完整版定积分简单应用求体积

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(完整版)定积分简单应用——求体积

(完整版)定积分简单应用——求体积

定积分的简单应用(二)复习:〔1〕求曲边梯形面积的方法是什么?〔2〕定积分的几何意义是什么?〔3〕微积分根本定理是什么?引入:我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。

求体积问题也是定积分的一个重要应用。

下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。

简单几何体的体积计算问题:设由连续曲线y f(x)和直线x a,x b及x轴围成的平面图形〔如图甲〕绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V,如何求V?分析:在区间[a,b]内插入n 1个分点,使a x0x1x2L x n1x n b,把曲线y f(x)〔a x b〕分割成n个垂直于x轴的“小长条〞,如图甲所示。

设第i个“小长条〞的宽是x i x i x i1,i 1,2,L,n。

这个“小长条〞绕x轴旋转一周就得到一个厚度是x i的小圆片,如图乙所示。

当x i很小时,第i个小圆片近似于底面半径为y i f(x i)的小圆柱。

因此,第i个小圆台的体积V i近似为V i f2(x i)x i该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和:V[f2(x1)x1 f2(x2)x2L f2(x n)x n]这个问题就是积分问题,那么有:bf2(x)dx b2(x)dxV fa a归纳:设旋转体是由连续曲线y f(x)和直线x a,x b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转V b2(x)dx而成,那么所得到的几何体的体积为fa2.利用定积分求旋转体的体积1/5〔1〕找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数〔2〕分清端点〔3〕确定几何体的构造〔4〕利用定积分进行体积计算3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积假设求绕y轴旋转得到的旋转体的体积,那么积分变量变为y,其公式为V b2(y)dy ga类型一:求简单几何体的体积例1:给定一个边长为a的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积思路:由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。

3.4 定积分的应用(体积、侧面积及一些物理量)

3.4 定积分的应用(体积、侧面积及一些物理量)
1 1 2 故截面积为 A( x ) = y ⋅ y tan α = ( R − x 2 ) tan α , 2 2 R R 1 2 3 2 2 V = ∫ A( x )dx = ∫ ( R − x ) tan αdx = R tan α . −R −R 2 3
4
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
在曲线上点 P ( x , f ( x )) 处的弧长微元
′ 2 ( x )dx , 是 dL = 1 + f
则 dA = 2πf ( x )dL ,
y
y = f (x )
o
a
x x + dx b
故 A = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx .
a
b
x
[ 圆台的侧面积 π × 母线长 × (上底半径 + 下底半径 ) 。在极限 圆台的侧面积=
A = 2π ∫
a
−a
′ y1 1 + y1 dx + 2π ∫
2
a
0
a
−a
′ y2 1 + y2 2 dx
x = 8abπ arcsin a
= 4abπ 2 .
3.4.3-5 定积分的应用 定积分的应用——体积、侧面积和一些物理量 体积、 体积
三、 一些物理量的计算
1、质量
轴上的质杆。 例 1.有一放置在 x 轴上的质杆。若其上每一点的密度等于
P = pA = γ h ⋅ A ;
若一平板垂直放置,由于深度不同处的压强不相等 若一平板垂直放置,由于深度不同处的压强不相等, 故平板一侧所受的压力就不能如上计算,但可用微 故平板一侧所受的压力就不能如上计算,但可用微 元法化成定积分计算 化成定积分计算。 元法化成定积分计算。

定积分的应用——求旋转体的体积

定积分的应用——求旋转体的体积
求由连续曲线 = ()( > ) 、
直线 = 、 = 及 轴围成的曲边梯
形绕 轴旋转一周而成的立体的体积.



如图示,取 为积分变量, ∈ , ,相应于 , 上的任一小区间
, + 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的薄片的体积近似等于以 = ()
轴围成的曲边梯形,绕 轴旋转一周而成的旋转体(如图示)的体积为:


B

= ()





= න = න [()]


例1 求抛物线 = 与直线 = 及 轴所围成的平面图形分别绕 轴和
轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
解 (1)如图所示,平面绕 轴旋转
4、利用定积分进行体积计算.
( 点的纵坐标 )为底半径、 为高的圆柱体的体积,

= ()


