几种不同类型的函数模型题型及解析

几种不同类型的函数模型题型及解析

1.在定义域（0，+∞）内随着x的增大，增长速度最快的是（）A．y=100 B．y=10x C．y=lgx D．y=e x

分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，直接根据常数函数、正比例函数、指数函数、对数函数的增长差异，得出结论

解：由于函数y=100是常数函数，函数y=2x是正比咧函数，函数y=e x是指数函数，函数y=lgx是对数函数，

由于指数函数的增长速度最快，所以选D

2.在区间（3，+∞）上，随着x的增大，增长速度最快的函数（）A y=x2 B y=2x C y=2x D y=log2x

分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，在同一坐标系画出四个函数的图象，比较图象上升的平缓程度，可得答案．

解：在区间（3，+∞）上，①y=x2，②y=2x，③y=2x，④y=log2x的

图象如右图所示，由图可知y=2x的函数值随着x的增大增长速度最

快，所以选B

3.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）

A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x

分析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底

数大于1的指数函数增长最快．

解：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数

y=100x增长速度最快．所以选D

4.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（）

A．y=0.2x B．C．D．y=0.2+log16x

分析：利用所给函数，分别令x=1，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论．

解：对于A，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.6，与0.76相差0.16；对于B，x=1时，y=0.3；x=2时，y=0.8；x=3时，y=1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x=1时，y=0.2；x=2时，y=0.45；x=3时，y＜0.7，相差较大，不符合题意；故选C

5.假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？

解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进行描述.

三个函数，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．作出三个函数的图象如图所示．由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四

天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．根据以上的分析，是否应作这样的选择: 投资5天以下选方案一，投资5～8天选方案二，投资8天以上选方案三？

6.某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，将会采取什么办法估算以后几个月的产量？

分析：首先根据月份和产量作出图象，然后根据图象的形状，选择合适的函数模型进行模拟

解：作出图象如图．

方案一：(一次函数模拟)

设模拟函数为y ＝ax ＋b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1.32a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0.1b ＝1.

所以得y ＝0.1x ＋1.此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的． 方案二：(二次函数模拟)

设y ＝ax 2＋bx ＋c ，将A 、B 、C 三点坐标代入，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝1.2

9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.05b ＝0.35c ＝0.7，所以y ＝－0.05x 2

＋0.35x ＋0.7.由此法计算4月产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下，对称轴x ＝3.5)，不合实际.

方案三：(幂函数模拟)

设y ＝a x ＋b ，将A ，B 两点的坐标代入有

⎩⎨⎧ a ＋b ＝12a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a≈0.48b≈0.52，所以y ＝0.48x ＋0.52.当x ＝3时，y ＝1.35；当x ＝4时，y ＝1.48.与

实际产量差距较大．

方案四：(指数函数模拟)

设y ＝ab x ＋c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得ab+c=1，ab 2+c=1.2，ab 3+c=1.3，解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.

所以y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.

比较以上四个模拟函数，以指数函数模拟误差最小，因此选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4作模拟函数

7.已知光线每通过一块某种玻璃，其强度变为原来的50%．现把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y ．（1）写出y 关于x 的函数关系式，并注明定义域；（2）至少通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的1%以下？

分析：（1）由题设条件得到y=a （50%）x =a （）x ，x ∈N *．（2）由y=a （50%）x =a （）x ＜a•1%，知（）x ＜，由此能求出至少通过7块玻璃后，光线强度减弱到原来的1%以下．

解：（1）∵光线每通过一块某种玻璃，其强度变为原来的50%．现把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y ．∴y=a （50%）x =a （）x ，x ∈N *．（2）∵y=a （50%）x =a （）x ＜a•1%，∴（）x ＜，∵（）7＜＜（）6，x ∈N *

，∴x ≥7．所以至少通过7块玻璃后，光线强度减弱到原来的1%以下