高三数学教案 第七讲数列求和

第七讲 数列求和 ★★★高考在考什么 【考题回放】1.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ D ）A.2(81)7n -B.12(81)7n +-C.32(81)7n +- D.42(81)7n +-2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n 项和Sn=100,则n=（ B ）A ．9B ．10C ．11D ．123.）数列{}n a 的前n 项和为nS ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ B ）A ．1B ．56C ．16D ．1304.设Sn 是等差数列｛an ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝A.310B.13C.18D.19解析:由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+,故选A 5.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．100 解：数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于1210b b b a a a +++=11119b b b a a a +++++，111(1)4b a a b =+-=，∴11119b b b a a a +++++=4561385++++=，选C.6.对正整数n ，设曲线)1(x x y n-=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是解：1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n -1-(n+1)2n切点为（2，-2n ）,所以切线方程为y+2n=k(x -2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=21nna n =+.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2★★★高考要考什么1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，q a S -=112．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求22222212979899100-++-+- 的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：111)1(1+-=+n n n n )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n!)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n6．公式法求和 6)12)(1(12++=∑=n n n k nk213]2)1([+=∑=n n k nk7．倒序相加法求和★★ 突 破 重 难 点【范例1】设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=…，a ∈*N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅰ）设n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解 (I)2112333...3,3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥ 1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满足上式，*1().3n n a n N =∈(II)3nn b n =⋅，23132333...3nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅ ①②①-②：231233333n n n S n +-=+++-⋅ 1133313n n n ++-=-⋅-，111333244n n n n S ++∴=⋅-⋅+⋅ 【变式】已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）、设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S＝3n2－2n.当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝（3n2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5.当n ＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，故Tn ＝∑=ni ib 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知数列{}n a 中的相邻两项212k ka a -，是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．23413132333...3n n S n +==⋅+⋅+⋅+⋅（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅰ）(理)记sin 1()32sin n f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤．（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，，所以12a =；当2k =时，16x =，24x =，所以34a =；当3k =时，19x =，28x =，所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =，所以712a =．（II）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n n T a a a a a a a a +--=+-++，所以112116T a a ==，2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++，345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭≥2311111662622n ⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥1116626n =+>，同时，(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤515249224n =-<．综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤．【变式】在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅰ）证明不等式14n nS S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．解、（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅰ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． （Ⅰ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n nS S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．【范例3】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn 及数列｛an ｝的通项；记bn=211++n n a a ，求｛bn ｝数列的前项和Sn ，并证明Sn+132-n T =1. 解：（Ⅰ）由已知212n n n a a a +=+，211(1)n n a a +∴+=+12a =11n a ∴+>，两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+ 1122lg3lg3n n --=⋅= 1213n n a -∴+=（*）12(1)(1)n T a a ∴=++n …(1+a ) 012222333=⋅⋅⋅⋅n-12…3 21223+++=n-1…+2=n 2-13由（*）式得1231n n a -=-（Ⅲ）2102n na a a +=+1(2)n n n a a a +∴=+11111()22n n n a a a +∴=-+11122n n n a a a +∴=-+又112n n n b a a =++1112()n n n b a a +∴=-12n S b b ∴=++n…+b122311111112()n n a a a a a a +=-+-+-…+11112()n a a +=-1221131,2,31n nn n a a a -+=-==-22131nn S ∴=--又213nnT -=2131n n S T ∴+=-.【变式】已知数列{}n x 满足121x x ==，并且11n nn n x xx x λ+-=（λ为非零参数，234n =，，，…）．（Ⅰ）若135x x x ，，成等比数列，求参数λ的值；（Ⅱ）设01λ<<，常数k *∈N 且3k ≥．证明1212()1k k k n k k n x x x n x x x λλ*++++++<∈-N …．解：（I ）由已知121,x x ==且36335244345213243,,.x x x x x xx x x x x x x x x λλλλλλ=⇒==⇒==⇒=若1x 、3x 、5x 成等比数列，则2315,x x x =即26.λλ=而0,λ≠解得 1.λ=±（II ）证明：设1,n n n x a x +=由已知，数列{}n a 是以211x x =为首项、λ为公比的等比数列，故11,n n nx x λ-+= 则1112....n k n k n k n n n k n k nx x x xx x x x +++-++-+-=(3)2312.....k k kn n k n k n λλλλ-++-+--==因此，对任意*,n N ∈1212...k k n kn x x x x x x ++++++(3)(3)(3)2222...k k k k k k k k kn λλλ---+++=+++(3)(3)222(1)(...).1k k k k k nk k knkk λλλλλλλλ---=+++=-当3k ≥且01λ<<时，(3)201,011,k k nk λλ-<≤<-<所以*1212...().1k k k n k k n x x x n N x x x λλ++++++<∈-。