33二阶系统解析
33-56 线性定常系统稳定性及劳斯稳定判据
2
tr
d tp d
1 2
c(tp ) c() Mp c(tp ) 1 e c ( )
ts 1
d
(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
n t
n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan
32-3 二阶系统时域响应
《自动控制理论》
§3.３ 3.３ §3.３.1 3.３
二阶系统的时间响应及动态性能
传递函数标准形式及分类
2 D(s) = s 2 + 2ξωn s + ωn = 0
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
R-L-C电路，其传递函数为： 电路，其传递函数为：
Uc( s) 1 G( s) = = Ur( s) LCs2 + RCs +1
s1, 2 = ± jωn
对应的单位阶跃响应为
c(t ) = 1 − cos ωnt
由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡，振荡 由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡， 频率为 wn 。 wn
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
（2）临界阻尼 (ξ = 1)
ξ =1时 系统具有两个相等的实根， 当ξ =1时，系统具有两个相等的实根，即 s1, 2 = −ωn 。此时 系统输出的拉氏变换为
《自动控制理论》
§3.3.4 二阶系统阶的动态校正
比例微分(PD)校正 例1. 比例微分 校正
校正前图3-7b所示系统的特征方程为： 所示系统的特征方程为： 校正前图 所示系统的特征方程为
Js 2 + fs + K = 0
对应的
ωn =
K F , ξ= J 2 KJ
(3 - 33)
图3-15 具有PD校正的二阶系统 具有 校正的二阶系统
π −β ωd
（3-18） 18） （3-19） 19）
ξπ
1−ξ 2
π ωd
c(tp) − c(∞) − （3）超调量 Mp = = c(tp) −1 = e c(∞) 1 1 1 ts = (ln + ln ) （4）调整时间 2 ∆ ξ ωd 1− ξ
二阶系统响应
分析欠阻尼二阶系统单位阶跃响应表达式，可以得出如下结论： 第一，暂态响应为)sin(1)(=e t c t 2βωξξω+−−t d t n ，稳态响应为 第二，暂态响应为按指数衰减的正弦振荡形态；第三，阻尼比ξ的减小将导致系统响应的振荡加剧，且衰减速度变慢；（2）无阻尼（0=ξ）响应特征根：j s n ω±=，单位阶跃响应：2,1cos 1)(−=t c 分析结论：无阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线呈等幅振荡形式，其振荡频率为（3）临界阻尼（1=ξ）响应特征根：n s ω−=2,1，单位阶跃响应：()1(1n tc t e ξω−=−分析结论：临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线按指数单调上升形式，但由于是重极点，所以响应中增加了一项。
（4）过阻尼（tn n teξωω−1>ξ）响应特征根：122,1−±−=ξωξωnn s ，1()1T c t e 21T T =+−式中：2121(11)1(1T s T n n +=−=−−=ξωξξω，解：从响应曲线明显可以看出，在单位阶跃函数作用下，系统响应的稳态值为数形式应为：，而是3，因此系统 的传递函n 22ns 2s3)s (ωξωω++=Φ⎪⎪⎩⎪⎪M ⎨⎧−===×−=×∞∞−=2n p p p1)s (1.0t %100334%100)(c )(c )t (c %ξωπ]K +《自动控制原理》电子教案 解：系统地闭环传递函数为：4T K K ●系统传递函数的开环极点的实部均小于零，从s 平面来看，所有极点均位于其左半平面，则其模态就会随着时间t 的增长而衰减，最终消失。
系统响应的自由运动分量（即能得到稳态响应）能够消失的称为稳定系统，因此系统的稳定性由其全部极点的位置来决定。
●对于稳定的系统，即所以极点均位于S 左半平面，每个极点所对应的运动模态，随着时间t 衰减的因此（3比重”，因而也就影响系统响应的曲线形状，因此也就会影响系零点离极点较远时，相应于该极点模态所占的比重较大，离极点较近时，相应于该极点模态所占的比重较小。
二阶系统的阶跃响应
由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快， 因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲 线的包络线进入误差带时，调整过程结束。
当t=t’s时，有：
e nts %
1 2
C(t)
1 1 1 2 e nt 1 1 2
1
Δ=5
ln( 1 2 %)
ts
tr
1
d
tg 1(
1 2
)
tg1( 1 2 ) tg1( 1 2n )
n
tg( ) n
1 2
n
tg1( 1 2 )
1 2
tr
d
n 1 2
