数学美解题
为有“直观”能致知,“感知”引来简洁美——“数学美”解题教学策略探析
必须履实
质性的工作就是“感知”．
——为什么说“感知”是关键呢？
因为一旦感知了某种特征，我们就有了方向
——自然而简洁的求解方向．
以下以 2013 年高考全国卷填空把关题为例予以
说明．
例 1 （2013 年高考新课标卷Ⅰ·理 16）若函数 f (x) =(1− x2 )(x2 + ax + b) 的 图 象 关 于 直 线 x = −2 对
这样，我们就容易对问题的求解方向作感知， 这是突破解题“至高点”、引来解题“简洁美”的关键所 在！
（本文系“福建省教育科学“十三五”规划 2016 年度课题《提高高中数学教 学质量策略研究》（课题编号：FJJKXB16-510）的研究成果之一）
源于教材， 高于教材
——以一道圆锥曲线试题为例
仇文波 福建省泉州市惠安县第三中学（362100）
参考文献 [1]何晓禹，余继光．例谈数学运算中的“智慧点”[J]．数学教学，2015（9）： 27-29 [2]张小娟，余继光．养育中学生的数学抽象素养[J]．数学通讯，2016（7）： 4-8
为有“直观”能致知，“感知”引来简洁美
——“数学美”解题教学策略探析
吴金祥 1 林新建 2 1 福建省漳州市漳浦第一中学（363200） 2 福建省漳州市第一中学（363000）
因而，应对至高点的办法——主要不是抽象， 而是直观；主要不是逻辑推理，而是感知；主要不 是知识，而是常识；主要不是我们通过大量训练获 知的规律，而是数学活动的经验．
因此，问题的关键是：寻找一种办法，让问题 在“直观上变得显然起来”．
具体包括：从不同的视角理解题意，正如已知 条件是用文字叙述的，把它翻译成图表，理解起来 就容易得多；明确这道题的解题方向，因为解题思 路的产生更多的源于直觉，源于我们对这道题的直 观判断；预期这道题的最终结果，直观意义往往可 以超越逻辑步骤，捷足先登地直抵目标…等等．
论和谐(统一)美在数学解题中的指导作用
２ ２ ｇ （２ ） ， … … … ・ ｘ ＋２ｏ ２ｘ —１ ＝５… ｌ ② 从形式结构上看， 、② 都为等式， １ ２ ① ＋
为代数式， 了统一， 为 可设 ｌ ２＝ ｔ 又 因为 ＋Ｘ ． ①、② 式各含有指数和对数， 形式不统一， 可以
Ｊｘ４ ， … … … ① 则 （）＝ —＋— 【 ｌ２ … … … … ２－ ｌ ｘ —
分析： 已知条件 ａ ＋ｂ ｂ ２ ＋ａ ＝ 是一个等式， 目标ａ 是一个代数式， ＋６ 形式结构上不和谐、 不
找差异后， 努力寻求统一， 用和谐 （ 统一） 美实现
成功解题的心路历程． 寻求次数的和谐统一
一
统一， 为此设 ａ ＝ｔ通过换元化为统一的等 ＋ｂ ，
式结构． 又由于条件等式中ａ 为一次项， ６ ＋６ ０ 为 二次项， 为寻求次数统一， ＋ｂ 两边平方， 将ａ ＝
、
例 １ 已知 ａ＋ ｂ Ｃ＝ ０ 求证 ０ ＋６ ＋ ＋ ， ６ ｃ
ｃ ａ≤０ ．
接下来用均值不等式后， 再转化为关于ｔ 的不等
式即可求解．
分析： 已知的是一个次数为 １ 的等式， 而要证 的是一个二次的不等式， 已知和未知在次数上不 和谐、不统一， 为此， 可以把已知式两边平方， 化
（） １ ～ ６ ５： ５ １ ．
２ １年第 １期 ００ １ 分 解： 由题意有
数 学教学
１—１ １３ ，
（导 （３ （ ； （４ Ａ ； Ｂ； ｃ Ｄ． ） ） ） ）
这 目的 式 达 了谐 一 样标形就 到和统。
了用函数的单调性来证明・ （） 设九 ＝
的切线相交于点 Ｑ， 则点 Ｑ的轨迹方程为 一
Ｙ ＝ Ｐ。
．
例 ４ （０９ ２０ 年辽 宁省高考 （ 试题） 理） 若 １ 满足２ ＋２ ５ Ｘ 满足 ２ ＝ ， ２ ＋２ｏ ２ ｌ （ ｇ 一１ ＝ ） ５ 那么 １ ２ ， ＋Ｘ ＝… … … … … … … … － （ ） …
对称美在高等数学解题中的应用
＋
ｆ
（＋ｚ ｙ ：
ｌ 。 ＋ ～． 醐 ｙ ｙ １
． ．
一
引 言
在 数 学 史上 ，数学 美 是 数 学 发 展 的 伟 大动力， 虚数 的 引入 ， 欧 几 何 的 创 立 ， 非 射 影几何的诞生 ， 微积分的严格化 ， 无不体现 了 数 学 美 对 数 学 发 现 与发 展 的 指 导 作 用 。 数学美的表现常有 简单 、 对称 、 统一、 奇异 等重要特征 。 这些特征渗透在数学的理论 、 语 言、 定理 公式 、 方法 技 巧 及数 学 的 实 际 应 用之中。 对称是 最能给人以 美感的一种形 式。 对称 性 在数 学 上表 现 为 图形 或 数式 的 对称 ， 概 念 、 题 、 则 或结 构 的 对 偶 、 应 等 等 。 命 法 对 毕达 哥 拉 斯 就 曾经 说 过 “ 切 立 体 图形 中 一 最 美 的是 球 形 ，一 切 平 面 图形 中 最 美 的 是 圆 形 ” 就 是 因 为 它们 是 对 称 的 图形 。数 学 ， 中 的有 些 问题 ， 当我 们 用 对 称 的 眼 光 去 观 察时 ， 不但能给我们 以美感 ， 且能够找到 而 简 洁漂 亮 的 解 法 。 下 面 我 就 以 一 些 例 子 来 说说 对 称 的 妙 用 。
因 为 积分 区域 Ｄ关 ＝ ＦＸ轴对 称 ，又 ｙ ３
因此
，
，
是奇函数，所以 Ｊ 西 ＝ ０，同理， 以
ｄ ，，－ ｘｂ －０
，
Ｉ ＋ （ ＋’ 西 ＝Ｉ Ｉ ） ， Ｉ １
～
Ｄ
＝詈 一
） ｏ
即得 证 。
由此 可知 ，积分 中借助于 图形的对称 性可获得简捷的解题途径 。
以美启真巧解题
ｍ个数 组成 的数 组 集合 为
Ａ＝｛ 血 ， ２ … ，ｍ Ｉ ≤口 ，２ … ，ｍ ｝ （ １０ ， 口 ） １ １０ ， Ⅱ ≤凡 ，
简洁 、 晰、 序、 清 秩 明快 ， 会给人 以美感 ． 学 以 数 高 度抽 象 、 极其 简 洁 的形 式 和思 想 反 映 客 观 世 界． 在 杂乱 无 章 的客观 现象 中 ， 象 出秩序 井 然 的数学 抽 理论 ， 又用 简单 、 有序 的数 学形 式来 表 达 、 释 并处 解
ｎｂ＝ １ ≤ｍ，≤『 ） ， ， ０（ ≤ｉ ｊ １＿ ≤ｍ ｝集合 Ｂ的元素仍然
是 有重 复数 的数 组 ． 了更 为简 洁 ， 造 一个 没 有 为 构 重 复数 的数 组集 合 ｃ， 从集 合 Ｂ到集 合 ｃ之间建 使 立一个 双射 厂 为 此 将 ｂ，： … ， 从 第 １ 开 始 ， ｂ， ｂ 个 分别加 上 ０ １２ … ， 一１得 到 ｍ 个 数 ｃ， … ， ，，， ｍ ｃ， Ｃ， 这样 得 到集 合
