91_不等式(第1课时)
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第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标
即 cd ＞0， 所以acdd＞－0bc＞0， 或acdd＜－0b，c＜0， 即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
12345
解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
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解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
人教版七年级数学下册《一元一次不等式》PPT优质教学课件
(4)解:解出所列的不等式的解集; (5)验:检验所得结果是否正确,考虑所得的解是否符合问题的 实际意义; (6)答:写出答案.
对点训练
1.“一方有难,八方支援”.某学校计划购买84消毒液和75%酒精 消毒水共4 000瓶,用于支援武汉抗击“新冠肺炎疫情”,已知84 消毒液的单价为3元/瓶,75%酒精消毒水的单价为13元/瓶,若 购买这批物资的总费用不超过28 000元,至少可以购买84消毒 液多少瓶?
解:(1)设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗(17－x)棵, 根据题意得80x＋60(17－x)＝1 220, 解得x＝10,∴17－x＝7. 答:购进A种树苗10棵,B种树苗7棵.
(2)设购进 A 种树苗 y 棵,则购进 B 种树苗(17－y)棵,
根据题意得 17－y＜y,解得 y＞81.
2
购进两种树苗所需费用为80y＋60(17－y)＝20y＋1 020, 费用最省需y取最小整数9,此时17－y＝8, 这时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元). 答:费用最省方案为:购进A种树苗9棵,B种树苗8棵.这时所需 费用为1 200元.
解:(1)设每只努比亚黑山羊每天需要草料 x kg,每头西门塔尔牛
每天需要草料 y kg.
根据题意,得 60x＋15y＝330
,解得
x＝3 .
(25＋60)x＋(15＋5)y＝455
y＝10
答:每只努比亚黑山羊每天需要草料 3 kg,每头西门塔尔牛每天
需要草料 10 kg.
(2)设卖出a头牛,则卖出(10－a)只羊,根据题意,得 10(20－a)＋3(85－10＋a)≤390,解得a≥5. 答:至少卖出5头牛才能保证每天草料够用.
变式练习
4.某种商品的进价为320元,为了吸引顾客,按标价的八折出售, 这时仍可盈利至少25%,则这种商品的标价最低是多少元? 解:设这种商品的标价是x元,由题意得 x×80%－320≥25%×320,解得x≥500. 答:这种商品的标价最低是500元.
基本不等式(一)
[分析]
要证的题目可分解成三个不等式，每一个不等号都连接
a＋b 一个不等式，其中的 ab≤ 2 是已证明过的定理，只需证明 a＋b 1 1≤ ab和 2 ≤ a＋b 1 a2＋b2 1 1 因为 a>0， b>0， ∴a>0， 2 即可． b>0， 1 a2＋b2 2 时，可
a＋b 运用推论后取倒数可证出1 1≤ ab；证 2 ≤ ＋ a b 先证平方成立，然后开方．
[例 4]
已知 a，b，c∈{正实数}且 a＋b＋c＝1.
1 1 1 求证：(a－1)(b－1)(c－1)≥8.
[分析]
不等式右边数字为 8，使它们联想到左边因式分
1－a 1 别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又 －1＝ a a b＋c 2 bc ＝ a ≥ a ，可由此变形入手．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
(
)
[解析]
a＋b 本题的关键在于比较 2 ，b， ab的大小，因
2
a＋b a＋b 为 ab> b ， ab>b，又由推论知 > ab，∴a> 2 2 > ab>b，故选 B.
