七年级下册数学因式分解之提取公因式法.
《用提公因式法进行因式分解》数学教学PPT课件(2篇)
结论总结
1.找出多项式各项公因式的方法： 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的
最大公约数。 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一
个，即字母最低次幂。
结论总结
2.提公因式法分解因式步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的 乘积）；
寻找公因 式的关键: 1、定系数 2、定字母 3、定指数
3
系数：最大
2指数：取最低的 x
字母：
公约数
相同字
所以，公因式母是 3x2
公因式的系数：应该取各项系数的最大公约数。
公因式的字母：要取各项中的相同字母。
公因式的指数：相同字母取最低次数。
下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3
下列各多项式的公因式是什么？
(4) 9m2n - 6mn
单项式
(5) -6x2y - 8xy2
公因式
(6) 4(m+n)2
+2(m+n)
多项式
例1.把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
第一步，找出公因式， 把多项式各项写成公 因式与一个因式的积； 第二步，提取公因式 ， 剩余的因式组成另一
式因式与多项式因式的积？ 2、结果中每个多项式是不是
例2.把 -4x3 –12x2 +4x 分解因式.
× =-2x(2x2+6x-2)
公因式要提 尽
提公因式法中应注意什么？
（1）公因式要提尽 （2）小心漏掉1 （3）当多项式的第一项为负数时，通常要先 把符号提出来，注意括号内的各项都要变号。
七年级数学提公因式法
例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
3a 3a a 9ab 3a 3b
2
温馨提示 分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
（2）把8a3b2+12ab3c分解因式 .
分析:先找出各项的公因式,然后再分解. 公因式： 4ab2
互逆
分解因式要注意什么？ 1 分解的对象必须是多项式. 2 分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3 要分解到不能分解为止.
1、什么叫因式分解？ 2、提公因式法分解因式步骤(分两步) 3、确定公因式的方法 4、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽 （2）小心漏掉 （3）多项式的首项取正号
a b
如果一个多项式的各项含有公因 式，那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形 式.这种分解因式的方法叫做 提公因式法.
多项式2x2+6x3，12a2b3-8a3b2-16ab4 各项的公因式是什么？
你是如何确定的？（小组总结）
确定公因式的方法： 1、定系数：公因式的系数是多项 式各项系数的最大公约数。
2、定字母：字母取多项式各项中都 含有的相同的字母。
3、定指数：相同字母的指数取各项 中最小的一个，即最低次幂。
公因式要提尽
例: 找 3 x
2
– 6 xy 的公因式。
定系数
3
定字母
x
1 定指数
所以，公因式是3 x 。 思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？
用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
=3(x+2)
七年级数学下册第3章因式分解提公因式法说课稿新版湘教版20210428258
提公因式法一、教材分析：（一）教材所处的地位与作用这节课是七年级下册第三章第二节《提公因式法》第一课时。
学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。
它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用（二）目标分析：A：知识与技能目标：了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.B：过程与方法目标：经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归的思想方法C：情感与价值观目标：培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。
二、本课内容及重点、难点分析：，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和应用公式法．每一节课的引入，立足渗透类比这种重要的思想方法．通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等．另外本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，如观察多项式x2- 25和9x2- y2，它们有什么共同特征？能否将它们分别写成两个因式的乘积？与同伴交流你的想法等，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力.本章在呈现形式上力求突出：通过因数分解与因式分解的类比，让学生体会、理解、认识因式分解的意义；设置了对比整式的乘法来探索因式分解方法的相关活动，让学生感受整式乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值；通过设置恰当的有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次学生的学习需要.学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备，虽然内容简单，课时也较少，但是，分解因式问题的提出，实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用，逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法，而且也是人们发现问题的重要方法（发现问题比解决一个问题更重要）.教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。
七年级同步第10讲：提取公因式法、公式法分解因式-学生版
学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法和公式法是因式分解的基本而又重要的两种方法．1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也提取公因式法、公式法内容分析知识结构知识精讲模块一：提取公因式法叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．3、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法．4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式． 6、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．例题解析（1）()()22x y x y x y +-=-；（2）()322x x x x x x +-=+；（3）()23232x x x x +-=+-；（4）()()111xy x y x y +++=++．【例2】 指出下列各式中的公因式： （1）43224832a a b a b -，，； （2）2318m m a a -，； （3）()()()23369a b a b a b ++-+，，．