方面选择新信息 ， 并有效地对 已知信息进行组合 、 编码 以获得最 佳 解 题 方案 ． 如 利 用未 知 、 譬 已知 换
位处 理 ， 往往 能够 化难 为易 ．
从 ＋ｍ一１ 不 同的数 中任 取 ｍ个 数 的不 允 许重 个 复的组合 ， 因此 Ｉ ＝Ｊ Ｉ ＣＩ Ａｌ ＝ｌ ＝Ｃ
２ 左右 均衡 、 后 照应 ， 前 联想 对称 与平衡 美
例 １ 已知 ｏ ０ １ ， ∈［ ，］解关于 的不等式 ：
（ ｎ一１ ｌ 一 ａｇ ２ ）ｇ ９ ｌｘ＋ ｎ＋１＞ ． ０
德 国数 学 家 魏 尔 斯 特 拉斯 指 出 “ 和 对 称 性 美 紧密相 连 ” 数学 中的 对称 与 平 衡 美不 单 指形 象 的 ． 几何 图形 对 称 ， 包括 抽 象 的关 系 、 也 地位 、 式 、 形 方 法 等 的对 称 与平 衡． 对 称与 平衡 美是 数学 美 的重要 特征 之一 ， 数 在
初中数学美美问题教案
初中数学美美问题教案教学目标：1. 理解勾股定理的定义和证明过程；2. 能够运用勾股定理解决实际问题；3. 欣赏数学之美，培养学生的数学兴趣。
教学重点：1. 勾股定理的定义和证明；2. 勾股定理的应用。
教学难点：1. 勾股定理的证明过程；2. 运用勾股定理解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角三角形的定义；2. 提问：直角三角形的两条直角边和斜边之间有什么关系？二、探究勾股定理（15分钟）1. 介绍勾股定理的背景和历史；2. 引导学生通过观察和实验，发现勾股定理；3. 讲解勾股定理的证明过程。
三、应用勾股定理（15分钟）1. 给出实际问题，让学生运用勾股定理解决；2. 引导学生总结运用勾股定理的方法和步骤；3. 让学生进行练习，巩固所学知识。
四、欣赏数学之美（5分钟）1. 引导学生欣赏勾股定理的美妙之处；2. 分享一些与勾股定理相关的数学故事和应用实例；3. 鼓励学生发现生活中的勾股定理。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结勾股定理的定义和应用；2. 引导学生反思自己在学习过程中的收获和不足；3. 鼓励学生继续探索数学之美。
教学评价：1. 课后作业：让学生完成一些与勾股定理相关的练习题；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度和理解程度；3. 学生反馈：收集学生对勾股定理的学习感受和意见。
教学反思：本节课通过引导学生探究勾股定理的定义和证明过程，让学生理解并掌握了勾股定理，并通过实际问题的解决，使学生能够将所学的知识运用到实际生活中。
在欣赏数学之美环节，学生能够发现和感受勾股定理的美妙之处，激发了对数学的兴趣。
但在教学过程中，也发现部分学生对勾股定理的证明过程理解不够深入，需要在今后的教学中加强引导和讲解。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对勾股定理有了较为全面的认识和掌握。
利用数学美的思想方法指导解题
利用数学美的思想方法指导解题Ξ□张继斯(防城港市防城中学,广西防城港538001)[摘 要] 论述了数学美及其特征,并从数学美的四个重要特征出发,通过具体的例子说明怎样利用数学美的思想方法指导解题。
[关键词] 数学美;简洁美;统一美;对称美;奇异美;解题[中图分类号] G 63316 [文献标识码] A [文章编号] 1002-5227(2008)S -0124-03数学美的信息隐藏在数学知识、数学方法、数学语言中,是隐形的,比如:符号、公式、概念的简洁美;命题、定理的准确清晰美;定义、概念的确凿深刻美;推理运算的节奏简捷美;图形、形状的相似对称美;还有解决数学问题的奇异美;数学教材体系的严谨、和谐、统一之美等。
我国著名数学家徐利治教授指出:“作为科学语言的数学,具有一般语言文学和艺术所共有的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有其自身的某种美,即所谓的数学美。
数学美的含义是丰富的,数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异性等都是美的具体内容。
”可见,数学美的内容是多方面的,总的来说,数学美的表现,常具有简单、统一、对称、奇异等四大特征。
数学美除了能给人美的熏陶、美的感受外,还有一个重要的作用:可以利用它来解题。
那么如何利用数学美的思想方法指导解题?在这,我们先介绍一下数学解题中的美学方法。
数学中的美学方法,就是用数学美的简单性、统一性、对称性、奇异性去考察数学的对象,思考数学的问题,形成数学思维的美学方法和解题策略,并自觉地引进美学机制,按照美的规律去进行问题转化的有意识的活动。
在用这一方法解数学题时,应以美的态度和意识去进行观察、思考,看能否运用美学的方法(简单性方法,统一性方法,对称性方法,奇异性方法等)来解决问题,下面将对这个问题进行具体的论述。
1 追求数学美的简单性,寻求最佳解题方案简单美是数学美的特征之一,它是指数学的研究总是追求逻辑结构的简洁,推理和证明方法的简捷及解答形式的简明。
浅窥数学解题中的简洁美
浅窥数学解题中的简洁美由于数学反映的是自然的本质，因此，数学美本质上是自然美的抽象画，既有结论之美，也有方法之美，还有结构之美.与普通的自然美一样，归纳起来，数学美体现为以下几个特征：简洁性、和谐性、奇异性.数学的美妙之处在于能把混乱化为和谐,纷杂化为对称,繁复变为简单,还在于能将一个陌生的问题利用熟知的"相似问题"进行类比,使其得以解决.1.数学美的简洁性，包括符号美、抽象美、统一美、常数美.数学理论的过人之处之一就在于她能用简洁的方式揭示复杂的现象.数学美的简洁性是数学美的重要标志，它是指数学的证明方法、表达形式和理论体系结构的简单性.主要包括符号美、抽象美、统一美和常数美等.有人说，文学家能将一句话拓展成一本书，数学家则把一句话缩为一个符号，其简洁性无与伦比，体现为符号美；数学家关注万事万物的共同特质数与形，忽略其具体物质属性，高度的抽象性使数学内涵丰富、寓意深刻、应用广泛，展示着抽象美；数学家建立不同事物之间的联系，发现其相同点，表现为统一美；数学家寻求变化中的永恒，动态中的静止，用常数或不变量描述事物本质，带给人们常数美.