奥秘在于它有许多隐藏的规律和特性，这些规律和特性不仅仅在数学中有用，也在其他领域中有广泛的应用。
以下是杨辉三角的几个重要的规律和特性：1. 对称性规律：杨辉三角是关于中心对称的，即三角形的左半边与右半边是完全相同的。
这个对称性特性使得杨辉三角在概率和组合数学中有重要的应用。
例如，计算二项式系数时，如果我们知道了C(n,i)，则C(n,n-i) = C(n,i)，这个特性在组合计数中非常有用。
2. 斜线规律：从三角形的顶点到底边的任何一条斜线上的数字之和，都是由2的幂次方所组成的序列。
例如，斜线上的数字之和依次为1, 2, 4, 8, 16...，这个规律在计算组合数学中有着重要的应用。
3. 杨辉三角与二项式展开：正如我们之前提到的，杨辉三角中的每一行都符合二项式展开式中各项的系数。
这个特性使得在不知道n的具体值的情况下，可以直接根据杨辉三角的对应行来展开一个二项式。
杨辉三角的应用十分广泛。
【精品】杨辉三角应用
【精品】杨辉三角应用杨辉三角是一种经典的图形，也是一种非常有应用价值的数学工具。
在杨辉三角中，每一行的数字都是上一行数字的组合数之和，从而形成一个有规律的三角形。
换句话说，这个三角形可以用来计算从n个元素中选择k个元素的不同方法数量。
除了计算组合数之外，杨辉三角还有许多其他的应用。
一、数学定理杨辉三角是一个由排列组合与二项式系数构成的三角形，因此它可以用于研究这些数学对象。
实际上，杨辉三角可以帮助证明某些组合恒等式和二项式定理，这些都是非常基础的数学概念。
1. 二项式定理二项式定理是数学中非常基础的一个概念，它描述了两个数字的幂次和式展开的形式。
具体来说，它声称：$$(a + b)^ n = \sum _{k = 0} ^n {n \choose k} a ^ {n-k} b ^ k $$其中$ {n \choose k} $是n个元素中选择k个元素的组合数。
比如说，我们可以用杨辉三角来证明这个公式。
事实上，杨辉三角的第n行是$ (a+b)^ n $的系数。
2. 组合恒等式组合恒等式指的是一类形如下列公式的恒等式：这个公式意味着，我们可以用第n-1行的数字来计算第n行的数字，这正是杨辉三角的精髓所在。
实际上，组合恒等式可以证明二项式定理，因为在二项式定理中，组合数是关键的。
二、统计学杨辉三角不仅在纯数学领域中有应用，它也有很多在统计学中的应用。
1. 投掷硬币假设你有一个有头和正反两面的硬币，并且你以50%的概率投掷每一次。
你可以使用杨辉三角来计算$n$次投掷中出现$m$次正面的不同方法数量。
具体而言，你可以计算杨辉三角的第$n$行中第$m+1$个数字，因为这个数字正是$n$次投掷中$m$个正面的不同方法数量。
2. 赌场游戏在赌场游戏中，杨辉三角也有应用。
例如，赌徒可以使用杨辉三角来计算获得$n$个数字中的$m$个数字的所有不同排列的数量。
这个问题可以很容易地转化为组合问题，并且可以通过计算杨辉三角来解决。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。
假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时：y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110) 1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116) ……其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。
我们知道初中时老师教我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。
其实是错位相加，而扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。
2 杨辉三角与2的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：1 ( 1 )1 1 ( 1+1=2 )1 2 1 (1+2+1=4 )1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )……我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。
刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下：1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列}{R N C 。
2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即r n n r n c C -=。
3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即r n r n n r n C c C 11---+=。
利用以上的性质我们可以预测杨辉三角中任意一行的数字的情况。
3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系为了讲解方便我们先讨论杨辉三角中n 为前7行时的情况。
分别为每一斜行标号，如图所示：(1) 1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。
11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1由上面可猜想得到：杨辉三角中n 行中的第i 个数是斜行i-1中前n-1个数之和，即第n 行的数分别为1、斜行(1)中第n 行之前的数字之和、斜行(2)中第n 行之前的数字之和、斜行(3)中第n 行之前的数字之和、斜行(4)中第n 行之前的数字之和、…、斜行(n-3)中第n 行之前的数字之和、1。
