全等三角形证明经典试题50道

全等三角形证明经典试题50道

1. （已知：如图，E,F 在AC 上，AD ∥CB 且AD =CB ，∠D ＝∠B . 求证：AE =C F .

【答案】∵AD ∥CB ∴∠A=∠C

又∵AD=CB ，∠D=∠B ∴△ADF ≌△CBE ∴AF=CE

∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF

2. 已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC

证明：在△ABC 与△DCB 中

(ABC DCB ACB DBC BC BC ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

已知）（公共边）（∵AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ）

∴△ABC ≌△DCB

∴AB =DC

3. 如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上．

(1) 已知，BD =CE ，CD=BE ，求证：AB=AC ； (2) 分别将“BD=CE ”记为①，“CD=BE ” 记为②，“AB=AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题1是命题2的 命题，命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．

【答案】

(1) 连结BC ，∵ BD=CE ，CD=BE ，BC=CB ．

∴△DBC≌△ECB （SSS）

∴∠DBC =∠ECB

∴AB=AC

(2) 逆，假；

4. 如图，在□ABCD中，分别延长BA，DC到点E，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD，BC于点F,G。求证：△AEF≌△CHG.

【答案】证明：∵□ABCD

∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD

∴∠EAF=∠HCG ∠E=∠H

∵ AE=AB，CH=CD

∴ AE=CH

∴△AEF≌△CHG.

5. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求

证：BC∥EF．

【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ，

AB＝DE，∴△ABC≌△DEF，

∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF．

6. 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF

的交点.不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？

【答案】解：全等.理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴AB－BF=BD－BC，即AF=DC.在△AOF和△DOC中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS）.

7. 已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D＝∠B.

求证：AE=CF.

【答案】∵AD ∥CB ∴∠A=∠C

又∵AD=CB ，∠D=∠B ∴△ADF ≌△CBE ∴AF=CE

∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF

8. 在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF. (1)求证:Rt △AB E ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.

【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.

在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,

∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)

(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠AC B=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.

由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

9. 如图6,AB BD ⊥于点B ,ED BD ⊥于点D ,AE 交BD 于点C ,且BC DC =.

求证AB ED =.

【答案】(1)证明:∵AB BD ⊥,ED BD ⊥

∴90ABC D ∠=∠= 在ABC ∆和EDC ∆中

ABC D BC DC ACB ECD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

A

B C

E

F

第22题图

A

图6

B

C

D

E

∴ABC ∆≌EDC ∆

∴AB ED =

10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．

【答案】BE=EC ，BE ⊥EC

∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点 ∴AB=AD=CD

∵∠EAD=∠EDA=45° ∴∠EAB=∠EDC=135° ∵EA=ED

∴△EAB ≌△EDC

∴∠AEB=∠DEC ，EB=EC ∴∠BEC=∠AED=90°

∴BE=EC ，BE ⊥EC

11. 已知：如图，E,F 在AC 上，AD ∥CB 且AD =CB ，∠D ＝∠B . 求证：AE =CF .

【答案】∵AD ∥CB ∴∠A=∠C

又∵AD=CB ，∠D=∠B ∴△ADF ≌△CBE ∴AF=CE

∴AF+EF=CE+EF 即AE=CF

12. 如图，D ，E ，分 别 是 AB ，AC 上 的 点 ，且AB=AC ，AD=AE ．求证∠B=∠C ．

【答案】证明：在△ABE 和△ACD 中，

AB ＝AC ∠A ＝∠A AE ＝AD

∴△ABE ≌△ACD ∴∠B =∠C

13. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE =CF ．

A

B

C

D

E