【例3】 分解因式： （1）2368a a -； （2）322618m m m -+-； （3）2124ad bd d --+．【例4】 分解因式： （1）32228x y x y +；（2）22462a b ab ab --；（3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+．【例5】 分解因式：23229632x y x y xy ++．【例6】 把下列各式分解因式： （1）()()43x x y x y +-+；（2）()()2343x x y y x -+-；（3）()()()()32522322x y x y -----．【例7】 把下列各式分解因式： （1）()()68a m n b m n -+- ；（2）()()23m x y n y x -+-；（3）()()22a b x y ab x y -+-；（4）()2a b a b --+ ．【例8】 把下列各式分解因式： （1）()()33113510m m ab a b a b b a +----；（2）()()()223222122418ab x y a b y x ab y x -+-+-．【例9】 分解因式：()()93168a x yb y x -+-．【例10】 分解因式：()()()222224168xy z x y z xyz z x y xy z x y +----+--．【例11】 先化简再求值：()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =．【例12】 已知3210x x x +++=，求100999897x x x x +++的值．【例13】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．【例14】 把下列各式分解因式：模块二：公式法例题解析知识精讲（1）2119x -；（2）22114100m n -； （3）422591616x y -+．【例15】 把下列各式分解因式： （1）214a a --- ； （2）22269x y xyz z -+．【例16】 分解因式：（1）()()2222a b a b +--； （2）()()227216a b a b --+；（2）（3）()()2294a b c d a b c d +++--+-．【例17】 分解因式 （1）3312x x -；（2）2654a b b -；（3）()()3922x y x y ---．【例18】 分解因式：4416168125m n -．【例19】 把下列各式分解因式：（1）229991001-；（2）22119910022⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【例20】 把下列各式分解因式：（1）2(2)10(2)25x y y x -+-+； （2）3241616m m m -+-．【例21】 分解因式：()()222248416x x x x ++++．【例22】 把下列各式分解因式：（1）()222224x y x y -+； （2）()()22114m n mn --+．【例23】 分解因式：1144n n n x x x +--+．【例24】 已知()222410a b a b +--+=，求()20062a b +的值．【例25】 证明：两个连续奇数的平方差能被8整除．师生总结【习题1】 观察下列从左到右的变形：（1）()()3322623a b a b ab -=-； （2）()ma mb c m a b c -+=-+；（3）()22261266x xy y x y ++=+； （4）()()22323294a b a b a b +-=-． 其中是因式分解的有__________（填括号）．【习题2】 分解因式：（1）22242x y xy xy -++； （2）23364xy x y xy -+-；（3）423322222452790x y z x y z x y z -++．随堂检测【习题3】 分解因式：（1）2292416x xy y -+； （2）2844a a --．【习题4】 分解因式：（1）()()x a b y a b +++； （2）()()222a x y b x y ---； （3）()()233x y y x --+-； （4）()()()2x a b y b a a b -+---．【习题5】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【习题6】 求代数式的值：()()()()()()22322132212123x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-．【习题7】 分解因式：()()()()()322x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----．【习题8】 分解因式（1）()()222391x x +--； （2）()()2222223553a b a b --+-．【作业1】 下面从左到右的变形哪些是因式分解？（1）()23632x xy x x y -=-； （2）()()225525x y x y x y -+=-； （3）()()2222a b c a b a b c -+=+-+； （4）221xy x y x xy y x y ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭．【作业2】 分解因式：（1）22624a x ax +；（2）223mn m n m n -+-； （3）29363m n mn n -+-；（4）322443151020x y x y x y -+-．【作业3】 分解因式：（1）()2211a b b b b -+-+-； （2）()()()3x a b y b a b a -+---；课后作业（3）()()23x a b y b a ---； （4）()()()262x y x y x y +--+．【作业4】 利用因式分解计算：（1）23.98 3.98 3.97-⨯；（2）81031010⨯-．【作业5】 分解因式：（1）()()222169m n m n --+；（2）()()224252m n m n -++-．．【作业6】 分解因式：（1）211216mm-+；（2）()()()()222232333x x x x++++++．。
沪科初中数学七下 《因式分解《提公因式法》教案 (公开课获奖)2022沪科版2
《提公因式法》教学目标：1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式.教学重难点教学重点：因式分解的概念及提取公因式法.教学难点：多项式中公因式确实定和当公因式是多项式时的因式分解.教学设计：〔一〕新课引入：回忆：运用所学知识填空〔1〕x 〔x +1〕= 〔2〕〔x +1〕〔x -1〕=〔3〕2ab 〔a 2+b +1〕=反之：〔1〕x 2+x = 〔2〕x 2-1=〔3〕2a ³b +2ab ²+2ab =观察以下式子的特点：〔1〕15=3×5〔2〕18=2×32 〔3〕x 2+x=x 〔x+1〕〔4〕x ²-1=〔x+1〕〔x-1〕〔5〕2a ³b +2ab ²+2ab =2ab 〔a ²+b +1〕由分解质因数类比到分解因式.〔二〕新知学习：1、分解因式的概念，与整式乘法的关系.稳固概念：判断以下各式从左到右哪些是因式分解？〔1〕m 〔a +b 〕=ma +mb〔2〕2a +4=2〔a +2〕〔3〕4a ²-6ab ²+2a =2a 〔2a -3b ²+1〕〔4〕a ²-2a +1=a 〔a -2〕+1〔5〕)10)(10(100)(2-+=-xy x y x y 2、确定公因式.问题：ma +mb +mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式概念.例1：找出6x ³y 5-3x ²y 4的公因式,归纳找公因式的方法.课堂练习一：找出以下各多项式中的公因式填在后面括号内.