小学奥数格点与面积
小学五年级奥数思维拓展提升志愿导学教案：4.格点与面积
4.格点与面积2023.11.12教学目标：1.了解格点的分类及其特征。
了解毕克定理。
2.学会对一些不规则的图形可以借助割补法等相关方法来解题。
3.培养学生自主思考，解题的能力。
感受到数学思维的逻辑性，唯美性。
教学重点：了解毕克定理。
教学难点：对一些不规则的图形可以借助割补法等相关方法来解题。
教学准备：课件教学过程：一、导入1.揭示课题。
（1）在格点中的图形有些是学过的图形，如长方形，正方形，三角形，平行四边形，梯形等。
如果是不规则的多边形，一般可以借助割补法，分割法及相关的公式来解题。
（2）毕克定理提供给我们一种全新的方法。
2.这一讲我们专门讨论与格点与面积。
二、新授1.例1书第18，自学，思考：这些图形的面积是怎样求出来的？什么是格点多边形？一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”。
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
格点多边形：多边形的边必须是线段，顶点要在格点上。
2.例2在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？（单位厘米）（1）这座宝塔图形是一个不规则多边形，不能直接求出它的面积。
（2）我们可以将它分割成我们学过的图形，可以这样来分。
一个三角形一个正方形和一个长方形。
（3）还可以这样算，先把宝塔图形补成一个长方形。
再用长方形的面积减去填补的面积，所得的结果就是宝塔的面积。
3.例3观察下面四个多边形，计算下列各多边形的面积。
并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。
（1）如果用s表示面积，表示图形类的格点数，l表示图形边界上的格点数。
列表统计。
（2）各个图形内的格点数和图形边界上的格点数之间有什么联系？（3）发现任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界上的格点数除以2的和再减1。
（4）S=n+l/2-1（5）上面的公式称之为毕克定理，利用它可以直接求出多边形的面积。
4.例4下图中是一个四角形，每个小正方形的面积均为1c㎡。
小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：1L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 倍．)21日(线状)面积为27.4cm ，求大正方形的面积．【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ的面积．板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【例16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．【例17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【例19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？【例23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____【例24。
小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第2讲格点与面积(教师版)
第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。
用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理。
二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。
【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【答案】4平方厘米；4平方厘米；12平方厘米【解析】左起第一个阴影图形可以分割成4个小正方形，面积为4平方厘米；左起第二个阴影图形可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为2×2÷2=2平方厘米，下面三角形的面积是2×2÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为2+2=4平方厘米；左起第三个阴影部分图形可以分割成上面一个三角形、下面一个梯形，上面三角形的面积为5×2÷2=5平方厘米，下面梯形的面积为（2+5）×2÷2=7平方厘米，则阴影部分的面积为5+7=12平方厘米。
【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【答案】8平方厘米；8平方厘米【解析】左起第一个阴影部分可以分割成8个小正方形，面积为8平方厘米；左起第二个阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积是4×2÷2=4平方厘米，下面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，则阴影部分的面积为4+4=8平方厘米。
奥数格点与面积
.. .......... 名师点拨 --- -------- --- 学科:学科：奥数** 教学内容：第六讲格点与面积开始学习生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。
(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X2=6。
(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位,所以它的面积为2。
(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半,则三角形面积为3。
(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长,补出一个和原来梯形方向颠倒,但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为2+4）X3=18,而梯形的面积为长方形的面积的一半。
奥数培优 五年级 第3讲 格点与面积
第三讲格点与面积例1、下面是一个格点图，图中有长方形，三角形，平行四边形和梯形各一个，请你利用方格网计算出他们的面积是多少（如图所示阴影部分的校正方形的面积是1平方厘米）.例2、图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？（单位：厘米）例3、观察下面四个多边形，计算下列各多边形的面积，并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。
比克定理：任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界的格点数除以2的和。
例4、下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米，求图中阴影部分的面积。
例5、下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点“∴”和“∵”构成的都是面积为1平方厘米的等边三角形，请你计算图中三角形的面积。
思考与练习1、求下面个图形的面积（相邻格点距离1厘米）2、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）3、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）4、下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围城的面积尽可能大，那么，所围图形的面积是多少平方厘米？5、下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积。
6、下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）.7、在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1平方厘米）.8、如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB的中点，N是CD的中点，P是EF的中点，问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？。