称为阻尼角，这是由于 cos 。
20
n
n
jn 1 2
180
jn 1 2
3.3 二阶系统的阶跃响应
c(t) 1
1
e e ( 2 1)nt
( 2 1)nt
2 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
特征方程还可为
12
s2
2
ns
2 n
(s
1 )(s T1
1 T2
)
3.3 二阶系统的阶跃响应
两阶系统的瞬态响应
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
这里 T1 T2
，
2 n
1 T1T2
3.3 二阶系统的阶跃响应
第三节 二阶系统的阶跃响应
1
3.3 二阶系统的阶跃响应
一、典型二阶系统的数学模型
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程
中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化
二阶系统瞬态响应和稳定性分析
2020年第10期136信息技术与信息化电子与通信技术二阶系统瞬态响应和稳定性分析李明辉* LI Ming-hui摘 要 在控制工程中，二阶系统的应用极为普遍，其重要性不言而喻。
本文利用MATLAB 软件对二阶系统三种阻尼情况下的响应及稳定性情况进行分析，并结合磁盘驱动读取系统具体分析其在实际工程中的应用，仿真结果直观明了。
关键词 磁盘驱动读取系统；二阶系统；稳定性doi：10.3969/j.issn.1672-9528.2020.10.043* 泰州学院 江苏泰州 225300[基金项目] 泰州学院2020年大学生创新训练计划项目校级项目（项目编号：2020CXXL049）0 引言在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术展现出愈加关键的作用。
如何对控制系统进行设计分析已得到广泛关注[1-3]。
实际工程之中有许多控制系统都可以建立起高阶系统[4-6]，但在某些条件下，可以忽略一些次要因素，把高阶系统视为二阶系统来研究[7]。
因此，分析和理解二阶系统特点有着重要意义。
1 原理及说明典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统如图1所示。
图1 典型Ⅰ型二阶单位反馈闭环系统Ⅰ型二阶系统的开环传递函数为：（1）Ⅰ型二阶系统的闭环传递函数标准式为：（2）其中，为自然频率（无阻尼振荡频率），为阻尼比。
2 二阶系统的单位阶跃响应令（2）式的分母为零，得到二阶系统的特征方程，可以发现值的大小决定了二阶系统的特征根。
当，说明方程有两个实部大于0的特征根，系统单位阶跃响应为：式中，。
或者因为阻尼比，指数部分为正，该系统的动态过程展现为发散正弦振荡或单调发散，说明系统是不稳定的。
当，那么方程有一对纯虚根，，与s 平面上一组共轭极点照应，系统的阶跃响应为等幅振荡，该系统对应无阻尼状态。
当，那么特征方程有一对共轭复根，，与s 平面左半部分的共轭复数极点照应，其阶跃响应是一个衰减的振荡过程，该系统对应欠阻尼状态。
当，特征方程有两个相等的负实根，，与s平面负实轴上的两个相等的实极点照应，其阶跃响应非周期地趋于稳态输出，系统处于临界阻尼状态。
33-4 5 高阶系统时域响应及线性系统的稳定性PPT资料24页
C (s)K (sz1 )s(z2) (szm ),nm R (s) (sp 1 )s(p2) (sp n )
（3-43）
式中, z1 , z2 , zm 为闭环传递函数的零点; p 1 , p 2 , p n
为闭环传递函数的极点。令系统所有的零极点互不相同，且
j1
k1
q
C s
A j r B ksk nk C k nk 1 k 2
j 1sp j k 1
s2 2k nsk n 2k
g t q A je p jt rB k e k n tc k n o 1 k k 2 s t C k e k n ts k n i1 n k k 2 t
C (s ) 特 解A s 0 稳j态q 1 分s A 量jp j零 状k r 态1B 响k ( 应s 强s 2 k 制 n 分2 )量k n C s k nn 2 k 1 k 2
对上式拉氏反变换得
q
r
C(t)A0 Ae j pjt Be k kntkcosnk 1 k2t
《自动控制理论》 网址：
§3 控制系统的时域分析
§3.1 典型的试验信号 §3.2 一阶系统的时域响应 §3.3 二阶系统的时域响应 §3.4 高阶系统的时域响应 §3.5 线性定常系统的稳定性 §3.6 劳斯稳定判据 §3.7 控制系统的稳定误差
课程回顾
《自动控制理论》 网址：
§3.5.2 稳定的充要条件
根据系统稳定的定义，若 limk(t)0 ,则系统是稳定的。
t
必要性： (s)M (s)b m (sz1)(sz2) (szm )
D (s) a n (s1)(s2) (sn )
3-2 测试系统的特性-静态与动态特性1
3.3 测试系统的动态特性
机械工程测试技术
h (t )
M 超调量
时域性能指标
允许误差 ±Δ
1.0 h(∞) 0.9 h(∞ )
td
0 .5 h(∞)
延 时 时 间
0.05或0.02
0.1 h(∞) 0
t r 上升 时间 t p 峰值时间 t s 调整时间
