控制系统的稳定性

第五章 系统的稳定性
例： D(s)=s6 +2s5 +8s4 +12s3 +20s2 +16s +16=0 s6 s5 s4 s3 1 2(1)
2× 8 - 1 12 = 2(1) 2
8 12(6)
2 ×20 - 16 = 12 2
20 16 16(8) 0
×
(6)
16(8) 0
0 0
2s +12s2 +16=0
L
第五章 系统的稳定性
D1=an-1>0
an-1 D2 = an an-3 >0 an-2
Dn>0
an-1 an-3 an-5 D3 = an-2 an-4 an-6 >0 0 an-1 an-3
Hurwitz行列式直接由系数排列，规律简单 而明确，因此，比列Routh表要简单些，使用也 较为方便，但对六阶以上的系统，由于行列式 计算麻烦，故应用较少。对于简单形式：
（Z-p）。
第五章 系统的稳定性
说明： 从几何关系可知，当s沿封闭曲线顺时针方 向移动一周时，所有未被封闭曲线包围的极点和 零点对应的向量幅角变化都为零，只有那些被封 闭曲线包围的极点和零点所对应的向量的幅角变 化才是-2。 Im 若s平面上的一条封闭曲线是 [F(s)] 一条顺时针封闭曲线，且不经过 o 任何奇点，则在F(s)平面上封闭 Re 曲线F的旋转方向和旋转次数与 F(s)的零点和极点有关。其关系 图5-4 由幅角原理说明。
第五章 系统的稳定性
1．s平面上，顺时针绕零点旋转一周，F(s)平 面上F顺时针绕原点一周。FZi(s)= -360 2．s平面上，顺时针绕极点旋转一周，F(s)平 面上F逆时针绕原点一周。FPi(s)=-360 3．若s平面上，s内包含Z个零点，P个极点， 则F(s)幅角变化 F(s)=-360P-360Z=-360（Z-P） 即F逆时 针包围原点（P-Z）圈。
辅助方程 4 或
0(1)
1 1 ×6 - 3× =3 1
0(3)
1 ×8 - 0 = 8 1
s4+6s2 +8=0
求导得
4s3 +12s=0
s2
s1 s0
0
0 0
0
0 0
1 3
或s3+3s=0
0 0
0
∵ 第一列元素符号没有变化 ∴ 系统稳定
第五章 系统的稳定性
二、Hurwitz(赫尔维兹)判据
D(s)=ansn +an-1sn-1 +…+a0=0
第五章 系统的稳定性
补充： 映射定理：设复变函数F(s)有p 个极点和Z个零点被s平面内某一封 闭曲线所包围，并且这一封闭曲线 不经过F(s)的任何极点或零点。当 复变量s顺时针方向沿此封闭曲线
o
j
Z
s -Z 1 s
r
[s]

