人教版人教课标高中数学必修5A版等比数列
合集下载
高中数学人教A版必修5《2.4.1等比数列》课件
等比数列
an q an1
q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m
例1.一个等比数列的第3项与第4项分 别是12与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
消
a1q 2
a1q
3
12 18
a1
16 3
q
3 2
a2
a1q
16 3
3 2
8
元
答：这个数列的第1项与第2项分别为 16 与 8
其定义式为：
或
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项 与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比 是同一个常数。
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？
判定下列数列是否可能是等比数列？
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… 2 4 8 16
一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送 病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机，那么在 不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的 计算机数构成的数列是：
1， 20，202 ， 203， …
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 , ……
, 263
(2)
……
以上4个数列有
(3） 1,20,20 2 ,203 什么共同特点？
（4） 9，92，93，94，95，96， 97
等比数列人教A版高中数学必修五PPT课件
解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq 2
则必有(a2qaq
a 4)2
(aq 2 a(aq
32) 2 32)
① ②
由①得q 4a 2 a
代入②得a 2，q 5或a 2，q 13 9
故原来的三个数是：2,20,50或 2，26，338 99 9
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 1)求证数列{an+1}是等比数列; 2)求an的表达式
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1 a1
q q
2 3
12 18
解得
q
3 2 ,a1
16 3
an
32 9
(
3 2
)
n，a
2
8
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160， 求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
aa11qq52
20 160
解得
q 2 a1 5
因此，an=5×2n-1
(二)等比数列的通项公式 由定义可知：
a2 q，a3 q，a4 q，，an1 q，an q
a1
a2
a3
an2
a n1
(n-1个等式)
观察上式，可以把每一个等式的左边 相乘，右边也相乘，等式还成立。
a2 a3 a4 an1 an q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
1 q
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
5、若{an },{bn }为项数相同的等比数列 ，则
(1)数列{c
a
n
},
{
新课标人教A版数学必修5全部课件：等比数列
(5) (6) 5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
n 1
x 1 n ( ) 2
n 1
an 5 1
n 1
5
a n ( 1)
n 1
等比数列的图象1
20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0
● ●
（1）数列：1，2，4，8，16，…
●
an 2
n 1
等比数列的有关概念
观察数列，共同特点是： (1) 2，4，8，16，32，64.
(2)
公比 q=2 递增数列
1，3，9，27，81，243，… 公比 q=3 递增数列
公比 d= x 公比 q= 递减数列
(5) (6)
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4，5项： （1） 5，-15，45，… （2）1.2，2.4，4.8，…
例3、求下列各等比数列的通项公式： 1、 a1 = 2, a 3 = 8
2、 a1=5, 且 2 an+1 = 3 an
3、 a1=5, 且
例4、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 证：由题设：b2=ac 得： 也成 GP。
也成GP
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子
粒.
等比数列的通项公式例题2
例2 、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项.
答：这个数列的第1项与第2项分别是
例3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价 的百分率大约是多少（精确到1%）？ 解： 设平均每次降价的百分率是x， 由已知条件，有
n 1
x 1 n ( ) 2
n 1
an 5 1
n 1
5
a n ( 1)
n 1
等比数列的图象1
20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0
● ●
（1）数列：1，2，4，8，16，…
●
an 2
n 1
等比数列的有关概念
观察数列，共同特点是： (1) 2，4，8，16，32，64.
(2)
公比 q=2 递增数列
1，3，9，27，81，243，… 公比 q=3 递增数列
公比 d= x 公比 q= 递减数列
(5) (6)
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4，5项： （1） 5，-15，45，… （2）1.2，2.4，4.8，…
例3、求下列各等比数列的通项公式： 1、 a1 = 2, a 3 = 8
2、 a1=5, 且 2 an+1 = 3 an
3、 a1=5, 且
例4、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 证：由题设：b2=ac 得： 也成 GP。
也成GP
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子
粒.
等比数列的通项公式例题2
例2 、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项.