t
3.3 测试系统的动态特性
机械工程测试技术
本课程中研究的测试系统都是定常线性系统，可以 用常系数线性微分方程来描述该系统以及输入x(t)和 输出y(t)间的关系。
对于一个线性系统如何更有效的描述 装置的特性与输出、输入的关系？
利用微分方程来描述有许多不便。如果通过拉氏变换 建立与其相应的“传递函数”，通过傅氏变换建立与 其相应的“频率特性函数”，就可更简单、有效地描 述装置的动态特性和输出与输入之间的关系。
0.5
1
1.5
2
2.5
0
0.5
1
1.5 (c)
2
2.5
3
3 t
叠加特性示例
3.3 测试系统的动态特性
机械工程测试技术
b)比例性 常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常 数倍，即 若 x(t) → y(t) ， 则 kx(t) → ky(t)
10 5
20 10 mm 0 -10
0 0.5 1 1.5 (a) 2 2.5 3
y
Y ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 H ( s) X ( s) an s n an 1 s n1 a1 s a0
H(s)与输入及系统的初始状态无关，只表达测试 系统的传输特性。对于具体系统，H(s)不会因输 入变化而不同，但对于任一具体输入都能确定地 给出相应的、不同的输出。
二阶系统课程设计
二阶系统课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握二阶系统的理论知识，能够运用二阶系统解决实际问题。
具体分为以下三个部分：1.知识目标：学生需要掌握二阶系统的定义、特点和应用；了解二阶系统的求解方法和相关理论。
2.技能目标：学生能够运用二阶系统的理论知识分析和解决实际问题；能够熟练使用相关软件工具进行二阶系统的分析和设计。
3.情感态度价值观目标：培养学生对科学研究的兴趣和热情，提高学生的问题解决能力和创新意识。
二、教学内容根据课程目标，本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.二阶系统的定义和特点：介绍二阶系统的定义、特点和应用领域，使学生了解二阶系统的基本概念。
2.二阶系统的求解方法：讲解二阶系统的求解方法，包括解析法和数值法，让学生学会求解二阶系统的方法。
3.二阶系统的分析和设计：介绍二阶系统的分析和设计方法，使学生能够运用二阶系统解决实际问题。
4.相关软件工具的使用：教授相关软件工具的使用方法，让学生能够熟练使用工具进行二阶系统的分析和设计。
三、教学方法为了实现课程目标，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：通过讲解二阶系统的理论知识，使学生掌握基本概念和理论。
2.讨论法：学生进行小组讨论，引导学生主动思考和探索，提高问题解决能力。
3.案例分析法：分析实际案例，让学生学会将理论知识应用于实际问题的分析和设计中。
4.实验法：让学生动手进行实验，培养学生的实践能力和创新意识。
四、教学资源为了支持课程内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统的理论知识学习。
2.参考书：提供相关领域的参考书，丰富学生的知识体系。
3.多媒体资料：制作精美的多媒体课件，提高学生的学习兴趣和效果。
4.实验设备：准备实验所需的设备，让学生能够进行实践活动，提高实践能力。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等多个方面，以全面、客观、公正地评价学生的学习成果。
二阶系统特征参数对系统性能的影响[汇总]
![二阶系统特征参数对系统性能的影响[汇总]](https://img.taocdn.com/s3/m/5676e14fbf23482fb4daa58da0116c175f0e1e92.png)
实验三二阶系统特征参数对系统性能的影响一．实验目的ω,ξ）对系统性能的影响；1．研究二阶系统特征参量（n2．研究斜坡输入作用下二阶系统的静态误差。
二．实验内容ω＝12.5保持不变，分别测试阻尼系数不同时系统的特1．搭建二阶系统，将特征参量nω不同时系统的特性；性；再将特征参量ξ＝0.4保持不变，分别测试固有频率n2．测试斜坡输入作用下二阶系统的静态误差，将输入强度即斜率不变，改变开环增益；再将开环增益不变，改变输入强度即斜率。
三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。
如果选用虚拟示波器，只要运行ACES程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分。
1．观测特征参量ξ对二阶系统性能的影响实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、实验电路A2、实验电路A3。
ω＝12.5：二阶系统模拟电路如图1-3-1所示，其固有频率nω＝12.5)图1-3-1二阶系统模拟电路(n（1）设置阶跃信号源：A．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V”；B．将阶跃信号区的“0～5V”端子与实验电路A3的“IN32”端子相连接；C．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V”端子产生阶跃信号。
