第2章 流体力学基础[2011版]

三、伯努利方程的应用
小孔流速 如图所示，SB<<SA，以 A、B 两点为参考点。
SA
SB
由伯努利方程：
SB S A v A S B v B 可知， v A v B 0 SA 选取hB处为参考点，其 hB=0, hA=h 得
由
1 2 1 2 PA v A gh A PB v B ghB 2 2
v3
流体质量元在不同地点的速度？可以各不相同；
流体在空间各点的速度分布？ 不变； “定常流动”并不仅限于“理想流体”。
二、流线
流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和流体质量元流经该点时的速度方向一致。 v1
流场中流线是连续分布的； 空间每一点只有一个确定的流速方向， 流速大 所以定常流动时，流线不可相交。
v2
流线密处，表示流速大，反之则稀。
三、流管
流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。
流管内流体的质量是守恒的。 通常所取的“流管”都是“细流管”。 细流管的截面积 0 ，就称为流线。 S
四、连续性原理
描述了定常流动的流体在任一流管中不同截面处的流速 v 与 截面积 S 的关系。 取一细流管，任取两个截面 S Δt 1 和 S 2 ，两截面处的流速分别为 v1 S v 和 v 2，流体密度分别为 1 和 2 。 S 经过时间 t ，流入细流管的流体质量 v
2.0 cm ，引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。当浴室 水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速为4.0m·-1 。 s
求 浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。 解 当水龙头关闭时，v1 v2 0 ，由伯努利方程 即 s2 v2 h2 v1
P1 gh1 P2 gh2 P2 P1 g (h1 h2 )= 3.5×105Pa
S1
1
V1 v1S1t
由连续性原理得
V2 v2 S2 t V1 V2 V
a
Δt
在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过 △t 时间 动能增量：
1 2 1 2 Ek v2 V v1 V 2 2
流体经过△t 时间势能变化量：E p gh2 V gh1V Δt △t 时间内外力对该段流体做功：
流体力学是物理学的重要组成部分，它 不但应用到工程技术各个领域，而且也渗透 到农业与生命科学之中。
流体质量元有别于力学中的质点
流体质量元
1. 宏观上看为无穷小的一点，有确 定的位置 r 、速度 v 、密度 和
压强 P 等；
2. 微观上看为无穷大，流体分子的
无规则热运动不占主导地位；
流体静力学（用P、F浮、 等物理量描述） 流体动力学（用P、v、h 、 等物理量描述）
Sv Q 常量
上式称为不可压缩流体的连续性原理或体积连续性方程，其 中 Q 称为体积流量。 对同一流管而言，截面积 S 小处则速度大，截面 积 S 大处则速度小
Sv C 是对细流管而言的。物理上的“细”，
指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成 “细流管”。
例 一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为4∶1，
Sv 常量
A B
水流抽气机
比多管[毕托管 皮托管 ] Pitot Tube
毕托管在1732年由法国人皮托（H.Pitot)首创并用于测量水的流速
和船速，后被用来测量管道中流体的流速。其结构形状如图所示： B A （1）由外管套在内管上；
（2）开口 A 垂直于气体流动方向；
（3）开口 B 则与气体流动方向平行；
1 2 1 2 P v1 gh1 P2 v2 gh2 1 2 2 1 2 或 P v gh C 2
上式即为伯努利方程的数学表达式。
二、伯努利方程的意义
（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用
P P2表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2 压力所做的功； 1
1 2 1 2 S PA v A PB v B S 2 2 由连续性原理 Q S A v A S B v B 又 PA PB gh
A B

Q S ASB
2 gh 2 2 SB S A
Q 2 gh 管道中的流速 v vB SA 2 2 SB SB S A
h
（4）两开口分别通向U型管压强计的两端；
（5）根据液体的高度差便可求出气体的流速。
图 测量气体流速比多管
vA = 0 vB = v流体
取其轴线为参Байду номын сангаас面，由伯努利方程，得
PB,vB
v
1 2 PB v PA 2
从U形管中左右两边液面高度差可知
PB h PA
PA
ρ
ρ'
PA PB gh
已知水管粗处水的流速为2m·-1。 s
求 解 水管狭细处水的流速 由连续性原理知 S1 S2
v1
v2
S1v1 S2v2
得
S1v1 1 v2 8m s S2
例
如图是一种自动冲水器的结构示意 图，进水管A 管口截面积为3cm2 ，出水 管B 管口截面积为22cm2 ，出水时速度 为1.5m·-1,该冲水器每隔5min能自动持续 s 出水0.5min. 求 进水速度。
P
2
A1 F1v1t P S1v1t P V 1 1 A2 F2v2 t P2 S2v2 t P2 V
由功能原理 ：
Δt
S1
S2
h2 P
1
A Ek E p 即
h1
1 2 ( P P2 )V (v2 v12 )V g (h2 h1 )V 1 2
由上两式得
图 测量气体流速比多管
v 2 gh
为 U 形管中液体密度； 为气体密度。
h
图示形式的比多管测定液体的流速, 其关系式为
A
B 图 测量液体流速比多管
1 2 PB v PA 2
1 2 v PA PB gh 2
v 2 gh
皮托(pitot)管测速原理之比较
v 2 g (hA hC )
如果hA－hC＜0 ，管内流速没有意义。如果管口比水库面高， 在没有外界帮助下这种定常流动是不可能实现的。
喷雾原理 因SA很小，vA增大使PA小于大气压，容器内流体上升到 A 处，被高速气流吹散成雾，这种现象又称为空吸现象。
1 P g v 2 常量 2
§2.3
伯努利方程及其应用
一、 伯努利方程的推导
伯努利方程给出了作定常流动的理想流体中任意两点或 截面上 p 、v 及地势高度 h 之间的关系。 d v c
S2
Δt
2
如图，取一细流管，经过短暂时间 △t ，截
面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到
d， 流过两截面的体积分别为
b
v
流体力学
§2.2
理想流体的定常流动
理想流体: 绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体
流体受压缩程度极小，其密度变化可忽略时，可看作不可压缩流体。 流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。
一、 定常流动
流体流经的空间称为流体空间或流场 。 定常流动：流体流经空间各点的速度不 随时间变化。
v1 v2
p1 1 1 2 2 v1 p4 v4 2 2
由伯努利方程 得
1 1 2 2 p1 p 4 v 4 v1 1.0 10 3 0.9 2 0.6 2 225Pa 2 2




