二重积分的一般换元法则.ppt
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第二节二重积分的计算(3)
其中a, b为常数,
y 后区域D表示方式不变,则
从而
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内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法
y
y y2 ( x)
D
y y1 ( x) a bx
直角坐标系情形 : • 若积分区域为
则
D f ( x, y) d a d x y ( x)
1
b
y2 ( x )
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) cos J ( r , ) sin
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
u 1 dudv ev 2 D
ee
1
机动
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例9. 计算由
y2 x2 x2 by 2 ,v ,则 解: 令 u y qx y x y D y 2 px puq D : D 2 x ay a v b x 1 ( x, y ) 1 o J v (u , v) (u , v) 3 b D ( x, y ) a S d x d y u
V 2 c
D
1 r a b r d r d
2
2
2 abc
0
d
1
0
4 1 r r d r abc 3
2
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例11. 试计算
解: x
其中
三二重积分的换元法
因此面积元素的关系为
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
抱赋临斧云脸揣购马嫁壁陈奥团窍欺搬氰剑弃才韵鸯螺闪散跪浊逐法绎湃三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
宪著圈骸呕齐罢誓裳锻逗烃扶减砌沃癸芒茶头痊士奏月芯怔邪堆渣吴兔淋三二重积分的换元法三二重积分的换元法
叫杀挽所糜波趴蛆躇钞降壁汇谅褐呕草烷诅玉磷啡靴糖喘沮闲粳垄婴玖索三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解：
原式
备用题
1. 给定
改变积分的次序.
楷谜伟膜眯扶审洋各峰禁汪旺翌剁酬粘床络句氏蚊逊擅敝肮丑旧抠许坚益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 计算
其中D 为由圆
所围成的
及直线
解：
平面闭区域.
榔质屋捞铺诧改毙枷腺皖帅朽序赵例散帐怀桥队誊性羹萍撵雍柏挑泉延蘑三二重积分的换元法三二重积分的换元法
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 ,
则
焕隙障邱肇眼弦遗狼恶患底悦荣碱咙赛曲判令坷蚁龙敏读越烘宁反贾育篇三二重积分的换元法三二重积分的换元法
思考与练习
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
窖食茎隅杀误邵呢绽衣蹿醛膘碴衬苫轮笆傣变苯钧垦并儡赛雄厘宰墩砖晒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
祖磅穷栈捕嚏臂细埃弓给谜痕箭择猫曰隶膘鸭阀浦羡仇管笨丛抬惶甥柠境三二重积分的换元法三二重积分的换元法
从而得二重积分的换元公式:
例如, 直角坐标转化为极坐标时,
抱赋临斧云脸揣购马嫁壁陈奥团窍欺搬氰剑弃才韵鸯螺闪散跪浊逐法绎湃三二重积分的换元法三二重积分的换元法
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
宪著圈骸呕齐罢誓裳锻逗烃扶减砌沃癸芒茶头痊士奏月芯怔邪堆渣吴兔淋三二重积分的换元法三二重积分的换元法
叫杀挽所糜波趴蛆躇钞降壁汇谅褐呕草烷诅玉磷啡靴糖喘沮闲粳垄婴玖索三二重积分的换元法三二重积分的换元法
解：
原式
备用题
1. 给定
改变积分的次序.
楷谜伟膜眯扶审洋各峰禁汪旺翌剁酬粘床络句氏蚊逊擅敝肮丑旧抠许坚益三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 计算
其中D 为由圆
所围成的
及直线
解：
平面闭区域.