比如，著名的欧拉恒等式，把自然界中5个最重要的常数0,1,i,eπ,通过数学的3个最基本的运算：加、乘、指数运算有机地联系起来，体现了数学的符号美、抽象美、统一美和常数美；反映多面体的顶点数v，棱数e、面数f关系的欧拉公式f-e+v=2体现了数学的统一美和常数美；全部二次曲线(椭圆、抛物线、双曲线)可以统一为圆锥曲线，而它们又分别表达了三种宇宙速度下物体运动的轨迹；笛卡尔通过坐标方法，用方程表示图形，用计算代替推理，实现几何、代数、逻辑的统一；高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何和黎曼几何统一；克莱因用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学，认为不同的几何只不过是在相应的变换群下不变性质的科学，这些都反映了数学的统一美.简洁性的另一个值得强调的是常数美中的不变量问题，数学所关注的本质、共性、联系、规律等，归根结底都是某种不变性，而不变性的一个重要表现就是不变量，这种不变量是数学简洁美的一个重要体现.2.数学美的和谐性，包括对称美、序列美、节奏美、协调美.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性.数学美的和谐性也是数学结构美的重要标志，数学的整体与部分、部分与部分之间的和谐协调性，具体体现为对称美、序列美、节奏美、协调美等.其中对称美反映的是万事万物变化中的某种不变性，它包含着匀称、平衡与稳定；序列美、节奏美和协调美反映的是万事万物变化中的某种秩序、联系和规律，它包含着有序(单调)、递归、循环(周期)、整齐与层次.和谐性是自然的本质反映，自然界本身是和谐的统一体；和谐性也是真理的客观表现——真的东西是美丽的，正如爱因斯坦所说：“形式上的美丽，意味着理论上的正确.”数学中的和谐美俯拾即是.比如：杨辉三角；几何学中的黄金分割比；反映角度函数值关系的各种三角恒等式等.3.数学美的奇异性.包括奇异美、有限美、神秘美、对比美等.数学美的奇异性是指研究对象不能用任何现成的理论解释的特殊性质.奇异是一种美，奇异到极致更是一种美.数学的奇异美包括有限美、神秘美、对比美.有限美是指以有限认识、表达与研究无限，具有神奇之功；神秘美是指某些结论不可思议、甚至无法验证，但却绝对正确无疑；对比美主要指数学中的突变现象形成巨大的反差，令人惊叹.比如，二进制中0与1的丰富含义，正多面体的个数有限性，数学归纳法的两步证明等都体现了有限美；抽屉原理证明的各种存在性，超越数、幻方等都体现了神秘美；所有分形图形的复杂与美丽，勾股定理产生的勾股方程与费马猜想的反差等都反映了对比美.在某种意义上，数学美的简洁性是数学抽象的体现，数学美的和谐性与奇异性是现实世界的统一性与多样性在数学中的反映.数学总被人们误以为是枯燥乏味的学科，让人提不起兴趣。
数学解题教学中的三境界:“真”、“善”、“美”
数学解题教学中的三境界：“真”、“善”、“美”经中进【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2015(000)007【总页数】4页(P76-78,80)【作者】经中进【作者单位】211800 江苏省江浦高级中学【正文语种】中文著名数学家怀特海说过:“数学是真善美的统一.”“真善美”是一种大智慧，一门大学问.数学的真善美，既是数学研究中的重要领域，也是数学探索中追求的一个目标，还是数学待以发展的重要原动力.笔者将“真”“善”“美”作为习题教学的三个境界，结合教学实践探讨例题教学。
教学实际中，对于教师讲的很多题目，学生以为自己都懂了，但把题目稍微变化下就不会了，或者遇到相关题目，不知道从什么角度去思考问题，其实都不是真“懂”真“会”.原因之一，学习者不求甚解，不重视对发现过程、探索过程去反思，没能领悟出问题本质.原因之二，教师没能结合学生认知水平去深入研究问题，不能让学生充分地理解知识的内涵，课堂教学没能深刻地揭示出问题本质特性。
1.1 暴露思维错中求真例1 已知a>0,b>0，且a+b=1，则的最小值为．生1：∵，∴。
生。
生。
展示完上述三种解法，笔者提醒大家注意“一正二定三相等”原则，让学生上黑板补充写上“三相等”，结果发现都取不到等号。
师：一经“三相等”检验时，发现都求错了.所以，只要用到基本不等式的地方，“三相等”步骤一定要写.那么到底怎样求呢？学生沉思。
师：其实生3的解法有可取的地方。
-2.除了最后一个不等式用错了，前面的变形演算都是正确的，而且取得了很大的进展，成功地将项数减少至三项(其中有一项还为常数项-2)，只需关注的最小值即可.虽然用不了基本不等式，但是可以用函数单调性。
生4：设)，可证在单调递减，则，所以的最小值为，从而的最小值为。
说明：本道题还可以用均值代换法、三角换元法等。
1.2 层次理解调控方向例2设等差数列{an}满足以下等式=1，公差d∈(-1,0).若当且仅当n=9时，数列的前n项和Sn取最大值，则首项a1取值范围为．本题是上课时的一道例题，当时很多学生拿到题目，不知如何下手.教师启发学生整合信息，发现条件间有层次性、递进性.学生就很自然地想到先从“当且仅当n=9时，数列的前n项和Sn取最大值”这个条件入手.于是有了下面两种处理方式。
数学美与解题
例 ６ 已知 ａ ＞ ０ ， ｂ ＞ ０ ， 且ａ ＋ ｂ ＝ ｌ ， 求（ ａ ＋ ） （ ｂ ＋＿ １） 的 最 小值 。
ａ Ｄ
例 ２学校 有 １ ３ ２ 人参加 乒乓球选拔赛 ， 采 用输 一场即予淘 汰的单淘汰制。为了决定第一名 。 共需进行多少场比赛 ？ 分析 ： 若从 正面考虑 ． 需分 别求 出每一轮 比赛的场数再相 加， 显 然不符合 简单性原则 ， 不妨考虑其反 面， 选拔 １ 人 的反 面 是淘汰 １ ３ １ 人， 而每 淘汰 １ 人就要进行 １ 场比赛 ， 故需进行 １ ３ １
ｚ
，
斗
为 正 整 数） 。
分析 ： 不等 式左边的结构是有规律 的 。 同时又似乎有 点不
完整 。 和 谐 化 原 则 指 引我们 把 左 边 的 结构 补 充 完整 。 解： 设 Ａ＝ ２ ／ １ ・ ５ ／ ４ ・ ８ ／ ７ …・ ・ （ ３ ｎ 一 １ ） ／ （ ３ ｎ 一 ２ ） ， Ｂ ＝ ３ ／ ２ ・ ６ ／ ５ 。 ９ ／ ８ … 一３ ｎ ／ （ ３ ｎ 一 １ ） ，
又 ‘ ． ’ Ａ ＣＤＥ ＡＣＦ Ｂ。 ＣＥ ＝
・ ． ．
数 学是 一 个 五 彩 缤 纷 的 美 的世 界 ， 当我们 认 识 到 它 时 。 就