答：这个数列的第1项与第2项分别是
例3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价 的百分率大约是多少（精确到1%）？ 解： 设平均每次降价的百分率是x， 由已知条件，有
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 踪
利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提 升
利用等比数列的性质填空：
练 习
(4)若a4·a8=30，则a2·a6·a10=＿＿＿。
(5) 若 an>0 ， a2a4+2a3a5+a4a6=25 ，
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件5
关于等差等比数列的基本运算，一般通过其通项公式 及前n项和公式构造关于a1和d或q的方程或方程组解决，如 果在求解过程中能够灵活运用等差等比数列的性质，不仅 可以快速获解，而且有助于加深对等差等比数列问题的认 识.
注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公 比q是否为1的讨论.
三、预测押题不能少 1．已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a22＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列的公差为d，d>0.由题意得， (2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0， 得d＝2. 故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n， 得an＝2n.
数列与函数的交汇
数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综 合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题 目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结 合，考查数列的基本运算与应用．
一、经典例题领悟好
[例1] (2013·湖南五对任意的正数x，y都有f(x·y )
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n. Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝2＋22n·n＋4·11－－44n ＝n2＋n＋4n＋31－4.
等差、等比数列的判定与证明 一、基础知识要记牢 数列{an}是等差或等比数列的证明方法： (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.4等比数列
1
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
求证：
(1) 这个数列成等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五
项的 1 ;
10
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个
数列中．
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十七分。
练习:
教材P.53练习第3、4题．
第三十页，编辑于星期日：十三点 十七分。
第十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
第十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
am ·an＝ap ·aq.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
(1) 5, 15, 45,; (2) 1.2, 2.4, 4.8,; (3) 2 , 1 , 3 ,;
328 (4) 2, 1, 2 .
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？
第七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么 是等比中项吗？
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时, {an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的增减性:
1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列; 2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件
证明： 设数列{an}的公比为p; 数列{bn}的公比为q,
pq 因为
an • bn an • bn
an1 • bn1
an1 bn1
它是一个与n无关的常数，
所以an • bn是一个以pq为公比的等比数列。
你能利用本例的条件，构造其他数列吗？并判断 该数列是不是等比数列？
思考(1)c是不为0的常数,{an }是等比数列, 则{ c ·an }是 等比数列吗？
你能得到什么结论？
人教A版高中数学必修5等比数列PPT课 件
若n +m= 2t m,n,t ∈N*, 则 at2=an·am .
4.等比数列的性质 人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件
等差数列与等比数列的类比
定义
首项、公差 （公比）取 值有无限制
等差数列 an an1 d (n 2)
a1 R, d R
等比数列
an q (n 2) an1
a1 0, q 0
通项 公式
an a1 (n 1)d
an a1qn1
主要 性质
(1)an am (n m)d
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) 则 am+an=as+ar . (3)2an=an-1+ an+1 . (4)(等差中项）
(4).已知数列{an}为等比数列 (1)若an 0,且a2a4 2a3a5 a4a6 25, 求a3 a5; (2)a1 a2 a3 7, a1a2a3 8, 求an
(5).已知等比数列{an}中，
a1
a2
a3
7, a1a2a3
8, 求
1 a1
1 a2
1 a3
人教A版高中数学必修五 2.4等比数列课件
方 程 组
a6
=
a1q6-1
=
16 3
（3）5 = 2
81 2
答：这个数列的第6项为 81 .
2
等比数列的通项公式：an = a1qn-1 (q 0)
练一练
(1)求等比数列 2 , 2, 6, 的通项公式与第7项. an 2 3n2
3
a7 486
(2)等比数列{an}中，a4=27， q=-3，求an. an （ 3）n1
二、等比数列的通项公式：
an = a1qn-1 (q 0)
三、数学方法及思想： 归纳法、方程思想
小试牛刀
1.在等比数列{an}中，若a3=4，a7=9，求a5.
2.在等比数列中，已知a1＝5,且2an＋1＝-3an， 求该数列的通项公式.