（2）搭建二阶系统模拟电路：A．将实验电路A3的“OUT3”端子与实验电路A1的“IN11”、“IN13”两端子同时连接，将A1的“OUT1”与A2的“IN21”相连接，A2的“OUT2”与A3的“IN33”相连接；B．按照图1-3-1选择拨动开关：图中：R1=200K、R2=200K、R3=200K、R4=100K、R5=64K、R6为可选电阻、R7=10K、R8=10K、C1=1.0uF、C2=1.0uF将A3的S5、S6、S10，A1的S3、S6、S9，A2的S3、S8拨至开的位置；C．当R6＝50K时，二阶系统阻尼系数ξ＝0.8，将A2的S15拨至开。
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
346劳斯稳定判据
《自动控制理论》 网址：
例1： 已知一调速系统的特征方程式为
s3 41.5s2 517s 2.3104 0
试用劳斯判据判别该系统的稳定性。
解 列劳斯表
s3
1
s2
41.5
517
0
2.3 104
0
s1
34.6
s0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
《自动控制理论》 网址：
§3.6 劳斯稳定判据
控制系统稳定的条件是其特征根均需具有负实部。因 此判别系统稳定与否，就变成求解特征方程的根并校验其 特征根是否都具有负实部的问题。
但是当系统阶次高于3时，在一般情况下，求解其特征 方程将会遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程， 并按求得的特征根分析系统稳定性的方法是极不方便的。
《自动控制理论》 网址：
例5： D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0
解：列劳斯表
s5 1 12
s4 3 20
s3
16 3
80 3
s2 5
25
35 25
出现全零行时：
用3上123一2行0元13素6 组成3辅353助2方5程 8，30 1将用6其新201对方6程S3求的8导0系一5数次代16，替21全56零3行0系 25 5数，805之13后6继25续运0 算。
184 3310 184 33
10
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。
(2) 劳斯判据特殊情况处理
《自动控制理论》 网址：
例3：D(s)=s3-3s+2=0，判定在右半s平面的极点数。
弹簧-阻尼系统系统阶跃响应曲线3北京科技大学自动化学院
19
3.2 一阶系统的时域分析
2）单位斜坡响应
当输入信号
u(t)
t 1(t) 时，U (s)
1 s2
系统输出量的拉
氏变换为：
1 1 1 T T2
Y(s)
(s)U (s)
Ts 1
s2
s2
s
Ts 1
对上式取拉氏反变换，得单位斜坡响应为：
t
y(t) (t T Te T )1(t)
2019年9月6日1时51分
北京科技大学自动化学院自动化系
12
动态性能指标定义1
h(t)
A
超调量σ% =
A B
100%
峰峰值值时时间间ttpp BB
时时上上间间升升ttrr 调调节节时时间间ttss
t
2019年9月6日1时51分
北京科技大学自动化学院自动化系
13
动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts 上升时间tr
调节时间ts: 在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，
称为调节时间。
ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态 所需的时间越短。
2019年9月6日1时51分
北京科技大学自动化学院自动化系
11
3.1 典型输入信号与时域性能指标
超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值
之比。即
h(t ) h()
% p
100%
h()
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量过大将 使系统元件工作于恶劣条件，同时加长了调节时间。
振荡次数N：在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
(第05讲) 第三章 一阶系统响应
) 1( t )
1 t T
e ( t ) x i ( t ) x o ( t ) T (1 e
)
所以一阶系统跟踪单位斜坡 信号的稳态误差为：
e s s lim e ( t ) T
t
06-7-20
时域瞬态响应分析
17
上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和 输出信号的变化率完全相同。
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应
x i ( t ) t 1( t )
X i (s) 1 s
2
X 0 (s)
1
1 T