体积微元为

+ 源自 = = [ ]
所求旋转体的体积 为: =

‫ ׬‬
=

‫[ ׬‬
]
用上述类似地方法可以推出:由连续曲线 = ()、直线 = , = 与
立体. 这直线叫做旋转轴.
旋转体的特点:任何一个垂直于旋转轴的平面,截旋转体所得的截口图形
均为圆.
如圆柱、圆锥、圆台它们都是旋转体.如下图示:
可选取适当的坐标系,使旋转轴为 轴或 轴. 最基本的情形是曲边梯形绕
轴或 轴旋转.
2、旋转体的体积公式

= ()
(1)旋转轴为 轴
定积分的应用
----------------求旋转体的体积

定积分在几何上的应用体积、弧长

定积分在几何上的应用体积、弧长

弧长
s


2 ( ) 2 ( )d .
注意: ds
( )d
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从 a 到 b 的一段 3
弧的长度.
解 y x ,
1 2
ds 1 ( x )2 dx 1 xdx,
a
b
1 2
所求弧长为
s a
设曲线弧为 y f ( x ) (a x b) ,其中 f ( x ) 在[a , b]
上有一阶连续导数, 取积分变量为 x ,
y
在[a , b]上任取小区间[ x , x dx ],
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 弧长微元 ds (dx)2 (dy)2
o

dy
a
b
注意:该积分公式的适用条件
1 、x轴 是 旋 转 轴 ;
2、 旋 转 平 面 图 形 是 一 由 连 续 曲 线 f ( x )、 个 y x a、x b及x轴 所 围 成 , 即 图 形 的 边 一 在x轴 上;
一般地,由连续曲线 y f1 ( x ), f2 ( x ), y (0 f1 ( x ) f2 ( x ) ),以及直线 x a,x b (a b ) 所围图形绕 x 轴旋转一周所成立体的体积为
b a
A(x) a
x
x+dx b x
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交 成角 ,计算这平面截圆柱体所得有限部分立体的体积. 解
取坐标系如图, 底圆方程为 x 2 y 2 R2
任取 x [ R, R] 过点 x 作平面垂直于 x 轴,
截立体的截面为直角三角形.

定积分的几何应用(体积))

定积分的几何应用(体积))

π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3

(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
(※)
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体,体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y=0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y

定积分在求体积上的应用

定积分在求体积上的应用

Vx
b
f
2 ( x) dx
a
o ax b x
类似地: 求连续曲线段 x ( y) (c y d)
绕y轴旋转一周形成的立体体积.
d
Vy
[( y)]2dy
c
x (y)
例2. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.
解: 方法1 利用直角坐标方程
所围图形绕 x 轴旋转而 y b O x ax

0
6422
5π2 a3
绕x轴旋转而成的立体体积 Vx
b
a
f
2 ( x) dx
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
π a 2πa x
x x1( y)
π π a2 (t sin t)2 daas(tintsidnt)
注意t的积分上下限 !
2 π
π
π 0
a2
(t
sin
t
2 π a2 (1 cos t)2 ad(a1(t cossint)t)d t 0
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin 6 t d t
0
0
2
利用对称性
(令u t ) 2
32 π a3
π
2 sin 6 u d u
32 π a3 5 3 1 π
4 π ab2 3
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
4 π a3 . 3
例3. 计算摆线
的一拱与 y=0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的立体体积为
y
Vx
2π a πy2 dx

定积分的应用--简单几何体的体积

定积分的应用--简单几何体的体积

结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M,将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ?
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和:
V (02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解:圆锥体的体积为:
V

1

0

x2dx


3
x3
1 0

3
简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y=f(x)和 直线 x=a,x=b(a<b)及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成,设在区间[a,b]上点 x 处垂 直 x 轴的截面面积为 A(x)=πf2(x),则 体积为 V=bπf2(x)dx.
角形可以看作是由直线 y=x ,x=1 及 x 轴所围成的
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形,
设第 i 个小梯形的宽是 xi ,它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是 的小圆台。
当xi 很小时,每个小圆台近似于底面半径 为 xi 的小圆柱,因此,小圆台的体积近似为
( f (x) g(x))
四、课堂小结
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积,注意:
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
简单几何体的 体积