〔1〕3mx-6nx2〔〕〔2〕x4y3+x3y4 〔〕〔3〕12x2yz-9x2y2 〔〕〔4〕5a2-15a3+25a〔〕3、用提公因式法分解因式.m〔a+b+c〕＝ma+mb+mc可得ma+mb+mc＝m〔a+b+c〕，观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.想一想：提公因式法的理论依据是什么?4、知识运用：例2：把8a²b²+12ab²c分解因式例3：把－24x³－12x²＋28x分解因式.判断以下各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正.〔1〕2a2+4a+2=2〔a2+2a〕〔2〕3x2y3－6xy2z=3xy〔xy2－2yz〕把以下各式分解因式.〔1〕x2+x6〔2〕12xyz-9x2y2〔3〕-6x2-18xy+3x〔4〕2a n+2-4a n+1-6a n-1例4：把3a〔b+c〕-3〔b+c〕分解因式将以下各式分解因式.〔1〕p〔a2+b2〕-q〔a2+b2〕〔2〕 2a² 〔y-z〕2-4a〔z-y〕2例5：先分解因式，再求值.4a2〔x+7〕-3〔x+7〕，其中a=-5，x=3.5、拓展与提高：〔1〕20212+2021能被2021整除吗？〔2〕利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7〔3〕将2a〔a+b-c〕-3b〔a+b-c〕+5c〔c-a-b〕分解因式.〔三〕课堂小结：〔1〕什么叫因式分解？〔2〕确定公因式的方法.〔3〕提公因式法分解因式的步骤.〔4〕提公因式法分解因式的步骤.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
七年级数学下册《因式分解的意义提公因式法》教案、教学设计
2.介绍提公因式法的基本步骤：
a.寻找多项式中的公因式。
b.将公因式提取出来。
c.将剩余部分整理成一个新的多项式。
3.通过实例演示提公因式法的具体操作，让学生观察、思考和模仿。
4.引导学生总结提公因式法的规律和技巧，如如何快速找到公因式、如何处理多项式的各项系数等。
通过课堂小结，帮助学生梳理所学知识，总结因式分解的方法和技巧，为后续学习打下基础。
6.作业布置，分层指导
根据学生的个体差异，布置不同难度的作业，使每个学生都能在课后得到有效的巩固和提升。
7.教学评价，关注成长
通过课堂表现、作业完成情况、小组讨论等多种方式，全面评价学生的学习成果，关注他们的成长过程。
2.学生通过实际操作或画图，发现需要4块正方形地板。
3.教师引导学生将问题转化为代数表达式：4a × 2a = 4 × a × a，并指出这个过程中实际上已经运用到了因式分解的思想。
4.教师总结：因式分解就是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，它在解决实际问题和简化代数表达式中具有重要作用。
（二）讲授新知，500字
（三）学生小组讨论，500字
1.教师给出几个具有挑战性的因式分解题目，要求学生在小组内进行讨论。
2.学生在讨论过程中，可以互相提问、分享解题思路，共同寻找解题方法。
3.教师巡回指导，关注学生的讨论情况，给予提示和建议。
4.各小组展示解题过程和答案，其他小组进行评价和反馈。
（四）课堂练习，500字
1.教师布置一系列因式分解的练习题，包括基本题和提高题，要求学生在课堂上完成。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过生活实例或数学问题，引导学生感受因式分解的必要性和意义，激发他们的学习兴趣。
4.2 提取公因式法 课件 浙教版数学七年级下册
谢谢大家！
再见
讲解新知
提取公因式法的一般步骤是： 1.确定应提取的公因式. 2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式. 3.把多项式写成这两个因式的积的形式. 提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.
课内练习 1.确定下列多项式的公因式，并分解因式.
（1）ax ay. （2）3mx 6nx2. （3）4a2b 10ab 2ab2.
第四章 因式分解
4.2 提取公因式法
教学目标
知识
1.会用提取公因式法分解因式.
目标
2. 理解添括号法则.
能力
掌握提取公因式法，学会用此方法进行多项式的因
目标
式分解.
情感
体会添括号的法则，处理好首项系数为负数的多
目标
项式分解因式问题，加强学生的直观思维.
探索新知
am+bm =m(a+b)
1.公因式: 一般地,一个多项式中每一项都含有的
3 x2 y
各项都含有的 相同字母的最 低次幂
练一练
判断公因式的方法:
1.系数:提取最大的公约数;
2.字母:提取相同字母最低次幂.
1.说一说下列各式的公因式
(1)3x2 3y 3 (2)2a 3ab a
(3)30mb2 5nb3 5b2
? 多项式的公 因式都有哪 些形式啊？
(4)15a2b3 6a3bc 3a2b
拓展提高
拓展提高
小结
1、提取公因式法口决
①系数:提取最大的公约数; ②字母:提取相同字母最低次幂.
2、提取公因式法分解因式
① 确定应提取的公因式; ②用公因式去除多项式,所得的商为另一个因式; ③ 把多项式写成这两个因式积的形式.
七年级数学下册《提取公因式法》优秀教学案例
b.提题：如提取公因式3a^2b，将多项式3a^3b - 6a^2b^2 + 9ab^3分解。
2.要求学生在作业中总结自己在解题过程中的心得体会，培养他们的自我反思能力。
3.课后收集学生的作业，对学生的完成情况进行评价，了解他们在学习提取公因式法方面的掌握程度，为下一步教学提供参考。
4.组织小组间的交流和分享，让学生在互动中相互学习，提高自己的思维水平。
（四）反思与评价
1.课堂小结：让学生总结本节课所学内容，分享自己的收获和感悟，培养他们的自我反思能力。
2.课后作业：设计富有针对性的作业，让学生在课后巩固所学知识，并进行自我评价。
3.教师评价：结合学生在课堂上的表现，给予客观、公正的评价，激发学生的学习积极性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生理解公因式的概念，掌握提取公因式的方法，并能够运用提取公因式法进行因式分解。
2.培养学生观察多项式中各项的共性和规律，提高他们发现和提出问题的能力。
3.通过实际例题的讲解和练习，让学生掌握如何将提取公因式法应用于解决实际问题，提高解题技巧。
4.引导学生运用提取公因式法简化计算过程，培养他们优化思维和简化问题的能力。
a.定义公因式：几个多项式共有的因式称为公因式。
b.举例说明：如多项式2x^2 - 4x中，2x是它的公因式。
2.演示提取公因式法的过程：
a.找出多项式中的公因式。
b.将公因式提取出来，将原多项式分解成公因式与另一个多项式的乘积。
c.举例讲解：如多项式6x^3 - 9x^2，提取公因式3x^2后，分解为3x^2(2x - 3)。
4.同伴评价：鼓励学生相互评价，学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进共同进步。
七年级下册8、4因式分解第1课时因式分解和提公因式法习题新版沪科版
(3)在(2)的条件下，把多项式 x3＋mx2＋12x＋n 分解因式．
解：因为 m＝－7，n＝0， 所以 x3＋mx2＋12x＋n 可化为 x3－7x2＋12x， 所以 x3－7x2＋12x＝x(x－3)(x－4)．
D．－2 或 30
12．如图，相邻两边长分别为 a，b 的长方形的周长为 16，面积
为 15，则 a2b＋ab2 的值为( B )
A．240
B．120
C．32
D．30
【点拨】根据题意知 2(a＋b)＝16，ab＝15，则 a＋b＝8. 所以 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝15×8＝120.
13．分解因式：(2a＋b)2－2b(2a＋b)＝_(_2_a_＋__b_)(_2_a_－__b_)_.