Ts 1 s
t
1
2
1 s
2
T s
T s 1 T
单位斜坡响应为： x o ( t ) ( t T Te 误差为： 误差传递函数为：
E (s) T s T s 1 T
06720时域瞬态响应分析06720时域瞬态响应分析34高阶系统的瞬态响应31时域响应以及典型输入信号32一阶系统的瞬态响应33二阶系统的瞬态响应06720时域瞬态响应分析时域分析法根轨迹分析法和频域分析法不同的方法有不同的特点和适用范围
第 五 讲
第三章 时域瞬态响应分析
06-7-20
时域瞬态响应分析
3T
0.95
4T
5T
…
…
1
0.632 0.865
0.982 0.993
ts=3T(s)， （对应5%误差带） ts=4T(s)，（对应2%误差带）
系统的时间常数T 越小，调节时间ts越小， 响应过程的快速性 也越好。
06-7-20 时域瞬态响应分析 14
第7章 简单系统的动态：一阶系统和二阶系统
R 速率（变化率）方程 速率方程无一定格式； 速率的值在DT时间内是不变的，其时间下标为KL。
A 辅助(Auxiliary)方程 辅助方程定义为在反馈系统中描述信息的运算式； “辅助”的涵义就是帮助建立速率方程。
C T N
赋值予常数 赋值予表函数中Y坐标 为LEVEL方程赋予初始值
LEV与RT的指数增长
正反馈——指数增长的重要特点
以不同大小的时间坐标范围观察指 数增长过程：
t≤15 Td 前，增长趋势不显著， t≥ 15 Td 后，状态变量猛然暴涨。
正反馈——超指数增长
如图，实线表示的非线性情况，其变化率的增长速度较虚线表示的 线性增长情况快得多，这种增长过程称为超指数增长。 系统时间常数变化的非线性系统比起线性系统具有更加突出的指数 增长特性。
L
R
RT.KL=CONST*DISC.K
A DISC.K =GL－LEV.K 式中：
负反馈系统的典型流图
DT——计算时间间隔(时间)； CONST——常数（1/时间）； LEV——状态变量（单位）； RT——速率（单位/时间）； DISC ——偏差（单位）； GL ——目标值（单位）
负反馈系统——参数推导
带有不变外生输入速率的负反馈系统
推导：
RT1.KL=CONST*（GL－LEV.K） RT2.KL=CRT NTRT.KL＝CONST*（GL－ LEV.K）+CRT
系统新的动态平衡
速率—状态变量关系曲线 当NTRT=0时， CRT=－CONST*(GL－LEV.K） =－CONST*GL+LEV*CONST LEV=NGL=（CRT/CONST）+GL 或以时间常数T(T=1/CONST)表示, NGL=T*CRT+GL 系统新的平衡值比原目标值GL增加了T*CRT
二阶系统过阻尼范围
二阶系统过阻尼范围
摘要：
一、二阶系统的概念
二、过阻尼范围的定义
三、过阻尼范围的特点
四、应用领域及案例
五、我国在二阶系统过阻尼范围的研究现状
六、未来发展趋势与挑战
正文：
二阶系统是指由两个线性时不变环节组成的系统，广泛应用于自动控制、通信、信号处理等领域。
二阶系统的过阻尼范围，是指系统在受到外部扰动时，经过一段时间后恢复到稳定状态的过程。
在这个过程中，系统的阻尼比大于1，能够快速消除外部扰动，使系统回到稳定状态。
过阻尼范围的特点是系统具有较快的响应速度和较强的抗干扰能力。
当系统处于过阻尼状态时，系统的输出可以迅速跟随输入信号的变化，且系统的稳定性得到有效保障。
因此，在实际应用中，过阻尼范围具有很高的实用价值。
二阶系统过阻尼范围在诸多领域都有广泛应用，例如在自动控制领域，可以用于调节机械设备的运动速度和位置，提高生产效率和产品质量；在通信领域，可以用于信号传输和滤波，提高信号质量和传输速率；在信号处理领域，可以用于信号降噪和特征提取，提高信号分析的准确性。
我国在二阶系统过阻尼范围的研究已取得一定的成果，不仅在理论研究方
面有所突破，还成功地将理论应用于实际工程项目。
然而，与国际先进水平相比，我国在该领域的研究仍有一定差距，尤其在新型材料、高性能计算等方面。
展望未来，二阶系统过阻尼范围的研究将会面临更多挑战，如系统的高维、非线性、时变特性等。
同时，随着新材料、新技术的不断涌现，二阶系统过阻尼范围的应用将更加广泛，为人类社会的发展做出更大贡献。
自动控制原理-二阶系统的响应
sin(ωd tr + β ) = 1
sin(ωd tr + β ) = 0
ωd t r + β = π
π −β π −β ∴ tr = = 2 ωd ωn 1 − ζ
17
其中：
S1+
−1
jω
β = cos ζ
β
ωn
jω n 1 − ζ
2
0
S 2+ ζω
n
σ
故增大自然振荡角频率或减小阻尼比， 都将减小上升时间。 2、峰值时间 t p
× 100%
4
ζ
t s (2%) =
ζω n
ωn
25
例1：如图所示系统，欲使系统的最大超调 量等于0.2，峰值时间等于1秒，试确定增益 K和K h 的数值，并确定在此K和K h数值下， 系统的上升时间 tr 和调整时间 t s 。
R( S )
+
−
−
K S ( S + 1)
C (S )
ζπ
1−ζ 2
1 + Kh S
σ% = e
× 100% = 0.2% 20%
26
∴ζ = 0.456
依题意：
π tp = = 1( S ) ωd ∴ωd = π (rad / S )
ωd
1− ζ
2
故 而
ωn =
