3 整数规划与分配问题(1)
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运筹学 第05章 整数规划与分配问题
1
整数规划问题的提出
0 xj 1 表示项目j不被选中 表示项目j被选中 ( j 1,2,3,4,5)
解：决策变量：设
目标函数：期望收益最大
max z 10 x1 8 x 2 7 x3 6 x 4 9 x5
约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515 项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1 项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1 项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4 归纳起来，其数学模型为：
n
(i 1,2, , m) ( j 1,2, , n)
2
整数规划问题的分类
根据变量取整数的情况，将整数规划分为：
（1）纯整数规划，所有变量都取整数.
（2）混合整数规划，一部分变量取整数,一部分变量取实数 （3）0-1整数规划 ,所有变量均取0或1
2
整数规划问题的求解思考
1
整数规划问题与其松弛问题
2
匈牙利法
例：用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩阵分别如下：
任务 A 2 10 9 7 B 15 4 14 8 C 13 14 16 11 D 4 15 13 9
人员
甲 乙 丙 丁
2
匈牙利法
2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9
例：其中（2，2）（3，1）点为最大值，Z=4。常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和
分支定界法，对于0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
3
分派问题与匈牙利法
1
运筹学-整数规划与分配问题PPT
但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
第四章 整数规划与分配问题(1)
一、整数规划的模型及特点
各位教师对各门课的准备时间
任务 人员
A 2 10
B 15 4
C 13 14
D 4 15
甲 乙
丙
丁
9
7
14
8
16
11
13
9
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
整数规划与线性规划的关系
整数规划包括整数线性规划和整数非线性
规划。
从数学模型上看整数线性规划似乎是线性 规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的 基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的 解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过 舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解， 有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可
行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，
如图所示。
整数规划与线性规划的关系
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最
大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值， Z=4。
目前，常用的求解整数规划的方法有：
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的模型
分配问题 分支定界法 割平面法 0－1 整数规划
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
例3 设有4个教师，他们各有能力去教4门不同课程中的任一 门，但因为他们的经历和经验不同，所以每个教师同样准备教 某一课程平均每周所需备课时间不同，见下表。问应分配哪个 教师去担任哪门课程，以使所有4门课程总的备课时间为最少？
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
整数规划问题及分配问题
在一般情况下，松驰问题的最优解不会刚好满 足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解， 自然就不是整数规划的最优解。此时，若对松驰问题 的这个最优解中不符合整数要求的分量简单地取整， 所得到的解不一定是整数规划问题的最优解，甚至也 不一定是整数规划问题的可行解。
§7-2 分支定界法
7.2.1 思路与解题步骤（只解松弛问题）
x1
10
x1 x2
8
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4
9 11
s .t .
x2 x3 x4 x5 13 x3 x4 x5 8
x4 x5 5
x5 3
x1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
0,
x1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
皆
5
为
整
数
这也是一个纯整数线性规划问题。
j 1
0 （1 且 取 整 ）
如果上述问题中一个或两个约束条件方程是“≥”型， 应两边同乘“-1”变为“≤”型，再用上述方法进行 调整。
在p个约束条件中至少要满足k个约束条件
n
aijxij bi(i 1,2....p)
j1