定积分的应用体积

定积分的应用体积

定积分的应用体积
定积分是数学中的一种基本概念,用于计算曲线下的面积或曲线围成的体积。

其中,定积分的应用体积主要有以下几种情况:
1. 计算曲线围成的体积:假设有一个曲线,其方程为y=f(x),要求曲线围成的体积,可以使用定积分来计算。

具体来说,曲线围成的体积可以表示为:
V =∫[a,b] f(x)dx
其中,a和b是曲线的两个端点,f(x)是曲线的方程。

通过对曲线围成的体积进行积分,可以得到曲线围成的体积。

2. 计算旋转体的体积:旋转体是指通过将一个平面曲线围绕一个轴旋转而得到的立体。

如果已知旋转体的旋转轴和曲线方程,可以使用定积分来计算旋转体的体积。

具体来说,旋转体的体积可以表示为:
V = ∫[a,b] r2 d A
其中,a和b是旋转轴上的两个点,r是曲线在该点处的半径,d A是曲线在该点处的微小面积。

通过对旋转体的体积进行积分,可以得到旋转体的体积。

3. 计算曲线下的面积:假设有一个曲线,其方程为y=f(x),要求曲线下的面积,可以使用定积分来计算。

具体来说,曲线下的面积可以表示为:
A = ∫[a,b] f(x)dx
通过对曲线下的面积进行积分,可以得到曲线下的面积。

定积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。

它可以用于计算曲线下的面积、曲线围成的体积以及曲线在一定区间内的累积量等问题。

定积分的简单应用体积PPT教学课件

定积分的简单应用体积PPT教学课件
•( 1 ) 找 准 母 线 的 表 达 式 及 被 旋 转 的 平 面 图 形 , 它 的 边 界 曲 线 直 接 决 定 了 被 积 函 数. •( 2 ) 分 清 端 点 . •( 3 ) 确 定 几 何 体 的 构 造 . •( 4 ) 利 用 定 积 分 进 行 体 积 表 示 .
3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积
误区警示 忽视了对变量的讨论而致错
【示例】 已知曲线 y=x2,y=1x和直线 y=0,x=a(a>0).试 用 a 表示该四条曲线围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形 成的几何体的何积.
y=x2,
[错解] 由y=1x
知交点坐标为(1,1),由示意图可知,
V=aπ(x2)2dx=aπx4dx=
0
0
第16页/共22页
【训练 3】 求由 y= x+1,y=29x2 以及 y 轴围成的图形 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

y= x+1, 由y=29x2,
得 xy= =32, .
V=03π·(x+1)dx-03π·841x4dx
= πx22+x30-π·4045x530=5110π.
第17页/共22页
V2=02π12x22dx =π4 02x4dx=π4×15x502=85π, 所以 V=V1-V2=4π-85π=125π.
第15页/共22页
(4 分) (6 分) (8 分) (10 分) (12 分)
•【题后反思】 结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解 决此类问题的一般方法.
V=01π(x2)2dx+a1π1x2dx=π01x4dx+πa1x12dx
第19页/共22页
= π5x510+π -1x1a=π5+π1-1a=65π-πa.

定积分的几何应用体积精选幻灯片

定积分的几何应用体积精选幻灯片
y
2 3 2 3 2 3
2 3
2 3
2 3
解 y a x ,
y a x
2 2 3 2 3

3
x [ a , a ]
a
o
a x
旋转体的体积
a V a x dx 2 a x dx a 0 a 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3

奇函数
偶函数
11
例 3 求由曲线 y 4 x 2 及 y 0 所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
体积元素为
dV [ PM QM ]dy
2 2
P
dyQM来自3 [( 3 4 y )2 ( 3 4 y )2 ]dy
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体,体 y 积为
V
d
d
2 [ ( y )] dy
c
x ( y)
c
o
x
6
例2. 计算摆线
的一拱与 y=0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
y πa
Vx
2π a
5 3 1 π 32 π a sin u d u 32 π a 0 6 4 2 2 5 π2 a3
2 a
0
x | f ( x ) | dx
2 a( t sin t ) a(1 cos t )d[a( t sin t )]
0
2
2 a
3
0
2
( t sin t )(1 cos t ) dt 6 3 a 3 .

定积分的应用计算面积和体积

定积分的应用计算面积和体积

定积分的应用计算面积和体积定积分是微积分中的一个重要概念,它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