证明结论：假设当n=k 时成立，即第k 行的数分别为1、斜行(1)中第k 行之前的数字之和、斜行(2)中第k 行之前的数字之和、斜行(3)中第k 行之前的数字之和、斜行(4)中第k 行之前的数字之和、…、斜行(k-3)中第k 行之前的数字之和、1。
则n=k+1时因为杨辉三角中的每一个数是它肩上的两数之和所以第k+1行的第一个数为：1第k+1行的第二个数为：第k 行的第一个数1与第二个数之和因为第k 行的二个数等于斜行(1)中第k 行之前的数字之和所以第k 行的第一个数1与二个数之和就等于斜行(1)中第k+1行之前的数字之和。
同理可得到第k+1行的第三个数为：斜行(2)中第k+1行之前的数字之和。
第四个数为：斜行(3)第k+1行之前的数字之和、…综上所述结论成立。
假如我们将杨辉三角由等腰三角形改变为等腰直角三角形，划斜率为 1 的直线，再来考虑，斜率为1的直线上的字数之和又有什么规律？……可以发现这些数字为1，1，2，3，5，8，13，21…，从第3项起每一项都是前两项之和。
这就是著名的菲波那契数列。
菲波那契在1902年提出了一个有趣的问题：“假定每对大兔每月生产一对小兔，而每对小兔过一个月能完全长成大兔，问一年里面由一对大兔能繁殖出多少对大兔来。
”我们感兴趣的是大兔的对数组成的数列，原来有大兔一对，设为 0U =1，一个月后一对小兔出生，但是大兔还是一对，1U =1 ， 2个月后小兔长大，而大兔又生了一对小兔， 2U =2 这样下去，3U =3 ，4U =5 … 而假设第n 个月后大兔n U 对，n+1个后大兔为1+n U 对，那么第n+1个月时，原来的n U 对大兔又生出了n U 对小兔，所以第n+2个月大兔有2+n U =n U +1+n U ，所以具有这样的规律。
4 以杨辉三角为背景的问题分析由上可知，在古老的杨辉三角中存在着很多奥秘，如果把他的这种性质合理的应用到现实生活中或者是教学中，将会让我们更进一步的认识到杨辉三角的美妙及杨辉三角这一伟大的发现的现实意义。
4.1杨辉三角在弹球游戏中的应用如图1的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。
根据具体地区获的相应的奖品（。
图1我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别？A 区的奖品价值高于D 区，说明小球落入A 区的可能性要比落入D 区的可能性小，转化为数学问题就是小球落入A 区和D 区的概率。
小球要落入D 区的情况有两种，有概率知识得：D 1 D 2就是说，小球落入D 区的概率是等于它肩上两区域概率之和的21，据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推，如下： 2121183813213253210321032532164646641564206415646641 A B C D E F G图2观察上图，小球落到AD 两区的概率要比其它区域小的多，当然奖品就要多一些。
从该图中不难发现各区域的概率分子与杨辉三角形完全一致，我们可以利用杨辉三角的性质直接得出小球落到AD 两区的概率要比其它区域小的多。
该题是一道将杨辉三角的性质与概率的性质结合在一起而设置的一种游戏。
可想而知，技术人员在设置这个游戏时利用杨辉三角和概率的某些性质而制成的。
这是个令人惊喜的游戏，它为课堂教学提供了一个生动的实例。
4.2路径中的杨辉三角小红家到学校之间有很多的交叉路口，每一个交叉路口都有两条路可以走如图3，一天小红有事需要尽快回家，可是小红却不知该走那条路好，请帮小红找出一条最近的路。
解：如图4（为了讨论方便我们把家看成甲地，学校看成乙地。
）从甲地到乙1地有2种走的方法。
甲1如图5，从甲地到乙2地有3种走的方法，等于到乙1的走法加上1。
图5 乙2如图6，从甲地到乙3地有3种走的方法，刚好是到乙2的走法加上1。
2图6 乙3如图7，从甲地到乙4地有6种走的方法，刚好是到乙2的走法加上到乙3的走法。
甲图7乙4随着甲乙两地之间距离的增大，从甲地到每一个交叉点的走法如图8所示：甲 0 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 84151****01261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91图8上图所示从甲到每一个交叉点的走法与杨辉三角很相似，由此当我们遇到如上所示的路径的问题我们可以根据杨辉三角来确定它到另一端的走法。
其实这个图形在西方数学史上已有记载，它就是法国数学家帕斯卡发现的被世人称为“帕斯卡三角形”。
从该图中我们很容易得到二项式任意正整次幂的系数展开。
记得华东师大的霍益萍教授讲过：“时间的开放，形式的开放，都是次要的，重要的是思维的开放，思想的开放。
”夸美纽斯也有一句名言：“教一个活动的最好办法是演示。
”演示是直观教学的一种，而直观的东西一般容易被人接受。
我们常说，发现一个问题往往比解决问题更重要，而“发现”靠的并不都是逻辑思维，直观性的思维有时能出奇制胜。
在数学教学中强化直观教学，也许可以使沉闷的课堂教学活泼起来。
而杨辉三角中的内在规律是课堂教学中培养学生直观思维的一个非常完美的实例。
总上所述，古老的杨辉三角的某些优美的性质在现代生活中得到了充分的体现，令人不由为灿烂的古代文明心生自豪之情。
参考文献[ 1 ] 宋碎让.对于“巨形格中的最短路径与杨辉三角”的思考[J].数学教学.2004(5) [ 2 ] 曹亮.杨辉三角在弹球游戏中的应用[J].数学教学.2004(10)[ 3 ] 唐永.以“杨辉三角”为背景的试题例析[J].数学教学.2005（4）。