-5-8-6.3_Urysohn引理与Tietze扩张定理
Urysohn引理的简单形式与应用
Urysohn引理的简单形式与应用文永明;陈金喜【摘要】建立在一般拓扑空间中存在连续函数使得它的支撑在某个开集内、在开集的某个闭子集上恒为常数的充要条件。
同时，在一般拓扑空间中的完美覆盖上建立Urysohn引理，将该定理推广到更加一般的形式，建立子集函数分离的充要条件。
文章利用保序定理证明更一般的Urysohn引理，得到集族是完美覆盖的充要条件。
同时阐述各种形式的Urysohn引理的联系，得到完美覆盖的重要性质。
最后给出 Urysohn 引理的应用，证明推广的Tietze扩张定理。
%We present the sufficient and necessary conditions that there is continuous functions which supports is contained in cer-tain open set and the value is constant in some closed subset of the open set. At the same time, we establish Urysohn lemma in the per-fect Cover of general topological space and obtain a more general form of this theorem and construct the sufficient and necessary condi-tions which the sets are function separared. order preserving theory is utilized to prove a more general Uryshon Lemma and we obtain the sufficient and necessary conditions which a set family is a perfect cover. Then we survey the connection between the various Ury-sohn’s lemmas and obtain an important property of perfect cover. Finally, we give the application of Urysohn lemma and prove the gen-eralized Tietze expansion theorem.【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】7页(P52-58)【关键词】拓扑空间;完美覆盖;Urysohn引理;函数分离;Tietze扩张定理【作者】文永明;陈金喜【作者单位】西南交通大学数学学院，四川成都611756;西南交通大学数学学院，四川成都611756【正文语种】中文【中图分类】O189.1给定拓扑空间X和开集V的闭子集K，在空间X上存在连续函数使得它的支撑包含在V内，在K上恒为常数的充要条件是什么呢？在拓扑学中，紧集是用覆盖来进行定义的。
第六章 分离性公理
H
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6.3 Urysohn引理和 Tietze扩张定理(2)
定理6.3.4(Tietze扩张定理) X是正规空间对X的任一闭集A及连续映射f: A[a, b], 存在连续映射g: X[a, b]是f的扩张, 即g|A=f.
定理
6.3.1
fAB来自g定理f
6.3.4
H
11
6.4 完全正则空间, Tychonoff空间
证 设X是正则空间, YX. yY及不含y的闭集B, X的闭集 B*使B*∩Y=B, 那么yB*, X中不交开集U*, V*使yU*且B*V*, 从而yU*∩Y, B=B*∩YV*∩Y.
三、T0T3.5、正则、完全正则是有限可积性质, T4、正规不是有 限可积的
H
16
6.5 分离性公理与 子空间、积空间和商空间(3)
6.5 分离性公理与 子空间、积空间和商空间(4)
本节习题3表明: 实数下限拓扑空间Rl是T4空间, 但是Rl2不是正规空间. 有例子说明, 分离性都不是可商性质. 例3.3.1表明, 存在商映射q: RR/~使R/~是由两点组成的平庸空间. R具有下述介绍的所有分离性质, 但是R/~不是T0空间. 因此, 分离公理Ti 不是可商性质.
定 理 6.2.2 X 是 正 规 空 间 对 X 的 闭 集 A 及 A 的 开 邻 域U, 存 在 开 集 V 使 AVVU.
与定理6.2.1的证明类似.
例6.2.1 正则+正规 T0.
令X={1, 2, 3}, T={, {1}, {2, 3}, X}, 则(X, T)是拓扑空间. 由于X的开集也是闭集, 所以X是正则, 正规空间. 由两点2, 3可见, X不是T0空间.
在T1空间中, 定理6.1.5可以不成立. 如对例6.1.1中的空间X, X中的任一由两两不同 点构成的序列{xi}收敛于任意xX. 事实上, 设U是x的开邻域, 则U是有限集, nZ+, 使 当i>n时有xiU, 所以xix.
点集拓扑教学大纲
重点：拓扑空间
难点：基与子基、邻域基
第一节：度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间；
内容2邻域、开集；
内容3度量空间映射的连续性。
第二节：拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间；
分
配
教学内容：
第一章：集合论初步４（学时数）
掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。
理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。
了解内容：选择公理。
重点：集合的基本运算，映射及其性质；
难点：基数；选择公理。
第一节：集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系；
内容2集合的运算
第二节：映射
内容1关系、等价关系；
第二节：（有限）积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念；
内容2积空间的基、子基
内容3开映射；积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节：商空间
内容1商拓扑及其性质；
内容2商映射及其性质；
内容3商空间。
第四章：连通性６（学时数）
掌握内容：连通空间；
理解内容：局部连通、道路连通；
了解内容：连通空间、局部连通、道路连通的关系；
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节：可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理；
内容2、Hilbert空间的可分性；
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章：紧致性 Nhomakorabea（学时数）
掌握内容：紧致空间和紧致空间的等价条件；紧致性与分离性的关系；
了解内容：可数紧致、列紧、序列紧，局部紧致空间，仿紧致空间及其之间的关系
点集拓扑学(教学课题大纲)
点集拓扑学（教学大纲）General Topology课程编码：学分： 3 课程类别：专业方向课计划学时：其中讲课：实验或实践：0 上机：0适用专业：数学与应用数学专业推荐教材：熊金城，《点集拓扑讲义》（第三版），高等教育出版社，2003。
参考书目：1. J.R.曼克勒斯，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987。
2. 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，2006。
课程的教学目的与任务拓扑学是研究图形在同胚映射下的不变性质（即拓扑性质）的一门数学分科，其基本思想和处理方法对近代数学产生了深刻的影响，它与近世代数、泛函分析一起被称作数学的“新三基”；它的中心任务是研究拓扑不变性质，对拓扑空间按照同胚分类。
通过本课程的学习，使学生掌握点集拓扑的一些基本概念、基本理论、基本方法，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、理论联系实际分析问题解决问题的能力，提高学生的数学素养，为进一步学习、研究现代数学打好基础。