14．分解因式：2a(x－y)－3b(y－x)＝_(_x_－__y)_(_2_a_＋__3_b_)__.
15．用提公因式法分解因式： (1)6m2n－15mn2＋30m2n2；
解：原式＝3mn(2m－5n＋10mn)． (2)－4x3＋16x2－26x；
原式＝－2x(2x2－8x＋13)． (3)2x(a－b)＋4y(b－a)．
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2
Hale Waihona Puke D．以上都不对8．把(x－a)3－(a－x)2 分解因式的结果为( B )
A．(x－a)2(x－a＋1)
B．(x－a)2(x－a－1)
C．(x－a)2(x＋a)
D．(a－x)2(x＋a＋1)
9．下列变形正确的是__①__④__⑤____(填序号)． ①a－b＝－(b－a)； ②a＋b＝－(a＋b)； ③(b－a)2＝－(a－b)2； ④(a－b)2＝(b－a)2； ⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
上海七年级-数学-因式分解专题讲解
上海七年级 数学 因式分解专题讲解一、提取公因式1、因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积得形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.例1、下列各式从左边右边的变形，哪些是因式分解？那些不是因式分解？（1）1)32(1322+-=+-a a a a ; （2）)11(1xy xy xy -=-； （3）1)1)(1(2-=-+a a a ； （5）22)21(412+=++x x x ;例2、指出下列各式中的公因式：（1）222343284b a b a a 、、- （2））（、、b a b a b a +++9-)(6)(332 （3）m m a a 1832、-2、提取公因式的注意事项（1）、如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“—"号，是括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式。
例：)23(4)812(8122222b a ab ab b a ab b a +-=+-=--（2）利用提取公因式法分解因式时，一定要“提干净”。
也就是说当一个多项式提出公因式后,剩下的另一个因式中应该已经没有可以提取的公因式了；若发现还有公因式必须要再次提取,否则因式分解就不彻底，没有完成。
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后,括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。
例：)132(22642++=++y x x x xy x ，不能写成)32(22642y x x x xy x +=++（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式,当把多项式作为公因式提出来时，要特别注意同一字母的排列序，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则容易出现负号上的错误。
例：)()()()()()(22323n mb ma b a b a n b a m a b n b a m ---=---=--- 例3、分解因式：=-+-422231869y x y x y x例4、将下列各组中的整式写成他们的公因式与另一公因式相乘的形式：（1）a a 463-、； （2）32394278xy y x -、； （3）322)(51)(3b a x b a x ++、； (4）)(3)(2m a x a m --、；例5、已知关于x 的二次三项式n mx x ++22因式分解的结果是)41)(12(+-x x ，求n m 、的值？例6、在物理电学中，求串联电路的总电压是有公式321IR IR IR U ++=，当5.2,9.35,4.32,7.31321====I R R R 时,求电压U 的值?3、整式乘法与因式分解有什么关系？整式乘法是一种求几个因式的积的运算，它的最后结果是和或差的形式，是一个多项式.而因式分解则是把多项式化为几个整式的积的形式。
青岛版数学七年级下册12.3《用提公因式法进行因式分解》说课稿
青岛版数学七年级下册12.3《用提公因式法进行因式分解》说课稿一. 教材分析《青岛版数学七年级下册12.3《用提公因式法进行因式分解》》这一节的内容是在学生已经掌握了整式的乘法、平方差公式、完全平方公式的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生掌握提公因式法进行因式分解的方法和步骤。
因式分解是初中学过的最基本的代数运算，也是中学数学中重要的内容，它在解决方程的求解、不等式的求解等方面有着广泛的应用。
因此，掌握因式分解的方法对于学生来说是非常重要的。
二. 学情分析学生在学习这一节的内容之前，已经掌握了整式的乘法、平方差公式、完全平方公式等知识，这些都为学习因式分解提供了基础。
但是，学生在进行因式分解时，往往会因为不能正确找出公因式或者公因式的系数处理不当而导致因式分解错误。
因此，在教学过程中，我需要引导学生正确找出公因式，并注意公因式的系数处理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握提公因式法进行因式分解的方法和步骤。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握提公因式法进行因式分解的方法和步骤。
2.教学难点：如何引导学生正确找出公因式，并注意公因式的系数处理。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主探究、合作交流、启发引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段进行教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习整式的乘法、平方差公式、完全平方公式等知识，为学生学习因式分解打下基础。
2.自主探究：让学生自主探究提公因式法进行因式分解的方法和步骤。
