高三数学教案 第七讲数列求和

第七讲 数列求和 ★★★高考在考什么 【考题回放】

1.设

4710

310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ D ）

A.2(81)7n -

B.12(81)7n +-

C.3

2(81)7n +- D.4

2(81)7n +-

2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ B ）

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

3.）数列

{}

n a 的前n 项和为

n

S ，若

1

(1)n a n n =

+，则5S 等于（ B ）

A ．1

B ．56

C ．16

D ．1

30

4.设Sn 是等差数列｛an ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6

S 12＝

A.310

B.13

C.18

D.1

9

解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112

1615273

12669010S a d d S a d d +===+,故选A 5.已知数列

}

{n a 、

}

{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，

*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100 解：数列

}

{n a 、

}

{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，

*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210

b b b a a a +++=

11119

b b b a a a ++++

+，

111(1)4

b a a b =+-=，∴

11119

b b b a a a +++++

=4561385+++

+=，选C.

6.对正整数n ，设曲线)1(x x y n

-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列

}

1{

+n a n

的前n 项和的公式是

解：1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n -1-(n+1)2n

切点为（2，-2n ）,所以切线方程为y+2n=k(x -2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=21n

n

a n =+.数列

⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2

★★★高考要考什么

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n

公比含字母时一定要

讨论

(理)无穷递缩等比数列时，q a S -=

11

2．错位相减法求和：如：

{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求2

2222212979899100-++-+- 的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：111)1(1+-

=+n n n n )121

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]

)2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n

!)!1(!n n n n -+=⋅

)!1(1

!1)!1(+-

=+n n n n

6．公式法求和 6)12)(1(12++=∑=n n n k n

k

2

1

3]2)1([

+=∑=n n k n

k

7．倒序相加法求和

★★ 突 破 重 难 点

【范例1】设数列

{}n a 满足

211233333n n n

a a a a -++++=

…，a ∈*N ．

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项； （Ⅰ）设

n n n

b a =

，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

解 (I)2112333...3,3n n n a a a a -+++=2212311

33...3(2),

3n n n a a a a n ---+++=≥

1113(2).333n n n n a n --=

-=≥ 1(2).3n n a n =≥

验证1n =时也满足上式，*1

().3n n a n N =

∈

(II)

3n

n b n =⋅，

23132333...3n

n S n =⋅+⋅+⋅+⋅ ①

②

①

-②

：

231233333n n n S n +-=+++-⋅ 1133313n n n ++-=-⋅-，

1113

33244n n n n S ++∴=⋅-⋅+⋅ 【变式】已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x =-，数列

{}

n a 的前n 项和为

n

S ，点

(,)()

n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。（Ⅰ）、求数列{}

n

a 的通项公式；

（Ⅱ）、设

11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m

T <

对所有n N *∈都成立

的最小正整数m ；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点

(,)()

n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S

＝3n2－2n.

当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝（3n2－2n ）－[]

)1(2)132

---n n （

＝6n －5.

当n ＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an ＝6n －5 （n N *

∈）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知

13+=

n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)

161

561(21+--n n ，

故Tn ＝

∑=n

i i

b 1

＝2

1⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *

∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m

，即m ≥

10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知数列

{}

n a 中的相邻两项

212k k

a a -，是关于x 的方程

2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．

23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