课程的基本要求1、使学生了解公理集合论的初步知识并将度量空间中熟悉的知识推广到一般的拓扑空间中去。
比如连续映射的概念。
2、掌握由已知拓扑空间构造新的拓扑空间的若干方法。
比如子空间的概念，有限乘积空间。
3、掌握几种重要的拓扑性质：可数性、分离性、紧致性、连通性等。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章：集合与映射建议学时：6[教学目的与要求] 了解朴素集合论和公理集合论的区别，了解选择函数与选择公理的内容；从关系的角度理解映射的概念。
[教学重点与难点] 选择公理及其等价形式。
[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。
[授课内容]第一节集合论一、集合的基本运算二、公理集合论的相关内容第二节映射理论一、关系与映射的联系二、选择公理第二章：拓扑空间与连续映射建议学时：8[教学目的与要求]将连续函数的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间之间的连续映射；将开区间的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间中的开集。
《拓扑学》教学大纲
拓扑学课程教学大纲【课程编码】JSZX0500【适用专业】数学与应用数学【课时】54课时【学分】3学分【课程性质、目标和要求】本课程是数学与应用数学专业的一门专业课。
它系统而完整地介绍了点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。
其主要任务是使学生获得拓扑学的基本思想与拓扑空间、连续映射、连通性、可数性、分离性、紧致性等方面的系统知识。
它既能从较高的观点总结一、二年级学过的有关概念、理论和方法，又能使学生抽象思维能力和逻辑论证能力得到进一步训练，为今后深入学习拓扑、几何、泛函等学科提供基础。
通过学习本课程，使学生理解拓扑学的一些基本概念，掌握拓扑学的基本理论和基本方法，并能运用这些基本概念、基本理论和基本方法解决拓扑学中的相关问题。
从而，有助于培养学生辨证唯物主义基本观点与学生抽象思维能力。
【教学时间安排】本课程计3学分，54学时, 学时分配如下：【教学内容要点】第一章集合论初步一、学习目的要求本章属预备知识，集合的概念与运算已经在数学分析课程中学过了，建议由学生自学。
关系与等价关系、映射、集族及其运算作为重点掌握的内容。
通过本章的学习，使学生正确理解关系与等价关系、映射、集族等基本概念，掌握单射、满射、一一映射的等价刻画及集族的基本运算，了解Cantor-Bernstein 定理、连续统假设及广义连续统假设。
二、主要教学内容1、集合的基本概念；2、集合的基本运算；3、关系；4、等价关系5、映射；6、集族及其运算；7、可数集，不可数集，基数；8、选择公理。
第二章拓扑空间与连续映射一、学习目的要求本章属于拓扑学的重要内容，通过本章的学习，使学生理解度量空间的概念，由度量导出的球邻域、开集，闭集、收敛性等概念，度量空间之间的连续映射概念及其等价描述；掌握拓扑空间的定义，由拓扑导出的邻域与邻域系，集合的聚点与闭包，内部与边界等概念，这些概念之间的联系；正确理解拓扑空间的基，以邻域系为基生成拓扑的方法，由闭包公理生成拓扑，子基概念及由子基生成拓扑的方法；拓扑空间的映射的连续性及其等价描述，同胚映射及同胚的概念。
2012-5-8-6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理
的一个子基为 S1 S| [0,1]
则
S1 {(a,1]| a [0,1)} {[0, b) | b (0,1]} { ,[0,1]}
事实上 S S1 { ,[0,1]}还是[0,1]的一
个子基.
因此我们只需证明 S 的每一个元素 在 f 下的原象是开集就可以了.
g : A [ , ]
存在一个连续映射g : A [ 1 , 1 ] 3 3
使得对于任何
有| g (a) g (a) | 2 a A 3
*
定理6.3.4 设X是一个拓扑空间, [a,b]是一个闭区间,则X是一个正规空
间当且仅当对于X中的任何一个闭集A
和任何一个连续映射
ga?????aa?23gaga???定理634设x是一个拓扑空间ab是一个闭区间则x是一个正规空间当且仅当对于x中的任何一个闭集a和任何一个连续映射有一个连续映射是f的扩张
§ 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理
定理6.3.1 设X是一个拓扑空间， [ a, b] 是一个闭区间，则X是一个正规空间 当且仅当对于X中的任意两个无交的 闭集A和B，存在一个连续映射 f ( x) a x A f 使得当: X [a, b] 时 和当 时
f : A [a, b]
有一个连续映射 g : X [a, b]
是 f 的扩张
作业：1
xB
f ( x) b
证明:充分性 由于 [a,b] [0,1] ,因此我
们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可. 见下图 必要性 设X是一个正规空间，A和B 是X的两个无交的闭集,QI Q [0,1] .
tietze扩张定理证明的步骤
Tietze扩张定理是拓扑学中的一个重要定理，它给出了一种在紧致拓扑空间中的连续函数到整个空间的扩张方法。
Tietze扩张定理的证明是一个具有挑战性的问题，需要借助不少拓扑学的知识和技巧。
下面将详细介绍Tietze扩张定理的证明步骤。
1. 我们需要澄清Tietze扩张定理的内容。
Tietze扩张定理表述如下：对于一个紧致的Hausdorff拓扑空间X和X上的实数值连续函数f，如果f定义在X的一个闭子集A上，那么可以在整个X上扩张成一个连续函数。
2. 证明的第一步是利用X的紧致性和Hausdorff性质，运用拓扑学基本定理证明X上的实数值连续函数都是有界的。
这一步骤是Tietze扩张定理证明的基础，需要详细探讨X的性质和连续函数的性质。
3. 接下来，我们要利用X的Hausdorff性质和f在闭子集A上的连续性，构造一个新的连续函数g，使得g在整个X上都连续，并且满足g|A = f。
这一步需要巧妙地利用拓扑学的知识，构造一个合适的函数以实现扩张。
4. 在构造出函数g后，还需要证明g在整个X上都连续。
这一步通常需要运用Hausdorff拓扑空间的性质以及f和g的连续性，进行严密的推导和论证。
5. 我们需要验证g|A = f，即新构造的函数g在闭子集A上与原函数f 一致。
这一步需要仔细检查g在A上的取值，以及f在A上的取值，确保它们相等。
通过以上的证明步骤，我们可以完成Tietze扩张定理的证明。
这个过程需要深入理解拓扑学的相关知识，运用定理和技巧，进行严密的推导和论证。
Tietze扩张定理的证明是拓扑学中的经典问题之一，具有一定的难度，但也具有重要的理论意义和应用前景。
对于对拓扑学感兴趣的人来说，掌握Tietze扩张定理的证明步骤将有助于深入理解拓扑学的核心概念和方法。
在上面的文章中，我们介绍了Tietze扩张定理的证明步骤，但是这只是一个初步的了解。
下面我们将深入探讨Tietze扩张定理证明的细节和相关的拓扑学知识，为了更好地理解和掌握这个重要的定理。
拓扑学课程考核大纲
柘扑学课程考核大纲一、适应对象修读完数学分析、高等代学等课程规定内容的数学与应用数学专业的本科学生。
二' 考核目的考核学生对拓扑学的基本概念、基础知识、基本理论的掌握情况，考核学生运用较高层次的数学观点和数学知识情况，从而能对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决，提高他们的数学素养。
并为将来从事教学、科研以及其它实际工作打好基础并应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
运用拓扑学的理论和方法处理实际问题的能力。
三' 考核形式与方法考核形式分为平时考查与期末考试，平时考查主要针对学生完成作业与考勤，作业评阅分A、B、C三等，考勤主要针对无故旷课；期末考试为开卷，考试时间为100分钟。
四'课程考核成绩构成期评成绩二平时考查成绩（30%） +期末开卷考试（70%）。
平时考查成绩采用扣分制，考勤与作业各占平时成绩的60%和40%；满勤及每次作业在B等以上可评定为总分值100分；缺勤1课时扣3分，缺勤累计最多扣60分，缺交作业一次扣5分，缺交作业累计最多扣40分。