3.合作交流：学生之间进行合作交流，分享自己的学习心得和方法。
4.教师讲解：教师针对学生的探究情况进行讲解，引导学生正确找出公因式，并注意公因式的系数处理。
5.巩固练习：让学生进行巩固练习，加深对因式分解方法的理解。
七年级数学下册《因式分解的意义提公因式法》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生理解因式分解的概念，掌握提公因式法的基本步骤，能够熟练运用该方法对多项式进行因式分解。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，让学生学会运用因式分解解决一些简单的实际问题。
3.通过因式分解的学习，使学生掌握数学中的分解思想，提高他们分析问题和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将以一个简单的数学问题引发学生的思考：“同学们，我们之前学过如何将一个数分解成几个数的乘积，那么对于多项式，我们是否也可以这样做呢？”通过这个问题，激发学生对因式分解的好奇心，从而引出本节课的主题。
接着，我会简要回顾整式的乘法运算，引导学生发现整式乘法与因式分解之间的联系，为学习因式分解打下基础。
2.问题导向的探究学习
本案例以问题导向的方式引导学生主动探究、发现数学规律。通过一系列具有启发性的问题，如因式分解的意义、操作步骤等，让学生在思考、讨论中逐步掌握因式分解的知识。这种教学策略有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作的互动交流
小组合作是本案例的又一亮点。在小组合作中，学生相互讨论、共同探究，充分发挥每个人的优势，共同解决问题。这种互动交流的学习方式不仅提高了学生的学习效果，还培养了他们的团队协作精神和沟通能力。
（二）过程与方法
1.采用启发式教学方法，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解因式分解的意义。
2.设计丰富的教学活动，如实例分析、互动讨论等，让学生在实践中掌握提公因式法的运用，提高他们的运算能力和逻辑思维能力。
3.创设生活情境，让学生在实际问题中运用所学的因式分解知识，培养他们将理论知识与实际相结合的能力。
（二）问题导向
因式分解的7种方法和4种思路
因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中一个基本且重要的概念，它是将一个多项式或者表达式，通过分解成若干个因子的乘积的形式来表示。
因式分解涉及到多种方法和思路，并且在不同的数学问题中有着不同的应用。
下面将介绍七种常见的因式分解方法和四种思路。
一、七种因式分解方法：1.公因式提取法：该方法适用于多个项有公因子的情况。
例如：2xy + 4x + 6y 可以提取 x，得到 x(2y+4) + 6y，再可以继续提取2，得到2(x(y+2)+3y)2.完全平方差公式：如果一个多项式可以表示成两个平方数之差的形式，那么就可以使用完全平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)3.公式法：公式法是运用数学中的一些特殊公式进行因式分解的方法。
例如：a^2 ±2ab+b^2 = (a±b)^2a^3 ± b^3 = (a±b)(a^2∓ab+b^2)4.分组法：分组法适用于多项式中存在一些特殊的关系。
例如：ab + ac + bd + cd，我们可以通过分组成 (ab+ac) + (bd+cd)，然后再提取公因式，变成a(b+c) + d(b+c)，最后变成 (a+d)(b+c)。
5.提取平方根法：如果一个多项式的各项是可以开平方的，那么就可以使用提取平方根的方法进行因式分解。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^26.分解差的平方：如果一个多项式是两个平方之差的形式，那么可以使用分解差的平方的方法。
例如：a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)7.组合法：组合法是将一个多项式中的项进行组合，寻找其中的特殊关系，然后进行因式分解。
例如：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，可以将其分组为(a^3 + b^3) + 3ab(a + b)，再使用公式法进行因式分解。
二、四种因式分解思路：1.提取公因子的思路：当一个多项式中的几个项具有公因子时，可以使用公因子提取法将公因子提取出来，从而进行因式分解。
苏教版七年级下数学除法公式及提公因式法因式分解练习题
苏教版七年级下数学除法公式及提公因式
法因式分解练习题
1. 除法公式
在数学中，除法是一种基本的运算方式，它可以将一个数按照另一个数的倍数进行分割。
除法的基本公式如下：
被除数 ÷除数 = 商
其中，被除数是要被分割的数，除数是用来分割的数，商是被除数被除数的结果。
2. 提公因式法
提公因式法是在因式分解过程中的一种常用方法。
它可以将多项式中的公因式提取出来，简化计算过程。
提公因式法的基本步骤如下：
1. 找出多项式中的所有项的公因式；
2. 将这些公因式提取出来，并记录下来；
3. 将多项式中每一项除以公因式，得到新的多项式。
例如，对于多项式 `2x + 4xy`，我们可以找出其中的公因式 `2`，然后将每一项都除以 `2`，得到新的多项式 `x + 2xy`。
3. 因式分解练题
下面是一些因式分解的练题，请你独立完成计算，并将答案填
写在相应的空白处：
1. 因式分解：[填写答案]
2. 因式分解：[填写答案]
3. 因式分解：[填写答案]
4. 因式分解：[填写答案]
5. 因式分解：[填写答案]
完成以上练题后，请核对答案，并进一步练以提高你在因式分
解方面的能力。
结论
本文档介绍了苏教版七年级下数学中的除法公式和提公因式法因式分解的基本概念和方法，并提供了练习题供你练习。
希望本文档对你的学习有所帮助！。
提取公因式法2
合作探究
知识升华
议一议：2(a-b)2-a+b能分解因式吗?
整理知识 形成网络
谈谈本堂课你有哪些收获
课堂延伸
1.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
2.已知代数式x2+3x+5的值是7,求 3x2+9x-2的值.