榔质屋捞铺诧改毙枷腺皖帅朽序赵例散帐怀桥队誊性羹萍撵雍柏挑泉延蘑三二重积分的换元法三二重积分的换元法
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X - 型域或Y - 型域 ,
则
焕隙障邱肇眼弦遗狼恶患底悦荣碱咙赛曲判令坷蚁龙敏读越烘宁反贾育篇三二重积分的换元法三二重积分的换元法
思考与练习
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
窖食茎隅杀误邵呢绽衣蹿醛膘碴衬苫轮笆傣变苯钧垦并儡赛雄厘宰墩砖晒三二重积分的换元法三二重积分的换元法
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
祖磅穷栈捕嚏臂细埃弓给谜痕箭择猫曰隶膘鸭阀浦羡仇管笨丛抬惶甥柠境三二重积分的换元法三二重积分的换元法
二重积分的换元法
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y)的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
dxdy
,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x y
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
（1）极点 O 在区域 D 的外部
D
:
r1
(
)
r
r2
(
)
r r1( )
D
o
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f (r cos ,r sin )
r dr
r r2( )
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
x2 y2 2y
3x 0
x 3y 0
x2 y2 4 y r 4sin o
x
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
高等数学第十章《二重积分》复习 课件
y x 2(y) d y
x 1(y)
则
d
dy
2(y) f (x, y)dx
c o
c
1( y)
x
例2. 计算 x yd , 其中D 是抛物线 y2 x 及直线 D
y x 2 所围成的闭区域.
解: 看成Y型区域,
则
D
:
1 y y2 x
2 y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2 y2
D
x yd
dy 1
y2
xyd
该物体的质量为
b
a
Dz
f
(x,
y, z)d
xd
y dz
记作
b
dz
f (x, y, z)dxdy
a
Dz
z
b
z Dz
a
O
y
x
面密度≈
f (x, y, z)d z
截面法的一般步骤：
(1) 把积分区域 向某轴（例如z 轴）投影，得
投影区间 [a, b] ；
(2) 对 z [a, b]用过z轴且平行 截 ，得截面 Dz;
11
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
y y 2(x)
axb
D : 1( x) y 2( x)
D x
则
f (x, y)dxdy
b
dx
2( x)
f
( x,
oa y y)dy
1(x)b
x
D
a
1( x)
若D为Y –型区域
c yd
D : 1( y) x 2( y)
xoy平面的平z面去
重积分的换元法
(u,v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
二重积分的换元法
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分换元.ppt
a4 sin4 a4 sin2 cos2 d d
a4 sin2 dd
a 2 sin d d
球面 x2 y2 z2 a2
8
例7 平面极坐标与直角坐标的换算公式为 :
x r cos
y
r
sin
r 0
0
2
0 1 zy
面积元素:
ds ds
1
z
2 x
z
2 y
dx
d
y
6
例6 球面 x2 y2 z2 a2 的参数方程为:
x a sin cos
y
a
sin
sin
z a cos
0 0 2
z a
r r(, )
r 0
0
2
为一圆锥面:
z k x2 y2
向量形式的参数方程为: r r(r,)
例4
x a r cos y b r sin z r 2
r 0
0
2
x2 y2
为一椭圆抛物面:
z a2 b2
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
D
sin cos
16
例 5 计算 ( x2 y2 )dxdy ，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y ， x2 y2 4 y 及直线x 3 y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
《二重积分的计算》PPT课件
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
0
x
0 1 xe x2 dx 1 (1 e1 )
0
2
注：当积分区域D是一矩形且: a x b , c y d
f ( x, y) g( x) h( y) 时，则二重积分
b
d
f ( x, y)dxdy (a g( x)dx) (c h( y)dy)
rk
rk
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(2)“常代变”
（ k , k）
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k rk cosk , k rk sink
k
rk
rk
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
(3)“近似和”
n
f ( x, y)dx
0
1 y
1
1 y2
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例6. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
1
14-7.二重积分的换元法PPT
D
D2
u
J =2 J：部-Vvevdu = -£‘(2e - eT)vdv = e — e_1
例2计算JJ
1 -亳2-^22dxdy,其中D为 a b
D
22
椭圆Xr + % = 1所围成的闭区域.
ab
解作广义极坐标变
x = ar cos 0,
y = br sin
其中 a > 0, b > 0, r > 0, 0 < 0 0<, 2冗.
1,二重积分换元公式
__________ ______平_:面__上__同__一_■个_点.—，直角坐标与极坐标之
x = pcos^, 间的关系为 y = psin^.
上式可看成是从直角坐标平面po(P到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于皆湃
面上的一点M3,饥，通过上式变换，变 成
xoy 平面上的一点M(x, y)，且这种变 换 是一对一的.