可 以改变对数 学的成见 ． 极 大地提 高学习数 学的积极性 。因此 在平 时的教 学 中． 我们应 注意挖掘数 学中关的素材 ， 培养 学生 的审 美意识和数 学美感 。在解数 学题 时 。 应 以审美的心 态去观 察、 思考， 看能否运 用 美学的方法—— 简单性 方法 、 和谐 性 方 法、 对称性方 法、 类比性方 法、 奇异性方 法等来解决数 学问题 ，
本 文 对 此略 作 探 索
试论数学美及其在解题中的作用
试论数学美及其在解题中的作用：1 数学美及学习数学的意义历来，数学在我们的学习过程中都有着重要的地位，几乎所有的学科的基础都是数学，是我们学习的根基。
数学是一门抽象的学科，它能够找到连接实践与理论的'桥梁'也就是所谓的规律，而这正是数学伟大之处所在。
除此之外，数学也具有很高的美学价值，例如斯蒂芬·康纳的《非洲迷宫》中描述的一个神奇的迷宫，它比神经繁复元素构成了一幅错综复杂的图案，使数学变得妩媚动人;另一方面，著名数学家厄泽·卡尔·斯特朗画的一个圆，使数学变得简洁明快。
这些都说明，数学的美丽可以利用结构和形状这样的抽象元素来表现出来。
学习数学，需要培养我们的建模能力，即用自己熟悉的语言和数量建立理解解决实际问题的过程。
模型具有唯一性，可以描述世界的状况，以便快速有效地解决实际问题。
这样，无论是在学业中还是在以后的工作中，都可以分析全局态势，更新知识水平，帮助解决现实问题。
2 解题的作用数学意义重大，数学在实际中的应用也是不容忽视的，特别是在解题方面数学作用更加显著，任何复杂的解题问题都是由数学原理组成的，而某些复杂的解题问题，如果没有数学原理是很难解决的。
因此，数学对解题广泛而深入地运用，很多解题问题都必须依靠数学解决。
数学应用运用在解决问题中变得更加重要，做出更复杂的问题，思想也更加灵活，这就要求人们有了数学的基础和丰富的实践经验，以便利用数学的原理进行深入的解决。
数学的抽象和实践以及它的美丽，同样是解题的有力帮手，有效地发掘和应用，才能使问题被更好的解决。
3 结论总的来说，数学在解决解题问题中有着重要的作用，它既有着深刻的伟大价值，又有着很高的美学价值，人们可以利用一系列有趣的方法破解和解决难题。
当然，学习数学也是掌握这种方法及其原理的必要途径。
只有掌握了数学，才能更好地利用它的优点，为我们的学习生活和工作增添分量。
数学对称美及其在解题中的应用
＝、 数学对称夔在证躺不等式中的皮胄 ｌ 对 千一浆 盼绺誉锋 ｕ 式， 如槊我们把撼 任 ｒ问题 的本质 ， 则能 使我 们的憨维和推理过橼熙 滴晰 筒游 ， 诫 明起来就简单多 了 例２ ： 波 ， ６ ， ＃ ＞０｝ 凡 十 ６ 十 １ 求证 （ １ ＋ 螂 ） （ １ ＋ ） （ ｊ ＋ ）
（ 如右蹦 ） 解： 瞳 ｌ 题 设 光线 ｌ 的 擞线 ） 为： ～ ３ ｋ （ ｘ ＋３ ） 内髓 成 像 的） 【 于 称 性作 出 Ｃ凳 轴埘称 彤 徽 （ ：
幽 ｘ ＋ 一４ ｘ一 本 ＋ 々＝Ｏ
ｌ 《ｘ 《０埘， ｆ （ ｘ ） 一 ÷ 刚 ６ ． ５ ） —— ～ 。
分析 ： “ｘ ） 魁定义张 Ｒ 的偶嫡数 。 剃焚 予 Ｙ 轴 对称 蹿 Ｏ 是ｙ ｆ 《 ） 的对称轴 义嘲为 ｆ （ １＋ 》 ￡ （ １一 ｘ ） 所以ｘ １ 也是 ｙ “ｘ ） 的Ｊ ｌ 寸 称轴 敞ｙ ｘ ） 魁姒 ２为周期的周期两数
１
所以ｆ （ ６ Ｓ ） ｆ （ ６ ＋ Ｏ ） ｆ （ ０ ． § ） ｆ （一 ０ ． ｓ ） ÷
＋。 ） 一 一 ，一
嚣《 描十 ， （ ＋ 嚣 ） （ ＋ ） ｌ 讯 （ 十 ｙ ＋ ）＋ 雄 （ ｘ ｙ十 ， 薯＋ 描） ］ 在 式Ｆ ｐ 令ｘ ＝ ２ ， 一１ ： ０ ， 褥１ ５ ５ ｍ一 ２ 々 Ｙ １ ， Ｏ， 得ｌ ２ ｛ 聃七｜ ｌ
一
一
例６ 岛点 Ａ （ 一 ３ ， ３ ） 发出的光线 到 ｌ 轴 被 Ｘ轴魇射 其反 射 光线谯蠢线 躐 十 ｙ 一 ４ ｘ 一 ４ ｙ ＋ ７ Ｏ艚 ｊ 协， 求 光线 Ｌ 所 谯的袁 线
方程。
分析 ； 椒据镜鳓戚像 的对 称性先作出髑 Ｃ荧干 ｘ 辅对称的 形麟 Ｃ 删越转化为求过点 髓与斓 ｅ 榴切的黼绒矗秘 ． 则 容弱求 出箕 ｌ 解
数学的美与智慧初中数学中的优美定理与问题解决思路
数学中的智慧
数学中的逻辑思维是指通过严谨的推理和证明来得出结论的思维方式。
逻辑思维在数学中广泛应用于证明定理、推导公式等方面。
通过逻辑思维，我们可以探究数学中的内在规律和联系，从而更好地理解和掌握数学知 识。
逻辑思维对于解决实际问题、进行科学研究等方面也具有重要意义。
定义：抽象思维是一种通过符号、 概念和逻辑推理来把握现实世界本 质的思维方式。
理解问题：明确问题的目标和条件，理解概率的基本概念。 收集信息：收集与问题相关的数据和信息，包括历史数据和背景知识。 建立模型：根据问题的特点和概率分布，建立合适的概率模型。 计算分析：根据建立的模型进行计算和分析，得出概率结果。
理解问题：明确问题的要求和条件，理解函数关系和变量之间的关系。
建立模型：根据问题的实际情况，选择适当的数学模型，将问题转化为数学问题。 求解模型：利用数学方法和计算技巧，求解建立的数学模型，得出函数关系式或数值 结果。 验证结果：将求解的结果代入实际问题中进行验证，确保结果的准确性和有效性。
应用：在数学中，抽象思维被广泛应 用于代数、几何等领域，通过符号和 公式来表达现实世界的数量关系和空 间形式。
添加标题
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特点：具有高度的概括性和抽象性， 能够透过现象看本质，发现事物的 内在规律和联系。
意义：抽象思维有助于我们更好地理 解现实世界，发现事物的本质和内在 规律，推动科学技术的进步和发展。
初中数学中的问题 解决思路
理解问题：明确问 题的目标，理解代 数式和方程的意义
代数式化简：将复 杂的代数式化简为 简单的形式，便于 计算和理解
方程求解：通过代 数方法求解方程， 得到未知数的值
检验答案：验证求 解得到的答案是否 符合题目的要求和 实际情况
_数学美_在高中数学解题中的运用
的过程中学生会感悟到：数学处处体现着简洁美，简洁美是
数学的一种追求。
二、运用和谐美—— —启迪解题思路
希腊数学家裴安认为：“和谐美是复杂的统一，是对立
的协调，经过数学变换出现了统一的均衡美。”用和谐美的
观点看，解题过程就是一个和谐地协调各种关系的过程，即
沟通已知与未知，条件与结论，部分与整体等对立面之间的
+
y2 z+2x
+
z2 x+2y
≥
1 3
，只要证 x2 y+2z
+
y2 z+2x
+
z2 x+2y
≥
x+y+z 3
即可.