； 成都保温杯 成都广告杯
小小测验 感受新知
四、抢答题(找出下列各多项式的公因式): (1)2a+2b (5)ax+ay-a (2)xy+yz (3)2ac-4abc (4)m2n+mn2 (6)3m2a-12ma+3ma2 (7)(x-y)2+(x-yห้องสมุดไป่ตู้ (8) –3ax2y+6x3yz
点例透视 运用新知
把下列各式分解因式： （1）2x3+6x2 = 2x2(x+3) （2）3pq3+15p3q = 3pq(p2+5q2 ) （3）4x2-8ax+2x =2x(2x-4a+1) （4）-3ab+6abx-9aby =-3ab(1-2x+3y)
hxh58kyd
房中，整顿妆容去了。宝音操持了半日，也要重敷粉、再挽鬓，又审视一番席上，料无其他遗漏，二太太也难得慈爱道：“笙儿你且歇 一歇，这里有我。”宝音便福了一福，退将出来。乐韵还在替她奔走一些琐事，是洛月扶定了她，一路天空灰蓝，几缕云朵像撕在苍幕 上的白棉丝儿，天是真冷了，黄菊褪甲、芙蓉妆残，独有些老树劲松，越入冬越苍青。园中寂寂的，并无什么人。洛月忽道：“咦，姑 娘，那不是四 ？”果然明秀在枯杨树下对着宝音她们招手。宝音早已见着，微微“哦”了一声，未置可否。洛月道：“ ，我们„„要 过去吗？”心头疑虑，不知哪里总觉怪怪的。宝音却道：“去！为什么不去？”当先举步，洛月只好于后头紧紧跟定。明秀看她们过来， 便转身朝里头去，那边一道游廊、带出几进厅间，再过去是一泓水，满生紫菽黄苇，从老太太院口直铺陈到这边。从前大老爷曾用这里 款待宾客，说是春夏时看仙鹤于水边的姿势，顶顶不错。后来大老爷于看鹤的雅事上淡了，这边也就闲了，此时半个人也没有。明秀一 路走，宝音便于后头静静跟着，倒有那么些儿百步相随的意思。明秀推开一扇门进去，宝音正要跟着抬步，门里明秀幽幽道：“笙妹妹 单独进来可好？”——这是连丫头都不许她带进来！洛月肩膀一僵。会无好会、聚无好聚，单独相见，非奸即盗！她是绝不肯叫 落单 的！ 也绝不会这么蠢，就听她的罢！宝音凝视门内，唇角微扬，应道：“好。”吩咐洛月：“你在这里等我。”洛月心中一百个不情 愿，然而被宝音一吩咐，脚步就钉在了原地，再也举不起来，只能眼睁睁看着宝音单弱的身子，踏入门中，门扉无声无息合上了。此室 虽闲置良久，夹旧夹新，也排了几件柜子案头，壁上还悬了一青一紫两根箫管、并一口红缨衣的宝剑，旁边斜设了一架黑漆款彩百鸟朝 凤图围屏，不知哪个房里用旧了不要搬过来的。 明秀侧坐，一手慢慢抚过自己的鬓脚，道：“妹妹真令人刮目相看。”宝音拜道： “姐姐过奖！姐姐才令笙儿诧异。”明秀缓缓转过头：“哦？”“笙儿与四姐姐，身体里同流着苏家的血。一直来，众人对笙儿，轻鄙 疏远，并不掩饰，唯四姐姐肯对笙儿倾注照顾，纵只是表面文章，笙儿也铭感五内。怎知有一天，要与姐姐拆招见计！”明秀冷冷道： “你的臂膀丫头已经完了，你舍得？”宝音柔和的看着明秀：“洛月？她虽然笨得毫无自保能力，我不会让她完了的。”“我说乐韵！” 明秀难得沉不住气，“她私相授受！”宝音吃惊道：“授受了什么？有凭据吗？”“人证物证俱在！”明秀色厉内荏，其实是有些底气 不足。要提人证，那人证谦谦君子，难免说出帕上药渍什么的，明秀出阁在即，沾染下药的嫌疑，得不偿失。不过好吧，物证总是
因式分解第1课时提公因式法课件2021-2022学年沪科版数学七年级下册
=（ 3ab）•（1-2x+3y） = 3a（b 1-2x+3y）
提公因式法分解因式注意：
1 多项式是几项，提公因式后也剩几项. 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公 因式后剩余的 项是1. 3 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括 号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
(1) 各项整数系数的最大公约数； (2) 各项相同的字母； (3) 相同因式的指数取最低．
公因式提出后，剩下 因式求法：用公因式 去除多项式各项，所 得商即为另一个因式
(3) 4x2 8ax 2x
(4) 3ab 6abx 9aby
=（-2x）• 2x+（-2x）•（-4a）+（-2x）•（-1） =（ 3ab）•1+（ 3ab）•（-2x）+（ 3ab）•（3y）
= -2（x 2x-4a-1）
新知探究
(1)ma + mb ；
m
(2)4kx－ 8ky ；
4k
(3)5y3+20y2 ；
5y²
(4)a2（b+c）－2a（b+c）2+a（b+c）b .
a（b+c）
公因式确定方法： 各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；
字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.
探究新知 提公因式法分解因式
沪科版数学七年级下
8.4 因式分解
第1课时 提公因式法因式分解
教学目标
3. 会利用因式分解进行简便计算.
2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提 公因式法分解因式. 1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘 法的区别和联系.
第10讲 提取公因式法、公式法分解因式(原卷版)-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假精品课(沪
第10讲 提取公因式法、公式法分解因式模块一：提取公因式法1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也 叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．3、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．4、提取公因式法：多项式ma mb mc ++各项都含有公因式m ，可把公因式m 提到外面， 将多项式ma mb mc ++写成m 与a b c ++的乘积形式，此法叫做提取公因式法．5、提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成m 与a b c ++的乘积形式．6、提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净；（2）视“多”为“一”；（3）切勿漏1；（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．【例1】 分解因式：（1）2368a a -；（2）322618m m m -+-； （3）2124ad bd d --+．【例2】 分解因式：（1）32228x y x y +；（2）22462a b ab ab --； （3）3121326m n m n m n x y x y x y -+--+．【例3】 把下列各式分解因式：（1）()()33113510m m ab a b a b b a +----； （2）()()()223222122418ab x y a b y x ab y x -+-+-．【例4】 分解因式：()()93168a x yb y x -+-． 【例5】 试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．【例6】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++．模块二：公式法1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．2、完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=- ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．【例7】 分解因式：（1）()()2222a b a b +--；（2）()()227216a b a b --+； （3）()()2294a b c d a b c d +++--+-．【例8】 分解因式：()()222248416x x x x ++++．【例9】 把下列各式分解因式：（1）()222224x y x y -+； （2）()()22114m n mn --+．【例10】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．1. （2022秋·上海·七年级专题练习）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．231(3)1--=--x x x xB ．222()2x y x xy y +=++C ．2()a ab a a a b -+=-D ．229(3)(3)-=+-x y y x x y(2)421++．x x。
2023-2024学年七年级数学下册 专题07 因式分解压轴四大类型(解析版)