其中,一项常见的应用就是用定积分来计算图形的面积和物体的体积。

本文将从定积分的基本概念入手,介绍如何利用定积分来计算面积和体积。

一、定积分的基本概念定积分是积分学中的一种,它可以将函数与坐标轴之间的面积联系起来。

对于一个函数f(x),我们可以通过定积分来计算其在某个区间[a, b]上的面积。

定积分的公式如下:∫[a,b]f(x)dx其中,∫表示积分符号,a和b是积分的下界和上界,f(x)是被积函数,dx表示积分变量。

二、使用定积分计算面积使用定积分计算面积时,我们需要确定被积函数和积分区间。

一般来说,面积可以通过将函数所在的曲线图形与坐标轴所夹的区域进行分割,将其近似看作多个矩形或梯形,再对这些矩形或梯形的面积进行求和来逼近真实的面积。

例如,我们要计算函数y = f(x)在区间[a, b]上的面积,可以先将该区间分割成n个小区间,每个小区间的长度为Δx。

然后,在每个小区间上选择一个点(xi, yi),用这些点构成的矩形或梯形的面积之和来近似曲线与坐标轴之间的面积。

将小区间个数无限增加,使Δx趋近于0,此时逼近的面积将趋向于真实的面积,即可利用定积分公式求得准确的面积值。

三、使用定积分计算体积定积分在计算物体的体积时同样具有重要的作用。

当一个平面图形绕某条直线旋转一周,形成一个立体图形时,我们可以使用定积分来计算该立体图形的体积。

对于一个平面图形,假设其边界可以由函数y = f(x)和y = g(x)所描述,其中f(x)表示上曲线,g(x)表示下曲线。

图形绕x轴旋转一周后,所形成的立体体积可以通过定积分进行计算。

首先,我们将x轴上的区间[a, b]进行分割,并在每个小区间上选择一个点(xi, yi)。

然后,计算曲线与x轴所形成的圆柱的体积,并对所有小区间的体积求和,即可逼近真实的体积。

当小区间数量趋近于无穷大时,利用定积分公式可以得到准确的体积值。

第六章定积分的应用计算面体积

第六章定积分的应用计算面体积

第六章定积分的应用计算面体积第六章定积分的应用 6.1 定积分的元素法一再论曲边梯形面积计算fx()fx(),0yfx,()设在区间上连续,且,求以曲线为曲边,底为[,]ab的曲边梯形的面积。

[,]abA1、化整为零a,x,x,?,x,x,?,x,b用任意一组分点 01i,1inn[,]xx将区间分成个小区间,其长度为 ii,1,xxxin,,,(,,,)12?iii,1,,max{,x,,x,?,,x}并记 12nin相应地,曲边梯形被划分成个窄曲边梯形,第个窄曲边梯形的面积记为,A(i,1,2,?,n)。

inAA,,于是 ,i,1i2、以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形,给出“零”的近似值,,Afxxxin,,,,()[,](,,,),,12? iiiiii,13、积零为整,给出“整”的近似值nAfx,(),,,ii,1i4、取极限,使近似值向精确值转化bnAfxfxdx,lim()(),,, ,,ii,,0,1ia上述做法蕴含有如下两个实质性的问题:[,](,,,)xxin,12?(一)、若将分成部分区间,则相应地分成部分量[,]abAii,1,Ain(,,,),12?,而 inAA,, ,i,1i这表明:所求量对于区间[,]ab具有可加性。

Afx(),,,A,x(二)、用近似,误差应是的高阶无穷小。

iiiin只有这样,和式fx(),,的极限方才是精确值。

A,ii,1i,A,f(,),x(,A,f(,),x,o(,x))故,确定是关键。

iiiiiii通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼,我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。

二、元素法1、能用定积分计算的量,应满足下列三个条件 U(1)、与变量的变化区间有关; x[,]abU(2)、对于区间具有可加性; [,]abU,Ufx(),,,(3)、部分量可近似地表示成。

UiiiU2、写出计算的定积分表达式步骤(1)、根据问题,选取一个变量为积分变量,并确定它的变化区间;x[,]ab(2)、设想将区间分成若干小区间,取其中的任一小区间, [,]xxdx,[,]ab 求出它所对应的部分量的近似值 ,U,Ufxdx,()fx() ( 为上一连续函数) [,]abfxdx()dUfxdx,()则称为量的元素,且记作。

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4.2定积分的简单应用(二)
求曲边梯形面积的方法是什么? 定积分的几何意义是什么? 微积分基本定理是什么?
引入:
我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。

求体积问题也是定积分的一个重要应用。

F 面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。

1. 简单几何体的体积计算
a , x
b 及x 轴围成的平面图形(如图甲)绕 x 轴
小圆片,如图乙所示。

当图丁很小时,第i 个小圆片近彳似于底面半径为y f(x)的小圆柱。

该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和:
这个问题就是积分问题,则有:
归纳:
2. 利用定积分求旋转体的体积
复习:
分析:
旋转一周所得旋转体的体积为V ,
如何求V
在区间[a,b ]内插入 y f (x) ( a X b P
的宽是 x
x i
x 1,
< n r 个分点,使a x 0 :r I 分割成 n 个垂直于X 轴的
1,2,L ,n 。