令yi为0-1变量，如果第i个约束条件是k个约束条件中的一 个，就令yi=1，否则取0；对p个约束条件中的每一个约束 条件都增加yi，变为：
（二）指派问题的基本特征
性质：特殊的运输问题、特殊0-1规划问题。 特征：（1）决策变量为0-1变量；
(2) 发点数m = 收点数 n； （3）ai=bj=1 i,j=1,2,…,n ;
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
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第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
整数规划与分配问题
m a x z = 2 0 x1 + 1 0 x 2 5 x1 + 4 x 2 ≤ 2 4 2 x + 5 x ≤ 13 1 2 s ⋅t x1 , x 2 ≥ 0 x1 , x 2 为 整 数
整数规划的一般模型
此模型与一般线性规划的模型很相似， 此模型与一般线性规划的模型很相似，区别在 于除变量的非负条件外，还加了整数解的要求。 于除变量的非负条件外，还加了整数解的要求。
例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每 箱的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如 下： 体积( 米 )
3
重量(百斤) 利润(百元) 2 5 13 20 10
货物集装箱 甲 乙 托运限制
5 4 24
问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？
设甲、乙两种货物装运箱数分别为x1 和x2。显然，都要求为整数,于是可建立 整数规划模型如下：
分配问题性质： 分配问题性质： 分配问题的最优解有这样的性质， 分配问题的最优解有这样的性质， 若从系数矩阵C的一行（ 若从系数矩阵C的一行（列）各元 素中分别减去该行（ 素中分别减去该行（列）的最小元 素得到的新矩阵B 那么B 素得到的新矩阵B，那么B为系数矩 阵求得的最优解和用原来的系数矩 求得的最优解相同。 阵C求得的最优解相同。
匈牙利算法： 匈牙利算法： 若系数矩阵中的元素可分 与非“ 两部分， 为”0”与非“0”两部分，则覆 盖 “0”元素的最少直线数等于位 于不同行不同列的“ 于不同行不同列的“0”元素的 最大个数。 最大个数。
甲 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 2 15 13 4
乙 10 4 14 15
丙 9 14 16 13
4
0
2
5
整数规划的一般模型
此模型与一般线性规划的模型很相似， 此模型与一般线性规划的模型很相似，区别在 于除变量的非负条件外，还加了整数解的要求。 于除变量的非负条件外，还加了整数解的要求。
例1 某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每 箱的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如 下： 体积( 米 )
3
重量(百斤) 利润(百元) 2 5 13 20 10
货物集装箱 甲 乙 托运限制
5 4 24
问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？
设甲、乙两种货物装运箱数分别为x1 和x2。显然，都要求为整数,于是可建立 整数规划模型如下：
分配问题性质： 分配问题性质： 分配问题的最优解有这样的性质， 分配问题的最优解有这样的性质， 若从系数矩阵C的一行（ 若从系数矩阵C的一行（列）各元 素中分别减去该行（ 素中分别减去该行（列）的最小元 素得到的新矩阵B 那么B 素得到的新矩阵B，那么B为系数矩 阵求得的最优解和用原来的系数矩 求得的最优解相同。 阵C求得的最优解相同。
匈牙利算法： 匈牙利算法： 若系数矩阵中的元素可分 与非“ 两部分， 为”0”与非“0”两部分，则覆 盖 “0”元素的最少直线数等于位 于不同行不同列的“ 于不同行不同列的“0”元素的 最大个数。 最大个数。
甲 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 2 15 13 4
乙 10 4 14 15
丙 9 14 16 13
4
0
2
5
运筹学 第四章 整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
(4)
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
逻辑变量的应用
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
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(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
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第四章 整数规划与分配问题
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如效率 矩阵为
运筹学——.整数规划和分配问题45页PPT
运筹学——.整数规划和分配问题
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无依存的。——伯克
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无依存的。——伯克
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题§4.1整数规划的特点及作用用单纯形法求解线性规划的结果往往得到分数或小数解。
但在很多实际问题中，全部或部分变量的取值必须是整数，如人或者机器设备不可分割。