[答案] B
迁移变式 1 以下结论中，错用基本不等式作依据的是 ( y x A．x，y 均为正数，则x＋y≥2 1 B．a∈R，则(1＋a)(1＋a)≥4 C．若 x>1，则 lgx＋logx10≥2 x2＋2 D. 2 ≥2 x ＋1 )
根据均值不等式与对数的运算法则， 利用不等式的传递性，即可得到三个式子 的大小关系．
1＋x 1 2x 迁移变式 2 设 m＝ logax，n＝loga ，p＝loga ，其 2 2 1＋x 中 0<a<1，x>0 且 x≠1，则下列结论正确的是( A．m<n<p C．n<m<p B．m<p<n D．n<p<m )
高中数学基本不等式(第一课时)教案
课题:§3.42a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课教学目标：1、知识与技能目标：（12a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。
教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。
教学难点：2a b +≤求最值的前提条件。
教学过程：一、创设情景，引入新课1.勾股定理的背景及推导赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab +=（2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a（3）推理证明：作差法二、讲授新课1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条件？2a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。
2.推理证明：作差法3.(1)探究:(课本P98)如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。
过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。
引导学生发现：2a b +CD,得到2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。
第1课时 基本不等式
课前 预习案重要不等式
∀a，b∈R，有 a2＋b2≥___2_a_b____，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 1．不等式中 a，b 的取值是任意的，a 和 b 代表的是实数，它们既可以是具体的 数字，也可以是比较复杂的代数式，因此其应用范围比较广泛．今后有不少不等式的 证明就是根据条件进行转化，使之可以利用该公式来证明． 2．不等式 a2＋b2≥2ab 常变形为 ab≤a2＋2 b2或 a2＋b2＋2ab≥4ab 或 2(a2＋b2)≥(a ＋b)2 等形式，要注意灵活掌握．
∵a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b 时等号成立)，∴2a＋abb≥1，
即 ab ≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
综上得1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)．
探究三 利用基本不等式证明不等式
[知能解读] 1．两个不等式(重要不等式、基本不等式)都具有放缩的功能，因此利用不等式 可以将数式放大或缩小，即可用来判断大小关系．
bc ac ab (1)已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c． (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9．
解题流程：(以(2)为例) 第一步 泛读题目明待求结论：结合条件 a＋b＝1 将不等式左边进行适当变形． 第二步 精读题目挖已知条件：a＞0，b＞0，所以ba＞0，ab＞0． 第三步 建立联系寻解题思路：利用基本不等式进行证明． 第四步 书写过程养规范习惯．
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2＞2|ab|
(B ) (A )
4．有下列不等式：①a＋1a≥2；②(－a)＋－1a≤－2；③a2＋a12≥2；④(－a)2＋－1a 2≤－2.其中正确的是__________.(填序号)
第1课时 基本不等式 高一数学
构造运用基本不等式的条件.若条件中有一个多项式的和为1,
要注意“1”的代换.
3.提升逻辑推理和数学运算素养.
易 错 辨 析
忽视基本不等式成立的条件致错
1
【典例】 求 y=x+ 的取值范围.
错解:∵x+ ≥2 · =2,
∴y的取值范围为{y|y≥2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
(
)
A.
B.b
解析:∵ab<
∵
+
>
C.2ab
D.a2+b2
+
,∴ab< ,∴2ab< .
+
+
>0,
∴
>Fra bibliotek2
2
,
∴
a
+b
>
.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,
∴b>a2+b2,∴b最大.
证明:∵a,b,c 均大于 0,∴ , , 也都大于
∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b,
三式相加得 2
+ +
≥2(a+b+c),
即 + + ≥a+b+c,
当且仅当 a=b=c 时,取等号.
要注意“1”的代换.
3.提升逻辑推理和数学运算素养.
易 错 辨 析
忽视基本不等式成立的条件致错
1
【典例】 求 y=x+ 的取值范围.
错解:∵x+ ≥2 · =2,
∴y的取值范围为{y|y≥2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
(
)
A.
B.b
解析:∵ab<
∵
+
>
C.2ab
D.a2+b2
+
,∴ab< ,∴2ab< .
+
+
>0,
∴
>Fra bibliotek2
2
,
∴
a
+b
>
.
∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,
∴b>a2+b2,∴b最大.
证明:∵a,b,c 均大于 0,∴ , , 也都大于
∴ + ≥2c, + ≥2a, + ≥2b,
三式相加得 2
+ +
≥2(a+b+c),
即 + + ≥a+b+c,
当且仅当 a=b=c 时,取等号.