因为 x＞0,y＞0,z＞0,所以由算术平均 - 几何平均不等
姨 式得 x2 y+2z
+
1 9
（y+2z）≥2
x2 y+2z
·19
(y+2z)
=
2 3
x
所以 x2 y+2z
≥
2 3
x-
D、G、K 共线，从而在矩形 ABCD 中，点 K 是过点 D 的 AF
的垂线与 AB 的交点，因此，由点 F 的变化不难得点 K 的变
化范围，可得
t
的取值范围是[
1 2
,1].
这种解法抓住了问题的本质，解题过程简洁、透彻，给
人一种美的享受。这种美感使学生体会到学习数学的乐趣，
从而激发学生学习的兴趣和探索新知的欲望。在数学学习
类处理，总结出解题规律，做到熟一题，通一类。
例：1.设双曲线
C
:
x2 a2
-
应用数学美巧解高中数学题
应用数学美巧解高中数学题摘要：数学美育要经历感美（感悟，认知数学）——立美（掌握数学研究方法）——创美（应用）三个阶段，高中数学教学过程中不仅应让学生感悟到数学美，更应注重培养学生应用数学美解决数学问题上的意识，使学生学会在解题过程中展示数学美。
关键词：中学数学教学；数学美；解题；应用；展示高中课程标准中课程的基本概念特别强调数学课程要“体现数学的美学价值”。
高中数学教学过程中要注重渗透美育，数学美育有助于提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，培养学生创造、发明数学的激情，激发学生的数学学习兴趣。
使学生学会欣赏、感受数学美，提高学习兴趣只是数学美育卖出的第一步，数学美育的终极目标应是学生能够有意识地应用数学美解决数学问题，在解决数学问题的过程中展示数学美。
一、对数学美的认识徐利治先生曾指出数学美的因素主要是：数学概念的简单性，统一性；结构系统的协调，对称性；数学命题和数学模型的概括性和广泛实用性；数学的奇异性等等。
数学美并非像艺术美那样完全建立在直接的感官之上，而主要是一种理性美。
数学这种深奥的美在于各部分的和谐秩序，并且纯粹理智能够把握它。
我们追求的应是在极度复杂的事物中提出的极度简单性（简单美），在极度离散的事物中概括的极度的统一性（统一美），在极度无序的事物中发现的极度的对称性（对称美），在极度平凡的事物中认识的极度的奇异性（奇异美）。
英国著名哲学家、数理逻辑学家罗素曾把数学的美形容为一种“冷而严肃的美”。
他认为“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种充满的境地。
”正因如此，数学美的感受需要通过大量的练习，花费大量的时间和精力才能获得，而并非通过对于美的鉴赏的训练所能达到的。
数学美育要经历感美（感悟，认知数学）——立美（掌握数学研究方法）——创美（应用）三个阶段。
巧用数学对称美解题
争（ Ａ ＋ ＋ ＋≥ ・ ＋＋ Ａ Ａ 手 ）
例 ２试 比较 ２０￣ 与 ２０￣ 的大小． ０６￣ ０７ ７
分 析 这 两个数 都是 相 ３大的 ，直接 计算 不能进 － ＇ 行 比较 ． 不妨 先从 比较 小的数 开始探 究 ，如 １＜ 我们 ２
２ ， ２ ＜３ ， ３ ＞４ ， ４ ＞５ ３ ４ ５
， １＿Ｊ ‘
部分之 间的 匀称和 对等． 学上 常常表现为数 式或 在数 图形的对称 ，命题 或结构的对 偶或对应． 学解题 在数
过程 中，若能积极挖掘 问题 中隐含的对称性 ，巧妙地
（≥３ ｎ ）成立 据不等式 两边 的对称 结构可知 ，只要 艮
证明， ） 在 ≥３上为单调减 函数即可． （ ＝ 证明 因为 １ ２，３３，３ ４，４＞ ６，…， ２ ’ ＜ ４ ｓ ５，５ ＜ ２ ＞ ＞
、
巧 用数 式结构 对称 解题
证明当 ｎ 时 ， ‘１＿ Ｊ
成立 ． 造 函数 ， ： 构 （） 、 ，（） 令
数 式结构的对称 ，必将 蕴含 着解法 （ 证法 ）的对 称． ，具有相 同结构特征的数 式具有 同等 的地 位 ， 从而 处理的手法 『将相 同． 学中的对称 美的角度 出发 ， 必 从数 常能优化解题 思路和 简化解题 过程． 例 １已知 ｘｙｚａ 、Ｙ ∈ ＋ ＋＝ ， 、： Ｒ，求证 ： ２ ＋ Ｘ
几何 上平 面的情形 有直线 对称 （ 对称 ）和点 对称 轴 （ 中心对称 ） ；空间的情形 除了直线和点对称外 ，还有 平面对称 ． 正方体 、球 等都是点 、线、面的对称 图形． 在 处理几何 有关 问题 时，若能 充分 利 用图形的 对称
性 ，添加适 当的辅 助线或整体补形 ，能使解题过程大
解题中数学美论文
试论解题中数学美的探索在平时的教学中，应注意挖掘数学中美的因素，培养学生发现数学美。
比如为了激发、调动学生学习数学的兴趣和热情，精心设计每一堂课的每一个环节，增强师生情感交流，创造和谐的氛围，让学生在充满美的环境中接受数学美的的洗礼。
本人就这一方面略作探索：一、通过追求简洁美，寻求解题捷径简洁性是数学事实的简单明了表述，是数学事实对其简化形式的统一。
简洁性给人以精练、明快简捷、准确之美感。
有许多数学问题，其表面形式很复杂，但其本质总是存在简单的一面。
例１：已知方程（ａ２－２ｂ２）ｘ２＋（２ｂ２－２ｃ２）ｘ＋２ｃ２－ａ２＝０有两个相等实数根，求证：ａ２＝ｂ２＋ｃ２.析证这类问题一般是用判别式解证，运算繁琐，但经过观察可以发现方程各项系数和为零，从而可知方程的根有一根为1，又因为方程两根相等，故两根均为1，于是由韦达定理，得ａ２－２ｂ２＝２ｃ２－ｂ２→ａ２＝ｂ２＋ｃ２例1一举抓住了问题的关键，证明过程明快、流畅、简洁、彻底，能给人一种美的享受。
二、结构对称美，简化解题过程我们若用对称的观点审视数学，则发现具有对称美的数学内容比比皆是。
其对称式、对称图形、对称结构、对称变换等等无不显示数学美的魅力。
在数学解题过程中，数学对称美的体现能起到优化解题思路和简化解题过程的功效，也可以使学生思维的合理性得到培养和训练。
例２：⊙○的弦ｐｐ１ｑｑ１ｒｒ１两两相交于ａ、ｂ、c点，且ａｐ＝ｂｑ＝ｃｒ，ａｒ１＝ｂｐ１＝ｃｑ１，求证：△abc是正三角形。
证如图，设△abc三边长分别为x、y、z，ap=a,ar1=ｂ由相交弦定理，得a（x+b）=b（z+a）a（z+b）=b（y+a）a（y+b）=b（x+a）解得ｘ＝ｙ＝ｚ（仅当ａ＝ｂ时，有解）所以△ａｂｃ是正三角形。
此题的对称图形给我们以观赏美，而用对称性解题，可使我们在困惑中获得解题思路，真是美不胜收，其乐无穷。
三、运用相似美，探求解题思路数学的直觉判断往往开始于面临未能理解的数学对象关系和结构问题之时，当我们遇到一个陌生问题时，不妨观察外形和联想内在联系，将此陌生问题与熟知的“相似问题”进行类比，采用与此“相似问题”大致相同的方法，往往容易获解。
分享解题方法 欣赏数学之美
分享解题方法欣赏数学之美发表时间：2019-10-30T14:42:20.957Z 来源：《中小学教育》2020年第383期作者：张军锋[导读] 特殊教育和普通教育有着许多共同的地方，普通教育的一般规律在特殊教育中也是适用的，但特殊教育也有它特殊的一面。
——从试卷讲评看核心素养的培养陕西科技大学强华学校陕西咸阳712000试卷讲评课是高中阶段数学学习中最常见的课型，它是复习课，它对不同阶段的数学学习除了具有检测诊断的功能以外，还有查漏补缺，巩固知识，构建知识体系，深化对知识的理解，提升思维和计算能力的作用,这些恰恰是培养数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六大素养的绝佳载体。