此外还有一些问题，如要不要在某地建设工厂，可选用一个逻辑变量x ，令1x =表示在该地建厂，0x =表示不在该地建厂，逻辑变量也只允许取整数值的一类变量。
在一个整数规划中要求全部变量取整数值的，称纯整数线性规划或纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数（线性）规划；在纯整数规划问题中，若所有变量只允许取0，1两个值，则称其为0-1规划。
有人认为，对整数规划问题的求解可以先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划问题来求解，当解为非整数时可用四舍五入或凑整数寻找最优解，其实这种方法是不可行的，原因有以下两点：一、用凑整的方法计算量很大，而况还不一定能找到最优解。
如某线性规划问题的最优解为()()12 4.6 5.5x x =，用凑整数的方法时需比较与12,x x 的上述数值最接近的四种组合：(4,5),(5,5),(4,6),(5,6)如果问题中有10个变量，就要比较1021024=个整数解组合，而且最优解还不一定在这些组合中。
二、放松约束也无法求出其最优解例12121212max 322314.0.5 4.5,0,z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩整数如果不考虑整数约束，称为上述线性规划问题的松弛问题，松弛问题的最优解为：123.25, 2.5x x ==取整以后123,2x x ==是可行解，但1212123,3;4,2;4,3x x x x x x ======都不是可行解，而123,2x x ==对应的目标函数值123213z x x =+=却不是最优解，然而最优解是12124,1,max 3214x x z x x ===+=。
直接对松弛问题进行求解都无法求得整数规划问题的最优解，这就需要对整数线性规划问题有特殊的求解方法。
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（2）从第一列开始，若该列只有一个“0”元素，则对该 “0”元素打括号（ ），并划去该“0”元素所在的行；若该 列无“0”元素或有两个以上的“0”元素（不含划去的0）， 则转下一列；
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8 2 （0） 11 5 （0） 2 3 （0） 0 11 4
5 4 0 5
完成上述步骤后可能出现下列情况： ⅰ）效率矩阵的每一行都有一个打括号的0元素，则按照打 括号的0元素位置指派任务，即是最优解； ⅱ）打括号的0元素个数小于m，但未被划去的0元素之间存 在闭回路，则沿此闭回路，每隔一个0元打一括号，然后对 打括号的0元素所在行或所在列画直线； ⅲ）矩阵中所有0元素或被打括号，或被划去，但打括号的0 元素个数 m ，则进入下一步；
4
4
ij
x ij 1200
再引入一个0-1变量y
400 4 600 x ij 200 j 1 0 350 4 400 x ij 300 i 1 150
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0 0
0
0
0 0
(0) 0
0
(0)
(0) 0
3、设法使每一行都有一个打括号的“0”元素。按定理1继续对 矩阵进行变换：
ⅰ）从矩阵未被直线覆盖的元素中找出最小者k，
物资运输问题
工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂。 相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有B1，B2，B3，B4四个。 各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费 cij(i,j=1,2,3,4).
B1 A1 A2 A3 A4 需求量 2 8 7 4 30 0 4 5
0 0 5 0
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3、寻找独立“0”元素(不同行不同列）
（1）从第一行开始，若该行只有一个“0”元素，则对该 “0”元素打括号（ ）（表示这一行的人只有这一个任务可 指派），并划去该“0”元素所在的列（表示该项任务不能 再指派给别人） ；若该行无“0”元素或有两个以上的“0” 元素（不含划去的0），则转下一行；
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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第四章 整数规划与分配问题 （Integer Programming, IP)
整数规划的有关概念及特点 指派问题及匈牙利解法 整数规划的求解方法：分枝定界法、割平面法 0-1规划的求解方法：隐枚举法 整数规划的应用
ⅱ）对矩阵中无直线覆盖的行，令 令 v j k 。其余为0。
ui k
，有直线覆盖的列，
ⅲ）对矩阵的每个元素计算 aij ui v j ，得到一个新矩阵， 转第三步重复进行，直至每一行都有一打括号的0元素。
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8 2 （0） 11 5 （0） 2 3 （0） 0 11 4
x ij 0 y 0或1
模型的特点
特征—变量整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要
性质—可行域是离散集合
与线性规划的关系
整数规划
放松的线性规划
min c x Ax b s . t . x 0, x为整数
min c x Ax b s . t . x 0
常数 u i ，每一列元素分别减去（加上）一个元素 v j
新效率矩阵 bij 价于
a
ij
，bij aij ui v，则 bij j
，得
的最优解等
的最优解。
定理2：若矩阵A的元素可分为“0”元和“非0”元，则覆盖 “0”元的最少直线数等于位于不同行、不同列的“0”元的