小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一 正方形格点问题在一张纸上,先画出一些程度直线和一些竖直直线,并使随意率性两条相邻的平行线的距离都相等(通通例定是1个单位),如许在纸上就形成了一个方格网,个中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为极点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的村庄小屋图形就是一个格点多边形．那么,格点多边形的面积若何盘算？它与格点数量有没有关系？假如有,这两者之间的关系可否用盘算公式来表达？下面就让我们一路来商量这些问题吧！用N 暗示多边形内部格点,L 暗示多边形周界上的格点,S 暗示多边形面积,请同窗们剖析前几个例题的格点数． 我们能发明如下纪律：12L S N =+-．这个纪律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成互相距离为1厘米的正方阵(如右图)．假如用一根皮筋将恰当的三个钉子贯穿连接起来就得到一个三角形,如许得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有若干？ 面积等于2平方厘米的三角形有若干个？【例 2】 如图,44⨯的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为极点的正方形有个．【例 3】 断定下列图形哪些是格点多边形？【例 4】 如图,盘算各个格点多边形的面积．【巩固】假如两格点之间的距离是2,能应用刚盘算的成果说出响应面积么？(教师总结：面积数值均扩展4倍．)【例 5】 如图(a ),盘算这个格点多边形的面积．【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”比赛试题)右图是一个方格网,盘算暗影部分的面积．【例 7】 分离盘算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．【例 8】 我们开端提到的“村庄小屋”的面积是若干？【例 9】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是若干？【巩固】如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是若干平方厘米？【例 11】 (“小学数学奥林匹克”比赛试题)55⨯的方格纸,小方格的面积是1毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点,它的鸿沟上有L 个格点,则它的面积为12L S N =+-．平方厘米,小方格的极点称为格点．请你在图上选7个格点,请求个中随意率性3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线衔接后所围成的面积尽可能大．那么,所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”比赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日揭幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7.2.1三个数字所占的面积之和是若干？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小雷同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来,若左上角的暗影部分(块状)面积为25.12cm,右下角的暗影部分(线状)面积为27.4cm,求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54,AP=2PF,CQ=2BQ,求暗影四边形CEPQ的面积．板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．划定它的面积为1,以如许的点为极点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的盘算公式：假如用S暗示面积,N暗示图形内包含的格点数,L暗示图形周界上的格点数,那么有22=⨯+-,就是S N L格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】如图(a),有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．盘算三角形ABC的面积．【巩固】如图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,盘算ABC的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．【例 17】把大正三角形每边八等分,构成如右图所示的三角形网．假如大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图,假如每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD 的面积是若干平方厘米？【例 19】把统一个三角形的三条边分离5等分.7等分(如图1,图2),然后恰当衔接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中暗影部分面积是294平方分米,那么图2中暗影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形朋分成面积相等的三块．【例 21】如图涂暗影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是若干平方厘米？【例 22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M 是AB中点,N是CD中点,P是EF中点．问：三角形MNP的面积是若干平方厘米？【例 23】假如下图中随意率性相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么,三角形ABC的面积是_____平方厘米．。
四年级奥数巧箱格点与面积
巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。
巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。
做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。
【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。
图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。
图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。
填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。
（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。
■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。
我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。
如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。
做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。
心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。
问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。
小学五年级奥数思维拓展提升志愿导学：4.格点与面积
A
PF
B Q
C
E D
例9
如图，大正方形的，面积为25平方厘米，连为多少平方厘米？
例10 （迎春杯试题）如图，大正六边形的面积为2009平方厘 米，连接顶点到对边的中点，则阴影部分的面积是多少平 方厘米？
小品题 从A点到B点，要求必须沿着格线走，请问最短路 的线共有几条？
角三角形，若其中较小正方形的边长为12厘米，那么较大 正方形的面积是多少平方厘米。
例7
如图所示，是一个正六边形的图案。已知正六边形的
面积为54c㎡。则阴影部分的面积是多少平方厘米？
30°
60°
例8 （“华杯赛”试题）图中正六边形ABCDEF的面积是54。 AP=2PF,CQ=2BQ。求阴影四边形CEPQ的面积。
格点多边形：
多边形的边必须是线段，顶点要在格点上。
格点
正方形格点图形面积
内部格点数 2
周界格点数 6
S=（面积内部格点数+周界格点数÷2－1
）×单位
例2 求图中方格纸上的图形面积（每个小正方形面积为2平方厘米）
例3
如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的
等边三角形，请计算图中三角形的面积。
A
B
谢谢！
2023.11.12
例4
图中每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，
请用一般方法和数格点的方法求其中多边形的面积
1 2
例5
如图，每个黑点都是一个钉子，每任意相邻三个钉子围成的小正
三角形的面积都是1。那么，橡皮筋围出的图形面积是多少？
例6 (第十三届中环杯决赛) 两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直
思维拓展志愿导学
小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例4】如图，计算各个格点多边形的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例9】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分7.4cm，求大正方形的面积．(线状)面积为2【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【例19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P EB【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
