2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十一节函数模型及其应用 文

第十一节函数模型及其应用

1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数

增长等不同函数类型增长的含义．

2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

知识梳理

1．几类函数模型及其增长差异．

2.解函数应用问题的步骤．

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

1.(2)递增递增递增或递减y平行

基础自测

1．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()

A．f(x)＞g(x)＞h(x)

B．g (x)＞f(x)＞h(x)

C．g(x)＞h(x)＞f(x)

D．f(x)＞h(x)＞g(x)

解析：根据三种函数模型的增长速度可知，选项B正确．

答案：B

2

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()

A．y＝a＋bx B．y＝a＋b x

C．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x

解析：由表格数据逐个验证知，模拟函数为y＝a＋b x.故选B.

答案：B

3．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10

万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120

Q 2

，则总利润L (Q )的最大值是________万元．

解析：L (Q )＝40Q －120Q 2－2 000－10Q ＝－1

20(Q －300)2＋2 500.∴L (Q )max ＝2 500.

答案：2 500

4．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有

100只，到第7年它们的繁殖数量为______________只．

解析：当x ＝1，y ＝100时，由y ＝a log 2(x ＋1)得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝300.

答案：300

1．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．

(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大？并求出最大值(精确到1辆/小时)．

解析：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，

再由已知得⎩⎪⎨

⎪

⎧

200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，

解得⎩⎨⎧

a ＝－13

b ＝200

3

故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.

(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.

当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 000

3，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．

所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 000

3

.

综上所述，当x ＝100时，f (x )在区间 [0,200]上取得最大值10 000

3

≈3 333，即当车流密

度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．

2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.

(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (单位：cm 2)最大，试问：x 应取何值？

(2)若厂商要求包装盒的容积V (单位：cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

解析：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2＝－8(x －15)2＋1 800(0

V ＝(2x )2·22

(60－2x )＝22x 2

(30－x )(0＜x ＜30)．

而V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 递增；

当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 递减．所以当x ＝20时，V 取极大值也是最大值．