人教版七年级数学下册教学课件《不等式的性质》(第1课时)
9.1 不等式
探究新知
（3）已知 a<b，则-a32 > -b32 .
解: 因为 a<b，两边都除以-3，
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-
b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
-a 3
+2
>
- b3 + 2
.
9.1 不等式
巩固练习
9.1 不等式
若 a>b, 用“>”或“<”填空： a-5 > b-5（根据不等式的性质 1 ）
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
巩固练习
9.1 不等式
利用不等式的性质解下列不等式:
(1)x-5 ＞ -1; (2)-2x ＞ 3; (3)7x ＜ 6x-6. 解：（1）根据不等式的性质1，两边都加上5，得
x＞-1+5, 即 x＞4; （2）根据不等式的性质3，两边都除以-2，得
（3）根据不等式的性质1，两边都减去6x，得 7x-6x<-6, 即 x<-6.
9.1 不等式
如果a>b,
c
c
那么a±c>b±c
探究新知 不等式基本性质1：
9.1 不等式
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 不等号的方向不变.
如果_a_>_b_,那么_a_±__c_>_b_±__c.
探究新知
9.1 不等式
考 点 1 利用不等式的性质1解答问题
用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，则a+3 > b+3;
人教版数学七下9.1.2《不等式的性质》获奖课件(18张)(共18张PPT)
___ 3.5b 1
拓展提升
判断正误，并说明理由 （1）由5 ﹥ 4，可得5a ﹥ 4a (× )
（2）已知a ﹥ b，可得ac ﹥ bc
（３）已知a ﹥ b，可得ac ﹥ bc （４）已知ac﹥ bc ，可得a ﹥ b
2 2
( ×)
( × ) ( × )
课堂练习
9.1.2不等式的性质
（第1课时）
1．复习引入
问题1：等式有哪些性质？你能分别用文字语言 和符号语言表示吗？
符号语言 如果a=b 等式两边加（或减） 同一个数（或式子）， 那么a+c=b+c 结果仍相等. a-c=b-c 如果a=b 等式两边乘（或除以） 那么ac=bc 如果a=b (c≠0) 数同一个数，除数不 a b 为0的数，结果仍相等. 那么 c c 文字语言
巧 记 口 诀
加加减减不变号； 乘除正数不变号； 乘除负数要变号.
作业布置
1、课本１２０页第 ４、 ５题． ２、学案上的课后跟踪练习．
根据发现的规律填空 不变 当 正数 时,不等号的方向______; 当不等式两边乘同一个_____ 正数 数时,不等号的方向_____ 不变 。 不等式的两边同除以一个____
不等式的基本性质2 不等式两边乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变.
a b 如果 a b, c 0, 那么 ac bc（或 )． c c
继续探究
< ×(-5) (６) 6＞2, 6×(-5)___2 < 6÷ (-5)____2 ÷（－5) ; > (７) –2<3, (-2)×(-6)____3 ×(-6) > (-2) ÷(-6)____3 ÷ (-6) 根据发现的规律填空:当不等式的两边同乘或同除以 要改变 同一个 负 数时,不等号的方向______;
拓展提升
判断正误，并说明理由 （1）由5 ﹥ 4，可得5a ﹥ 4a (× )
（2）已知a ﹥ b，可得ac ﹥ bc
（３）已知a ﹥ b，可得ac ﹥ bc （４）已知ac﹥ bc ，可得a ﹥ b
2 2
( ×)
( × ) ( × )
课堂练习
9.1.2不等式的性质
（第1课时）
1．复习引入
问题1：等式有哪些性质？你能分别用文字语言 和符号语言表示吗？
符号语言 如果a=b 等式两边加（或减） 同一个数（或式子）， 那么a+c=b+c 结果仍相等. a-c=b-c 如果a=b 等式两边乘（或除以） 那么ac=bc 如果a=b (c≠0) 数同一个数，除数不 a b 为0的数，结果仍相等. 那么 c c 文字语言
巧 记 口 诀
加加减减不变号； 乘除正数不变号； 乘除负数要变号.