1、非整数规划最优解 (3.25, 2.5) 显然不是整数规划的可行解。 2、四舍五入后的结果 (3, 3) 也不是整数规划的可行解。
(3.25, 2.5)
3、可行解是阴影区 域交叉点，可比较这 些点对应的函数值， 找出最优。4, 1) (
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
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松弛问 题
x j中部分或全部取整数
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划：
物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划：
投资组合问题
x j只能取值0或1
人员安排问题
医院护士24小时值班，每次值班8小时。不 同时段需要的护士人数不等。据统计：
第三，项目5，6和7中恰好选择两个。
应当怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？
1 对项目j投资 xj 0 对项目j不投资
模
型
变量—每个项目是否投资
x j 1,0
j 1,2..., n
B
x2 x1 x3 x4 1 x5 x6 x7 2
约束—总金额不超过限制＋3个附加条件
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任务
1 2 … m
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设
1 xij 0
第j个人完成第i项任务 否则
于是建立模型如下：
min z aij xij
i 1 j 1
m
m
x
j 1 m
m
ij
1, 1,
i 1,...m j 1,...m i, j 1,...m
21
x
i 1
最大个数。
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例：有一份说明书，要分别译成英、日、德、俄四种语言， 交给甲、乙、丙、丁四人去完成，各人的效率不同，如何 分配任务，可使总效率最高。
人 任务
甲
乙
丙
丁
英文
日文 德文 俄文
2
15 13 4
10
4 14 15
9
14 16 13
7
8 11 9
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匈牙利解法步骤：
x1
19
§2 指派问题及匈牙利解法
一、 指派问题与模型
m项任务分配给m个人去完成，每人只能完成其中一项， 每项任务只能分给一人完成，应如何分配使得效率最高？ aij是第j个人完成第i项任务的效率。
人
1 a11 a21 … am1
2 a12 a22 … am2
… … … …
m a1m a2m … amm
可行解是松弛问题的可行解 最优值不会优于其松弛问题的最优值
注
释
最优解不一定在顶点上达到 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数 解 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
二、 整数规划的求解特点
求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去尾法对
性规划的非整数解加以处理就能解决的，用枚举法又往往 会计算量太大，所以要用整数规划的特定方法加以解决。
min z
c
i 1 j 1
4
4
ij
x ij 1200y 1500(1 y )
400 4 600 x ij 200 y j 1 200(1 y ) 350 4 400 x ij 300 i 1 150
根据上图，k=2，
5 4 0 5
0 11 2 0 2
2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5 2 0 0 8
0 8 11 0 2 0 4 5 2 0 11
2
0 3 8 ( 0) 3 0 11 (0) 3 3 2 2 4 0 0 5 0 ( 0) 2 3 3 (0) 11 2
A 1 若建工厂 3 y A 0 若建工厂 4
min z
c
i 1 j 1
4
4
ij
x ij 1500
400 4 600 x ij 0 j 1 200 350 4 400 x ij 300 i 1 150
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ij
xij 0或1,
二、 指派问题的匈牙利解法
该指派问题可当作运输问题解决，但匈牙利解法更有效。 解法思想：效率矩阵的元素 aij 0 ，若有一组位于不同 行不同列的零元素，则令这些位置的决策变量取值为1，其 余均为0，这显然就是最优解。
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定理1：效率矩阵 a ij 的每一行元素分别减去（加上）一个
a x
n
目标—总收益最大
j 1
j
j
max
c
j 1
n
j
xj
模
型
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 x3 x4 1 x x x 2 6 7 5 x j 0或1 （j 1,2,..., n）
序号 1 2 3 4 5 6 时段 06—10 10—14 14—18 18—22 22—02 02—06 最少人数 60 70 60 50 20 30 安排人数 x1 x2 x3 x4 x5 x6
最少需要多少护士？
人员安排问题
设x1,x2,…,x6为各班新上班人数
min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 x1+x2 ≥70 x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 x6＋x1≥60 xj ≥0,j=1,2,…6