五、考核内容与要求第一章朴素集合论考核内容集合，空集，相等，子集及真子集，簇集，并、交、补的定义，集合的运算关系，基础集的定义，笛卡儿积、坐标集、关系的定义，像集，恒等关系，等价关系，等价族，像，原像，在上的映射，映射，单位映射，内射，投射，集族的并与交的定义及定理，子集簇，等势集、可数集、不可数集的定义及其定理，无限集，可数集，选择函数，Zermelo假设。
考核要求了解：选择公理的概念及有关公理。
理解：集合、关系、等价关系、集族的并与交、等势集、可数集、不可数集的定义及其定理。
第二章拓扑空间与连续映射考核内容度量、度量空间、欧氏平面、Hilbert空间、Schwarz引理、拓扑空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间、可度量化空间、连续映射，邻域与邻域系、导集、闭集、闭包、内部、边界、基、子基、拓扑空间中的序列考核要求了解：拓扑不变性质。
拓扑学自学材料
《拓扑学》自学材料课程名称：拓扑学；英文名称：Topology ； 课程类型: 必修课先修课程：数学分析 解析几何 高等代数 近世代数 集合论一、课程性质、目的和任务拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。
本课程的任务是学习拓扑空间、子空间、积空间和拓扑基的概念和基本性质，连续映射的基本概念和性质，连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的基本内容以及它们之间的关系，有关可数性公理的四个空间以及它们之间的关系，45.33210,,,,,T T T T T T 正则、正规和完全正则空间，通过对本课程的学习，要求如下：1、熟练掌握拓扑空间的概念与性质，连续映射的概念、性质和判别，拓扑空间的子空间与积空间的概念。
2、掌握邻域、开集、导集、闭集、闭包、内部的概念、性质以及它们之间的关系。
3、掌握拓扑空间中基的概念和用基确定拓扑的方法，了解子基的概念。
4、掌握连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的概念，简单性质以及它们之间的关系，了解连通性的某些简单应用。
5、掌握第一与第二可数性公理，可分空间，Lindeloff 空间的概念和它们之间的关系。
6、掌握45.33210,,,,,T T T T T T 正则、正规和完全正则空间的概念和它们之间的关系，了解Urysohn 引理和Tietze 扩张定理，了解第二可数且是3T 的空间是可度量化空间。
学习点集拓扑学的目的是使读者认识拓扑空间的基本特征和研究方法，从而把欧式空间连续函数的概念拓广到一般的拓扑空间上，使读者更深入的掌握代数与分析的知识。
其后继课程有代数拓扑、几何拓扑等。
本课程的理论和由它创造的数学方法已渗入到每一个重要的数学领域。
二、课程和基本要求1.点集拓扑学是拓扑学的一个分支，上世纪末，由于分析理论的深入发展，以及集合论的出现，使得人们得以用集合论的观点和方法对诸如极限以及连续性等理论加以抽象和推广，从而在本世纪初形成了点集拓扑学。
河北师大点集拓扑第六章教案
第六章 分离性公理一、教学目的与要求本章要求学生掌握的概念有：, ，，, , , 正则, 正规, 完全正则空间。
在本章还要求学生掌握：, ，正则, 正规空间的充要条件、空间的性质、完全正则空间判定定理和Tychonoff 定理、所有分离性公理都是拓扑不变性质，且都不是可商性质、分离性公理中除了正规和都是可遗传性质和（有限）可积性质，Urysohn 嵌入定理、Tychonoff 定理、可分可度量化空间的充要条件、完全正则也是有限可积性质、各种空间的典型例子。
0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 0T 1T 2T 4T 二、教学重点与难点本章教学重点：, ，，, , , 正则, 正规,完全正则空间的概念和, ，正则, 正规空间的充要条件, 完全正则空间判定定理和Tychonoff 定理。
0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 0T 1T 教学难点：Urysohn 嵌入定理。
三、课时安排与教学方法 教学内容 （计划／实际） 课时数 课程类型／教学方法6.1 , 、Hausdorff 空间 0T 1T 2／2理论／讲授6.2 正则、正规、、空间 (6.3选讲) 3T 4T 2／2理论／讲授6.4 完全正则空间、Tychonoff 空间 1／2理论／讲授6.5 分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间2／2理论／讲授6.6 可度量化空间1／2 理论／讲授四、教学过程§6.1 ，T ，Hausdorff空间01T 在第二章中曾提出来什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．读者将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5中能够对于前述问题作一个比较深刻的但不完全的回答． 定义6.1.1 设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果,,x y X x y ∈≠, 则或者x 有一个开邻域U 使得y U ∉,或者有一个开邻域V 使得y x V ∉)，则称拓扑空间X 是一个0T 空间．注：拓扑空间未必都是0T 空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是0T 空间． 定理 6.1.1 拓扑空间X是一个0T 空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包．(即如果,,x y X x y ∈≠,则{}{}x y ≠.)证明: 充分性:设定理中的条件成立．则对于任何,,x y X x y ∈≠，由于{}{}x y ≠，因此或者{}{}0x y −≠成立，或者{}{}0y x −≠成立．当前者成立时，必定有{}x y ∉．（否则{}{}x y ⊂,从而{}{}x y ⊂,于是{}{}0x y −=）这推出x 有一个不包含的开邻域y '{}y −．同理，当后者成立时，y 有一个不包含x 的开邻域'{}x −．这证明X 是一个0T 空间． 必要性:设X 是一个0T 空间．若,,x y X x y ∈≠，则或者x 有一个开邻域U 使得x U ∉或者有一个开邻域V 使得．若属前一种情形，由于y y V ∉{}U y ∩=∅,得{}x y ∉,即{}{}x y ≠,若属后一种情形，同样也有{}{}x y ≠．定义6.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X 是一个1T 空间．1T 空间当然是0T 空间．但反之不然．例如设{0,1}X =，T {,{0},}X =∅,则T 是X 的一个拓扑，并且拓扑空间(X ,T )是0T 的但不是1T 的．定理6.1.2 设X是一个拓扑空间，则以下条件等价：（1）X 是一个1T 空间；（2）X 中每一个单点集都是闭集；（3）X 中每一个有限子集都是闭集．证明: (1)蕴涵(2)．设x X ∈．当X 是一个1T 空间时，对于任何,y X y x ∈≠,点x 有一个邻域U 使得x U ∉,即{}U x ∩=∅, 因此, {}y x ∉,从而, {}{}x x =.这证明单点集{}x 是一个闭集．(2)蕴涵(3)．因为有限个闭集的并仍然是闭集.(3)蕴涵(1)．设,,x y X x y ∈≠, 当(3)成立时单点集{}x 和都是闭集．从而{}y '{}x ,'{}y 分别是和y x 的开邻域，前者不包含x ，后者不包含．这就证明了y X 是一个1T 空间.下面的两个定理表明，1T 空间中关于凝聚点和序列收敛的性质和我们在数学分析中熟知的多了一些类似之处．定理6.1.3 设X 是一个1T 空间．则点x X ∈是X 的子集A 的一个凝聚点当且仅当x 的每一个邻域U 中都含有A 中的无限多个点,即U A ∩是一个无限集．证明: 定理充分性部分是明显的．以下证明必要性部分．假设x X ∈, ()x d A ∈．如果x 有一个开邻域U 使得U 是一个有限集，则集合A ∩{}B U A x =∩−也是一个有限集，因此是一个闭集．因此U 是一个开集，并且是B −x 的一个邻域．此外易见.这蕴含着()({x })U B A −∩−=∅x 不是A 的凝聚点,与假设矛盾．定理 6.1.4 设X 是一个1T 空间．