二项式定理复习
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1 2 3
n
3
n
c
n n
=
。
解：原式 =C C
0 n
1
( 3) n
1
C
2
( 3) n
2
C
3
( 3 ) .... n
3
C
3
( 3) n
n
(1 3 )
n
(2)
n
4．“赋值法” 求二项展开式中的系数 和
例4．（1）若 2 2 ( a 0 a 2 a 4 ) ( a1 a 3 ) 的值为 则
x
3
的二项式系数之和为64， 则展开式的常数项为
．
4．若 1 x 3 a a x a x 2 a x 9 0 1 2 9
A、 1 5.
10
11
则 a1 a 2 a 9
（ ）
B、0
C、1
D、2
除以9的余数是 （ ） A.1 B.2 C.4 D.8
（ 4 ) 项的系数最大的项
6 5 6 T7 C11x y
（5）项的系数最小的项
T6
5 6 5 C11x y
二项式定理 (a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥· nnbn (n∈N*) ＋C 二项展开式的特点： (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0 字母b按升幂排列，次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … , Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数， 与a,b无关
(
x
1
3
)
10
x
的展开式中有理项共有
( 1
3
C
( r) 10
r
10 r
)
r
x
C
( 1) x 10
r
r
10
4r 3
当 r 0 ,3,6 ,9时，所对应的项是有理项。故展开 式中有理项有4项。 5 x ( 2 3 x ) 的展开式中含 x （2）求 的项. 2 3 3 3 5 x C 6 2 ( 3 x ) 4320 x 解：
x y
11
的展开式中，
（1）通项 T r 1
( 2 ) 二项式系数最大的项
Tr 1 (1)
T6
r
r 11 r r C11x y
二项式系数最大的项为中间两项
5 6 5 C11 x y , T7 6 5 6 C11 x y
（3）项的系数绝对值最大
的项
项的系数绝对值最大的项, 也是中间两项，Ｔ，Ｔ同（2) ６ ７
二项式定理复习课
基础训练
11 1．x y
展开式中有
项，通项Tr+1=
, 二项式系数最大的
项是
项是
，项的系数绝对值最大的项 是
，项的系数最小的项是
x)
4
，项的系数最大的
。
3 x 的项的系数是( ) .
2．在二项式 ( 2 x A．6 B．12
的展开式中，含 C．24 D．48
3．若展开式 ( x 1 ) n
2 6
2．公式变用. 例2、求
(x
2
1 x
2
2)
3
展开式中的常数项.
解：一般有两种变形方法，其一变形 1 2 3 1 [( x ) 2] 为 ，其二变形为 ( x ) .后 2 x x 较简，其常数项即为第四项 T C 3 . 20
6
4
6
3．公式逆用
例3． 1 3 C nБайду номын сангаас 9 C n 27 C n .... ( 1)
一般地， (a b) 展开式的二项式系数
n
C , C ,C 有如下性质：
（1） C C
m n nm n
0 n
1 n
n n
（对称性）
（2） C C
m n
m 1 n
C
m n 1
n
（3）当n为偶数时， 2 最大 Cn
n 1
n 1
当n为奇数时， 2 =C 2 且最大 Cn n
（4）二项式系数和 C C C 2
(2 x 3)
4
a 0 a1 x a 2 x a 3 x a 4 x
2
3
4
。
（2）设
(1 2 x )
100
a 0 a 1 ( x 1) a 2 ( x 1 )
2
a100 ( x 1)
100
求 a 1 a 3 a 5 a 99 的值
0 n 1 n n n n
二项式常见题型
题型一：二项式通项 公式的应用 （1）求二项展开式中的指定项 、特定项 （2）求二项展开式中的系数最大的项 题型二：求二项展开式中的系数和 题型三：有关整除问题 题型四：证明特殊的恒等式、不等式
1、公式正用. 例1．（1）求 项； 解： T
r 1
n
3
n
c
n n
=
。
解：原式 =C C
0 n
1
( 3) n
1
C
2
( 3) n
2
C
3
( 3 ) .... n
3
C
3
( 3) n
n
(1 3 )
n
(2)
n
4．“赋值法” 求二项展开式中的系数 和
例4．（1）若 2 2 ( a 0 a 2 a 4 ) ( a1 a 3 ) 的值为 则
x
3
的二项式系数之和为64， 则展开式的常数项为
．
4．若 1 x 3 a a x a x 2 a x 9 0 1 2 9
A、 1 5.
