线性代数二次型讲义PPT课件

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第七章 二次型与二次曲面
上一页
解得对应的特征向量为 1 = (0, 1, 1)T;
2 = 2 时, 由 (2EA)X = 0,
解得对应的特征向量为 2 = (1, 0, 0)T ;
3 = 5 时, 由 (5EA)X = 0,
解得对应的特征向量为 3 = (0, 1, 1)T.
将 1, 2, 3 单位化，得
XTAX
YTBY
左乘以PT且右乘以P
A
B
.
第七章 二次型与二次16曲面
上一§页 1、二次型及其标准形 三、二次型的标准形
定义
如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX
化成了标准二次型
n
n
i
y
2 i
,
则称
i yi2
i 1
i1
为 f = X TAX 的一个标准形.
这样的矩阵 C 是否存在？
上一页
例2
若二次型 f 的矩阵为
1
1
A 1 0
2 1
2
试写出 f .
2
1 2
2
例解2
1
f (x, y, z) 1
2
1 0 1
2 1
2
2
x y z
2
x22y22x y4x zy.z
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第七章 二次型与二次10曲面
上一页
练习 写 出 f x23y24z22xy3y的 z 矩 A. 阵
都存在正交变换 X = QY 使得
f X T A X 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
其中 1, 2, …, n 就是 A 的全部特征值, Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征值1 , 2, …, n 的标准正交特征向量.
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上一页
例1 求正交矩阵 Q 使 QTAQ 成对角形矩阵，并求此
对于 A的某k个 重特征值 i1 i2 ik，
恰有 k个线性无关的实量 特， 征将 向它们正交化
所得k的 个正交向量仍是对 的应 特于 征向 . 量
因此，对A应 的于 个特征值，n可 个得 两到 两正交 的特征向 .将量其单位化n个 得两 到两正交的单位
化特征向 1,量 2,,n,且
A iii(i1 ,2 , ,n ).
AXX, X0.
将上式两边同时转置，由 A 的对称性，得
XTAXT.
而 XTA XXT(X)XTX,
因此，()XTX0.,即 .为实 . 数20
定理 2
实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量
必正交.
证 设 λ1,λ2 是实对称方阵 A 的两个不同的特征值， X1, X2 是对应的特征向量，即
A1 X 1 X 1 ,A2 X 2 X 2 .
2
0
3 z
x22 y23 z22 x y22 x.z
.
第七章 二次型与二次12曲面
§1、二次型及其标准形 n 元二次型及其矩阵表示
定义1
称 n 元实二次齐次式
f( x 1 ,x 2 , ,x n ) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 x 2 2 2 a 1 n x 1 x n a2x 22 22a2nx2xn ann xn2
令Q(1,2,,n),则Q为正交矩阵，即
QT Q1.
.
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记
1
2
n
A Q (A 1 ,A 2 , ,A n)(1 1,2 2, ,n n)
1
(1,2, ,n)
2
QA.
n
从而，
QTAQ为对角阵，且为 对 A的 角 n个元特恰征 . 值
.
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定理 5 任意一个 n 元实二次型
nn
f(x1,x2, ,xn)XTAX aijxi xj , i1 j1
定义3 对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩
阵P 使
P TAP = B
则称 A 合同于B，记作 A B
因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，
其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
合同矩阵的性质： (1)A~A; (2)A~BB~A; (3)A~B,B~CA~C.
经满秩的线性变换 X=PY
2 0 0
对角形矩阵.
其中
A
0
3
2
.
0 2 3
λ2 0 0
解 |λEA| 0 λ3 2
0 2 λ3
= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,
A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5.
1 0 0 x1
1 = 1 时, 由 (EA)X = 0, 即
0
2
2
x2
0,
0 2 2 x3
为相互正交的单位.向量组.
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第七章 二次型与二次曲面
§2. 正交变换法化二次型为标准形 一、实对称方阵的对角化
定理 1
实对称方阵的特征值都是实数 .
证 设 λ 是实对称方阵 A 的特征值，X 是对应的特征 向量，即
A XX, X0.
用X表示将向X的 量所有分量换成数 共后 轭复
得到的向量，将边 方同 程时 两取共轭，则
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
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考察：方程
13x210xy13y21 72 72 72
.
第七章 二次型与二次1曲8 面
正交矩阵
定义
正交变换在标准正交基下所对应的矩阵 称为正交矩阵.
正交矩阵有如下性质：
定理
A 是正交矩阵 ATA=E ( 或AAT = E ) .
定理
设 A 是正交矩阵 ，则 (1) | A | = 1 . (2) A 1 =AT .
定理
设 A 是正交矩阵 A 的列(行)向量组
定理 4
对于任一个n 阶实对称方阵 A, 必存在一个正
交方阵 P 使 PTAP 为对角形，且 PTAP 的对角线
上的元素均为 A 的 n 个特征值( 重数计算在内),
P 的列向量为相应于 n 个特征值的标准正交特征
向量.