= 3.53(rad / S )
2 n
ω C(S) K = 2 = 2 2 R(S) S + (KKh +1)S + K S + 2ζωnS + ωn
22
c(t ) = 1 −
e
−ζωn t 2
1− ζ
33二阶系统解析
➢单位阶跃响应的变化率为：
dc(t) dt
n2tent
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
➢ 单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2h(t) dt 2
dh(t ) max
e2 nt n
(1
nt )
0
dt
解得 t 1/。n ➢ 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时 间做为调整时间，则
（1）平稳性
主要由最大超调量 % 和振荡次数 表征。 增大， %减 小，平稳性变好；若 不变，n 增大，d 增大， 增大，平
稳性变差。
（2）快速性
主大要，由则上tr升越时长间，t快r 速和性调越节差时；间当ts
表征。当 n 一定时，
越短，快速性越好。而对于ts ，则与 和n
一定时， 越
n 越大，则 tr
讨论: (1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的 正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值
ζωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有 阻尼自振角频率ωd，
d n 1 2
(2)振荡周期为
Td
2 d
n
2 1 2
(3)ζ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。
(4)上升时间tr的计算：
dc(t)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
dt 2 2 1( 2 1)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1)
dc(t ) dt
0
0
t 0 t 0
自动控制原理4
s1 0.467
解此方程得
180(2k 1) 60,180
nm
a
5 3
（5）根轨迹与虚轴的交点 s(s 1 )s (4 )K g0
s j
令
j， 得( j 1)( j 4 ) K g 0
K g 5 2 0
4 3 0
2
K g 20
解之得
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点： K gOA CA D A 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大， 故取Kg=2.3可满足要求。
第四章小结:
根轨迹的定义
根 根轨迹的基本概念 根轨迹方程
幅角条件
轨
相角条件
迹
常规根轨迹的绘制原则（共10条）
Kg 6 2
经整理得
9.出射角与入射角
出射角：位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。
入射角：位于复平面上m 的开n环1 零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角。
出 180 ( i i )
j 1
i 1
m
n1
入 180 ( i i )
j 1
i 1
s 3 2 s 2 3 s K 2 s K 0
g。
，试确定系统的开环传递系数Ｋ
解：由已知条件画出根轨迹图如下所示：
当Kg=20时，闭环系统有一对极点位于
虚轴上，系 统处% 于 临1 界稳8 % 定状态。
根据超调量
的要求，代入
公式解得β=60°。在根轨迹上作β=60°
的径向直线，并与根轨迹交于A、B两点，
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s 1 ,2 b jn n j1 2n 0 . 3 5 j 0 . 61
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• 近似原则：用其中一个惯性环节近似原二 阶系统，需要保证近似前后初值和终值相 等，并且要用到待定系数法！
过阻尼系统稳态值和最终误差
c() lim sG(s)R(s) lim s
2
1 1;
s0
s0 (s s1)(s s2 ) s
e() 0 过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）
为二阶系统。
二、二阶系统的特征根（极点）分布 求解二阶系统特征方程，
s2 2ns n2 0
可得两个特征根（极点）
s1, s2 n n 2 1 ( 1) n jn 1 2 ( <1) j
j
[s]
s1
jn 1 2
讨论：
过阻尼系统是两个惯性环节的串联。
有关分析表明，当 1时，两极点s1和s2与虚轴的
距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性 环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该 惯性环节来近似原来的二阶系统。即有