笔者在试卷讲评的课堂教学中结合课程改革不断地改进教学方式，探索有效培养学生核心素养的方法，以下通过考题加以说明。
例１（2018年11月陕科大附中高三第三次模拟考试第10题）：在△ABC中，AB=2，AC=3，AB·BC=1，则BC=( )。
A. 3B. ７C．2 2 D. 23为了让学生掌握和用好向量这一有力的数学工具，讲评课上我选了几名考试期间做对的同学到黑板上讲解展示他们的解题思路和解题方法。
学生1：∵AB·BC=1=1，AB=2，AC=3，∴BC在AB方向上的投影为，即BD= ，在△ABC中CD2=AC2-AD2=9-（）2＝，从而BC2=CD2+BD2＝＋=3，∴BC= 3。
教师：向量本身就是几何与代数的完美结合体，它既有几何特征又具有代数属性，体现了几何与代数紧密联系而又和谐统一。
学生１因为准确地把握了向量的几何意义，就有了最简洁的解题思路和最简单的解题方法，这些都成为自然而合理的了。
你是否也像他一样能准确地把握向量的几何意义？学生2：∵AB=2，AB·BC=1，∴AB·BC=|AB|·|BC|cos（π-B）=-AB·BC·cosB=1，∴|BC|cosB=BC·cosB=- ，又AC=3，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=4+BC2+2×2× ，∴BC2=AC2-6=3,∴BC= 3。
解数学问题美的原则
解数学问题—奇异性原则 Ø例9 、求证：对任意实数a> 1，b>1都有不等式
a2 b2 8 成立. b1 a1
Ø分析：从不等式左边看，具有某种对偶，不妨构造对偶式。
，
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解数学问题—奇异性原则
Ø例9 、求证：对任意实数a> 1，b>1都有不等式 a2 b2 8 成立. b1 a1
Ø例1、 设有一直角QOP，试在OP边上求一点A，在OQ 边上求一点B，在直角内求一点C，使BC+CA等于定长l， 且使四边形ACBO的面积最大。
Ø分析：从条件看，动点太多，难于直接确定点的位置。 由命题“周长一定的凸边形中，以正边形的面积为最大”，但
需要补形？？？
第三页，课件共24页
解数学问题—对称性原则
Ø对称性给人一种圆满而匀称的美感与享受。数学中对立统一 的概念、运算、命题、图形等在结构与形式的很多方面体现对 称美。
Ø数学解题可以从对称美的角度出发，或分析式子的对称、 或变换调整对称元素关系、或补形构造对称等等，这常能打 开我们的解题思路、优化解题过程。
第二页，课件共24页
解数学问题—对称性原则
Ø对称是和谐美的一种表现之一。除了对称，和谐美有广泛含义 ，包括不同数学对象或同一对象的部分与整体所存在的内在统一 规律。
Ø在数学解题中，可以从条件与结论的和谐，数、式、形的 和谐、解题方法与思维策略的和谐等方面来探寻解题思路 。和谐美的原则能够导向我们解题思路的自然流淌积，如何求？如何变成规则的？
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解数学问题—对称性原则
Ø例2、若y=x2(0≤x≤1)与x=1，x轴围成的图形面积是1/3，那
么y=x2 与
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解 题 中 的 数 学 美泰州市朱庄中学 王雄数学是一个五彩缤纷的美的世界，在解数学题时，应以审美的心态去观察，思考，看能否运用美学的方法—简单性方法、和谐性方法、对称性方法、相似性方法、奇异性方法等，来解决数学问题,本文对此略作探索。
一、简单美——从整体代换和正难则反中实现简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家地地碟狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。
”例1． 已知一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个实数根分别为m 、n ，记P ＝m 4+n 4, q ＝m 3+n 3,r ＝m 2+n 2. 求aP+bq+cr 的值。
分析：本题若用根与系数的关系m+n ＝b/a,mn ＝c/a,直接代入,运算非常复杂,若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。
解：由方程的定义，得am 2+bm+c ＝0, an2+bn+c ＝0，则aP+bq+cr＝ a (m 4+n 4)+b( m 3+n 3)+c (m 2+n 2)＝(a m 4+b m 3+c m 2)+(an 4+b n 3+c n 2) ＝ m 2(a m 2+bm+c)+ n 2(a n 2+bn+c)＝m 2·0+n 2·0＝0例2． 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制，为了决定第一名，共需进行多少场比赛？分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。
例3 已知c b a ，求使得ca k cb b a ---≥+14恒成立时k 的最大值分析：设m b a =-；n c b =-化简可得。
例4设a 、b 、c 为三角形三边，求证：))()((27)(3b a c a c b c b a c b a -+-+-+≥++二、和谐美——从整体考虑和合理猜想中体现希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。
”和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向。
例1． 求证：2/1·5/4·8/7…(3n －1)/(3n －2)＞313+n (n 为正整数)。
分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把 左边的结构补充完整。
解：设A ＝2/1·5/4·8/7·……·(3n －1)/(3n －2), B ＝3/2·6/5·9/8·……· 3n/(3n －1), C ＝4/3·7/6·10/9·……·(3n+1)/(3n),∵2/1＞3/2＞4/3＞0，5/4＞6/5＞7/6＞0， 8/7＞9/8＞10/9＞0，2313--n n ＞133-n n ＞nn 313+＞0，∴A ＞B ＞C ＞0.∴A 3＞ABC ＝2/1·3/2·4/3·5/4·6/5·7/6· · (3n －1)/(3n －2) ·3n/(3n －1) ·(3n+1)/(3n)＝ 3n+1. ∴原不等式成立。