则X 中的一个由有限个点构成的序列{}i x (即集合{i }x i Z +∈是一个有限集)收敛于点x X ∈当且仅当存在使得0N >i x x =对于任何i N 成立．≥证明: 由于X 是一个1T 空间，集合{,1,2,3,i i A x x x i =≠="}是一个有限集，所以是一个闭集．从而是'A x 的一个开邻域．于是存在0N >使得当i N ≥有'i x A ∈, 因而i x x =.定义6.1.3 设X 是一个拓扑空间．如果X 中任何两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交(即如果,,x y X x y ∈≠,则点x 有一个开邻域U ，点有一个开邻域V ，使得U V y ∩=∅)，则称拓扑空间X 是一个Hausdorff空间，或空间． 2T Hausdorff空间一定是1T 空间，但反之不然．例6.1.1 非Hausdorff的1T 空间的例子．设X 是一个包含着无限多个点的有限补空间．由于X 中的每一个有限子集都是闭集，因此它是一个1T 空间．然而在拓扑空间X 中任何两个非空的开集一定会有非空的交．这是因为X 中每一个非空开集都是X 中的有限子集的补集，而X 又是一个无限集的缘故．由此易见X 必然不是一个空间．2T 定理6.1.5 Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点．证明: 设{}i x 是Hausdorff 空间X 中的一个序列，并且有1lim i i x y →∞=, 2lim i i x y →∞=,12y y ≠.于是对于点1,2,j =j y 有一个开邻域j V , 使得12V V ∩=∅．故存在0j N >,使得当j i N ≥j 时有i x V ∈．任意选取12max{,}M N N >．可见1M 2x V V ∈∩，故, 这是一个矛盾．12V V ∩≠∅ 但在1T 空间中定理6.1.5却可以不成立．例如设拓扑空间X 如例6.1.1中所述，{}i x 是X 中的任何一个由两两不同的点构成的序列，即当i j ≠时有i j x x ≠.此时对于任何和的任一邻域U ,由于U 的补集是一个有限集，所以存在使得当y X ∈y 'U 0N >i N ≥时有i x U ∈．于是lim i i x y =→∞．也就是说，序列{}i x 收敛于X 中的任何一个点． 作业: P162: 2；5；10；11；12.§6.2 正则，正规，T , T 空间34 我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．定义6.2.1 设X 是一个拓扑空间，,A U X ⊂．如果A 包含于U 的内部，即，则称集合U 是集合DU A ⊂A 的一个邻域．如果U 是A 的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U 是A 的一个开（闭）邻域．定义6.2.2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域,它们互不相交(即如果x X ∈和A X ⊂是一个闭集, 使得x A ∉, 则存在x 的一个开邻域U 和A 的一个开邻域V 使得U V ∩=∅), 则称拓扑空间X 是一个正则空间．定理6.2.1 设X 是一个拓扑空间．则X 是一个正则空间当且仅当对于任何点x X ∈和x 的任何一个开邻域U ，存在x 的一个开邻域V 使得V U ⊂．证明: 必要性 设X 是一个正则空间．如果x X ∈，集合U 是x 的一个开邻域，则U 的补集便是一个不包含点'U x 的闭集．于是x 和分别有开邻域,使得．从而，所以 .'U 1U 1V 11U V ∩=∅'1U V ⊂''1U V V U −−⊂=⊂ 充分性 设x X ∈和A 是一个不包含x 的闭集．这时A 的补集是'A x 的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x 的开邻域U 使得'U A ⊂．令'V U −=, 则有V , 所以V 是A ⊃A 的一个开邻域，并且易见U V ∩=∅．这证明X 是一个正则空间． 定义6.2.3 设X 是一个拓扑空间．如果X 中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交（即如果,A B X ⊂都是闭集，则存在A 的一个开邻域U 和B 的一个开邻域V 使得U V )，则称拓扑空间∩=∅X 是一个正规空间．定理6.2.2 设X 是一个拓扑空间．则X 是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X ⊂和A 的任何一个开邻域U , 存在A 的一个开邻域V 使得V U ⊂．证明: 证明类似于定理6.2.l，请读者自己写出．正则、正规性质与§6.l 中定义的,以及Hausdorff 诸性质之间并无必然的蕴涵关系．0T 1T 例6.2.1 正则且正规的空间但非空间（因而也是非，非Hausdorff 空间）的例子． 0T 1T 令和T ．容易验证({1,2,3}X ={{1},{2,3},,}X =∅X ，T )是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间．留意点2和点3立即可见它不是一个空间．0T 例6.2.2 Hausdorff 空间（因而也是,空间）但非正则空间、也非正规空间的例子．(略)0T 1T 拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系．例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X ，T )，其中{1,2,3}X =和T .{{1},{2},{1,2},,}X =∅ 定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间．1T 3T 1T 4T 由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空间一定是Hausdorff 空间．而非空间的一个例子（它自然也是正则而非正规空间的例子）可见于习题第6题．1T 4T 3T 3T 3T 4T 最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义（指至，以及正则正规等）．为此，我们只要证明：0T 4T 定理6.2.3 每一个度量空间都是4T 空间．证明: 设(,)X d 是一个度量空间．如果,,x y X x y ∈≠，则.令(,)0d x y >(,)d x y ε=，则球形邻域(,)2B x ε和(,)2B y ε分别是x 和y 的开邻域，并且易见它们无交．因此X 是一个Hausdorff 空间，自然它也是空间． 1T 现在设A 和B 是X 中的两个无交的闭集．假如A 和B 中有一个是空集，例如．这时我们可以取B =∅X 为A 的开邻域，∅为B 的开邻域，它们的交当然是空集．以下假定A 和B 都不是空集．根据定理2.4.9，对于,x y X ∈，如果x B ∉，则；如果，则．记(,)0d x B >y A ∉(,)0d y A >(,)B ()2d x x ε=,(,)()2d x A x δ=并且令显然U 和V 分别是A 和B 的开邻域．以下证明U V ∩=∅． 若不然U V , 设∩≠∅z U V ∈∩, 因为z U ∈, 所以存在1x A ∈,使得1(,)()d z x x 1ε<, 因为z V ∈, 所以存在1y B ∈,使得d z 11(,)()y y δ<1. 不失一般性，设1()()x y εδ≥, 于是我们有这与的定义1(,)d x B 11(,)inf{(,)}d x B d x y y B =∈矛盾．这就证明了X 是一个正规空间．作业: P167 1；2；6.§6.3 Urysohn 引理和Tietze 扩张定理定理6.3.1 [Urysohn引理]设X 是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X 是一个正规空间当且仅当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射:[,]f X a b →使得当x A ∈时()f x a =和当x B ∈时()f x B ∈．定理6.3.2 4T 空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集．证明: 设C 是空间4T X 中的一个连通子集．