专题07因式分解压轴四大类型题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解题型二：十字相乘法因式分解题型三：分组分解法题型四：因式分解的应用题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解【典例1】（2023秋•西城区期末）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【答案】（1）xy（y+1）（y﹣1）；（2）2（x﹣5）2．【解答】解：（1）原式＝xy（y2﹣1）＝xy（y+1）（y﹣1）；（2）原式＝2（x2﹣10x+25）＝2（x﹣5）2．【变式1-1】（2023春•鼓楼区校级期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【答案】（1）2m（x﹣1）2；（2）4（m+4n）（4m+n）．【解答】解：（1）2mx2﹣4mx+2m＝2m（x2﹣2x+1）＝2m（x﹣1）2；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）﹣3（m﹣n）][5（m+n）+3（m﹣n）]＝（5m+5n﹣3m+3n）（5m+5n+3m﹣3n）＝（2m+8n）（8m+2n）＝4（m+4n）（4m+n）．【变式1-2】（2023春•皇姑区校级期中）因式分解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）2x2﹣12xy+18y2．【答案】（1）（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2（x﹣3y）2．【解答】解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）＝x2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（x2﹣4）＝（a﹣b）（x+2）（x﹣2）；（2）2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2．【变式1-3】（2022秋•渑池县期末）因式分解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3；（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）．【答案】（1）2b（3a﹣b）2；（2）（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．【解答】解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3＝2b（9a2﹣6ab+b2）＝2b（3a﹣b）2．（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）＝（x﹣3）（x2﹣y2）＝（x﹣3）（x+y）（x﹣y）．题型二：十字相乘法因式分解【典例2】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．【答案】（a﹣4）（a﹣9）．【解答】解：a2﹣13a+36∵﹣4a+（﹣9a）＝﹣13a，∴a2﹣13a+36＝（a﹣4）（a﹣9）．故答案为：（a﹣4）（a﹣9）．【变式2-1】（2023秋•璧山区期末）因式分解a2+a﹣6的结果是（a﹣2）（a+3）．【答案】（a﹣2）（a+3）．【解答】解：a2+a﹣6＝（a﹣2）（a+3）．【变式2-2】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6）．【答案】（x﹣2）（x﹣6）．【解答】解：x2﹣8x+12＝x2﹣8x+16﹣4＝（x﹣4）2﹣（2）2＝（x﹣4+2）（x﹣4﹣2）＝（x﹣2）（x﹣6）．故答案为：（x﹣2）（x﹣6）．【变式2-3】（2023秋•河北区校级期末）把多项式x2﹣2x﹣35因式分解为（x+5）（x﹣7）．【答案】（x+5）（x﹣7）．【解答】解：x2﹣2x﹣35＝（x+5）（x﹣7）．题型三：分组分解法【典例3】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【答案】（1）（a﹣3）（a2+6）；（2）（a﹣b）（a﹣b+x）．【解答】解：（1）a3﹣3a2+6a﹣18＝a2（a﹣3）+6（a﹣3）＝（a﹣3）（a2+6）；（2）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx）＝（a﹣b）2+x（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣b+x）．【变式3-1】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．【答案】x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【解答】解：原式＝（4x3﹣9xy2）+（﹣2x2﹣3xy）＝x（4x2﹣9y2）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y）﹣x（2x+3y）＝x（2x+3y）（2x﹣3y﹣1）．【变式3-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：（1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b；（2）x2﹣y2﹣ax+ay．【答案】（1）﹣3ab（b﹣a）2；（2）（x﹣y）（x+y﹣a）．【解答】解：（1）原式＝﹣3ab（b2﹣2ab+a2）＝﹣3ab（b﹣a）2；（2）原式＝（x2﹣y2）+（﹣ax+ay）＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣a）．【变式3-3】（2023秋•武都区期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．【答案】（1）（n﹣2）（mn+2）；（2）（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．【解答】解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4＝（mn2﹣2mn）+（2n﹣4）＝mn（n﹣2）+2（n﹣2）＝（n﹣2）（mn+2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y﹣4）（x﹣y+4）；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3＝4x2﹣4x+1﹣y2+4y﹣4＝（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）＝（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2＝（2x﹣1﹣y+2）（2x﹣1+y﹣2）＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣3）．题型四：因式分解的应用【典例4】（2023秋•钢城区期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）．（2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．结合以上材料解决下面的问题：（1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是6或﹣6；（2）分解因式：x2﹣8x+15；（3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？【答案】（1）6或﹣6；（2）（x﹣3）（x﹣5）；（3）当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式，而x2﹣kx+9恰好是完全平方式，同时x2﹣kx+9可以整理为x2﹣kx+32，∴k＝6或﹣6，故答案为：6或﹣6．（2）x2﹣8x+15＝x2﹣8x+42﹣1＝（x﹣4）2﹣1＝（x﹣4）2﹣12＝（x﹣4+1）（x﹣4﹣1）＝（x﹣3）（x﹣5）；（3）x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1，∵（x﹣4）2≥0，∴当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．【变式4-1】（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+＝3×；第3个：4+＝4×…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．【答案】（1）第4个式子为5+＝5×；（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；检验过程见解答．（3）．【解答】解：（1）第4个式子为5+＝5×；（2）第n个式子（n+1）+＝（n+1）×；检验：左边＝+＝＝右边；（3）∵m，n是一对“和积数对”，∴m+n＝mn，设m+n＝mn＝x，原式＝＝＝；【变式4-2】（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．【变式4-3】（2023春•罗湖区校级期中）阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+m）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x2﹣y2+2x﹣2y；（2）知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若m、n、p为非零实数，且（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），求证：2p＝m+n．【答案】（1）（x﹣y）（x+y+2）；（2）见解答；（3）见解答．【解答】解：（1）x2﹣y2+2x﹣2y＝（x2﹣y2）+2（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+2）；（2）△ABC的形状是等边三角形，理由如下：a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，a2+c2﹣2ba+2b2﹣2bc＝0，（a2﹣2ba+b2）+（c2+b2﹣2bc）＝0，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC的形状是等边三角形．（3）证明：（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），等式两边展开移项得：﹣mn++mn﹣pm﹣pn+p2＝0，整理得：（m2+mn+n2）﹣p（m+n）+p2＝0，即[（m+n）﹣p]2＝0，∴（m+n）﹣p＝0，∴2p＝m+n一．选择题（共8小题）1．（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．10【答案】A【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．2．（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15D．16【答案】A【解答】解：∵长方形的周长为16cm，∴2（x+y）＝16，∴x+y＝8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，∴（x﹣y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝1②．