二重积分的一般换元法则.ppt
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D
解：令而在uv其 yx他xy2 点，上则不x为y零uu，1v3v那1332 么，换元公式仍成立。
在这变换下， D的 边界 y 2 x, y 2 2x, xy 2, xy 3
依次与u 1, u 2, v 2, v 3 对应，
y xy2
D
y2 2x
y2 x xy3
v
3 D
2
o
x
o 12
u
D D { (u,v) 1 u 2, 2 v 3} ，
， J u,v
x, y u,v
0
，
（3）变换 T：DD 是一对一的，
则有 f x, ydxdy f [x(u,v), y(u,v)] J (u,v) dudv 。
D
D
例 1注．：计算J (u,vx)y只dx在dy D，其内中个D别由点y上2 ， x或, y一2 条2x线, x上y 为2,零xy， 3 围成。
按二重积分的换元公式，便得极坐标中的二重积分：
f (x, y)dxdy f (cos,sin)dd 。
D
D
这里 D 是 D 在o 平面上对应的区域。在上节内所证的
相同公式上用的是D而不是 D ，因为在那里把(,)看作
同一平面上点(x, y) 的极坐标，故积分区域仍记为D 。
例 2．计算
D
1 x2 a2
9.2.3二重积分的一般换元法则
定理 设函数 f (x, y) 在xoy 平面上的闭区域D上 连续，
变换 T： x x(u,v), y y(u,v) ，将uov 平面上的闭区域
D 变为xoy 平面上的 D ，且满足
（1） x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数，
（2）在 D上
J
(u,v)
(x, y) (u,v)
1 (u,v) (x, y)
1 y2 x2
2y
1 3y2
1 3u
，
x
x
yx
D
xydxdy
v
D
1u 3
1
du
dv
1 3
2
1
1 u
3
duvdv
2
1ln 3
2
1 2
v2
3
2
5 6
ln
2.
在变换为极坐标
x cos
y
sin
下，
J (,) (x, y) cos sin ， (,) sin cos
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
12 abdd
ab
2
d
百度文库
1
12d 2 ab.
00
3
y2 b2
dxdy
，其中D 为
椭圆 x2 a2
y b
2 2
1
所围成的区域。
解：作广义极坐标变换：
x acos
y
bsin
，
在此变换下与xoy
平面上的闭区域D (x,
y)
x2 a2
y2 b2
1
对应的o 平面上的闭区域 D(,) 01,0 2，
J (,) (x, y) acos asin ab ， (,) bsin bcos
解：令而在uv其 yx他xy2 点，上则不x为y零uu，1v3v那1332 么，换元公式仍成立。
在这变换下， D的 边界 y 2 x, y 2 2x, xy 2, xy 3
依次与u 1, u 2, v 2, v 3 对应，
y xy2
D
y2 2x
y2 x xy3
v
3 D
2
o
x
o 12
u
D D { (u,v) 1 u 2, 2 v 3} ，
， J u,v
x, y u,v
0
，
（3）变换 T：DD 是一对一的，
则有 f x, ydxdy f [x(u,v), y(u,v)] J (u,v) dudv 。
D
D
例 1注．：计算J (u,vx)y只dx在dy D，其内中个D别由点y上2 ， x或, y一2 条2x线, x上y 为2,零xy， 3 围成。
按二重积分的换元公式，便得极坐标中的二重积分：
f (x, y)dxdy f (cos,sin)dd 。
D
D
这里 D 是 D 在o 平面上对应的区域。在上节内所证的
相同公式上用的是D而不是 D ，因为在那里把(,)看作
同一平面上点(x, y) 的极坐标，故积分区域仍记为D 。
例 2．计算
D
1 x2 a2
9.2.3二重积分的一般换元法则
定理 设函数 f (x, y) 在xoy 平面上的闭区域D上 连续，
变换 T： x x(u,v), y y(u,v) ，将uov 平面上的闭区域
D 变为xoy 平面上的 D ，且满足
（1） x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数，
（2）在 D上
J
(u,v)
(x, y) (u,v)
1 (u,v) (x, y)
1 y2 x2
2y
1 3y2
1 3u
，
x
x
yx
D
xydxdy
v
D
1u 3
1
du
dv
1 3
2
1
1 u
3
duvdv
2
1ln 3
2
1 2
v2
3
2
5 6
ln
2.
在变换为极坐标
x cos
y
sin
下，
J (,) (x, y) cos sin ， (,) sin cos
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
12 abdd
ab
2
d
百度文库
1
12d 2 ab.
00
3
y2 b2
dxdy
，其中D 为
椭圆 x2 a2
y b
2 2
1
所围成的区域。
解：作广义极坐标变换：
x acos
y
bsin
，
在此变换下与xoy
平面上的闭区域D (x,
y)
x2 a2
y2 b2
1
对应的o 平面上的闭区域 D(,) 01,0 2，
J (,) (x, y) acos asin ab ， (,) bsin bcos