格点与面积_小学奥数知道点详解
如下图,在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点)，把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度,把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形,本讲就，学习求格点多边形的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积;②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形,一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始，很少用。
任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积:格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2—1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理",这是一个实用而有趣的定理。
皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。
格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆,所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2—1所以格点多边形面积为:图内格点个数+周界格点数÷2—1。
皮克定理的证明过程比较抽象,孩子难以理解。
本讲只要求孩子初步认识格点面积公式,掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理.例1：求下面各图形的面积。
【解析】:图①是个平行四边形，周界上有10个格点,图内有4个格点,根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2—1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为:4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形,但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
五年级奥数第一讲_格点面积
格点面积知识要点：毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1（1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1（2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2例题讲解：例 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).例 3.在一个9 6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来。
例4.右图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,求图中阴影部分的面积.例5.右图是一个10⨯10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.例6.右图是一个8⨯12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.同步练习：1.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?2.右图是一个5⨯5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？3.右中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?4.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.课后作业：1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积.2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积均为12cm,试求图中三角形DEF的面积.。
小学奥数格点型面积毕克定理
页眉内容小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使随意两条相邻的平行线的距离都相等( 往惯例定是1 个单位 ) ，这样在纸上就形成了一个方格网，此中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为极点画出的多边形叫做格点多边形，比如，右图中的农村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积怎样计算？它与格点数量有没相关系？假如有，这二者之间的关系可否用计算公式来表达？下边就让我们一同来商讨这些问题吧！用 N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积，请同学们剖析前几个例题的格点数．我们能发现以下规律： S N L1 ．这个规律就是毕克定理．2毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的界限上有L 个格点，则它的面积为 S N L1 ．2【例 1】用9个钉子钉成互相间隔为 1 厘米的正方阵 ( 如右图 ) ．假如用一根皮筋将适合的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样获得的三角形中，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于 2 平方厘米的三角形有多少个？【例 2】如图，4 4 的方格纸上放了16 枚棋子，以棋子为极点的正方形有个．【例 3】判断以下图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷⑸⑹【稳固】假如两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？( 教师总结：面积数值均扩大 4 倍．)【例 5】如图( a)，计算这个格点多边形的面积．III III(a)(b)(c)【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”比赛试题) 右图是一个方格网，计算暗影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【稳固】求以下各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷【例 8】我们开始提到的“农村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个8 12 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．HGFA EDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【稳固】如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】( “小学数学奥林匹克”比赛试题) 5 5 的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的极点称为格点．请你在图上选7 个格点，要求此中随意 3 个格点都不在一条直线上，而且使这7 个点用直线连结后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】( “保良局亚洲区城市小学数学”比赛试题) 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7 月 21 日开幕，下边的图形中，每一个小方格的面积是1，那么 7、 2、 1 三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】( 第六届“从小爱数学”邀请赛试题) 两个边长相等的正方形各被分红25 个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的暗影部分 ( 块状 ) 面积为 5.12cm 2，右下角的暗影部分 ( 线状) 面积为 7.4cm2，求大正方形的面积．【例 14】( 第六届“华杯赛”试题 ) 图中正六边形ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF ，CQ=2BQ，求暗影四边形CEPQ 的面积．A P F A P FB E B EQ QC D C D板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为 1，以这样的点为极点画出的多边形为三角形格点多边形．