如果C 不只包含着一个点，任意选取，,,x y X x y ≠∈, 对于空间4T X 中的两个无交的闭集{}x 和{，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射使得}y :[0,f X →1]f x f y ()0,()1==． 由于C 是X 中一个连通子集，因此()f X 也连通．由于0,1()f X ∈，因此()[0,1]f X =．由于[0,1]是一个不可数集，因此C 也是一个不可数集．定理6.3.4(Tietze 扩张定理) 设X 是一个拓扑空间,[a,b]是一个闭区间,则X 是一具正规空间当且仅当对于X 的任何一个闭集A 和任何一个连续映射:[,]f A a b →有一个连续映射:[,]f X a b →是f 的扩张.作业: P175 1；2.§6.4 完全正则空间，Tychonoff 空间定义6.4.1 设X 是一个拓扑空间．如果对于任意x X ∈和X 中任何一个不含点x 的闭集B ,存在一个连续映射使得:[0,f X →1]()0f x =以及对于任何有,则称拓扑空间y B ∈()1f y =X 是一个完全正则空间．完全正则的空间称为Tychonoff空间，或1T 3.5T 空间．定理6.4.1 每一个完全正则空间都是正则空间．证明：设X 是一个完全正则空间．设x X ∈，B 是X 中的一个不含点x 的闭集．则存在连续映射，使得:[0,f X →1]()0f x =和对任何y B ∈有()1f y =.于是11([0,])2f −和11([,1])2f −分别是点x 的闭集B 的开邻域，并且它们无交．这表明X 是一个正则空间．注：根据定理6.4.1明显可见，每一个Tychonoff 空间都是空间．根据Urysohn 引理也容易看出，每一个空间都是Tychonoff 空间，但反之不真，有关的例子可以参见§6.2习题第5题．3T 4T 定理6.4.2 每一个正则且正规的空间都是完全正则空间．证明：设X 是一个既正则又正规的空间．设x X ∈，B 是X 中的一个不包含点x 的闭集.由于X 是一个正则空间，根据定理6.2.l，点x 有一个开邻域U 使得'U B ⊂．令A U =则A 和B 是X 中无交的两个闭集．由于X 是一个正规空间，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射使得对于任何:[0,f X →1]y A ∈有()0f y =和对于任何有. 由于y B ∈()1f y =x A ∈，故，这就证明了()0f x =X 是一个完全正则空间．定理6.4.3[Tychonoff定理] 每一个正则的Lindeloff空间都是正规空间．证明: 设X 是一个正则的Lindeloff 空间．设A 和B 是X 中的两个无交的闭集．对于每一个x A ∈，由于x B ∉，根据定理6.2.1可见，存在x 的一个开邻域x U 使得'x U B ⊂即x U B ∩=∅．集族{}x U x A ∈是闭集A 的一个开覆盖．由于Lindeloff 空间的每一个闭子空间都是Lindeloff 空间（参见定理5.3.4），易见A 的开覆盖{x U x A ∈}中有一个可数子族，设为{}，仍然覆盖i i Z U +∈A ．对于每一个i Z +∈,有i U B ∩=∅．同理，集合B 也有一个可数开覆盖{}, 对于每一个i i i Z V +∈Z +∈,有i V A ∩=∅．现在，对于每一个，令n Z +∈显然, 都是开集．对于任何n U ∗n V ∗,m n Z +∈，因为若设m ，则有n≤令它们都是开集，并且现在只剩下证明A U ∗⊂和B V ∗⊂了．失一般性,我们验证前者：如果x A ∈，则存在使得n Z +∈n x U ∈．另一方面，由于诸i V 与A 无交，所以对于任意i Z +∈,有i x V −∉,因此nx U ∗∈, 于是x U ∗∈. 注: §6.1，§6.2和本节中定义的,,2T （即Hausdorff），,（即Tychonoff），以及正则和正规等拓扑空间的性质统称为分离性公理．现将满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴涵关系列为以下图表．0T 1T 3T 3.5T 4T作业: P178 1；2§6.5 分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间本章中提到的所有的分离性公理有,,2T （即Hausdorff），,5T （即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为例．其它的请读者自己去做．0T 1T 3T 3.4T 定理6.5.1 设X 和Y 是两个同胚的拓扑空间．如果X 是一个完全正则的空间，则Y 也是一个完全正则的空间．证明: 设是一个同胚．对于:h X Y →Y 中的任意一个点和任何一个不包含点x 的闭集B ，和分别是1()h x −1()h B −X 中的一个点和一个不包含点的闭集．由于1()h x −X 是一个完全正则空间,故存在一个连续映射使得和对于任何:[0,1]→f X 1(())0f h x −=1()y h B −∈有()1f y =．于是连续映射1g f h −=D : ，满足条件：和对于任何有．[0,1]Y →()0g x =z B ∈()1g z = ,,(即Hausdorff)，,(即Tychonoff)以及正则都是可遗传的性质．我们也只是举一例证明之，其余的留给读者自己去作．习题第1题中的结论表明正规和对于闭子空间是可遗传的性质．0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 定理6.5.2 正则空间的每一个子空间都是正则空间．证明: 设X 是一个正则空间，Y 是X 的一个子空间，设y Y ∈和B 是Y 的一个闭集使得．首先，在y B ∉X 中有一个闭集i B使得i B Y B ∩=．因此i y B ∉．由于X 是一个正则空间，所以y 和i B 分别在X 中有开邻域（对于拓扑空间X 而言）i i ,U V 使得i i U V ∩=∅．令, i U U Y =∩i V V Y =∩，它们分别是和y B 在子空间Y 中开邻域，此外易见U V . ∩=∅ ,,(即Hausdorff)，,(即Tychonoff)以及正则都是有限可积性质，证明(略). 正规和不是有限可积性质．0T 1T 2T 3T 3.5T 4T 至于本书正文中提到的所有分离性公理都不是可商性质这个结论，可以通过适当的反例来指出．例6.5.1 由于实数空间R 是一个度量空间，所以它满足本书正文中提到的所有分离性公理．在实数空间R 中给出一个等价关系～使得对于任意,x y R ∈, ~x y 的充分必要条件是或者；或者；或者,(,0x y ∈−∞])),(0,1x y ∈,[1,x y ∈+∞．将所得到的商空间记为Y ．换言之，Y 便是在实数空间中分别将集合(,0A ]=−∞，(0,1)B =和[1,)C =+∞各粘合为一个点所得到的拓扑空间．事实上{,,}Y A B C =．容易验证的拓扑便是Y {,{,A },{},{,},}B B B C Y ∅．考察点A 和点B 可见，Y 不是空间，因此也不是(即Hausdorff)，,(即Tychonoff)，以及空间．此外，考察两个单点闭集{1T 2T 3T 3.5T 4T }A 和{可见，}C Y 既不是正则空间也不是正规空间．此外容易验证Y 是一个空间．0T 上述例子尚没有说明不是可商性质．事实上例3.3.1中所给出的实数空间R 的那个商空间是包含着两个点的平庸空间，当然也就不是空间了．然而例3.3.1并不能代替例6.5.1，因为平庸空间既是正则空间，也是正规空间．0T 0T 作业: P182 1；4；5.§6.6 可度量化空间先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．定理6.6.1[Urysohn嵌入定理] 每一个满足第二可数性公理的3T 空间都同胚于Hilbert空间H 的某一个子空间．证明(略)定理6.6.2 Hilbert空间H 是一个可分空间．证明(略)定理6.6.3 设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：(1) X 是一个满足第二可数性公理的空间；3T (2) X 同胚于Hilbert空间H 的某一个子空间；(3) X 是一个可分的可度量化空间．证明: (1)蕴涵(2)．此即定理6.6.1.(2)蕴涵(3)．