高等数学等价无穷小替换
分式中等价无穷小代换规则
分式中等价无穷小代换规则
分式中等价无穷小代换规则是高等数学中的一个重要概念，在分析数学、微积分、常微分方程等领域都有广泛的应用。
换言之，在这些领域中，当分式分母的值非常小或趋于0时，等价无穷小代换规则可以帮助我们简化计算，得到更加精确的结果。
具体来说，等价无穷小代换规则的公式如下：
设$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小，并且有$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$。
这个规则可以解释为，当$f(x)$和$g(x)$的极限趋于0时，我们可以将$f(x)$与$g(x)$视为等价的；即$f(x)$在$x$趋近于$a$时与$g(x)$的表现近乎相同。
在实际计算过程中，我们可以将分式中的
$f(x)$替换为$g(x)$来简化计算，而不会对结果产生显著的影响。
要注意的是，该规则只适用于$x$趋近于$a$的情况。
在其他情况下，等价无穷小代换规则可能不适用，因此需要确定当$x$趋近于
$a$时函数的极限。
总的来说，等价无穷小代换规则是分析数学中非常重要的一个概念，可以方便准确地计算数学问题。
在实际应用中，需要灵活掌握这个规则的使用方法，并在合适情况下进行判断。
等价无穷小替换_极限的计算
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学中，等价无穷小是指两个无穷小在某一极限下的比值趋近于1。
等价无穷小替换公式是指在极限运算中，可以用一个等价无穷小代替另一个等价无穷小，而不改变极限的值。
以下是一些常见的高等数学等价无穷小替换公式：
1. 当x趋近于0时，sin(x)和x等价。
即：sin(x) ~ x。
2. 当x趋近于0时，tan(x)和x等价。
即：tan(x) ~ x。
3. 当x趋近于0时，1-cos(x)和x等价。
即：1-cos(x) ~ x。
4. 当x趋近于0时，e^x-1和x等价。
即：e^x-1 ~ x。
5. 当x趋近于0时，ln(1+x)和x等价。
即：ln(1+x) ~ x。
6. 当x趋近于0时，arcsin(x)和x等价。
即：arcsin(x) ~ x。
7. 当x趋近于0时，arctan(x)和x等价。
即：arctan(x) ~ x。
8. 当x趋近于0时，(1+x)^a-1和ax等价。
即：(1+x)^a-1 ~ ax。
9. 当x趋近于0时，(1+x)^n-1和nx等价。
即：(1+x)^n-1 ~ nx。
以上就是高等数学中常用的等价无穷小替换公式，掌握这些公式对于解题和理解极限概念都非常有帮助。
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高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n r 数列x n的极限、X—；（X r •: :、X-:-'）函数f x 的极限、X—x0（X-x0、X—乞一）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用x > *表示上述七种的某一种趋近方式，即* x_ x— x 、-： x- x0 x- X Q x- x0_;定义：当在给定的x > *下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x > *下的无穷小，即xm f(x)=o。
例如,V I X m o sinx = o,二函数sinx是当XT 0时的无穷小.lim - = 0^函数-是当x—• 时的无穷小.x—x x■■■ lim。
^ =0, 数列｛-^―^｝是当n—；二时的无穷小.—n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的X—. *下，f x无限增大，则称f x是X—. *下的无穷大，即lim* f(x)=°°。
显然，n T血时，n、n2、n3、…都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim e x = 0，lim e x：X x :.所以e x当x >时为无穷小，当x、时为无穷大。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学的学习中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在求极限等问题中有着广泛的应用。
等价无穷小的本质是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
下面我们来介绍几个常用的等价无穷小公式。
当$x ＼to 0$时，有以下几个常见的等价无穷小：1、＄＼sin x ＼sim x$这意味着当$x$趋近于 0 时，＄＼sin x$和$x$的比值趋近于 1。
我们可以通过泰勒展开来理解这个等价关系。
＄＼sin x$的泰勒展开式为$x ＼frac{x^3}｛3!｝＋＼frac{x^5}｛5!｝＼cdots$，当$x$很小时，高次项可以忽略不计，所以$＼sin x$近似等于$x$。
2、＄＼tan x ＼sim x$同理，＄＼tan x$在$x ＼to 0$时，也与$x$等价。
因为$＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x}＄，而$＼cos x ＼to 1$（当$x ＼to 0$），所以$＼tan x$与$＼sin x$在$x ＼to 0$时具有相似的性质。
3、＄＼ln(1 ＋ x) ＼sim x$对于对数函数$＼ln(1 ＋ x)＄，当$x ＼to 0$时，它与$x$等价。
我们可以通过对$＼ln(1 ＋ x)＄进行泰勒展开来证明这一点。
4、＄e^x 1 ＼sim x$指数函数$e^x$在$x ＼to 0$时，＄e^x 1$与$x$等价。
因为$e^x$的泰勒展开式为$1 ＋ x ＋＼frac{x^2}｛2!｝＋＼frac{x^3}｛3!｝＋＼cdots$，所以$e^x 1$在$x$很小时近似等于$x$。
5、＄1 ＼cos x ＼sim ＼frac{1}｛2}x^2$当$x ＼to 0$时，＄1 ＼cos x$与$＼frac{1}｛2}x^2$等价。
同样可以通过$＼cos x$的泰勒展开式来理解。
这些等价无穷小公式在求极限时非常有用，能够大大简化计算。
例如，计算$＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄，由于$＼sin x ＼sim x$（当$x ＼to 0$），所以该极限的值为 1。
高等数学等价替换公式
根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。
x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。
∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。
例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n 数列x n的极限、x （x 、x ）函数f x 的极限、x x°（x x0、x x0 ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用夫表示上述七种的某一种趋近方式，即n x x xX X Q XX Q XX O定义：当在给定的x 文下，f (x)以零为极限，则称f(x)是x 大下的无虹，即如fx°。
lim 1 0, 函数1是当x 时的无穷小【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的X 大下，f x 无限增大，则称f x 是x 大下的五 空左，即lim f x。
显然，n 时，n 、n 2、n 3、都是无穷大量，x 大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是 无穷大,如xxJim e 0, Jim e ,所以e x 当x 时为无穷小，当x 时为无穷大。
2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x 为无穷大，则产为无穷小；反之，如果f x 为无穷小，且f x 0,则产为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是 无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应 给出自变量的变化趋势。
x-lnx等价无穷小替换公式
x-lnx等价无穷小替换公式摘要：1.等价无穷小替换公式的概念与意义2.等价无穷小替换公式的应用步骤3.等价无穷小替换公式在极限计算中的作用4.举例说明等价无穷小替换公式的运用5.总结与展望正文：一、等价无穷小替换公式的概念与意义在高等数学中，等价无穷小替换公式是一种求极限的方法，它将复杂函数的极限问题转化为简单函数的极限问题。
所谓等价无穷小，指的是当自变量趋于某个值时，两个函数的比值趋于1。
在这种情况下，我们可以说这两个函数是等价无穷小的。
等价无穷小替换公式就是利用这种等价关系，将原函数中的部分替换为与之等价的函数，从而简化极限问题的求解。
二、等价无穷小替换公式的应用步骤1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项。
2.验证等价无穷小关系，即验证两个函数的比值趋于1。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分，得到一个新的函数。
4.求解新函数的极限，得到原函数的极限。
三、等价无穷小替换公式在极限计算中的作用等价无穷小替换公式在极限计算中的作用主要体现在以下几点：1.简化极限问题：通过将复杂函数替换为简单函数，降低了求解难度。
2.提高计算效率：利用等价无穷小替换公式，可以避免复杂的数学推导和计算。
3.拓宽求解范围：对于一些直接求解困难的极限问题，通过等价无穷小替换公式，可以转化为更容易求解的问题。
四、举例说明等价无穷小替换公式的运用例如，求极限：当x趋于0时，sinx/x的极限为1。
解析：1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项：sinx和x。
2.验证等价无穷小关系：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，满足等价关系。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分：将sinx替换为x，得到新函数x/x。
4.求解新函数的极限：当x趋于0时，x/x的极限为1。
因此，原函数sinx/x的极限也为1。
五、总结与展望等价无穷小替换公式是高等数学中求解极限的一种重要方法。
通过寻找合适的等价无穷小项，将原函数简化，从而降低求解难度。
在实际应用中，掌握好等价无穷小替换公式，能够帮助我们更快地解决各种极限问题。
高等数学等价无穷小替换
无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
高等数学 第二章 极限与连续 2.7 利用等价无穷小量代换求极限
高等数学—第二章
极限与连续
基础课教学部 数学教研室
第七节 利用等价无穷小量代换求极限
0,
是 的高阶无穷小
lim ,
是 的低阶无穷小
C(0), 是 的同阶无穷小
1,
是 的等价无穷小
lim kC0,
是 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小： 当x0时 ,
故 31 xsinx 1 1xsinx (x 0)
3
a r c t a n x 2 x 2 (x 0)
所以，原式
1 xsin x
lim 3
x x0
2
1 sinx lim
x0 3 x
1. 3
例4 求 litm ax nsixn . x 0 si32 n x
错解： 当 x 0 时 ,tx a ~ x ,s n x ~ i x . n 原式 lx i0m (x2 x)x3 0.
2
1
例2 求 lim(1x2)31. x0 coxs1
解：当 x 0时 ,
(1x2)1 31~1
1
原 式 lim3
x
2
2
x 0
1 2
x2
3
例3 求
3 1xsinx1 lim
x0 arctanx2
解：因当
x0时， 3 1x 1～
1 3
x
arctanx～x,
例如， lia m rx c s1 i s l n iix n s m 1 i 0 n
x 0
xx 0 x
例1 求 lim ta2n 2x.
x 01coxs
解：当 x 0 时 ,1 cx ~ o 1 x 2 , s t2 a x ~ 2 x n .
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
无穷小的比较【高等数学PPT课件】
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小的比较
例如, 观 察 各 极 限
不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义:
例如，
例1 解
例2 解
二、等价无穷小替换
定理1 (等价无穷小替换定理)
证：
例3 解
注： 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘 积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作 等价无穷小替换，而不会改变原式的极限．
例4 解
切 不能滥用等价无穷小替换.
只可对函数的因子作等价无穷小替换，
记