例2 证明：对于一切和为1的正数n a a a a 321,,，不等式211212132222121≥+++++++--a a a a a a a a a a a a n n nn n1212132222121a a a a a a a a a a a a n nn n n A +++++++=-- 1211232232122a a a a a a a a a a a a n nn n B +++++++=-0=-B A再利用2)(222b a b a +≥+和A B A 2=+例4． 如图，△ABC 中，E 是BC 的中点，D 在AC 边上，若AC ＝1，∠A ＝60°, ∠ABC ＝100°, ∠DEC ＝80°, 求S △ABC +2S △CDE .分析：△ABC 和△CDE 都是一般的斜三角形，直接求面积很困难，注意到∠A ＝60°是一个特殊角，从和谐化的角度考虑，若把△ABC 整体补形为一个正三角形，问题则迎刃而解。
解：以AC 为一边，∠A 为一内角作正三角形ACM,作∠MCB 的平分线交MB 于F 。
∵MC ＝AC, ∠MCF ＝∠ACB ＝20°, ∠M ＝∠A, ∴△MFC ≌△ABC. 又∵△CD E ∽△CFB,CE ＝1/2CB, ∴S △CDE ＝1/4 S △CFB ∴S △ABC +2S △CDE ＝S △ABC +1/2S △CFB ＝1/2S △ACM ＝3/8.三、对称美——从沟通信息和发掘内涵中揭示对称美的数学内容可谓比比皆是，在数学解题中，对称美的体现能收到优化解题过程的功效。
长期以来，人们对于对称性的理解往往仅局限于函数图象自身的对称性和不同函数图象之间的对称性，这大大缩小了对称性的外延。
其实，对称性应广义的理解为对称关系，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用它往往能更简捷地使问题得以解决。
本文阐述自己在这方面的思考与探索. 1． 利用对称的图形关系ABCD EFMED CB A几何图形的对称性是一种美,但它所蕴涵的代数关系往往是问题解决的关键,也是形成奇思妙解的源泉.9.函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 函数y ＝11－x ＝－1x －1和y ＝2sin πx 的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y ＝11－x 与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 8 例1 在椭圆191622=+y x 中,求以点)2,3(P 为中点的弦所在的直线方程.分析：按常规方法，设出过P 的点斜式方程，将它与椭圆方程联立，然后结合中点坐标公式、韦达定理求出斜率，进而求得直线方程.但如果注意到椭圆的对称性以及中点弦的对称性，则可以利用对称性构造关于中点的对称方程求解.先求出椭圆191622=+y x 关于点)2,3(P 对称的椭圆方程19)4(16)6(22=+--y x ,然后将两椭圆方程相减,整理后可得所求直线方程: 01453227=-+y x .例2． 如图，P 为⊙O 的弦AB 的中点，过P 任作两条弦CD 、EF ，连结ED 、CF 分别交AB 于M 、N 。
求证：PM ＝PN 。
（蝴蝶定理）评述：本题给人以对称美的享受，七十年代，美国一家数学杂志曾对此题进行有奖征答，涌现出多种证法，这里介绍本人的独特证法：证明：连接OP 、OM 、ON ，过O 作OG ⊥ED 、OH ⊥CF ，垂足分别为G 、H ，连接PG 、PH ，∵PA ＝PB ，AB 不是⊙O 的直径， ∴OP ⊥AB ∴O 、P 、M 、G 四点共圆，O 、P 、N 、H 四点共圆， ∴∠EGP ＝∠MOP ，∠CHP ＝∠NOP 。
∵△PED ∽△PCF ，PG ，PH 是中线，∴△PEG ∽△PCH 。
∴∠EGP ＝∠CHP ，∴∠MOP ＝∠NOP ，∴PM ＝PN 。
2．利用对称的结构关系数学问题常有对称的结构关系,如典型的轮换对称、和差对称、互倒对称、互余对称、共轭对称等，恰当的利用对称的结构关系不仅能提高解题速度，而且往往能以简驭繁，简缩思维，拓宽思路.例1． 化简))((c a b a bc --＋))((a b c b ca --＋))((b c a c ab--的结果为＿。
（1991年第一届“希望杯”数学竞赛试题） A.))((2c a b a bc -- B. ))((2a b c b ca -- C.))((2b c a c ab-- D.0分析：因原式是a 、b 、c 的对称式，故化简的结果也应是对称式，但选择支A 、B 、C 都不是对称式，因此选D 。
例2 已知a ＞0, b ＞0，且a ＋b ＝1，求(a ＋a 1)(b ＋b1)的最小值. 分析：由题设条件可知 a 、b 具有对称性，因此猜想当a ＝b ＝21时，原式有最小值425，可考虑均值设元.解：设 2121x b x a -=+=， (－21＜x ＜21)则(a ＋a 1)(b ＋b 1)＝242164162425xx x -++ 显然，当x ＝0时，可同时使分子取得最小值25和分母取得最大值4. 因而，当a ＝b ＝21时，原式的最小值为425. 32a z a ay x =++例3 解关于z y x 、、的方程组: 32b z b by x =++ . 32c z c cy x =++分析:本题可以运用消元法解，但运算量大，若注意到z y x 、、及c b a 、、的对称性，则可以这样求解：将c b a 、、看成未知系数，z y x 、、看作系数，那么c b a 、、就是方程023=---x ym zm m 的根，由韦达定理可得：z c b a c =++ abc x =y ca bc ab -=++ ，则原方程的解为： )(ca bc ab y ++-=x abc = c c b a z ++=例4 求不定积分dx xx x⎰+cos sin sin分析:本题乍一看不易下手,方法不当难以积分.但如果注意到正弦和余弦的对称性以及和式与差式的对称性,则可以化难为易,得到以下简洁美妙的解法. 由于x x x x x x x x x x c o s s i n c o sc o s s i n s i n c o s s in c o s s i n +++++=,令dxT x⎰=sin 1；dx T x x x⎰+=cos sin cos 2；则⎰⎰⎰+==+=+++1cos sin cos cos sin sin 21c x dx dx dx T T x x xx x x ，⎰⎰⎰++==-=-++++2cos sin )cos (sin cos sin sin cos sin cos 12|cos sin |ln C x x dx dx T T x x x x d x x xx x x ， 联解以上两式得).)((|)cos sin |ln (2121211c c c c x x x T -=++-=其中. 3．利用对称的性质关系例4 求和：nnn n n n nC C C C C S +++++= 4321432 分析：从结构上看，求和的各项是由等差数列的项与二项式系数的项合成，二项式系数的突出性质就是具有对称性，即kn nk n C C -=，而等差数列的性质之一也是对称性，因此联想利用倒序相加法来解决不失为一种简便又巧妙的方法.