联立①②，得，解得：，∴长方形的面积S＝xy＝＝（cm2），故选：A．3．（2023秋•洪山区期末）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（）A．9B．7C．0D．﹣9【答案】B【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，∴a2﹣2a＝1，∴2a3﹣a2﹣8a+4＝2a•a2﹣a2﹣8a+4＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4＝3a2﹣6a+4＝3（a2﹣2a）+4＝3×1+4＝7．故选：B．4．（2023秋•商水县期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，则m3n﹣mn3的值为（）A．±300B．±84C．±48D．±12【答案】B【解答】解：m3n﹣mn3＝mn（m2﹣n2）＝mn（m+n）（m﹣n）．∵m2+n2＝25，mn＝12，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝25+2×12＝49；（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝25﹣2×12＝1．∴m+n＝±7；m﹣n＝±1．①m+n＝7，m﹣n＝1．原式＝12×7×1＝84；②m+n＝7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×7×（﹣1）＝﹣84；③m+n＝﹣7，m﹣n＝1．原式＝12×（﹣7）×1＝﹣84；④m+n＝﹣7，m﹣n＝﹣1．原式＝12×（﹣7）×（﹣1）＝84．故选：B．5．（2023秋•海安市期末）已知xy＝4，则x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（）A．﹣9B．﹣2C．0D．2【答案】C【解答】解：x2﹣2x+y2﹣2y＝（x2+y2）﹣2（x+y）＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣2xy．∵xy＝4，∴原式＝（x+y）2﹣2（x+y）﹣8＝（x+y）2﹣2（x+y）+1﹣9＝（x+y﹣1）2﹣9．设x+y＝a，则y＝a﹣x．∵xy＝4，∴x（a﹣x）＝4．∴ax﹣x2＝4．∴x2﹣ax+4＝0．∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×4＝a2﹣16．∵方程有解，∴a2﹣16≥0．∴a2≥16．∴a≥4或a≤﹣4．当a＝4即x+y＝4时，原式＝0；当a＝﹣4即x+y＝﹣4时，原式＝25﹣9＝16．∵0＜16，∴x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是0．故选：C．6．（2023秋•宣化区期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b）B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）【答案】B【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成，∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2，另外大长方形可以看作一般长为（a+2b）宽为（a+b）的长方形组成，∴大长方形的面积为（a+2b）（a+b），∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正确．故选：B．7．（2023秋•鲅鱼圈区期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57B．120C．﹣39D．﹣150【答案】D【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2，把a﹣b＝5，ab＝﹣6代入，ab（a﹣b）2＝（﹣6）×52＝﹣150，故选：D．8．（2023秋•东兴区校级期中）已知，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．0B．C．2D．3【答案】D【解答】解：∵，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝＝＝＝＝3．故选：D．二．填空题（共5小题）9．（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC 的形状是等腰三角形．【答案】等腰三角形．【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．∵在△ABC中，a+b＞c，∴a+b﹣c＞0．∴a﹣b＝0，即a＝b．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．10．（2023秋•通山县期末）已知：x2﹣x＝1，则x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是0．【答案】0【解答】解：x4﹣x3﹣2x2+x+1＝x2（x2﹣x）﹣2x2+x+1，∵x2﹣x＝1，∴原式＝x2﹣2x2+x+1＝﹣x2+x+1＝﹣1+1＝0．11．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为3．【答案】3．【解答】解：∵多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，∴当x＝﹣1时，2x3﹣x2+m＝0，即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0，解得m＝3．故答案为：3．12．（2022秋•东莞市校级期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，得（a﹣b）x+20﹣x﹣19＝1，同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]，＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，＝×（1+1+4）＝3．故答案为3．13．（2022秋•芝罘区期末）计算：20232﹣2023×2022＝2023．【答案】2023．【解答】解：20232﹣2023×2022＝2023×（2023﹣2022）＝2023×1＝2023．故答案为：2023．三．解答题（共3小题）14．（2023秋•梨树县期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴（a﹣b）2＝49，∴a2+b2﹣2ab＝49，∴a2+b2＝25；（3）∵a2+b2＝25，∴（a+b）2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝±1．15．（2023秋•东辽县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？【答案】（1）（a﹣b）（a+b+1）；（2）（a+5b）（a﹣b）；（3）当x＝3时，取最小值为﹣8．【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；（3）x2﹣6x+1＝x2﹣6x+9﹣8＝（x﹣3）2﹣8∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，∴当x＝3时，取最小值为﹣8．16．（2023春•新吴区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．【答案】（1）（x﹣2）（x+4）；（2）﹣7；（3）12．【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝x2+2x+1﹣1﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+1﹣3）（x+1+3）＝（x﹣2）（x+4）；（2）设y＝x2+4x﹣3，y＝x2+4x+4﹣4﹣3，y＝（x+2）2﹣7，∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7．（3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解之提取公因式法
说课稿
一、教材分析：
“因式分解（提取公因式法）”是湘教版七年级数学下册第三章第二节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链接开拓作用。
提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
学情分析：
因为我们班的学生都是农村的学生，学生基础薄弱，学习兴趣不浓，所以我通过具有现实意义的情境引入新课，调动学生学习热情。
二、目标分析：
根据大纲要求,结合本教材特点和学生认知能力，将教学目标确定为：
知识与技能：
1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
过程与方法：
在教学过程中，体会类比的数学思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。
情感态度与价值观：
通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。
教学重难点：
教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式
教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式
三、教学方法与教学手段：
教法：类比、探究式教学方法
教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。
学法：自主、合作、探索的学习方式
在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，体现素质教育的要求。
四、教学设计。