\x + y = =2
则 x = ,y= . 22
没
o
x
D — D,艮卩 x = 0 T u = —
v;
v
v=2
y = 0 T u = v;
u = —v
u=v
x + y = 2 T v = 2.
o
u
11
J = a (X, y) 2 2 1 d (u, v) 1 1 2,
22
y-x
u
故 JJ ey+Xdxdy = JJ ev -dudv
(3) 变换T : D'T D是一对一的，则有 JJ f ( x,
y )dxdy = JJ f [ x ( u, v ), y ( u, v )]| J ( u, v )
21.4_二重积分的变量替换
f ( x, y ) d x d y
D
D
f (r cos , r sin ) r d r d
yx
例5. 计算
e
y x
所围成的闭域.
x
J
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 y
x y 2
解: 令 u y x , v y x , 则
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 3、 将 dx
0 2 3x
f(
x
2
x
2
y ) dy
2
化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 4、 将 dx
0 1 x 0
f ( x , y ) dy
化为极坐标形式的二次积分
为______________________.
D
f ( x(u , v), y (u , v)) J (u , v) d u d v
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J ( x, y )
cos ( r , ) sin
r sin r r cos
vu 2
( x, y ) (u , v )
D
,y
vu 2
1 2 1 2
( D D )
u
o
u v
D
x
v v2 uv o u
1 2
1 2
1 2
D
e v 1 d u d v
2
ee
1
例6. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 u
课件：二重积分的计算-2
D
sin cos
2009年5月
南京航空航天大学 理学院 数学系
11
EX1 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
EX2 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
y2 b2
d xd
y
令 x ar cos , y br sin ,则D 的原象为
D : r 1 , 0 2
J
(x, y)
( r, )
a cos b sin
ar sin br cos
abr
V 2cD 1 r 2 abr d r d
2
1
2 abc d
1 r 2 r d r 4 abc
3、 3d 0 f (r)rdr；
4
s e c
4、 4 d
f (r cos , r sin)rdr；
0
sec tan
5、
4 d
s in cos2
1
rdr
,
2 1.
0 0r
二、1、 (2 ln 2 1) ； 4
2、14a4 ；
2009年5月
南京航空航天大学 理学院 数学系
26
D
sin( x2 y2 ) dxdy x2 y2
4
D1
sin( x2 y2 ) dxdy x2 y2
4
2 d
2 sinr rdr 4.
0 1r
2009年5月
南京航空航天大学 理学院 数学系
14
EX4 试计算椭球体
解取
D:
x2 a2
二重积分的概念及计算ppt课件
Df(x,y)dDf(x,y)d
6. 设 M m f( x ,a y )m x , m f( x ,i y )n D,的面积为 ,
D
D
则有
m D f(x ,y)d M
精选课件ppt
Page 12
7.(二重积分的中值定理) 设函f数 (x,y)在闭区域D上
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点 (,)D,使
例4. 估计下列积分之值
d x d y
I D 1 0 0 c o s 2 x c o s 2 yD :x y y1 0
解: D 的面积为 5 0 ( 三 角 形 面 积 ) 4 2 0 0 10
由于
D
10 o 10 x
1
1
1
1 0 2 100cos2xcos2y1 0 0
10
积分性质5
4
f(x,y)的最小值 mf(1,2) 1 1
故2I 2, 0 .4 I 0 .5
3242 5
54
精选课件ppt
Page 18
8. 设函数 f(x,y)在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
( 1 )f( x , y ) f( x ,y )则,
( ddxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
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思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I1 xy dxdy I2 xy dxdy
x2y21
11
xy1
y
I3 xy dxdy
11
1
解: I1,I2,I3被积函数相同, 且非负, 由它们的积分域范围可知
9-2_二重积分的计算方法ppt课件
其中函数1( y)、2( y) 在区间 [c,d ]上连续.
y
d
y
d
Y－型
D
x 2( y)
x 1( y) D
x 2( y)
x 1( y)
c
c
O
x
O
x
f ( x, y)d
d
(
2( y) f ( x, y)dx )dy
c 1( y)
D
先对x后对y的二次积分
也即
f ( x, y )d
22
（2）若D对称于x轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
D
D1
其中D1是D位于y轴右侧的部分。
23
（4）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
应用计算“平
z
z f (x, y)
行截面面积为 y
已知的立体求
y 2(x)
A( x0 )
D y 1(x)
＊体计积算”截的面方面法积.( 是区间[1 ( x0 ), 2 (
O
a
红x0 )色]为部底分, 曲即线A(xz0)
)
f
x0
( x0 ,
b
y)
x
为曲边的曲边梯形.