设n n n n n n n nC C C C C G S ++++++= 4321043210 ① 则构造010)1(n n n n n C C n nC S ++-+=- ② ①+②得n n n N n n n n n n n n n C C C C n nC nC nC nC nC S 2)(22103210⋅=++++=+++++= ∴12-⋅=n n S .4．利用对称的位置关系当数学问题中的若干几何元素自身或这些几何元素都与同一几何元素存在对称的位置关系，则可以研究对称的几何元素寻找解题突破口，或可以研究其中一个几何量的性质，其它类比解决.11．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P 、Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P 、Q )与点对(Q ，P )看作同一个“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋4x ＋1，x <0，2e x ，x ≥0，则f (x )的“友好点对”的个数是________．解析 设P (x ，y )、Q (－x ，－y )(x >0)为函数f (x )的“友好点对”，则y ＝2e x ，－y ＝2(－x )2＋4(－x )＋1＝2x 2－4x ＋1，∴2e x ＋2x 2－4x ＋1＝0，在同一坐标系中作函数y 1＝2e x 、y 2＝－2x 2＋4x －1的图象，y 1、y 2的图象有两个交点，所以f (x )有2个“友好点对”，故填2. 答案 2例5 设异面直线a 、b 成︒60角，它们的公垂线段为EF ，且|EF|=2，线段|AB|=4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动，求AB 的中点P 的轨迹.分析：由于异面直线a 、b 和两端点A 、B 的地位都 E A相等，由位置的对称性知P 点的轨迹必在过EF 的中点O ， o P A ' a ' 且与a 、b 平行的平面α内.故取EF 的中点O,过O 作a a //', B ' b 'b b //',则b a '',确定平面α,EF ⊥α,且A 、B 在α内的射影A '、 F B B '分别在b a ''、上，而且由对称性知AB 的中点P 必在B A ''上，由|EF|=2，|AB|=4可得32||=''B A 在平面α内以B O A ''∠的平分线为x 轴，O 为原点建立直 角坐标系.令m A O ='||,n B O ='||,在B O A ''∆中1222=-+mn n m x设点P 的坐标为),(y x ,则有)(223n m x +=, )(221n m y -= , B '解得y m x 232+=， y n x 232-=， 消去n m 、可得1292=+y x .5．利用对称的数量关系当数学问题中的若干元素（或若干情形）具有对称的数量关系时，由此出发构建解题思路，往往可化繁为简，化难为易.例 6 由0，1，2……9组成无重复数字的6位数，个位数比十位数大的6位数有多少个？分析:若从个位数字进行考虑,就得按0，1，2……9进行分类讨论,则问题较为繁杂.注意到任意一个个位数比十位数大的6位数,交换个位与十位后就得到十位数比个位数大的6位数,反之亦然,依此“对称性”知所求为6位数总数的一半,即=)9(5921A 68040个. 例7 已知γβα、、、均为锐角，且满足1cos cos cos 222=++γβα， 求证：29sin 1sin 1sin 1222≥++γβα.分析:由对称性知当 2222sin sin sin ===γβα时等号成立,于是:34s i n 9s i n 122≥+αα；34s i n 9s i n 122≥+ββ；34s i n 9s i n 122≥+γγ，将三式相加得94)sin sin (sin9sin 1sin 1sin 1222222≥+++++γβαγβα，即94)]cos cos (cos3[9sin 1sin 1sin 1222222≥+++++-γβαγβα，故29sin 1sin 1sin 1222≥++γβα.6．利用对称的置换关系当数学对象的若干量存在特定的数量关系时，则可以通过这种对称的置换关系，获得其余量的特征.这大大减少了运算环节,降低了思维难度.例8 已知函数ax xx f +=2)(的图象关于直线0=+y x 对称，定义数列{}n a ，使得a a =1，),(12a f a =……，)(1n n a f a =+.(1)求数列{}n a 的通项； （2）求证：11+=∑i ni i a a <8.分析：解决本题的出发点在于求出参数a .由于函数ax x x f +=2)(的图象关于直线0=+y x 对称，因此可以进行以下置换:用 x -换y ,用y -换x ,得到解析式:ay y x +--=-)(2.即2+=x ax y ,于是得2=a (其余略).评注:中学数学中有一个典型的置换,当几何图象关于直线b x y +±=对称时,其代数表达式则满足这样的置换关系: 用 b x +±换y ,用b y ±换x .例9 已知椭圆16222=+y x 的内接PAB ∆的顶点P 的坐标为)3,1(，若APB ∠的平分线垂直于x 轴，求AB 边的斜率.分析:由平面几何知识知，直线PA 、PB 的倾斜角互补，其斜率互为相反数. 设直线PA 的斜率为k ,将其方程3)1(+-=x k y 代入椭圆16222=+y x 方程.可求得点B 的坐标为)33363,3332(2222++--+--k k k k k k求A 点的坐标时,无须将直线PA 的方程代入椭圆,只须以k -置换点B 坐标中的k ,即可得点A 的坐标)33363,3332(2222+++-+-+k k k k k k ,所以3=--=AB A B AB x x y y k .7．利用对称的变换关系中学数学问题有四类典型的对称变换，即点关于点的对称；点关于线的对称，线关于点的对称；线关于线的对称.这些对称变换一般利用中点公式、垂直关系，结合韦达定理则可以顺利解决.例10 已知椭圆C 的方程为16222=+y x ，试确定m 的取值范围，使得对直线m x y L +=4:，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称.分析:本题是一道典型的点关于直线对称的变换,需要抓住中点公式、垂直关系，结合韦达定理求解.故设C 上),(11y x A 、),(22y x B 两点关于直线m x y +=4对称，AB 的中点为),(00y x .由于L AB ⊥,可设直线AB 的方程为: b x y+-=41.由 m x y +=4 得0481681322=-+-b bx x16222=+y x则:)4816(1346422-⋅-=∆b b >0;1342021b x x x ==+;b b x y 13120410=+-=∴213-<b <213, ① AB 的中点为),(1312134bb 在直线L 上. ∴m b b+=13161312, 即134b m -=,代入①得 13132-<b <13132.评注:本题还可以将),(11y x A 、),(22y x B 两点代入直线方程,利用两式相减求解,但都要注意使用设而不求的转换策略.四、相似美——从直觉判断和类比中发现数学直觉判断，往往给予面临未能理解的数学对象或关系、结构的问题。