复变函数与积分变换-李红-华中科技大学

3e
r 2,
C1
C2
C3
C2 C1 C3
1 0
2
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i ez
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
§ 3.4 解析函数的高阶导数
drr

r dxi

r dyj
z x iy , dz dx idy
c
r F
gdrr

c
Mdx

Ndy
c f z dz c u ivdx idy



F

x

t

,
y

t
grr

t

dt

一个复积分的实质是
c udx vdy ic vdx udy
f (z)
1 在区域D za
0
za
内解析，
1 dz 2 i 0
za 1 z a
这里D为复连通域。
可将柯西积分定理推广到多连通域的情况
定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设 函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，
Ñ 0
30 3
C
可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。
z2dz x2 y2 dx 2xydy i 2xydx x2 y2 dy
C
C
C
M
N
M
N
M y Nx uy (v)x
M y Nx vy ux
§ 3.2 柯西积分定理
C
iei d
ei
3
2

2i

2
i
2
ห้องสมุดไป่ตู้
可见积分与路径有关。
例题2
计算积分 I
dz
C (z z0 )n
(n Z),
C:
z z0
r 0
解： C : z z0 rei (0 2 ), dz irei d
I
2 irei d
0 (rei )n

1 r n1
2 0
iein1 d
0, n 1,
2 i, n 1.
例如
dz 2 i,
z 1 z
例题3
证明 C
z 1 dz 8 ,
z 1
C : z 1 2.
证明： C
z 1 dz z 1

C
z 1 dz z 1
n
Ci
蜒 或 f (z)dz
f (z)dz.
C
i1 Ci
例题1
求
1 C z2 dz ,
C 如图所示：
i
解：存在 f (z)的解析单连通域D包含曲
i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
3i
从而
C
1 z2 dz

0,i
d
0 , 3i


1 z
复积分的性质 ：
设f (z)、g(z)在逐段光滑的有向曲线 C上连续
1 线性性：
C af (z) bg(z)dz aC f (z)dz bC g(z)dz (a、b为常数)
2 设C为C的逆向曲线，则
f (z)dz f (z)dz
C
C
3 C f z dz C1 f z dz C2 f z dz , C C1 C2
推论1 如果C是圆周z=z0+Rei, 则柯西积分公式成为
f
(z0 )

1 2πi
2π 0
f
(z0 R R ei
ei
)
iR
ei d

1 2π
2π 0
f
( z0

R ei ) d
f z0 Rei ------ 一个解析函数在圆心处的值等于
它在圆周上的平均值.
z0 z
F z f d 是解析函数。
z0
解析函数的导数仍为解析函数
z1
特别地 f d F z1 F z0 .
z0

例如：
z 2 dz

1
z3


1
3 3

3 3
2 1, 1
3
注：以上讨论中D为单连通域。
dz idt , z it t
z dz
1
0
t idt i[ tdt
1
tdt

i( 1

1)

i
C
1
1
0
22
（2）参数方程为 z ei , 3
2
2
dz iei d , z ei 1
i
3
2
z dz
C2
解：C1 : z x , y 0, x :1 1
z2dz 1 x2dx 2 ;
C1
1
3
C1
1
1

C2 : z ei

i e3id
, :0
1 e3i 2 .
C2
z2dz

e2iiei d
0
z2dz 0
第三章 复变函数的积分 （与实函数中二型线积分类比）
§3.1
复积分的概念
x y

xt yt


t


c Bxdrr , ydz
dy
dx
Ax , y
线积分
复积分
r F

x,
y


M

x,
y

r i

N

x,
y

r j
f z u x, y iv x, y
(z0 )
zz0
z
1 z0
d
z

2 π if
(z0 ).
.定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0
Ñ 为C内的任一点, 则
1 f (z) f (z0 ) 2 π i C z z0 d z.
or
推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则
f

z0


1
2 i
蜒C zf


z
dz z0

C1
f z
z z0
dz
z0 D.
CD C1 z0
例题1
计算积分
ez
dz
C z(z 1)( z 2)
C : z r (r 1,2)
ez
解：0 r 1,
D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有 Ñ f (z) d z 0.
C
推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，
则c f z dz 与路径无关仅与起点和终点有关。
z
于是 C f z dz C f d f d F z Fz f z
定理1（Cauchy）
如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任
何一条封闭曲线 C 的积分为零: Ñ f (z) d z 0.
C
注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的
条件之一是曲线C要属于区域D。
注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析,
即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域