证
.
22
证 设实对称方阵 A 的特征值为 12n
（重根计算在内），则由定理3 知，
为 n 元实二次型.
nn
n
记 aij = aji, 则 f(x1,x2,,xn)
aijxixj (或 aijxi xj )
i1 j1
i, j1
记 X = ( x1, x2, …, xn)T, A =( aij )nn , 则
f ( x1, x2, …, xn) = X TAX ,
其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.
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第七章 二次型与二次13曲面
注: ① 由于aij = aji , 所以 A T= A , ② A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半. n 元实二次型 f 一一对应 n 阶实对称矩阵 A
定义2
n
称只含平方项的二次型 f i xi2
为标准二次型.
i1
一一对应
表示 x y 平面上一条怎样的曲线？图形如何？
将 x y 坐标系逆时针旋转π/4，即令
x
y
2u 2 2u 2
2 v, 2 2 v, 2
则得此曲线在新的 u v 坐标系下的方程
u2 v2 1. 49
.
5
上述问题从几何上看，就是通过坐标轴旋转，消去式子 中的交叉项，使之成为标准方程.
而其中坐标轴的旋转所表示的线性变换是正交变换. 综上所述，从代数学的角度看，上述过程是通过正交变 换将一个二次齐次多项式化为只含有平方项的二次多项 式. 二次型就是二次齐次多项式.
并 用 矩 阵f形 . 式 表 示
解
11 0
例2 A 1 3
3 2
,
0
3 2
4
11 0
f (x, y, z) 1 3 3 2
034 2
.
x y. z
第七章 二次型与二次11曲面
上一页
练习
若二次型 f 的矩阵为 1 1 2
A 1 2 0
试写出 f .
2
0
3
例解2
1 1 2x
f (x,y,z)1 2 0 y
定理 设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四
个条件等价(互为充分必要条件) .
(1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) . (4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) .
0 1
(0,
1 , 1)T, 22
0 2
(1, 0, 0)T,30
(0,
1 , 1)T. 22
故所求的正交变换矩阵为
.
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第七章 二次型与二次曲面
上一页
01 0
Q=
1
1
20 2
.
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§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义 二次齐次多项式
f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
பைடு நூலகம்
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,
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第七章 二次型与二次7曲面
§1、二次型及其标准形
a11xa12ya13z
a11 a12 a13 x
(x,y,z)a21xa22ya23z(x,y,z)a21 a22 a23 y
a31xa32ya33z
a31 a32 a33 z
= XT AX .
A
X
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.
三元实二 次型 f
一一对应 三阶实对称矩阵 A
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第七章 二次型与二次8曲面
上一页
例 1写f出 x22y25z22xy 6y z2x的 z 矩 A. 阵
并用矩阵f.形式表示
解
11 1
例 2 A 1 2 3 ,
1 3 5
1 1 1 x f (x,y,z) 1 2 3 y.
1 3 5 z
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第七章 二次型与二次9曲面
通识教育平台数学课程系列教材
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1
第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法化二次型为标准形 第三节 化二次型为标准形的其他方法 第四节 二次型的分类 第五节 二次型在直角坐标系下的分类
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2
本章学习要求：
• 1．了解二次型及其矩阵表示。 • 2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化
二次型为标准形的配方法。 • 3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定
因为 A 的对称性，得
2X1TX2X1TAX 2 (AX1)TX2
从而，
(1X1)TX2 1X1TX2,
(12)X1 TX20,
因此，X1TX20,即 X1,X2正.交
.
21
定理 3
若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征值，则 A 对应于 的线性无关特征向量的最大个数均为 k .
实对称方阵相似于一 个对角阵吗？ 回答是肯定的！！！ 单击 此处 可查阅进一步内容
2a23yz = a23yz + a32zy . f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
而
(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型,
且二次型的矩阵为对称矩阵 B=C TAC .
满秩变换 X = CY
f = X TAX
F = Y TBY B = C TAC
.
第七章 二次型与二次15曲面
上一页
定理1 对任意的实二次型 f =XTAX, 一定存在满秩 线性变换 X=CY, 使二次型化为标准形.
推论 1
任意给定一个实对称矩阵A, 一定存在可逆矩阵
C, 使得 CTAC 为对.角矩阵.
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§2. 正交变换法化二次型为标准形 回顾：正交变换的概念
定义 设 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对 任意的 X, YRn, 有 || (X) (Y ) || = || XY || , 则称 为 Rn 上的正交变换.
n 元标准二次型 f
n 阶对角 矩 阵
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第七章 二次型与二次14曲面
§1、二次型及其标准形 二、矩阵间的合同关系
思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后 还是二次型吗?
对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY ,
则
f = X TAX = (CY )TA(CY) = Y T(C TAC ) Y .
性及其判别法。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用
“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；
对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用
“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来
表述。
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3
二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二 次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是