趣味数列

趣味数列

（羊群数列）有一则趣题：一牧羊人赶着一群羊通过个关口，每过一个关口，守关口人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩下只羊，问原来牧羊人赶多少只羊？

本题的关键是每到关口的守关人留羊的方法相同，即留下当时羊的一半再退还一只，因而牧羊人剩下当时羊的一半多一只.设过第关后牧羊人剩下只羊，则第关前的羊数为只，由分析可建立数列{}的递推关系式：

＝＋，即：＝＋（＝，，，…）

由递推关系式得：＝(－)

将＝代入上式可得：＝＝…＝＝. 即为牧羊人原来羊的只数只.

（分桃数列）年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成等份，只好先去睡觉，准备第二天再分。夜里只猴子偷偷爬起来，先吃了一个桃子，然后将其分成等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第只猴子又爬起来，吃了一个桃子后，也将桃子分成五等份，藏起自己的一份就去睡觉了；以后的只猴子都照此做了.

问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？假使我们设最初有个桃子，猴子每次分剩下的桃子数依次为，，…，，得到一个数列{}.可知该数列的递推公式：＝－(－)－

即：＝(－)

整理变形得，＋＝(＋)

故{＋}是以作为公比的等比数列.

∴＋＝(＋)()

欲使＋∈*，应有＋＝•(∈*)，故最初至少有桃子

＝－＝，从而最后至少剩下桃子＝－＝.

（天平数列）法国数学家梅齐里亚克年出版的《组合数学游戏》一书中，有一则问题：

一个商人有一个磅重的砝码，由于跌落地面而碎成块，后来称得每块碎片都恰是整数磅，并可用这四块来称从到磅之间的任意整数磅的重物。问各块碎片的重量.

该问题的一般化数学模型就称为“天平数列问题”；求一个项递增的正整数数列{}，使它的项，，…，，,通过“＋”“－”构成的数值，可以表示个数最多的连续自然数，，，…，中的任何一个.上述问题就是当＝时天平数列问题的一个特例。在此，我们只给出它的结论：＝，＝，＝，＝.有兴趣的同学可自己探索一下它的解法.