f xt, y t zt dt
两个实二型线积分

复积分存在的一个充分条件：
设函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在逐段光滑
的曲线上 C连续，则c f z dz 必存在.
f (z)连续 u(x, y)，v(x, y)连续
C udx vdy与C vdx udy存在 C f (z)dz存在.
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它 的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一 点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上 可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要 说它有高阶导数存在了.
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:
Ñ f
(n) (z0 )

n! 2πi
C
(z
f (z) z0 )n1
d
z
(n 1, 2,L )
其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正
向简单曲线, 而且它的内部全含于D.
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即
Ñ f (z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
C
z 1 dz
2
C
z 1 2
dz 2 dz 8 .
2
C
例如
dz dz 2
z 1 z
z 1
练习
dz
z 1 z

2 iei d 0
0
dz 2 ei d 0
z 1 z
0
例题4
计算
C
z2dz , Ci 如图所示：
Ñ ÑC
f z
z z0
dz
2 if
z0

K
f (z) f (z0 ) d z z z0
根据闭路变形原理, 该 积分的值与R无关, 所以

Ñ |
K
f
(z) |z

f (z0 ) z0 |
|
d
s
e
R
Ñ d
K
s

2
πe
.
只有在对所有的R 积分 为值为零才有可能。
4 C f (z)dz C f (z) dz C f (z) ds ML
(若f (z)在C上有界：f (z) M,L为C的长度.)
例题1 计算 z dz. (1)C : i i的直线段； C
（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解（1）线段 的参数方程为 z it t :1 1
f

z

1
2 i
ÑC
f


z
d

---解析函数可用复积分表示。
[证] 由于f (z)在 z0连续, 任给e >0, 存在 (e) >0, 当 |zz0|< 时, | f (z)f (z0)| <e. 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |zz0|=R全部在C的内部, 且R <.
(z 1)( z 2) dz 2 i
ez
i
C
z
(z 1)(z 2)
z0
ez
1 r 2, i z(z 2) dz
C1
C2
C2 z 1
i 2 i ez
i 2 i
z(z 2) z 1
0 2i 2i 0 0
§ 3.3 柯西积分公式
分析：设 z0 D, 若 f (z) 在D内解析，则
蜒 f (z) d z闭路变形原理
f (z) d z C z0
C z z0
zz0 z z0
D
Ñ ufuuuzuuuuuuufuuzuu0uuuuuuuuu0uruuf
则 蜒C f z dz C1 f z dz .


C
证明：取 C AB C1 BA
D
B
C1
A
蜒 ?

C
AB
C1
BA
蜒 蜒 ? 0
C
C1
C
C1
C1
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域
蜒 dz
dz


C2 z 1 z C1
2i 2i 0
(2) (由复合闭路定理)
C
C1
C2
0
1
蜒 ? 1 dz
dz
dz
C z2 z
C1 z2 z C2 z2 z
蜒 蜒 dz
dz
dz
dz




C1 z 1 z C1
C2 z 1 z C2
蜒 f (z) d z f (z) d z
C z z0
K z z0
R
D
蜒 f (z0 ) d z f (z) f (z0 ) d z
K z z0
K z z0
Cz
z0
K
Ñ 2 π if (z0 )
K
f (z) f (z0) d z z z0



1 z
0,i

0 , 3i


1 i

1 3i


4 3
i
例题2
求
C
1 z2
z
dz
,
C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。
解：
1 1 1 z2 z z 1 z
(1)
蜒C z
2
1
z
dz

C
dz z 1

?C
dz z
（由闭路变形原理）
内作连续变形而改变它的值。 ------闭路变形原理
推论（复合闭路定理）：
设C1,C2 , ,Cn为简单闭曲线 (互不包含且互不相交)，
C为包含C1,C2 ,
,
C
的简单闭曲线，
n
D为由边界曲线
C C1

C
2


C
n
C
所围成的多连通区域，f (z)在D内解析，
D
在D D 上连续,则 f (z)dz 0