移动一周时，在F(s)平面内的映射
曲线将顺时针方向包围坐标原点
图5-3
3
=
a0
s1 D = C 1 B 2 - B 1 C 2 1 C1
s0 E
=
0
0
0
0
0
0
D 1C 2 D1
= a0
第五章 系统的稳定性
∴判别系统稳定性步骤： 1）系数排成两行
an an-1
an-2 an-3
… …
每一行元素可以同时乘以或除以相同数 2）列出Routh表 3）由稳定判据判断稳定性 第一列符号无改变，系统无实部为正的 特征根→稳定 第一列符号改变n次，则有n个实部为正 的特征根→不稳定
图5-1
渐衰减并趋于零，具有恢复平 衡状态的能力，则称该系统为稳定。
二、系统稳定的充要条件
系统特征方程的全部特征根均具有负部。
第五章 系统的稳定性
第二节 Routh（劳斯）稳定判据
线性系统稳定的充要条件是其特征方程的所有
特征根均具有负实部。因此，判别系统稳定性需要
求特征根，当系统阶次较高时，求解较为困难。为
o
1
1）设GK(j)的N氏图如右：曲线①→K1由图可 知，N氏图不包围(-1,jo)点。 ∴此时系统闭环稳定
图5-5
2） 若GK(j)的N氏图包围(-1,jo)点，如曲线②→K2 则系统闭环不稳定 K1K2 放大倍数增大，系统由稳定不稳定
第五章 系统的稳定性
例： 已知单位反馈系统开环传递函数 2 ( ) = GK s s- 1 试判别系统闭环后的稳定性 解：由GK(s)得，开环系统有 一正极点 ∴开环系统不稳定 P=1 GK(j)的N氏图如右。
0.5
图5-8
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 概 述 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性 第五节 系统稳定性分析的MATLAB实现
第五章 系统的稳定性
第一节 概 述
一、稳定性的概念
若控制系统在任何足够小的初
始偏差的作用下，其过渡过程
（输出）随着时间的推移，逐
此，Routh提出用特征方程的系数来判别根的正负。
第五章 系统的稳定性
一、系统稳定性的必要条件
1．系统稳定的必要条件：
若系统特征方程为： D(s)=ansn +an-1sn-1 +…+a0=0 则全部特征根均具有负实部，必须：
an>0, an-1>0, …,a0>0
即特征方程各项系数ai >0
第五章 系统的稳定性
2．系统稳定的充要条件： Routh表第一列元素均不为零，且符号相同。 注：特征方程中实部为正的根的个数等于 Routh表中第一列元素符号改变的次数。 以六阶特征方程为例： D(s)=a6s6 +a5s5 +a4s4+a3s3 +a2s2+a1s1+a0=0
第五章 系统的稳定性
s6 s5 s4 s3 s2
2
Im
(-1,jo) 0 +1
Re
图5-7
第五章 系统的稳定性
2）计算N氏曲线包围(-1,jo)点的次数 在[-1,-]段实轴上，曲线由上 而下穿越，包围次数N=+1 在[-1,-]段实轴上，曲线由下 而上穿越，包围次数N= -1
Im -0.5 0.5 (-1,jo) 0 Re
在[-1,-]段实轴上，由实轴开 -0.5 始而下，或由上而下到实轴 终止，包围次数 N=0.5= 1 2 在[-1,-]段实轴上，由实轴开始 而上，或由下而上到实轴终止， 1 包围次数 N= -0.5 = 2 总的包围次数：N=N正+N负
a6 a5 a4 a3
3
a2 a1
-
a0
0 0 0 0
A 1 = a 5 a 4- a 6 a a5 B1
=
A2 = a 5 a
a6 a 1 A = a 5 a o = a 3 0 a5 a5
2
A 1 a3 - a 5 A 2 A1 a 1- a 5 A 3 B2 = A1 A
1
0 0
C1
=
B 1A 2 - A 1B 2 C = B 1 A 2 B1 B1
GK(j)正向包围(-1,jo)点半圈 N =
=o (-1,jo)
Im
o =
Re
图5-6
1 P = 2 2
故闭环系统稳定。
第五章 系统的稳定性
由上述两例可以看出：
1）开环系统稳定，但如果系统参数 设计 不当，则闭环系统不一定稳定。 2）开环系统不稳定，但如果合理设计系统 参数，则闭环系统可能稳定。
第五章 系统的稳定性
一单位反馈系统的开环传递函数为 例： K = GK ( s ) (T1s+1 )(T2s+1 )(T3s+1 ) T1, T2，T3均大于0 试判别闭环系统的稳定性。
解：由GK(s)得，开环系统不存在极点落在s 平面的右边，即P=0 开环系统 稳定
-1 2
Im =p0 =0 Re
n = 2 : a2 > 0 n = 3 : a3 > 0 n = 4 : a4 > 0 a1 > 0 a2 > 0 a3 > 0 a0 > 0 a1 > 0 a2 > 0 a0 > 0 a1 > 0 a 2 a1 - a 0 a 3 > 0 a0 > 0
2 >0 a1 a 2 a 3 - a12 a 4 - a 0 a 3
第五章 系统的稳定性
由此可见： 1）F(s)的极点就是GK(s)的极点 2）F(s)的零点就是GB(s)的极点 3）系统稳定的充要条件是GB(s)的全部极点在s平 面的左半部F(s)的全部零点在s平面的左半面。
二、幅角原理
K (S-Z1)(S-Z2) L (S-Zn ) 设： F(s)= (S-p )(S-p ) ( 1 2 L S-pn) Z1 Z2，…，Zn为F(s)的零点 P1 P2， …，Pn为F(s)的极点
第五章 系统的稳定性
F(s) =(s -Z1 ) + (s -Z2 ) +L+(s Zn) - [(s - p1 ) +(s- p2) +L +(s - pn)]
对于s平面和F(s)平面上的点而言， 它们之间存在映射关系，即s平面上任 一点，一定在F(s)平面上找到与之相对 应的点；若某点在s平面上运动形成封 闭曲线，则在F(s)平面上也一定有一条 封闭曲线与之映射。
第五章 系统的稳定性
第三节 Nyquist稳定判据 一、基本原理
1 GK (s) =G( s)H ( s ) = M ( s ) ( n> m ) N (s ) 2 . GB ( s ) = G (s) 1 + G (s)H (s)
H(s) Xi(s) G(s)
Xo(s)
3 辅助函数：
M (s) N(s) + M (s) 图5-2 = F ( s ) = 1 + G( s ) H ( s ) = 1 + N(s) N ( s)