作业布置
1、课本１２０页第 ４、 ５题． ２、学案上的课后跟踪练习．
根据发现的规律填空 不变 当 正数 时,不等号的方向______; 当不等式两边乘同一个_____ 正数 数时,不等号的方向_____ 不变 。 不等式的两边同除以一个____
不等式的基本性质2 不等式两边乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变.
a b 如果 a b, c 0, 那么 ac bc（或 )． c c
继续探究
< ×(-5) (６) 6＞2, 6×(-5)___2 < 6÷ (-5)____2 ÷（－5) ; > (７) –2<3, (-2)×(-6)____3 ×(-6) > (-2) ÷(-6)____3 ÷ (-6) 根据发现的规律填空:当不等式的两边同乘或同除以 要改变 同一个 负 数时,不等号的方向______;
人教版七年级数学下册全册9.1《不等式》PPT课件
三 利用不等式的性质解简单的不等式
例4 利用不等式的性质解下列不等式：
第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的 点对应的数值都是不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向.
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
空心圆圈表 (1)x＞-1 ；
示不含此点
(2)
x＜
1 2
.
表示
1 2
的点
-1 0
表示-1的点
方向向右
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0；
则都点点大表因不A于示此等右2的可式，边数以的而所都像解点有小图集A的于左那x点>2边样2表. 所表示有示的的数 先在数轴上标出表示2的点A
把表示2 的点Ａ
画成空心圆圈，表 示解集不包括2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式 (如x>a或x<a)来表示.
不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或 式子），不等号的方向不变.
如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
典例精析 例1 用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b，则a+3 > b+3 解： 因为 a>b，两边都加上3，
二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
13
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时， 方程2x2＋ax＋2＝0无实根， 所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时， 若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1； 若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1； (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时， 方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
原不等式的解集为x|x≠23.
6
先转化为一般形式 y
6
5
4
3
2
1
–1 0 2 1 x
3
–1
y＝9x2－12x＋4
课堂精讲
解一元二次不等式的一般步骤 (1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集.
14
按判别式的符 号分类， 即 >0, =0, <0.
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 x1＝41(－a－ a2－16)，x2＝14(－a＋ a2－16).
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时， 方程2x2＋ax＋2＝0无实根， 所以原不等式的解集为R. (2)当Δ＝0，即a＝±4时， 若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1； 若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1； (3)当Δ>0，即a>4或a<－4时， 方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
原不等式的解集为x|x≠23.
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先转化为一般形式 y
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–1 0 2 1 x
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–1
y＝9x2－12x＋4
课堂精讲
解一元二次不等式的一般步骤 (1)把一元二次不等式化为基本形式(二次项系数为正，右边为0的形式)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集.
14
按判别式的符 号分类， 即 >0, =0, <0.
课堂精讲
角度 1 对判别式 Δ 进行讨论 【例 2－1】 解关于 x 的不等式 2x2＋ax＋2>0.
解 x1＝41(－a－ a2－16)，x2＝14(－a＋ a2－16).
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0， ∴x<x1或x>x2. 综上，当－4<a<4时，原不等式的解集为R； 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.1不等式9.1.2不等式的性质1课件新版新人教版
例题 解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1； （1）x＞33
0
33
（2）x＜1
0
1
二、探究新知
例题
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
2
（3）
x>50；
（3）3x＞75
（4）-4x＞3.
（4）x＜
3 4
0
75
3
0
4
三、巩固新知 教材第117页练习
设a＞b，用“＜”或“＞”填空： （1）a+2__＞__b+2； （2）a-3__＞__b-3；
（3）-4a__＜__-4b；
（4）a __＞__
2
b.
2
三、巩固新知
教材第119页练习 1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表
示解集：
（1）x+5＞-1；
（2）4x＜3x-5；
（1）x＞-6
-6
0
（2）x＜-5
-5 0三、巩固新知1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表
示解集：
（3）1 x＜ 6 ； 77
二、探究新知
2.从以上练习中，你发现了什么？ 请你再用几个例子试一试，还有类似的结 论吗？
二、探究新知 3. 归纳得出： 不等式性质1：不等式两边加上(或减去)同一 个数(或式子），不等号的方向不变. 不等式性质2：不等式两边乘(或除以)同一个 正数，不等号的方向不变. 不等式性质3：不等式两边乘(或除以)同一个 负数，不等号的方向改变.
