等腰直角三角形模型、三垂直模型

45°45°

C B

A D C

B A

题型一：等腰直角三角形模型

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等腰直角三角形数学模型思路：

⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.

图1 图2

图3 图4

全等三角形的经典模型（一）

A

B

C

O

M

N A

B C

O

M

N

典题精练

【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，

⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要

求证明）

⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保

持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC

⑵连接OA ,

∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO

∴ON =OM

∴∠=∠NOA MOC

∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM

∴△OMN 是等腰直角三角形

⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，

∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．

【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如

图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的

中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．

【解析】EMC △是等腰直角三角形． 证明：连接AM ．由题意，得

,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠= ∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =，

M

E

D

C

B

A A

B

C

O

M N

M

E

D

C

B

A

F

E D

C

B

A

N

M 12A B C

D

E F

31

2

A B

C

D

E

F 3

∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=．

∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．

∴,EM MC DME AMC =∠=∠．

又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，

∴EMC △是等腰直角三角形．

【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中

点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠． 【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．

∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°．

∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠．

∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=°

∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．

在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中， AD CD DAM C AM CF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．

证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．

在ACM △和BAD △中， 1390AC AB

ACM BAD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠=⎩

° ∴ACM BAD △≌△．

∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中，

P

C B A P C B A

D 45=⎧⎪

∠=∠=⎨⎪=⎩

CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．

【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．

【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，

易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ， ∴15BCP ∠=︒．

【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：

【探究一】证角等

【备选1】如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，M 为AC 中点，连结BM ，作AD ⊥BM 交

BC 于点D ，连结DM ，求证:∠AMB =∠CMD ．

21N

F

A B

C

D

M E E

M

D

C

B

A

【解析】 作等腰Rt △ABC 关于BC 对称的等腰Rt △BFC ，延长AD 交CF 于点N ，

∵AN ⊥BM ，由正方形的性质，可得AN =BM ，

易证Rt △ABM ≌Rt △CAN ，∴∠AMB =∠CND ，CN =AM ， ∵M 为AC 中点，∴CM =CN ，

∵∠1=∠2，可证得△CMD ≌△CND ，