1 ×3 - 1 ×5 = -2 1
2 + 2

5 0 0
-2 5
∵ 第一列符号改变两次
∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。
第五章 系统的稳定性 2）Routh表某行元素全为零：（若第k行）
处理方法： a)以上一行（k-1）行的系数构成一个辅助方程 （阶次一般为偶数）Sn-k+2
b)对该辅助方程求导，所得系数代替k行 c)继续计算Routh表 该情况表示特征根中存在以原点对称的根 i) 存在一对绝对值相等的正负实根 ii) 一对共轭纯虚根 iii)两对复根，实部符号相异，虚部相同 这些根可由辅助方程求得。
第五章 系统的稳定性
四、应用
1．若开环系统稳定，沿增加的方向， 如果(-1,jo)点在幅频特性曲线GK(j) -1 的N氏图）的左侧，则系统闭环后 稳定。 2．开环系统不稳定，判断闭环系统 稳定的方法 1）若GK(s)中包含个积分环节，则必 须先增补开环幅频特性曲线。
增补方法：从开环幅频特性曲线 =o+开始，以原点为中，以无穷大 为半 径画圆弧，逆时针转过角 × 到=0
系统稳定的充要条件：
1）特征方程各项系数均大于零 2）Hurwitz行列式Dk>0 (k=1,2,…,n)
a n- 1 an 0 0 a n- 3 a n- 2 a n -1 an a n-5 a n- 4 a n- 3 a n- 2
L L L L
0 0 0 0
Dn =
M
0 0
M
L
M
a1
M
0 ao a2
s1
s0
0 0
2
第五章 系统的稳定性
第一列：3 10 4.7
－3.2 2
∵ 第一列符号改变两次 ∴ 系统不稳定，具有两个实部为正的特征根。 3．Routh判据的特殊情况 1）Routh表中某行第一列元素为零，其余列 元素不全为零， 则以很小的正数0
第五章 系统的稳定性
例： D(s)=s3 -3s+2=0 试判别系统的稳定性 s3 1 -3
s2
s1 s0
0()
-3-2
2
0 0

2
∵ 第一列符号改变两次 ∴系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。
第五章 系统的稳定性
例：D(s)=s5 +s4 +2s3 +2s2 +3s+5=0
解:
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 1
1 ×2 - 1 ×2 = 0( ) 1
2 2
3 5 0 0 0 0
Leabharlann Baidu
第五章 系统的稳定性
三、Nyquist稳定判据
N氏稳定判据是利用系统开环频率特性判别闭环系统 稳定的判据，它分为开环系统稳定和开环系统不稳定 两种情况。 1．若系统在开环状态下是稳定的，则系统闭环 稳定的充要条件是： 系统开环频率特性极坐标图不包围（-1, jo）点 2．若系统在开环形态下是不稳定的，则系统闭环稳 定的充要条件是： 系统开环频率特性极坐标图逆时针包围（-1, jo）点 P 2 次 P：右半s平面上开环极点个数 p = N 2 包围次数
第五章 系统的稳定性
例：设系统的特征方程为 D(s)=3s4+10s3+5s2+s+2=0 试判别系统稳定性 解：列Routh表： s4 3 s3
s2
5
2
10
× 5 - 3×1 10
10
4 .7 ×1 - 10 ×2
4 .7
1
= 4 .7
= - 3 .2
0
=2
×0 10× 2 - 3
10
0 0 0