定积分的基本性质

T
f ( x)dx = 0，
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ．
0 1 −1
T
例 1 计算定积分 ∫ e| x|dx ． 解因为 ∫ e| x|dx = 2∫ e x dx ，且 ∫ e x dx= e − 1 ，所以 ∫ e| x|d = x 2(e − 1) ．
−1 0 0 −1 1 1 1 1
【导语】
【正文】
§5.3 定积分的基本性质（1）
一、定积分的方向性
∫a f ( x)dx = −∫b
Remark
b b b
b
a
f ( x)dx ．
f ( x)dx ∫= f (t )dt ∫ f (u )du ，即定积分的值与积分变量的记号无关． ∫a= a a
二、定积分的线性运算性质
定 理 5 若 函 数 f ( x ) ， g ( x ) 都 在 区 间 [ a, b] 上 可 积 ， 则 对 任 意 的 实 数 α , β ， 函 数
∫a
简证因为 ∫
a +T 0 a a
a +T
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ．
0 T a +T 0 T
T
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫
a +T a 0 0 a
f ( x)dx ，且
a +T
∫T
所以 ∫
a +T a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ，即 ∫ f ( x)dx + ∫
a
b
Remark 两个可积函数经过加法运算和数乘运算后，得到的函数仍然可积． 事实上， 两个可积函数经过乘法运算后得到的函数也是可积的， 但两个可积函数经过除 法运算后得到的函数不见得可积．
三、定积分的区间可加性
定理 6 若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上可积， a < c < b ，则 f ( x) 在区间 [a, c] 与 [c, b] 上均可 积，且
因为函数 f ( x) 在 [−a, a] 上可积，所以
f ( x)dx lim ∫=
−a
a
f (ξi )∆xi ∑= λ →0
n
λ →0 i= −n i= 1 i ≠0
a
lim ∑ [ f (ξi ) + f (−ξi )] ∆xi ．
n
当 f ( x) 是奇函数时，因为 f (ξi ) + f (−ξi ) = 0 ，所以 ∫
f ( x)dx ∫ f ( x)dx + ∫ ∫= a a c
b c b
f ( x)dx ．
若 a < c < b ，且函数 f ( x) 在区间 [a, c] 与 [c, b] 上均可积，则 f ( x) 在区间 [a, b] 上可积， 且
f ( x)dx ∫ f ( x)dx + ∫ ∫= a a c
−a
f ( x)dx = 0 ．
当 f ( x) 是偶函数时，因为 f (ξi ) + f (−ξi ) = 2 f (ξi ) ，所以
= f ( x)dx ∫ −a
a
2 lim ∑ = f (ξi )∆xi 2 ∫ f ( x)dx ．
λ →0
i =1 0
n
a
定理 8
若函数 f ( x) 可积且以 T > 0 为周期，则对任意的实数 a ，都有
λ →0 λ →0 = k 1= k 1
b b
n
n
n
λ →0 = k 1
= α ∫ f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ．
a a
故函数 α f ( x) + β g ( x) 也在区间 [a, b] 上也可积，且
∫a [α f ( x) + β g ( x)]dx= α ∫a
b
b
f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ．
lim ∑ f (ξ k )∆xk = ∫ f ( x)dx ，
k =1 a n b
λ →0
λ →0
lim ∑ g (ξ k )∆xk = ∫ g ( x)dx ．
k =1 a
n
b
所以
lim ∑ [α f (ξ k ) + β = g (ξ k )] ∆xk α lim ∑ f (ξ k )∆xk + β lim ∑ g (ξ k )∆xk
∫−1 (1+x cos x)
1
π 1 − x 2 dx = ． 2
【本讲总结与下讲预告】
a
−a
f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx ．
0
a
证明取区间 [−a, a] 关于原点对称的划分
−a =x− n < x− n +1 < < x0 =0 < x1 < < xn =a ，其中 x− k = − xk ．
并取 ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] (k = 1, 2, , n) ， ξ − k = −ξ k ∈ [ x− k , x− k +1 ] ．
b c b
f ( x)dx ．
y
O
Remark
来自百度文库
a
c
b
x
∫
b
a
f ( x ) dx ， ∫
b
a
f ( x)dx ．
四、特殊函数定积分的性质（奇偶性、周期性）
定理 7 设函数 f ( x) 在 [−a, a] 上可积．
a −a
若 f ( x) 是奇函数，则 ∫
f ( x)dx = 0 ；若 f ( x) 是偶函数，则 ∫
例 2 计算定积分 ∫ (1 + x cos x) 1 − x 2 dx ．
−1
1
解因为 ∫ (1 + x cos x) 1 − x 2 dx =
−1
1
∫−1
1
1 − x 2 dx + ∫ x cos x 1 − x 2 dx ，且
−1
1
∫−1
所以
1
1 π 1 − x 2 dx = ， ∫ x cos x 1 − x 2 dx = 0， −1 2
及在每个小区间上任取的一点 ξ k ∈ [ xk −1 , xk ] ， 作和
)] ∆xk α ∑ f (ξ k )∆xk + β ∑ g (ξ k )∆xk ． ∑ [α f (ξk ) + β g (ξk=
= k 1= k 1 n n n
= k 1
因为 f ( x) ， g ( x) 都在区间 [a, b] 上可积，所以
α f ( x) + β g ( x) 也在区间 [a, b] 上也可积，且
∫a [α f ( x) + β g ( x)]dx= α ∫a
证明对于 [ a, b] 的任意划分
b
b
f ( x)dx + β ∫ g ( x)dx ．
a
b
a = x0 < x1 < x 2 < < x n −1 < x n = b ，