33二阶系统解析

2
1
2 1(
2 1)
拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：
c(t) 1
1
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1)

1
e( 2 1)nt (t 0)
2 2 1( 2 1)
稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和， 指数部分由系统传递函数极点确定。
2 2 1( 2 1)
dc(t ) dt

0
0
t 0 t 0
所以，整个暂态过程中， 阶跃响应都是单调增长的.
2. 临界阻尼(ζ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
C(s)
n2
A0 A1
A2
s(s n )2 s s n (s n )2
(1

nt
)
0
dt
解得 t 1/ n 。 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时
间做为调整时间，则
ts

1 4.7
n
临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。
3. 欠阻尼(0<ζ<1) 此时，系统具有一对共轭复数极点，则
C(s)
(2). 临界阻尼 1
s1, s2 n (3). 过阻尼 1
是两个相同的负实根。
s1, s2 n n 2 1 是两个不同的负实根。
(4). 无阻尼 0
s1, s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
于是
为二阶系统。
二、二阶系统的特征根（极点）分布 求解二阶系统特征方程，
s2 2ns n2 0
可得两个特征根（极点）
s1, s2 n n 2 1 ( 1) n jn 1 2 ( <1) j
j
[s]
s1
jn 1 2
单位阶跃响应的变化率为：
dc(t) dt

n2tent
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0
dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2h(t) dt 2
dh(t ) max

e2 nt n
•令
K1K2

n2
1


2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
G(s)

C(s) R(s)

s2

n2 2n s
n2
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
注意： • 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普
遍； • 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似
ts (3 ~ 4)
(
1
2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
过阻尼系统单位阶跃响应的变化率
dc(t)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
dt 2 2 1( 2 1)

( 2 1)n
e( 2 1)nt
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R(s) ＋
－
K1
s 1
K2
ห้องสมุดไป่ตู้C(s)
s
RLC电路、电动机转速控制系统
R(s)
n2 s2 2ns n2
C(s)
G(s) C(s)
K1K2
R(s) s2 s K1K2
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
• 近似原则：用其中一个惯性环节近似原二 阶系统，需要保证近似前后初值和终值相 等，并且要用到待定系数法！
过阻尼系统稳态值和最终误差
c() lim sG(s)R(s) lim s
2
1 1;
s0
s0 (s s1)(s s2 ) s
e() 0 过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
n 0

s2
jn 1 2
(a) 0 1
j
[s]
s1
s2
0

(c) 1
j
[s]
s1 s2
n
0

(b) 1
j
[s]
s1
n
0

s2
(d) 0
(1). 欠阻尼 0 1
s1, s2 n jn 1 2 是一对共轭复数根。
讨论：
过阻尼系统是两个惯性环节的串联。
有关分析表明，当 1时，两极点s1和s2与虚轴的
距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该 惯性环节来近似原来的二阶系统。即有
C(s) n n 2 1 s1 R(s) s n n 2 1 s s1
A0 1
A1


d ds
C
(s)(s

n
)2

s n
1
A2 C(s)(s n )2 sn n
单位阶跃响应为
c(t) 1 ent (1 nt)
临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值
e(t) r(t) c(t) ent (1 nt) e() 0
s(s2
n2 2ns
n2 )

s(s

n2
s1 )( s

s2 )
A0 A1 A2 s s s1 s s2
A0

C(s)s s0
1
A1

C
(s)(s

s1
) s

s1

2
1
2 1(
2 1)
A2

C
(s)(s

s2
) s s2

s(s2
n2 2ns
n2 )

1 s

(s
s n n )2 (1
2 )n2

(s
n n )2 (1
2 )n2

1 s

(s
s n n )2 d2
r(t) 1(t)
R(s) 1 s
C(s)

s2
n2 2ns n2
1 s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
c(t) L1[C(s)]
下面按阻尼比分别讨论。
1. 过阻尼(ζ>1)
n n 2 1
这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
C(s)