例 一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2∶1 ，已知粗 管内水的流速为1m•s-1 , 求 细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。 解 ∵d1∶d2 =2∶1 由 S1v1 =S2v2 ∴ S1∶S2 = 4∶1 且v 1= 1m•s-1
1 1 2
m1 1V1 1S1v1t 同理，流出的质量 m2 2 V2 2 S2v2 t
流管内流体质量始终不变，即
2
1 S1 v1 2 S 2 v 2
或
Sv C
m1 m2
（常量）
此即连续性原理或质量守恒方程，其中 Sv 称为质量流量。
对于不可压缩流体， 为常量，故有
质量元的动能和自由下落的流体质量元的动能都是由流体的
重力势能转化而来的，这两个过程中都没有能量损失，所以 最后的流速大小相等。
虹吸管 右图是利用虹吸管从水库引水
的示意图。 虹吸管粗细均匀，选取 A、C 作为参考点。 水库表面远大于虹吸管截面，由连 A hA hB B
C
hc
续性原理可知 v A 0 ，所以此例实质为 小孔流速问题。
第2章
流体力学基础
§2.1 流体力学简介
§2.2 理想流体的定常流动
§2.3 伯努利方程及其应用 §2.4 黏滞流体的定常流动 §2.5 泊肃叶定律 斯托克斯定律 §2.6 生物流体力学简介
§2.1
流体力学简介
流体: 具有流动性的物体（液体和气体）。 由连续分布的流体质量元组成的。 流体力学：主要研究流体本身的静止状态和运动状态。 流体力学中研究得最多的流体是水和空气。 流体力学的主要基础是牛顿运动定律和质量守恒定律。
得 v2 = 4v1 = 4 m•s-1
又由 得
1 2 1 2 p1 v1 p 2 v2 2 2 1 2 p1 p2 v2 v12 2 1 1.0 103 4 2 12 7.5 103 Pa 2




例 水管里的水在压强 P = 4.0×105Pa 作用下流入室内，水管的内直径为
1 2 PA gh PB v B 2
2( PA PB ) vB 2 gh
2( PA PB ) vB 2 gh
假设容器开口，开向大气。则 PA= P 0 P B =P 0 所以
vB 2 g (hA hB ) 2 gh
托里拆利定律
托里拆利定律的实质是能量守恒定律，小孔流出的流体
1 2 P P2 g (h1 h2 ) (v2 v12 ) 1 2
g (h1 h2 ) 表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2 重力所做的功；
1 2 2 (v2 v1 ) 表示单位体积流体流过细流管 S1 S 2 后动能的变化量； 2
（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理。 （3）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。 （4）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v 之间的关系。 注意: (1)统一为国际单位；(2)仅适用于理想流体的定常流动。
当水龙头完全打开后， 由伯努利方程： 即
1 2 P2 ' P1 (v12 v 2 ) gh2 = 2.3×105Pa 2
解 出水管的体积流量 0.5min. 内的出水量 进水管的体积流量 5.5min. 内的进水量 因 V V B A 所以
A
h
B
QB S B vB QA S AvA
D = 0.8m
VB QBt B S B vBt B VA QA t A t B S AvA t A t B S B vB t B vA 1m s 1 S A t A t B
h 1. 测气体、液体的流速分别选哪一种？ 2. 测量气体、液体的流速有何异同？ B A
vB v , vA 0
测液体 测气体
P PB PA g h
A B
P gh
'
h
文丘里流量计（测量管道中液体体积流量）
h
如左图所示。当理想流体在管道中作 定常流动时，由伯努利方程
例 水从图示的水平管道1中流入，并通过支管2和3流入管4。 如管1中的流量为900cm3•s-1. 管1、2、3的截面积均为15cm2, 管4的截面积为10cm2,假设水在管内作定常流动。 求 （1）管2、3、4的流量; （2）管2、3、4的流速;
2 1
v2
4
v1
v4
v3 （3）管1、4中的压强差. 3 解 (1)由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3•s-1 ∵ S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1 ∴ Q2 = Q3 = 450cm3•s-1 (2) v2 = v3 = Q2∕S2 = 450∕15 = 30cm•s-1 v4 = Q4∕S4 = 900∕10 = 90 cm•s-1 (3) v1 = Q1∕S1 = 900∕15 = 60cm•s-1