_函数的图形与曲率

3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
(极大)
(拐点)
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x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1
2
1
2 e
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2
A
o
y
1
y x2 1
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3. 11 .2 函数图形的描绘的步骤
设
1. 确定作图的区域，即函数
的定义域 , 并考虑
对称性、周期性 、有界性;
2. 求
并求出
及
等于 0 和不收敛
的点（可疑的极值点与可疑的拐点） ;
3. 列表判别增减及上、下凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求
的渐近线 ;
(极小)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
y (x 3)2 4(x 1)
1 0 1 2 3
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例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1
x
e
x2 2
,
2
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
第3章
§3 . 11 函数图形的描绘 与平面曲线的曲率
3. 11. 1 曲线的渐近线 3. 11. 2 函数图形的描绘 3. 11. 3 弧微分 3. 11. 4 曲率及其计算公式 3. 11. 5 曲率圆与曲率半径
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3. 11. 1 曲线的渐近线
定义 ：当一动点M 沿着曲线 C 无限地远离原点时，点 M 与
2 4y 8y 4xy 0 y 1 4 y
2(x 1)
令 y 0得 x 1, 3 ;
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3) 判别曲线形态
x (,1) 1 (1,1)
y
0
y
y
2
1 (1,3) 3
无 0
定
义
0
(3, )
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
y 0
0
y
0
y
2
x 1 3 (极大)
4)
y2
3
2
4 3
(拐点）
2 3
(极小)
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例4. 描绘方程
的图形.
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为 4(x 1)
2) 求关键点
2(x 3) 4 y 4y 4xy 0
y x 3 2y 2(x 1)
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)( x
x 1)2
1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
y
(
x
2 1)3
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又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x]
x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
2. 斜渐近线
若
lim
x
f
x
(ax b)
0 ,
则
y
f
x 有斜渐近线
y
ax b .
(或x )
(ax b)
[ f x ax b ]
lim
0
x
x
lim
x
f
x
x
a
b
x
0
f x b
a
lim
x
x
x
f x
a lim x x
(或x )
b lim [ f x ax] x (或x )
5. 确定某些特殊点（与纵、横轴的交点） , 描绘函数的图形。
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例3. 描绘 解: 1) 定义域为
的图形. 无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2, 令 y 0, 令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2 y 9 1 44
y (x 3)2 4(x 1)
y
(x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3, )
y
2
(极大)
无 定 义
0
2
e
x2 2
B
x
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3. 11. 3 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
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ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为 ds x2 y2 d t
y
几何意义: ds MT
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例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
3
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f
(x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x2 x2 2x
3x 3
y x 2 为曲线的斜渐近线 。
某一直线 L 的距离（纵或横坐标差）趋于 0 , 则称直线 L 为曲
线C 的渐近线 。
例如, 双曲线
x2 a2
y2 b2
1
有渐近线：
x y 0 ab
y
y f (x)
C M y kxb
L PN
o
x
y
但抛物线 y x2 无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅（垂）直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b ;
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线 y 1 2 的渐近线 .
x 1
2
解: lim 1 2 2
x x 1
1
y 2 为水平渐近线;
lim 1 2 , x 1 为垂直渐近线. x1 x 1
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dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
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3.11.4 曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义