这个“小长:
“小长条”,女論甲所示。

设第i 个“小长条”
旋转一周就得到一个厚度是
X i 的
问题:设由连续曲线y f(x)和直线X
因此,第i 个小圆台的体积V i 近似为V
f 2(x)
X i
2 2
V [f (X 1) X 1 f (X 2)
2
X 2 L f (X n ) X n ]
b
2 V a f 2
(x)dx
b
2 a f 2
(x)dx
设旋转体是由连续曲线y f (x)和直线x
x b 及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转
而成,则所得到的几何体的体积为 V
b
2
a f (x)dx
S)
X n 1 X n b ,把曲线
(1) 找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数
规律方法:
V 0
a 2
dx
a 2x|a
a 3
求旋转体的体积,应先建立平面直角坐标系,设旋转曲线函数为
a,b ,则体积V
b
2
a f (x)dx
练习1:如图所示,
体积。

JC
A
f (x)。

确定积分上、下
给定直角边为a 的等腰直角三角形,绕y 轴旋转一周,求形成的几何体的
解:形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。

2
a V
a2S
y 2dy a 3
类型二:求组合型几何体的体积 例2:如图,求由抛物线y 2
8x(y
0)与直线x y 思路:
一周所得几何体的体积。

解答本题可先由解析式求出交点坐标。

再把组合体分开来求体积。

利用定积分进行体积计算
3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积
若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积,则积分变量变为y ,其公式为V
类型一:求简单几何体的体积 例1:给定一个边长为a 的正方形,绕其一边旋转一周,得到一个几何体,求它的体积 思路:
由旋转体体积的求法知,先建立平面直角坐标系,写出正方形旋转轴对边的方程,确定 积分上、下限,确定被积函数即可求出体积。

解:以正方形的一个顶点为原点,两边所在的直线为 x,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,
如图BC : y a 。

则该旋转体即为圆柱的体积为:
(2) 分清端点
(3)
确定几何体的构造 b 2
a
g (y)dy
6
规律方法:
关键是对其构造进行剖析,分解成几个简单几何体体积的和或差,然后,分别
利用定积分求其体积。

练习2:求由直线y 2x,直线x 1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体
积。

解:旋转体的体积:
1 (2x)2dx -
0 3
类型三:有关体积的综合问题: 例3:求由曲线y 2x2与y莎所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

思路:解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。

画出草图确定被积函数的边界确定积分上、下限
解:曲线y ^x2与y 莎所围成的平面图形如图所示:
设所求旋转体的体积为V
根据图像可以看出V等于曲线y J2x,直线x
周所得的旋转体的体积(设为V i )减去曲线y -x2直线x 2与x轴围成的平面图形绕x轴
2
旋转一周所得的旋转体的体积(设

V i :(72齐dx 2 2
xdx
2
解:解方程组y 8x(y 0)
x y 6 0 得: x 2 y 4
y2 8x与直线x 0的交点坐标为(2,4)
所求几何体的体积为:
V o'(屈2dx (6 x)2dx 16 64 112 解决组合体的体积问题,
用定积分表示体积求定积分
y
2
02 2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一
2
1)
V 2
dx —\4
dx - 4 0
4 1
5 2 8
5X |0 -5
V i V 2 4 12 5 ~5
反思: 结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。

练习3: 求由y J X |X
2
以及y 轴围成的图形绕X 轴旋转一周所得旋转体的体积。

解:由 误区警示: 2X 2
9 得: (X 1)dx 4
dx10
忽略了对变量的讨论而致错 | 1 例:已知曲线y X ,y —和直线y 0,x a(a
X 面图形绕X 轴旋转一周所形成的几何体的体积。

思路:掌握对定积分的几何意义, 不要忽视了对变量 y 解:由 y
X 2
由示意图可知: 要对a 与 的关系进行讨论:
①①
a 1时,
a
2 2
0 (x 2)2
dx X 4
dX
a 的讨论。

②②
1时,V
(X 2)2dX
2
dX
所得旋转体的体积为
追本溯源:
5
a
(0
1) 利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于:
找准被旋转的平面图形,它的边界曲线直接决定被积函数
利用定积分进行体积计算
2) 分清端点
3)
确定几何体的构造
1)。

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