365
三、思考解决
例1 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与 全年天数(365)之比达到60%，若到明年(365天)这样 的比值要超过70%，那么，明年空气质量良好的天数 比去年至少要增加多少？
2.2基本不等式 (第1课时)(课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1.教材P46练习第 2,5题；
2.P48-49习题2. 2,复习巩固第1,2题
（二）探究性作业：
教材P46 练习及参考答案
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等）
应用新知
12
练习(1) 当 x 0 时，求 4x 的最大值；
x
【解析】 x 0, x 0.
利用基本不等式求最值的注意事项
一正:各项必须都是正值.
12
12
( 4 x ) 2
(4 x) 8 3 ,
②
通常称不等式②为基本不等式（basicinequality）．
ab
其中，
叫做正数 a, b 的算术平均数，
2
ab 叫做正数 a, b 的几何平均数．
文字语言：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。
认识新知
重要不等式： a 2 b 2 2ab ；
基本不等式：
ab
ab
2
.
问题3 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的，
B.最小值 9 C.最大值-3 D.最小值-3
【答案】C
2
【解析】
x ,3x 2 0 ,
当遇见负数时，
3
先应该乘以负
1，再适当配
9
9
9
3 3 . 凑构造倒数型，
f ( x) 3 x 2
3 (2 3x)
3 2 (2 3x)
【解析】 x 0, x 0,
2
分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的
2
1
1
1
第六章 不等式
1
1
2.
设a＞0，b＞0，求证：
a2 b
2
b2 a
2
1
a2
1
b2
【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)— —变形——判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、
因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的 积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比 较大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：
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误解分析
1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错 的主要原因.
2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.
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第3课时 算术平均数与几何平均数
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
1，1 a
上是增函数.
【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法， 特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理 的严密性.
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误解分析
(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.
(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性 质的应用是解决本题的关键.
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第2课时 用综合法、分析法证明不等 式
4
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课前热身
1.“a＞0且b＞0”是“a b ab ”成立的( A )
2
(A)充分而非必要条件
(B)必要而非充分条件
(C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( A)
1 第1课时 基本不等式(共42张PPT)
解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．
人教版七年级数学下册第九章《 9.1.1 不等式及其解集》公开课课件(共39张PPT)
第九章 不等式与不等式组 9．1 不等式 9．1.1 不等式及其解集
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
1．用“__＞__”或“__＜__”表示大小关系的式子叫做不等式，用“__≠__”表示不等 关系的式子也是不等式．
2．使不等式成立的__未知数的值__叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式 的__所有的解__组成这个不等式的解集．求不等式的__解集__的过程叫做解不等式．
21．(16分)阅读下列材料，并完成填空． 你能比较2 0142015和2 0152014的大小吗？ 为 了 解 决 这 个 问 题 ， 先 把 问 题 一 般 化 ， 比 较 nn ＋ 1 和 (n ＋ 1)n(n≥1 ， 且 n 为 整 数 ) 的 大 小．然后从分析n＝1，n＝2，n＝3…的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜 想得出结论． (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小；(在横线上填上“＞”“＝”或“＜”) ①12__＜__21；②23__＜__32；③34__＞__43； ④45__＞__54；⑤56__＞__65；⑥67__＞__76； ⑦78__＞__87. (2)归纳第(1)问的结果，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系； (3)根据以上结论，请判断2 0142 015和2 0152 014的大小关系． 解：(2)当n＝1或2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
第九章 不等式与不等式组 9．1.2 不等式的性质
4．(4分)平面直角坐标系中，点Q(2，－3m＋1)在第四象限，则m的取 值范围是( D ) A．m＜ B．m＞－ C．m＜－ D．m＞
5．(3分)在下列不等式的变形后面填上依据： (1)如果a－3＞－3，那么a＞0；__不等式的性质1__ (2)如果3a＜6，那么a＜2；__不等式的性质2__ (3)如果－a＞4，那么a＜－4.__不等式的性质3__
2.1等式性质与不等式性质(第1课时)高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
拓展：作商法
练习
设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是
A．M>N
B．M＝N
C．M<N
D．与x有关
12 3
[解析] M－N＝x ＋x＋1＝(x＋2) ＋4>0，
2
∴M>N，故选 A．
(
A)
比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小；
[解析]
2. x2＋y2＋1－2(x＋y－1)
Q2-2: 如何比较实数a与b的大小？
由于数轴上的点与实数一一对应，利用数轴判断实数的大小关系；设，是两个实
数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B.