10
11
则 a1 a 2 a 9
（ ）
B、0
C、1
D、2
除以9的余数是 （ ） A.1 B.2 C.4 D.8
（ 4 ) 项的系数最大的项
6 5 6 T7 C11x y
（5）项的系数最小的项
T6
5 6 5 C11x y
二项式定理 (a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥· nnbn (n∈N*) ＋C 二项展开式的特点： (1)共有n+1项 (2)各项的次数都等于二项式的次数n (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0 字母b按升幂排列，次数由0增加到n (4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2 ，… Cnk , … , Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数， 与a,b无关
(
x
1
3
)
10
x
的展开式中有理项共有
( 1
3
C
( r) 10
r
10 r
)
r
x
C
( 1) x 10
r
r
10
4r 3
当 r 0 ,3,6 ,9时，所对应的项是有理项。故展开 式中有理项有4项。 5 x ( 2 3 x ) 的展开式中含 x （2）求 的项. 2 3 3 3 5 x C 6 2 ( 3 x ) 4320 x 解：
x y
11
的展开式中，
（1）通项 T r 1
( 2 ) 二项式系数最大的项
Tr 1 (1)
T6
r
r 11 r r C11x y
二项式系数最大的项为中间两项
5 6 5 C11 x y , T7 6 5 6 C11 x y
（3）项的系数绝对值最大
的项
项的系数绝对值最大的项, 也是中间两项，Ｔ，Ｔ同（2) ６ ７
二项式定理复习课
基础训练
11 1．x y
展开式中有
项，通项Tr+1=
, 二项式系数最大的
项是
项是
，项的系数绝对值最大的项 是
，项的系数最小的项是
x)
4
，项的系数最大的
。
3 x 的项的系数是( ) .
2．在二项式 ( 2 x A．6 B．12
的展开式中，含 C．24 D．48
3．若展开式 ( x 1 ) n
2 6
2．公式变用. 例2、求
(x
2
1 x
2
2)
3
展开式中的常数项.
解：一般有两种变形方法，其一变形 1 2 3 1 [( x ) 2] 为 ，其二变形为 ( x ) .后 2 x x 较简，其常数项即为第四项 T C 3 . 20
6
4
6
3．公式逆用
例3． 1 3 C nБайду номын сангаас 9 C n 27 C n .... ( 1)
一般地， (a b) 展开式的二项式系数
n
C , C ,C 有如下性质：
（1） C C
m n nm n
0 n
1 n
n n
（对称性）
（2） C C
m n
m 1 n
C
m n 1
n
（3）当n为偶数时， 2 最大 Cn
n 1
n 1
当n为奇数时， 2 =C 2 且最大 Cn n
（4）二项式系数和 C C C 2
(2 x 3)
4
a 0 a1 x a 2 x a 3 x a 4 x
2
3
4
。
（2）设
(1 2 x )
100
a 0 a 1 ( x 1) a 2 ( x 1 )
2
a100 ( x 1)
100
求 a 1 a 3 a 5 a 99 的值
0 n 1 n n n n
二项式常见题型
题型一：二项式通项 公式的应用 （1）求二项展开式中的指定项 、特定项 （2）求二项展开式中的系数最大的项 题型二：求二项展开式中的系数和 题型三：有关整除问题 题型四：证明特殊的恒等式、不等式
1、公式正用. 例1．（1）求 项； 解： T
r 1