而对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例5 错解
解
常见的等价无穷小
例6. 求 解:
例7 解作业 习 题 六 、二习 题 七 一、三
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无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如,,0sin lim 0=→x x Θ.0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ.1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n Θ.})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时，Λ、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α=+)(lim 0x A x x α→+=.A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如n n 1,,∞→.11不是无穷小之和为个但nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x x xx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义:设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x xx x →30)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→Θ)cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ；（2）x arcsin ～x ；（3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ；（5）)1ln(x +～x ；（6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ（9）1x a -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβΘ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim (αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=limlim lim .lim αβ''= 例3 （1）.cos 12tan lim 20xxx -→求；（2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解:.~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解:,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim(2)x x x ®=.161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim0xx x x +-→求解:),(5tan x o x x +=Θ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=- 原式22015()()2lim3()x x o x x o x x o x ®+++=+xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim 20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xxx x x x424lim 22--=→x x x ()()()2222lim2--+=→x x x x 2=又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373lim lim 142422x x x x x x x x xx +-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110ΛΛ又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n n n n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，()0131arctan lim2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim21-+-→x x x x 求解：)32(lim 21-+→x x x Θ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x Θ又,03≠=1432lim 21--+∴→x x x x .03==由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x)1(lim )(lim 0x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 200+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等,.1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin x yx x?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0Λ=+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，),3,2,1,0(21)2(0Λ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当ππk k x y k 2sin 2)(=但.0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证.例x x f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x .01lim ==+∞→A x x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =xxx g sin )(=都是无穷小量但=+∞→)()(lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x （2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】“0”型，拆项。