当点A在B的左边时
a<b⟺ a−b<0
当点A在B的右边时
a>b⟺ a−b>0
当点A和点B重合时
a=b⟺ a−b=0
A
a<b
B
B
作差法
A
a>b
A(B)
a=b
典例精析
比较 + 2 + 3 和 + 1 + 4 的大小.
【解】运用作差法：
+2 +3 − +1 +4
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
作差
=2
变形
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
定号
结论
对点练习 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
B
D
当a=b时
S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？
9.1.2+不等式的性质+++++课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册+++++++++
知识点1 利用不等式的性质解不等式 例1 利用不等式的性质解下列不等式：
（1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1 （3）2 x＞50（4）-4x＞3
3
分析
解不等式，就是借助不等式的性 质使不等式逐步化为x>a或x<a（a为常 数）的形式.
（1）x-7＞26
解这个不等式要利 用哪个性质？
要利用不等式的性 质1.
课堂小结
不等式的性质 01 不 等 式 两 边 加 （ 或 减 ） 同 一 个 数
（或式子），不等号的方向不变.
如果a＞b，那么a±c＞b±c.
02
不等式两边乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）ac
＞
b c
.
03 不等式两边乘（或除以）同一个
负数，不等号的方向改变.
小结
01 不 等 式 两 边 加 （ 或 减 ） 同 一 个 数 （或式子），不等号的方向不变. 如果a＞b，那么a±c＞b±c.
02
不等式两边乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）ac
＞
b c
.
03 不等式两边乘（或除以）同一个
负数，不等号的方向改变.
（1）x-7＞26
根据不等式的性质1，不等式两边
加7，不等你号能的把方不向等不式变的，解所集以用： 数x-轴7+表7＞示2出6+来7 吗？
用数轴 表示为
x＞33
0
33
（2）3x＜2x+1
根据不等式的性质1，不等式两边
减2x，不等号的方向不变，所以：
3x-2x＜2x+1-2x
（1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1 （3）2 x＞50（4）-4x＞3
3
分析
解不等式，就是借助不等式的性 质使不等式逐步化为x>a或x<a（a为常 数）的形式.
（1）x-7＞26
解这个不等式要利 用哪个性质？
要利用不等式的性 质1.
课堂小结
不等式的性质 01 不 等 式 两 边 加 （ 或 减 ） 同 一 个 数
（或式子），不等号的方向不变.
如果a＞b，那么a±c＞b±c.
02
不等式两边乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）ac
＞
b c
.
03 不等式两边乘（或除以）同一个
负数，不等号的方向改变.
小结
01 不 等 式 两 边 加 （ 或 减 ） 同 一 个 数 （或式子），不等号的方向不变. 如果a＞b，那么a±c＞b±c.
02
不等式两边乘（或除以）同一个
正数，不等号的方向不变.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）ac
＞
b c
.
03 不等式两边乘（或除以）同一个
负数，不等号的方向改变.