4
二重积分的计算法
z
是区间 曲线 z
片的质量M。
解：根据二重积分的物理意义，M
e|x||y|dxdy. D
由于积分x,区y域
D 关于x
y
轴，
轴都对称，且
三二重积分的换元法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
k k k
k
r rk
x
k
1 2
(rk
rk )2
k
1 2
rk
2
k
1 2
[rk
(rk
rk
)]rk
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k
rk
rk
O
k rk cosk , k rk sink
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n
lim
0
k
1
f
(k
,
k
)
k
n
lim
0
sin x dxdy, 其中D 是直线 y x, y 0, Dx
x π 所围成闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
所以取D 为X - 型域 :
D xπ
D
:
0 0
y x
x π
O πx
sin x dxdy
π sin x dx
x
dy
Dx
0x
0
π
0 sin x dx
2(x)
b
b
2 (x)
dx
a
1( x)
f
(x,
x Oay
y) d y y
D 1(x)b x
x 2(y)
若D为Y
-
型区域
D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
d y
则
f (x, y) dxdy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
D
c
1(y)
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J
(பைடு நூலகம்,v)
(x, y) (u,v)
1 (u,v) (x, y)
1 y2 x2
2y
1 3y2
1 3u
，
x
x
yx
D
xydxdy
v
D
1u 3
1
du
dv
1 3
2
1
1 u
3
duvdv
2
1ln 3
2
1 2
v2
3
2
5 6
ln
2.
在变换为极坐标
x cos
y
sin
下，
J (,) (x, y) cos sin ， (,) sin cos
9.2.3二重积分的一般换元法则
定理 设函数 f (x, y) 在xoy 平面上的闭区域D上 连续，
变换 T： x x(u,v), y y(u,v) ，将uov 平面上的闭区域
D 变为xoy 平面上的 D ，且满足
（1） x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数，
（2）在 D上
y2 b2
dxdy
，其中D 为
椭圆 x2 a2
y b
2 2
1
所围成的区域。
解：作广义极坐标变换：
x acos
y
bsin
，
在此变换下与xoy
平面上的闭区域D (x,
y)
x2 a2
y2 b2
1
对应的o 平面上的闭区域 D(,) 01,0 2，
J (,) (x, y) acos asin ab ， (,) bsin bcos
， J u,v
x, y u,v
0
，
（3）变换 T：DD 是一对一的，
则有 f x, ydxdy f [x(u,v), y(u,v)] J (u,v) dudv 。
D
D
例 1注．：计算J (u,vx)y只dx在dy D，其内中个D别由点y上2 ， x或, y一2 条2x线, x上y 为2,零xy， 3 围成。
按二重积分的换元公式，便得极坐标中的二重积分：
f (x, y)dxdy f (cos,sin)dd 。
D
D
这里 D 是 D 在o 平面上对应的区域。在上节内所证的
相同公式上用的是D而不是 D ，因为在那里把(,)看作
同一平面上点(x, y) 的极坐标，故积分区域仍记为D 。
例 2．计算
D
1 x2 a2
D
解：令而在uv其 yx他xy2 点，上则不x为y零uu，1v3v那1332 么，换元公式仍成立。
在这变换下， D的 边界 y 2 x, y 2 2x, xy 2, xy 3
依次与u 1, u 2, v 2, v 3 对应，
y xy2
D
y2 2x
y2 x xy3
v
3 D
2
o
x
o 12
u
D D { (u,v) 1 u 2, 2 v 3} ，
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
12 abdd
ab
2
d
1
12d 2 ab.
00
3