2.4 等比数列
第1课时
实例引入 1.观察细胞分裂的过程：
细胞分裂个数构成数列：1，2，4，8，…
2.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也 取不完” 。
如果把“一尺之棰”看成 单位“1”，那么，得到 数列：
11
2
1 4
1 8
1 ······
16
3.计算机病毒问题：
1(
1 )n1 2
= ( 1)n1 2
a10
=
1(
1 )10-1 2
=
(
1 )9 2
=
1 512
答：这个数列的第10项为
1 512
.
例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与 18，求它的第6项.
解：由题意得：a3=12，a4=18，即
a1q a1q
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列的性质》教学课件PPT(32张)
6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比 数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项.
人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式课件
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
2 48
(3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
……
a a q n-1
n
1
3.等比数列的通项公式： an a1qn-1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 - a1 d
差 数
a3 - a2 d
列
a4 - a3 d
……
+）an - an-1 d
类比
累乘法
等 比 数 列
a2 q a1
a3 q a2
a4 q
∴an＋1＋1＝2(n∈N*). an＋1
∴数列{an＋1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.
即an＝2n－1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法： an ＝q(n≥2，q an－1
共同特点: 从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
类比“等差数列”，这样的数列可以叫做“等比数列”。
知识点一 等比数列的概念 1.定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的 前 一项的 比 等于同一 常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母q表
示(q≠0).
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
人教A版高中数学必修五课件：2.4等比数列(共14张PPT)
数列，那么G叫做a与b的等比中知项.
(1) 2，a，8
(2) -4 ，b，c,
1 2
变式3：观察如下的两个数之间，插入一个什么数 后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3 ， 9 （3）-12，±6 ，-3
（2）-1，±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
an a1 *qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
课后练习 课后习题
数列 定义式 公差（比）
等差数列
an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 q an q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 an= a1+(n-1)d
一般形式
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例4：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18， 求它的第１项和第２项． 解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项 的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
例1：判别下列数列是否为等比数列?
21
(1)
2, 1,
2
,, 2
第二章 数列
2.4 等比数列
比较下列数列
（1）1, 2, 22 , 23 ,…… , 263
（2）
1 2
,
(1) 2，a，8
(2) -4 ，b，c,
1 2
变式3：观察如下的两个数之间，插入一个什么数 后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3 ， 9 （3）-12，±6 ，-3
（2）-1，±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
an a1 *qn1
解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是
课后练习 课后习题
数列 定义式 公差（比）
等差数列
an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 q an q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 an= a1+(n-1)d
一般形式
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例4：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18， 求它的第１项和第２项． 解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项 的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
例1：判别下列数列是否为等比数列?
21
(1)
2, 1,
2
,, 2
第二章 数列
2.4 等比数列
比较下列数列
（1）1, 2, 22 , 23 ,…… , 263
（2）
1 2
,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
银行存款的复利计算方式 是把前一期的利息和本金加 在一起算作本金，再计算下 一期的利息，也就是通常说 的“利滚利”。按照复利计 算本利和的公式是 本利和=本金×（1+利率）存期
现存入银行10000元钱，年利率是1.98%,那么按照复利计算， 5年内各年末得到的本利和：
10000 ×（1+ 1.98%）， 10000 ×（1+ 1.98%）2， 10000 ×（1+ 1.98%）3 …
9 4
3 q 2
3 若q , a 1 1 2; 2 3 若q , a 1 1 2 2
辨析定义 3、等比中项
• 如果在a,b中插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,则G叫做a,b的等比中项 如果G是a与b的等比中项,那么 G b ,即G2=ab,因此, G ab a G
an (4)数学语言： q(q 0, n 2） . a n 1
思考：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？ (1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
例：判断下列数列是否为等比数列。若是，则 公比是多少，若不是，请说明理由.