（1）x-7＞26
根据不等式的性质1，不等式两边
加7，不等你号能的把方不向等不式变的，解所集以用： 数x-轴7+表7＞示2出6+来7 吗？
用数轴 表示为
x＞33
0
33
（2）3x＜2x+1
根据不等式的性质1，不等式两边
减2x，不等号的方向不变，所以：
3x-2x＜2x+1-2x
人教版七年级数学下册9.1.2 不等式的性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册
9.1.2不等式的性质（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：
本节课是人教版《数学》第九章第一节9.1.2不等式的性质的第一课时的内容。
它承接了等式的性质，让学生第一次经历不等式的等价变形，也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折，不等式的性质是解不等式的重要依据，因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础，地位相当重要。
生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，让学生对数量关系的变形有一个完整的认识，形成一个知识体系。
2、目标和目标解析：
（1）目标：
①理解不等式的性质；
②会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
（2）目标解析：
①达成目标1的标志是：经历探索不等式的性质的过程，理解不等式的性质，会
用文字和符号表示性质；
②达成目标2的标志是：能独立熟练的解简单的一元一次不等式，并能在数轴上
准确表示出解集。
3、教学重、难点
教学重点：理解不等式的性质。
教学难点：不等式的性质的运用。
突破难点的方法：采取自主探索与合作交流的形式化解学生学习的难度，借用类比的学习方法，使学生对不等式性质2、3深有所感，让学生在感知、归纳、纠错、完善的过程中，经历充分的思考过程，自发生成。
二、教学准备：
白板、物理天平和砝。
三、教学过程
如果关于x的不等式(1)1
+>+的解集为
a x a
那么a的取值范围是（）。
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21 105
5x < 120
不成立
22 110
5x < 120
不成立
23 115
5x < 120
不成立
24 120
5x = 120
不成立
25 125
5x > 120
成立
26 130
5x > 120
成立
27 135
5x > 120
成立
28 140
5x > 120
成立
29 145
5x > 120
成立
一次购票满30张划算
以这个速度骑车1个半小时的路程要超过8千米
1.5x>8
以这个速度骑车8千米所用的时间不到1个半小时
8/x<1.5
象这种用“>”或“<”号表示大小关系的式子 叫做不等式
“ ＜ ” 小于 “ ＞ ” 大于 “ ≠ ” 不等于 “ ≤ ” 不大于（小于或等于） “ ≥ ” 不小于（大于或等于）
“＜” 、“＞” 、“≠”、“ ≤”、“ ≥”都是 不等号
作业：书119页习题9.1的1、2两题
神农架博物馆是根据原始森林的特点来布 置的，这里集中了中央各级领导视察神农架 的部分照片、大量的动物和植物标本以及各 类奇石。 • 全馆共分植物和动物两大部分，第一层植 物馆内收集有2000多种植物，是一座丰富 的植物基因库，像珙桐、香果、银杏、连香、 篦子杉等60余种孓遗物种都是在生物学界 被称为“活化石”的珍品，此外还有一些神 农架特有的珍稀药材。 • 第二层动物馆内陈列着400多种动物标本， 其中最惹人注目的是国家重点保护的白化动 物和金丝猴标本。
• 判断下列说法是否正确: (1)x = -1是不等式x ＜ 1的一个解 (2)x = 2是不等式x – 1 ＞ 0的解集 (3)不等式x + 3 ＞6的解是x＞3 (4)不等式1 – x ＜ 0的解有无数多个数 (5)x – 5 ＜ 1的解是x = 2 (6)x = 0是不等式x ≥ 0的解
不等式的解集可以在数轴上表示
人教版七年级下册
9.1 不等式
实验中学 柳东
五一长假,七年级(1)班同学要到神农架博物 馆参观.大家约定8:30在校门口骑车出发,但是 要10点之前准时到达那里.车速应满足什么条 件?(已知:校门口距博物馆8千米,为了安全起见, 必须匀速骑行.)
若设车速为x千米/时，你能列出相应的式子吗?
从路程 从时间
你能用什么办法把不等式x ≥ 1 的解集表示在 数轴上?
实心点：表示1 在这个解集内
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 大于
x≥1
向右
大于向右画，小于向左画；有等号的画实心 圆点，无等号的画空心圆圈.如下图
-1 0 1 2 3
x>1
-1 0 1 2 3
x≤2
根据一元一次不等式的解集表达式，请 画出数轴上的解集图像
问题4 判断下列数中哪些是不等式5x > 120的解?
