建筑与数学(秦佑国)

从连续、稳定到间断、突变和不稳定。事物在经过一
段连续变化以后发生突变，从一种状态跳跃到另一种状 态，描述这种突变现象的新的数学学科称为 “突变论”
（Catastrophe Theory）。从平衡的、守恒的、可逆的
到非平衡的、耗散的、不可逆的，从决定性的、有序的、 周期性的、对称的到随机的、无序的、非周期性的、对
模数和比例是按一定规则的数序
菲波那契(Fibonacci)数列：任意一项是其前两项 之和。且相邻两项之比逐渐接近黄金分割。
菲波那契数列
模数和比例是按一定规则的数序
《礼记》中的部分礼数
天子 舞蹈 庙宇 祀 堂 车 八佾 七庙 七祀 九尺 诸侯 六佾 五庙 五祀 七尺 七乘 卿大夫 四佾 三庙 三祀 五尺 五乘 士 四佾 一庙 二祀 三尺 三乘 孔子谓季子： “八佾（yi）舞 于庭，是可忍， 孰不可忍？！” 一祀 庶人
分道扬镳以后，数学在工程领域纵横驰骋，而在建筑设计领域 几乎无用武之地。工程师和数学的关系日趋密切，而建筑师却
成了数学的 “弃儿”，建筑师对数学也不屑一顾。当工程师向
世界展示了水晶宫、世界博览会机械馆、埃菲尔铁塔的时候， “这些国立（建筑）学校”出来的建筑师，“他们的建筑概念 还停留在鸽子相吻那种装饰阶段”（勒· 柯布西埃《走向新建 筑》）。
抽象--数学最重要的本质特点
毕达哥拉斯: “万物皆数”。 柏拉图认为圆的概念高于客观世界中圆的东西。现实世界中没 有一样东西是严格符合圆的定义的。 古希腊（奴隶社会的民主制城帮国家），在数学上建立了完备 的公理体系，形成了定型的公理演绎系统，《几何原理》是人类智 慧发展史的丰碑；同时不承认无理数，对 “无限” 心存疑虑等，偏
称破缺的。而对非线性、非平衡动力系统的深入研究，
又揭示出远离平衡态的隐藏在随机性和无序中的分叉 （bifurcation）和混沌(chaos）现象。突变、分叉、混 沌、分数维等等体现复杂性的现象已成为当今数学、力 学、物理学、生物和生命科学乃至经济学、社会学等科 学的热门研究课题。
从确定到模糊。作为现代数学基础的集合论，对 一个元素是否属于一个集合是完全确定的，但对自然 界和人类社会中许多现象的描述往往不具有明确的界
题。”
科学的数学化
在看到数学对科学发展的巨大作用的同时，也应该看 到科学对数学发展的反作用。如果说在过去一些科学中数 学的应用几乎为零，这一方面说明它们利用数学的条件还 不完备，另一方面则是进入这些科学的数学也不完备。现
代科学的数学化不是把现成的数学理论简单地搬用到某门
科学中去，而是要创造性地使之适应这门科学的需要，或 者为这门科学创立数学理论。
在新建筑运动之初，除了传统的应用以外，数学还不 能被广泛和具体地应用于建筑学，还不能成为建筑师的工 具和方法。和其他工程技术科学相比，建筑对数学的响应 有较大的延时。建筑有着深厚的历史沉积，有着广泛的技 术和艺术结合的内容，惰性很大。刚从传统中摆脱出来的 新建筑学还没有发展到具备应用数学的条件和对数学的具 体需要。当然，另一方面是数学的发展还没有达到能运用
废了算术和代数。
古代中国（封建社会的集权制中央帝国），相对于希腊数学的 逻辑化、几何化、理念化，数学的算法化和实用性的倾向十分明显，
是以问题为中心的算法体系，在代数学的各种算法上有高度发展，
但也限制了形式逻辑和演绎思想的产生和发展。 希腊建筑---形，平面，立面；
中国建筑---数，构造，剖面。
用图形图像和数字表达观点和问题的能力
现代数学的发展趋势
从单个或少数变量到多变量，从低维空间到高维空间。 这表示数学模型中包含的因素和参数的数量大大增加，并产
生了一些质的变化。与此相应发展起来一些数学中的新学科，
如多线性代数、多复变函数、多元统计分析等等。最近十儿 年来，具有不必是整数的分数维（fractal dimension）的 几何对象一一分形（fractals）引起了广泛的兴趣。 从线性问题到非线性问题。线性化的数学模型是研究局 部范围和平缓变化过程所采用的通常是简化了的模型，而要 研究大范围、大变化、大挠动、高速度、强作用力等情形的 问题，就要涉及非线性现象。非线性问题通常具有对初始条 件、边界条件和外界挠动敏感的特征，即这些因素的微小变 化会引起结果很大的改变。非线性问题已成为当前数学研究 的一个主要内容。
数学是一种修养
数学是大学生的一种修养 • 用图形图像和数字表达观点和问题的能力；
• 抽象--数学最重要的本质特点；
• 模数和比例是按一定规则的数序； • 图形的拓扑特性；
• 误差理论: 建筑业与制造业的分野；
• 概率和统计是社会科学重要的工具； • 数学以及在其基础上的力学的发展促成了建筑和结构的 专业分工； • “数学美”-- “数学的精确性与大胆的幻想结合起来, 就是美”(勒柯布西埃)； • “混沌” 、“分形”等新数学概念已被引入最新的建筑
术数学：
象数（占卜） 天数（占星） 礼数（礼制） 律数（律吕） 命数（宿命）
至今为止，世界上真正实现过建筑设计标准 化和模数化的只有中国传统建筑。 李允鉌《华夏意匠》