由于Hilbert空间H 是一个可分的度量空间，而可分的度量空间的每一个子空间都是可分的度量空间(参见推论5.2.5)，与一个可分的度量空间同胚的拓扑空间是可分的(参见§5.2习题第4题)，也是可以度量化的(参见§2.2习题12)．(3)蕴涵(1)．可分的度量空间满足第二可数性公理参见定理5.2.4)，可度量化空间是一个空间(参见定理6.2.3)．因此更是一个空间．4T 3T 作业:P180 1；3.§6.7 练习题及答案一 选择1、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ∀∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对0T 1T 2T 答案：①2、设，{1,2}X ={,,{1}}X φ=T ，则是( )(,)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对0T 1T 2T 答案：①3、设，{1,2}X ={,,{2}}X φ=T ，则(,是( ))X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 道路连通空间0T 1T 2T 答案：①4、设，{1,2,3}X ={,,{1}}X φ=T ，则是( )(,)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对0T 1T 2T 答案：④5、设，{1,2,3}X ={,,{23}}X φ=，T ，则(,是( ))X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对0T 1T 2T 答案：④6、设，{1,2,3}X ={,,{13}}X φ=，T ，则(,是( ))X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对0T 1T 2T 答案：④7、设，{1,2,3}X ={,,{12}}X φ=，T ，则是( )(,)X T ① 空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对0T 1T 2T 答案：④8、设，{1,2,3}X ={,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则是( )(,)X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 以上都不对0T 1T 2T 答案：①9、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间1T 4T 答案：③10、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间1T 4T 答案：③11、设X 是一个拓扑空间，若对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间1T 4T 答案：①12、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂,则X 是（ ）①正则空间 ②正规空间 ③ 空间 ④ 空间1T 4T 答案：②13、设，{1,23}X =，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,是( ))X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间0T 1T 2T 答案：④14、设，{1,23}X =，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,是( ))X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正规空间0T 1T 2T 答案：④15、设，{1,23}X =，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,是( ))X T ①空间 ② 空间 ③ 空间 ④ 正则空间0T 1T 2T 答案：④16、设，{1,23}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,是( ))X T ①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间2T 4T 答案：④17、设，{1,23}X =，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,是( ))X T ①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间2T 4T 答案：④18、设，{1,23}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,是( ))X T ①空间 ② 正则空间 ③ 空间 ④ 正规空间2T 4T 答案：④二 填空1、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个空间;0T 答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点2、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个空间;1T 答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点3、设X 是一个拓扑空间，如果则称X 是一个空间;2T 答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交4、正则的空间称为 1T ；答案：空间3T 5、正规的空间称为 1T ；答案：空间4T 6、完全正则的空间称为 1T ；答案：空间或Tychonoff 空间3.5T 三 判断1、设，{1,2,3}X ={,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则是空间.( )(,)X T 3T 答案：×理由：因为{1是,3}X 的一个闭集，对于点２和{1没有各自的开邻域互不相交，所以,3}X 不是正则空间，从而不是空间.3T 注：也可以说明X 不是空间．1T 2、 设，{1,2,3}X ={,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,是空间.( ))X T 3T 答案：×理由：因为{2是,3}X 的一个闭集，对于点１和{2没有各自的开邻域互不相交，所以,3}X 不是正则空间，从而不是空间.3T 注：也可以说明X 不是空间．1T 3、设，{1,23}X =，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则是空间.( )(,)X T 1T 答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是 空间．1T 注：也可以考虑点２和点３.4、设，{1,23}X =，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则是空间.( )(,)X T 4T 答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是 空间．故是空间.1T (,)X T 4T 注：也可以考虑点２和点３.5、空间一定是空间.（ ）3T 2T 答案：√理由：因为空间是正则的空间，所以对于空间3T 1T 3T X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{是}y X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域使得U V ,U V φ∩=，所以X 是空间.2T 6、空间一定是空间.（ ）4T 3T 答案：√理由：因为空间是正规的空间，所以对于空间4T 1T 4T X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域使得,U V U V φ∩=，这说明X 是正则空间，因此X 是空间.3T 7、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ∪是一个紧致子集.