-10 18 21.5 24 2√5 38√.5 1√00 20√00
你能找出这个不等式其它的解吗?
他到底有多少个解呢? x > 24
x > 24表示了能使5x > 120成立的x的取 值范围,叫做5x > 120的解的集合,简称解集.
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解, 组成这个不等式的解集,求不等式解集的过程叫做 解不等式。
(3)x与2的差大于或等于－1 x－2 ≥ －1
(4)x的4倍大于7 4x＞7
(5)y的一半小于3
1 y＜ 3
2
(6)m与1的差是非负数
m-1≥0
(7)x不大于2 x≤2
想一想：观察下列不等式，有什么共同点，并试
着给它们起名？ （1）x-2≥ -1 （2）4x>7
（3）
1 2
y＜
3
一元一次不等式：
问题3结论:
由上表可见,当x=25,26,27,28,29时,不等式 5x >120才成立,也就是说,少于30人时,至少要 有25人进博物馆,买30张票反而合算.
与方程类似,我们把使不等式成立的未知数 的值叫做不等式的解。
这里的x=25、26、27、28、29 就是5x >120的解；
x= 21、22、23、24就不是5x >120的解。
（1）X > -3
-3
(2) X < -2
-2
(3) X ≥ -1
.
-1
(4) X ≤ 4
.
4
将以上数轴补充完整，并讨论：（1）中的负
整数解，（4）中的非负整数解各是哪些？
这节课你有哪些收获？
• 什么叫不等式？能判断是否不等式的解？ • 两个量之间的不等关系有哪些情况？ • 如何用数轴表示不等式的解集？ • 什么叫一元一次不等式？
不等式: (1) (2) (4) (5) (6) (8) (9) 一元一次不等式: (1) (6)
• 神农架博物馆的学 生票价是每人5元; 一次购票满30张时, 每张可少收1元.这 次游玩总共去了27 位同学,当领队准备 好了零钱去售票处 买27张票时，爱动 脑筋的李杰同学喊 住了领队，提议他 买30张票.
问题1 有的同学不明白,明明我们只有27人,买30张票 岂不浪费了?那么究竟李杰的提议对不对呢?
买27张票要用的钱数： ２７×５＝１３５（元）。
买３０张因为每张可少１元，那么每张 就是４元．用的钱数为：
３０×４＝１２０（元）
比较之下买３０张花的钱少，所以李杰 同学的提议是正确的．
• 神农架博物馆的学生票价是每人5元;一次购 票满30张,每张可少收1元,这次游玩总共去 了27位同学,当领队准备好了零钱去售票处 买27张票时，爱动脑筋的李杰同学喊住了领 队，提议他买30张票.
不等式:用不等号表示不等关系的式子
1、下面给出的几个式子，哪些属于不等式？
（1） -1 < 0
（2） 3x-2y✕
（3） 3x +4=0 ✕ （4） 5+3 x > 240
（5）x +3≠ 0
(6) 5-x≥1
不等式可含有未知数，也可以无未知数
2. 用不等式表示：
(1)a是非负数 a ≥ 0
(2)a与b的和小于5 a＋b＜5
含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式, 叫做一元一次不等式.
下列式子中，是不等式的有 ，是一元一次
不等式的有
（只填序号即可）。
（1）3x+2>x–1 ； (2) -5<0 ； (3) 2x=3 (4) a+b≠c ； (5) 1 /x +3<5x–1 ；(6) 5x+3<0 ；
(7) 3x+2； (8) x 2 +3<2x； (9) 4x-2y≤0。
问题2 当然如果去博物馆的人数较少(比如10个人),显然不 值得买30张票,还是按实际人数买票为好.现在问题 是: 小于30人时,至少要有多少人去博物馆,买
30张票反而合算呢?(设有x个人进来自参观)5x>120
问题3 x取哪些值时,5x>120才成立呢?
填写下表:
x 5x 比较5x与120的大小 5x>120成立吗？