图形的拓扑特性
欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同
放射状与方格状的城市拓扑结构不同
Mö biusStrip
哈萨克斯坦新国家图书 馆方案竞赛中，丹麦BIG事
限，而只有模糊的外沿。1965年由美国数学家L·Zadeh
建立起的模糊（fuzzy）数学发展很快，它对自然界和 社会中模糊现象作定量的研究，具有广泛的实际意义。
数学与建筑
数学起源于人类的生活和生产活动，而建筑活动是人类生存的基 本活动之一。如果数的概念和算术运算还不能说密切有关的 。几何 学 （Geometry）这个词就来自古埃及的“测地术”，它是为在尼罗河水 泛滥后丈量地界而产生的。自然界中常见的简单几何形状是圆、球、 圆柱，如太阳、 月亮、植物茎干、果实等等，而几乎找不到矩形和立 方体。矩形和立方体是人类的创造，而这正是和建筑活动有关的，因 为方形可以不留间隙地四方连续地延展或划分，立方体可以平稳地堆 垒和架设。金字塔在如此巨大的尺度下做到精确的正四棱锥，充分显 示了古埃及人的几何能力。希腊人在发展欧几里德几何的同时，写下 了建筑史上最辉煌的一页。希腊建筑的美在很大程度上取决于尺度和 比例，“帕提农给我们带来确实的真理和高度数学规律的感受 ” （勒· 柯布西埃）。
以某个时刻(设为 t = 0)，作“镜像反射”的时间反演变换，单
摆具有时间反演变换的对称性。 一个静止的物体具有任意时间平移的对称性。
复合变换下的对称性 左图是以图形的垂直中线作镜像 反射变换，并作“黑白颜色互变” 变换。 弱相互作用具有“空间镜像和正 反粒子变换”的复合变换对称性。 内特尔（Noether)定理：如果运动规律在某一变换下具有对称 性，必相应存在一个守恒定律。例如：物理定律不随时间变 化，能量就守恒；作用量在空间平移下保持不变，动量就守 恒；作用量在空间旋转下保持不变，角动量就守恒；
误差理论
• 在建筑方案设计的说明中，经常会看到有人对总建筑 面积的计算非常“精确”，例如，32412.4 m2。这表示 他没有误差理论的概念。 • 没有“绝对误差”的概念。3万多平米的方案设计，如 何精确计算到0.1 m2，有没有必要精确到0.1 m2？
• 没有“相对误差”的概念。方案设计，面积控制在 ±5%范围内，已是相当可以了。而相对误差在±5% 之内，就是2位有效数字即可，用3万2千（2.3万） m2 表示就行了。
务所的设计作品取得了第一
名。“设计是将穿越空间与 时间的四个世界性经典造型 ——圆形、环形、拱形和圆 顶形——以莫比乌斯圈的形 式融合在了一起。
威尼斯双年展上的莫比乌斯圈
Klein Bottle
Klein Bottle House
McBride Charles Ryan Architects
对称
于建筑学领域的程度，这一点和人文科学相似。 但是，随着现代数学的发展，随着现代科学技术的发 展，随着现代建筑学的发展，形势已经发生井正在发生着 变化。
今天，一方面建筑学已由传统的含义发展为现代的“广义建筑学”。 建筑学的范围从建筑设计扩展到建筑群设计、室内外空间和环境设计、景 观规划与设计、城市设计、城市规划、村镇规划、区域规划等等；现代建 筑学面对着一个高速发展却又问题丛生的世界，环境、生态、人口、社会、 经济、能源、信息等都是建筑师（包括规划师）需要了解和处理的问题； 相关的知识领域也从传统的建筑学领域大大扩展，并和社会科学、自然科 学的许多学科领域交叉融合，形成如建筑美学、建筑史学、建筑心理学、 环境行为学、城市社会学、建筑经济学、城市人口和经济、建筑生态学、 建筑气候学、城市地理学、建筑物理学、建筑节能与太阳能利用、建筑防 灾、城市管理和立法、建筑设计方法论、计算机辅助建筑设计、建筑和城 市信息系统等现代建筑学的分支科学；建筑活动日益成为内容庞大、因素 众多、结构复杂的巨系统（large scale system）；巨大的资金、技术、人 才和物力的投入，引起对建筑活动的经济效益和社会、环境效益的高度重 视。以上种种表明，建筑学对数学的需要和运用日益具备了条件。另一方 面，现代数学的发展，现代数学向社会科学的渗入，电子计算机的飞速发 展和广泛应用，使数学开始具备应用于建筑学的条件。
在数学上，将两种状态间通过确定的规则对应起来的关系，称
为从一种状态到另一种状态的变换。
如果某一现象（或系统）在某种变换下不改变，则说该现象 （或系统）具有该变换所对应的对称性。 圆对过圆心且与圆所在平面垂直的直线具有旋转变换的对称性， 并对直径具有镜像反射变换的对称性。 无论怎样复杂的转动都不能把左手转成右手。 围棋盘（方格网，规则网格）具有平移变换的对称性； 图形的角度和长度比具有相似变换的对称性； 以相等的时间间隔平移的对称性，通常称为周期性；
• 人在语言交流中，对数字的印象通常2位数字可以总体 把握，如“十三亿人口”、“九百六十万平方公里” 等，数字说多了，干扰了总体把握，反而弄不清。