对于三角形格点多边形的面积相同有它的计算公式：假如用S 表示面积， N 表示图形内包括的格点数， L 表示图形周界上的格点数，那么有 S 2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包括格点数的 2 倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】如图 ( a) ，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积．A AECF DCB(a) B(b)【稳固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算ABC 的面积．ACB【例 16】求以下格点多边形的面积( 每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形) ．⑴⑵⑶⑷【例 17】把大正三角形每边八平分，构成如右图所示的三角形网．假如大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，假如每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别 5 平分、 7 平分 ( 如图 1，图 2) ，而后适合连结这些平分点，便获得了若干个面积相等的小三角形．已知图 1 中暗影部分面积是294 平方分米，那么图 2 中暗影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形切割成面积相等的三块．【例 21】如图涂暗影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】( 第五届“华杯赛”试题 ) 正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米． M 是 AB 中点， N 是 CD 中点，P 是 EF 中点．问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？A FA QF M PM P BEB ER S CDCDNN【例 23】假以以下图中随意相邻的三个点构成的三角形面积都是2 平方厘米．那么，三角形 ABC 的面积是 _____平方厘米．。
奥数——格点与面积
格点与面积
例1 下图是一个格点图。
图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。
请你利用方格网计算出它们的面积各是多少？（每个小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？
例3 下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
例4、求下列图形的面积。
例5、如图，每个小正方形的面积都是1平方厘米。
则在此图中最多可以画出多少个面积是2平方厘米的格点正方形？
课堂练习
1、求下面各图形的面积。
2、求下图中各图形的面积。
3、求下图中各图形的面积。
4、下面是一个5*5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）。
5、图中每个小正方形的边长都是1厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形多少个？
课后作业
1、计算所给图形的面积。
2、求出下面格点图形的面积。
3、在下面5*10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积是1）。
4、下图是由8个边长为1厘米的正方形所组成的一个图形，共有15个格点。
请以15个格点中的3个为顶点作一个面积为3.5平方厘米的三角形。
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这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。
见右图：
这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点
称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。
利用格点求图形
的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1
【典型例题】
例1：计算下列各图的面积。
分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少
个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些
图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。
解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。
(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积
等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来
有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。
（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积
的一半，则三角形面积为3个面积单位。
（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。
合起
来有6个面积单位。
所以它的面积为6个面积单位。
（6）将图中梯形互相平行的一组对边延长，补出一个与原来梯形方向颠倒，但面积一样的
梯形，形成一个大的长方形。
长方形面积为（2+4）×3=18，而梯形的面积为长方形面积的
一半，所以梯形的面积是（2+4）×3÷2=9（个）面积单位。
【随堂练习】
1.求格点多边形的面积（如图1）。
2.求格点多边形的面积（如图2）。
图1 图2
例2：计算下列这个格点多边形的面积。
分析:这是一个不规则多边形，不能直接求出它的面积，可用长方形的面积减去4个直角三角形的面积，如图1；另外还可以将该四边形分成几块，如图 2.
【随堂练习】
1.求格点多变形的面积（图3）。
2．求格点多边形的面积（图4）。
图3 图4
例3：相邻四点连成的小正方形面积是1平方厘米。
分别连接各点，组成下列12个图形，你发现有什么排列规律？
分析：横看，从左到右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数保持不变。
竖看，从上往
下图形一周的格点数保持不变，中间的格点数逐渐增多。
图形一周的格点数，中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没
有格点，中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。
第一组
图形编号①②③④一周格点数 4 6 8 14 中间格点数0 0 0 0
面积（平方厘米） 1 2 3 6
中间没有格点时，面积＝一周格点数÷２－１
第二组
图形编号⑤⑥⑦⑧一周格点数 4 6 8 11 中间格点数 1 1 1 1
面积（平方厘米） 2 3 4 7
中间有一个格点时，面积＝１＋一周格点数÷２－１
第三组
图形编号⑨⑩⑾⑿
一周格点数 4 6 8 14 中间格点数 2 2 2 2
面积（平方厘米） 3 4 8 8
中间有２个格点时，面积＝２＋一周格点数÷２－１
解：（１）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格点数
相同时，图形的面积随着中间的格点数增加而增加。
（２）各图形面积（见上表）的大小与一周的格点数，中间的格点数都有关系，格点图形面
积的计算公式是：图形的面积＝中间格点数＋图形一周的格点数÷２－１
【随堂练习】
1.通过割补图形求格点多边形的面积（图5）。
2.通过割补法求格点多边形的面积（图6）。
3.利用格点多边形面积公式计算，结果一样吗？
图5 图6 例4：下图中的每一个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。
分析：内部格点数为9个，周界上格点数为8个，根据格点面积公式可求出阴影部分的面积为：
解：4×（9＋8÷2﹣1）=48（平方厘米）
【随堂练习】
1.求格点图形面积（图7）。
2.求格点图形面积（图8）。
例5：在下面图中有21个点，每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC 的面积。
分析：方法一：内部格点数为4个，周界上格点数为4个，三角形ABC的面积是：
2×(4＋4÷2－1)=10（单位面积）
方法二：如图2，给三角形ABC添加Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三角形形成的大三角形，现在只要求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个三角形的面积即可。
而三角形Ⅰ是一个平行四边形面积的一半，即6÷2=3，同理三角形Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4和8。
所以，三角形面积为：
25-3-4-8=10 （单位面积）
【随堂练习】
1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC的面积（图9）.
（图9）
2.右图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.。