( )答案：√理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ∪的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致子集，从而存在A 的有限子族 A 1A 2 分别是A 和B 的覆盖，故1∪2A A 是A 的有限子族且覆盖A B ∪，所以A B ∪是紧致子集.8、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.四 简答1、 设X 是一个空间，试说明1T X 的每一个单点集是闭集.证明：对x X ∀∈，由于X 是空间，从而对每一个1T ,y X y x ∈≠，点有一个邻域U 使得y x U ∉，即{}U x φ∩=，故{}y x ∉，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.2、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个空间.1T 证明：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x ′和{分别是}y ′y 和x 的开邻域，并且有{}x x ′∉,{}y y ′∉.从而是一个空间.X 1T 3、设(,是一个空间，)X T 1T ∞是任何一个不属于X 的元素.令和，试说明拓扑空间是一个空间.*{}X X =∪∞*X =∪*T T {}*(,)X *T 0T 证明：对任意*,,x y X x y ∈≠,若x ,都不是y ∞，则,x y X ∉.由于 是一个空间，从而X 1T ,x y 各有一个开邻域,使得,U V ,x V y U ∉∉;若x ,中有一个是∞，不妨设y x =∞,则y 有开邻域X 不包含∞.由以上的讨论知，对*X 中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X 是空间.0T 4、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ∀∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.证明： 对x X ∀∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U ′是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U ′分别有开邻域V 和,使得W V W φ∩=，因此V ，所以W ′⊂V W W U −′′⊂=⊂.5、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ⊂.证明：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U ′是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U ′分别有开邻域V 和,使得V W W φ∩=，因此，所以V W ′⊂V W W U ′⊂−′⊂=.6、设X 是一个空间,1T A X ⊂,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都含有A 中的无限多个点.证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =∩−,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B −是一个开集且是x 的一个开邻域.又易知()({})U B A x φ−∩−=,从而()x d A ∉，矛盾.故U 含有A 中的无限多个点.7、设X 是一个空间,1T A X ⊂,()x d A ∈,证明：对x 的每一个邻域U 有U 是无限集. A ∩证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =∩−,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B −是一个开集且是x 的一个开邻域. 又易知()({})U B A x φ−∩−=,从而()x d A ∉，矛盾.故U A ∩是无限集.8、设{}i x 是空间2T X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一.证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞=,其中12y y ≠，由于X 是空间，故2T 1y 和2y 各自的开邻域，使得U V ,U V φ∩=.因1lim i i x y →∞=，故存在，使得当时，10N >1i N >i x U ∈；同理存在，使得当时，20N >2i N >i x V ∈. 令,则当i 时，12max{,}N N =N N >i x U V ∈∩，从而U V φ∩≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯一.9、设X 是一个拓扑空间，证明X 是hausdorff 空间当且仅当积空间X X ×的对角线{(,)|}x x X X x X Δ=∈×∈是一个闭集.证明：充分性：对任意,,x y X x y ∈≠，于是(,)x y ′∈Δ,由于Δ是闭集，所以是开集，从而有′ΔX 的开邻域使得,U V (,)x y U V ′∈×⊂Δ，于是分别是,U V ,x y 的开邻域,且U V φ∩=，从而X 是Hausdorff 空间.必要性：若X 是hausdorff 空间，对(,)x y ′∀∈Δ，则x 和y 分别有开邻域，使得U V ,U V φ∩=，从而(,)x y U V ′∈×⊂Δ，由于U V ×是X X ×中的开集，所以是其每一点的邻域，故是开集，从而′Δ′ΔΔ是闭集.10、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集.证明：对于x A ′∀∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设，则是1()W f U V −=∩W x 的开邻域，并且x W A ′∈⊂,故A ′是开集，从而A 是闭集.11、设X 是一个正则空间，A 是X 的闭子集,A x ∉，证明：x 和A 分别有开邻域U 和V 使得φ=∩V U .证明：由于X 是一个正则空间，从而x 和A 分别有开邻域W 和V 使得φ=∩V W，故W V ′⊂，因此W V ′⊂.又由正则空间的性质知：存在x 的开邻域U 使得W U ⊂,从而φ=∩V U . 12、设X 是一个正规空间，A ，B 是X 的两个无交的闭子集.证明：A 和B 分别有开邻域U和V 使得φ=∩V U .证明：由于X 是一个正规空间，从而A 和B 分别有开邻域W 和V 使得φ=∩V W ，故W V ′⊂，因此W V ′⊂.由正规空间的性质知：存在A 的开邻域U 使得W U ⊂,从而φ=∩V U .13、设X 是一个拓扑空间，[0是闭区间，若对,1]X 的任何两个无交的闭集,A B 都存在一个连续映射,使得当:[0,f X →1]x A ∈时，()0f x =,当x B ∈时，.证明：X 是一个正规空间.()1f x =证明：设,A B 是X 的任意两个无交的闭集，由题意知存在一个连续映射,使得当:[0,f X →1]x A ∈时，()0f x =,当x B ∈时，.设,,易知分别是()1f x =1([0,0.5))U f −=1((0.5,1])V f −=,U V A 和B 的开邻域且U V φ∩=.从而X 是一个正规空间.14证明空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一个不可数集.4T 证明：设是空间C 4T X 中的一个连通子集，如果不只包含一个点，任意选取C ,,x y C x y ∈≠.对于空间4T X 中的两个无交的闭集{},{}x y ，应用Urysohn 引理可见，存在一个连续映射，使得:[0,f X →1]()0f x =和()1f y =.由于C 是X 的一个连通子集，从而()f C 连通，由于0,1()f C ∈，所以()[0,1]f C =，由于[0是一个不可数集，所以C 也是一个不可数集.,1]15、X 是空间，B 为X 的一个拓扑基，则对于每一个B 4T ∈B 及x ∈B ,都有一个B 使得x ∈1B ∈1B ⊂B .证明：X 是空间，必为的正规空间，对任意x 4T 1T ∈X ,{x }为闭集.对于B ∈B 且x ∈B ,B 就是{x }的一个开邻域.由于X 为正规空间，必存在{x }的一个开邻域U ,使得B U ⊂. U 也是x 的开邻域，一定存在一个1B ∈B ，使得 x ∈U ,且有1B ⊂U B ⊂1，当然就有x B B ⊂∈1.16、设X 为Hausdorff 空间 ,是一个连续映射, 且X X f →:f f f =D ．证明:f )(X。