C(s) n n 2 1 s1 R(s) s n n 2 1 s s1
s(s2
n2 2ns
n2 )
s(s
n2
s1 )( s
s2 )
A0 A1 A2 s s s1 s s2
A0
C(s)s s0
1
A1
C
(s)(s
s1
) s
s1
2
1
2 1(
2 1)
A2
C
(s)(s
s2
) s s2
2
1
2 1(
2 1)
拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：
c(t) 1
1
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1)
1
e( 2 1)nt (t 0)
2 2 1( 2 1)
稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和， 指数部分由系统传递函数极点确定。
s(s2
n2 2ns
n2 )
1 s
(s
s n n )2 (1
2 )n2
(s
n n )2 (1
2 )n2
1 s
(s
s n n )2 d2
n 0
s2
jn 1 2
(a) 0 1
j
[s]
s1
s2
0
(c) 1
j
[s]
s1 s2
n
0
(b) 1
j
[s]
s1
ห้องสมุดไป่ตู้n
0
s2
(d) 0
(1). 欠阻尼 0 1
s1, s2 n jn 1 2 是一对共轭复数根。
单位阶跃响应的变化率为：
dc(t) dt
n2tent
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0 dt t0
dc(t) 0
dt t
表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。
单位阶跃响应变化率最大的时刻：
d 2h(t) dt 2
dh(t ) max
e2 nt n
3.3 二阶系统的时域分析
一、 二阶系统数学模型及其标准形式
R(s) ＋
－
K1
s 1
K2
C(s)
s
RLC电路、电动机转速控制系统
R(s)
n2 s2 2ns n2
C(s)
G(s) C(s)
K1K2
R(s) s2 s K1K2
• 典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分 环节串联的单位负反馈系统。
(1
nt
)
0
dt
解得 t 1/ n 。 整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调 增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时
间做为调整时间，则
ts
1 4.7
n
临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。
3. 欠阻尼(0<ζ<1) 此时，系统具有一对共轭复数极点，则
C(s)
•令
K1K2
n2
1
2n
则二阶系统传递函数的标准形式为
G(s)
C(s) R(s)
s2
n2 2n s
n2
其中ζ称为阻尼比，τ为时间常数，ωn为系统的自然 振荡角频率（无阻尼自振角频率）。
注意： • 控制工程中，二阶系统的典型应用极为普
遍； • 为数众多的高阶系统在一定条件下可近似
ts (3 ~ 4)
(
1
2 1)n
单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。
过阻尼系统单位阶跃响应的变化率
dc(t)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
dt 2 2 1( 2 1)
( 2 1)n
e( 2 1)nt
2 2 1( 2 1)
dc(t ) dt
0
0
t 0 t 0
所以，整个暂态过程中， 阶跃响应都是单调增长的.
2. 临界阻尼(ζ＝1)
此时，系统具有二重负实极点，则
C(s)
n2
A0 A1
A2
s(s n )2 s s n (s n )2
A0 1
A1
d ds
C
(s)(s
n
)2
s n
1
A2 C(s)(s n )2 sn n
单位阶跃响应为
c(t) 1 ent (1 nt)
临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值
e(t) r(t) c(t) ent (1 nt) e() 0
(2). 临界阻尼 1
s1, s2 n (3). 过阻尼 1
是两个相同的负实根。
s1, s2 n n 2 1 是两个不同的负实根。
(4). 无阻尼 0
s1, s2 jn 是一对共轭纯虚数根。
三、二阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
于是
r(t) 1(t)
R(s) 1 s
C(s)
s2
n2 2ns n2
1 s
由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为
c(t) L1[C(s)]
下面按阻尼比分别讨论。
1. 过阻尼(ζ>1)
n n 2 1
这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则
C(s)