2.4 等比数列
人民教育出版社 必修5
教学过程 教学目标 探究定义 授课过程 辨析定义 课堂小结 巩固练习 课后作业
有链接
教学目标
1.掌握等比数列的定义和通项 公式； 2.掌握等比数列的一些性质；
3.根据已知条件会求数列的每 一项或公比。
探究定义
细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，„
n 1 3
a3 4 2
n 1
q2
课堂小结
小结：等差、等比数列对照表
名称 等差数列
如果一个数列从第2项起,每 一项与前一项的差等于同一 个常数，那么这个数列叫做 等差数列.这个常数叫做等差 数列的公差，用d表示. 等比数列 如果一个数列从第2项起，每 一项与它前一项的比都等于 同一个常数,那么这个数列叫 做等比数列.这个常数叫做等 比数列的公比，用q表示.
定 义
数学式 子表示
an+1-an=d a n = a 1 +（ n - 1 ） d
an+1 =q (q≠0) an an=a1· qn-1（q≠0）
12，18，求它的第1项和第2项。
解 ： 设 这 个 等 比 数 列第 的一 项 是 a 1， 公 比 是 q， 那 么 a 1q 2 12 a 1 q 3 18 3 二者相除，得 q 2 3 2 既 ，a 1 q a 1q 12 2 16 则 ，a 2 8 a1 3
辨析定义 2、通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.不完全归纳法 2.迭乘法（累乘法）
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
辨析
注1、方程中有四个量，知三求一，这是公式 最简单的应用
注2：通项公式的推广公式 a n a mq
n m
(n,m N )
*
练习
例：一个等比数列的第3项与第4项分别是
a n 1.在等比数列 中
(1)a4 27, q 3, 求a7 ;
(1)解 ：a 7 a 4 q 3 27 (3)3 729
( 2)解 ：a 4 a 2 q 2 8 q 2 1 8 q
2
(2)若a2 18, a4 8, 求a1与q
(另 解 ： 求 出 a1 )
解：（ 1）a 2 a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 a 3 2a 3a 5 a 5 (a 3 a 5 ) 25 因a n 0, 所 以a 3 a 5 5
2 2 2
练习
解：（ 2）a1 a 2 a 3 7 a1a 2 a 3 a 2 8 a2 2 即a 1 a 3 5 a1 a 3 4 易 得a1 1 a n a1 q
1)、 16，8，4，2， 1， … ； 2)、 5，-25，125，- 625，…； 3) 、1，0，1，0，1，…； 4)、 2，2，2，2，2，…； 5)、 0，0，0，0，0，…；
公比是0.5 公比是-5 不是
公比是1
不是
注 意
公比q是每一项（第2项起）与它的前一 项的比；防止把被除数与除数弄颠倒； 公比可以是正数，负数，可以是1，但不 可以为0
上面四个例子中得到下列4各数列：
1. 1，2，4，8…
2. 1 ,
1 1 1 , , 2 4 8
3. 1，20，202，203 … 4. 10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983 10000×1.01984 ……
结论：
⒈“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ⒉隐含：任意一项an≠0且q≠0；
Байду номын сангаас
练习
1、已知数列 {a n }为等比数列 (1)若a n 0, 且a 2 a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 25, 求a 3 a 5 ; ( 2)a 1 a 2 a 3 7, a 1a 2 a 3 8, 求a n
析：先让学生利用性质自己做题，然后再演示完整步骤。
归纳共同点
一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公 比，公比通常用字母q表示(q≠0) 注：通常用a1,a2„„an表示数列中的每一项； 两项之间的比用q表示,即：an/an-1=q。
辨析定义 1.定义理解
（1）等比数列的首项不为0, 即a1≠0。 （2）等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 （3）公比不为0，即q≠0。
… … …
…
“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果 把“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列是 1，＿ ＿， ＿ ＿， ＿ ＿， ＿ ＿ …
某种计算机病毒可以通过邮件传播，如果把制作者发送 病毒称为第一轮，接收者发送病毒称为第二轮，以此类推， 每轮每台计算机感染20台，在不重复的状态下，每轮感染 病毒的计算机台数构成的数列是： 1，20，202，203，„