点集拓扑
第三章 子空间， （有限）积空间和商空间
教学目的
介绍用已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种方法，使得拓扑空间中的一个给定
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陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
的子集，有限个拓扑空间的笛卡儿积或一个拓扑空间中的商集都可以作为独立的拓 扑对象进行考察。
主要内容
第一节 子空间 第二节（有限）积空间 第三节 商空间系
3．题型与举例
深圳大学数学与计算科学学院
200× -200× 学年 课程 点集拓扑 年级 第× 学期 期末考试Ａ卷 姓名 成绩
一、判断题（每小题 2 分，共 20 分） （ （ （ （ （ ）1. 仿紧空间是度量空间。 ）2. 局部道路连通空间不一定是道路连通空间。 ）3. 度量空间 X 紧致的充要条件是 X 上的任意一个连续函数都是有界的。 ）4. 可分空间一定满足 C2 公理。 ）5. 紧度量空间的每一个开覆盖都有 Lebesgue 数。
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陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第 学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配 如下： 第一章 集合论初步 第二章 拓扑空间与连续映射 第三章 子空间，（有限）积空间和商空间 第四章 连通性 第五章 有关可数性的公里 第六章 分离性公里 第七章 紧致性 8 学时 10 学时 4 学时 8 学时 6 学时 8 学时 10 学时
陈冬梅： 《点集拓扑》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称
点集拓扑
课程类别
综合选修
教材名称
点集拓扑
研究生入学考试2020-F10027点集拓扑学
2020年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲考试阶段：复试科目满分值：100考试科目：点集拓扑学科目代码：考试方式：闭卷笔试考试时长：180分钟一、科目的总体要求要求考生全面系统地掌握点集拓扑理论的基本知识，具备较强的分析问题与解决问题的能力。
二、考核内容与考核要求《拓扑学》共包含3个部分的内容，其中，拓扑空间与连续映射（约30分）、拓扑空间运算（子空间、积空间、商空间）（约20分）、拓扑空间性质（连通性、可数性、分离性、紧致性）（约50分）。
第一部分拓扑空间与连续映射考核内容：度量空间和连续映射拓扑空间和连续映射邻域与邻域系导集闭集闭包内部边界基与子基拓扑空间中的序列考核要求：对度量空间、拓扑空间、开集、邻域、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列等概念要求识记，掌握它们的性质，并会应用这些性质解决问题；（2）掌握拓扑空间的验证方法，及一些比较特殊的拓扑空间（离散拓扑空间，平庸拓扑空间，可数补空间，有限补空间等）；（3）理解拓扑空间的定义及有关拓扑空间的概念，拓扑空间连续映射的定义，连续映射的一些等价定义。
第二部分拓扑空间运算考核内容：子空间有限积空间商空间考核要求：（1）对子空间拓扑，有限积拓扑，商拓扑、嵌入、积空间、投射、商映射、商空间、开（闭）映射的定义要求识记；（2）理解子空间拓扑、有限积拓扑和商拓扑与原拓扑空间拓扑的关系；（3）掌握子空间拓扑，有限积拓扑，商拓扑空间中的开集的特点与性质；（4）会应用子空间、有限积空间、商空间的性质。
第三部分拓扑空间性质1.连通性考核内容：连通性的应用连通分支局部连通空间道路连通空间道路连通分支考核要求：（1）对连通空间、道路连通空间、局部连通空间、有限可积性质、连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间等概念要求识记；（2）理解连通子集，连续映射保持不变的性质；（3）掌握连通空间、道路连通空间、局部连通空间、有限可积性质、连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质，掌握连通空间、道路连通空间、局部连通空间判定方法；（4）会应用连通空间、道路连通空间、局部连通空间、有限可积性质、连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质。
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(2) 若 r(n) r(m) ,则
. U r(n)
Ur(m)
接下来我就用归纳的方法定义A的
这些开邻域：
见下图
A
B
继续
取 ， , 满足 ， 则 Ur(1) B Ur(2)
U r (2)
Ur(1)
Ur(1) ,Ur(2) 满足(1)和(2),设对于n>2,A 的开邻域 Ur(1) ,L ,Ur(n1) 已经定义.
因此我们只需证明 S 的每一个元素 在 f 下的原象是开集就可以了.
•即证对于任意 a [0,1) ，f 1((a,1])
是X中的开集;
•对于任意 b (0,1] ，f 1((0,b])
是X中的开集.
定理6.3.2 T4 空间中的任何一
个连通子集如果包含多于一点,则它
一定是一个不可数集.
引理6.3.3 设X是一个正规空
§ 6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理
定理6.3.1 设X是一个拓扑空间，
是一[a个, b]闭区间，则X是一个正规空间
当且仅当对于X中的任意两个无交的
闭集A和B，存在一个连续映射
使得当f : X [a时,b]
和x 当A f (时x) a
x B f (x) b
证明:充分性 由于 [a,b] [0,1] ,因此我 们只要证明[a,b]=[0,1]的情形即可.见下图
部定义，且满足条件(1)和(2).
见图
定义映射： f : X [0,1]
使得对任意 x X ,
f
(x)
inf{r
1
Q
r|
x Ur}
如果x B 如果x B
显然如果 x A ,则 x U r(2) ，所以 f(x)=0 ；若 x B ，则 f(x)=1 .
下面证明 f 的连续性，我们知道：
f : A [a,b] 有一个连续映射 g : X [a,b]
是 f 的扩张
作业：1
必要性 设X是一个正规空间，A和B 是X的两个无交的闭集,QI Q [0,1] . QI {r(1), r(2), r(3)L } 不妨设r(1)=1和
r(2)=0 继续
X
A
B
f
0
1
下面我们要做的工作是对每一个有理 数r(n)∈QI,对应着A的一个开邻域 Ur(n),使得满足条件：
(1) Ur(1) B ;
S ={(a, ) | a R}{,b) | b R}
是实数空间R的一个子基，从而[0,1] 的一个子基为 S1 S%|[0,1] 则 S1 {(a,1] | a [0,1)}{[0,b) | b (0,1]}{,[0,1]} 事实上 S S1 {,[0,1]}还是[0,1]的一 个子基.
间,A是X中的一个闭子集, 是一个
正数,则对于任何一个连续映射:
g : A [, ]
存在一个连续映射g
:
A
[
1 3
,
1 3
]
使得对于任何
a A 有|
g(a)
g*(a) |
2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理6.3.4 设X是一个拓扑空间, [a,b]是一个闭区间,则X是一个正规空 间当且仅当对于X中的任何一个闭集A 和任何一个连续映射
令 s max{r(i}| r(i) r(n),i 1,L , n 1}
b max{r(i}| r(i) r(n),i 1,L , n 1}
见图
由定理6.2.2，选取Ur(n)为
U
s
的一
个开邻域使得
U r(n)
Ub
，从
Ur(n)的
取法可知A的诸开邻域仍然满足条件
(1)和(2).
根据归纳原则，A的诸开邻域已经全