偏导数应用交叉弹性
第八章-第2节 偏导数及其应用
一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。
浅谈导数在经济分析中的应用
浅谈导数在经济分析中的应用导数作为微积分的重要概念之一，在经济学领域中有着广泛的应用。
经济学研究的是人类社会中的资源配置和人们的行为选择，而导数的应用可以帮助我们深入理解经济现象背后的规律，进而进行更准确地预测和决策。
本文将从微观经济学和宏观经济学两个层面，浅谈导数在经济分析中的应用。
微观经济学研究的是个体经济主体的行为与决策，导数在这一领域中的应用主要涉及到函数的边际分析。
1.边际成本和边际收益分析在微观经济学中，企业的利润最大化是重要的决策目标。
对于企业来说，决定生产数量的最优化决策需要考虑边际成本和边际收益。
边际成本指的是增加一单位产量所需要的额外成本，而边际收益则是因增加一单位产量而所获得的额外收益。
利用导数，可以计算出收益曲线和成本曲线的斜率，进而确定最优产量。
2.需求弹性分析需求弹性是衡量商品需求相对于价格变化的敏感度，也是微观经济学中的重要概念之一。
通过导数，可以计算出需求弹性的具体数值，进而确定商品价格对需求的影响程度，为企业决策提供依据。
根据需求曲线的斜率和价格变化率，可以计算出价格弹性、收入弹性、交叉弹性等不同类型的需求弹性。
3.效用最大化分析效用最大化是微观经济学中的一个重要理论，用来解释个体如何进行消费选择。
个体通过比较不同商品的效用和价格来确定最优消费组合。
导数在效用函数中的应用可以帮助我们计算边际效用，即增加一单位商品所带来的额外效用，进而确定最优消费组合。
1.经济增长中的生产函数分析宏观经济学中的生产函数描述了产出与投入之间的关系，用来研究经济增长的驱动力和效率。
通过导数，可以计算出生产函数的边际产品，即增加一单位投入所能获得的额外产出。
边际产品的变化情况可以帮助我们确定资源配置的最优化方式，为实现经济增长提供理论支持。
2.稳定性分析中的边际倾向在宏观经济学中，稳定性分析是研究经济系统的动态变化和波动的重要方法。
通过计算变量的偏导数，可以得到该变量对其他变量变化的响应速度和方向，即边际倾向。
第二节偏导数及其在经济分析中的应用word精品文档7页
4、偏导数的计算法 (1)二元函数情况① 将),(y x f 中的y 看作常量而对x 求导可得x f ∂∂. ② 将),(y x f 中的x 看作常量而对y 求导可得yf∂∂.例1(1) 求 223y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数．解:y x xz32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂．∴8231221=⨯+⨯=∂∂==y x xz,7221321=⨯+⨯=∂∂==y x yz ．(2 )求 2sin z x y =在点(2,)6π的偏导数．解: (2,)62sin ,|2z zx y x x π∂∂==∂∂所以, 2(2,)6cos ,|23z z x y y y π∂∂==∂∂所以． 例2求下列函数的偏导数（注意理解复合函数求导数:层层求导，导数相乘的含义） (1)求 )2sin(2y x z =．解:)2sin(2y x xz=∂∂ , )2cos(22y x y z =∂∂． （2）322(,)2ln()f x y x y x x y =-++解：222(,)3ln()x x f x y x x y x y =++++22(,)4y xyf x y y x y=-++． （3）2(,)xy f x y e = 解：222(,),(,)2xy xy x y f x y y ef x y xye ==．（4）设2()2y z xy x φ=+，其中()u φ可微，求,x y z z 解：22(),()2x y y yz y xy z x xy x xφφ''=-+=+（5）222u x y z =++（考虑两层复合的函数）解：222222222,,x y z x y zu u u x y z x y z x y z===++++++ （6）ln tan y z x =（考虑三层复合的函数ln ,tan ,yz u u v v x===）解6、偏导数与连续的关系一元函数中在某点可导====>连续，但是多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续.例如:设⎩⎨⎧=≠=.0 ,1,0 ,0),(xy xy y x f由于=∂∂==00y x x f 011lim )0,0()0,0(lim 00=∆-=∆-∆+→∆→∆x x f x f x x , =∂∂==00y x yf011lim )0,0()0,0(lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆y yf y f y y . 即),(y x f 在)0,0(点两个偏导数都存在,但),(y x f 在)0,0(点显然间断． 因为(,)(0,0)lim (,)0(0,0)1x y f x y f →=≠=.又如，220, (,)(0,0)(,), (,)(0,0)x y f x y xy x y x y =⎧⎪=⎨≠⎪+⎩在点(0,0)处两个偏导数均存在且为0，但是),(y x f 在)0,0(点不连续，因为222222(,)(0,0)00lim(,)lim lim (1)1x y x x y kxxy kx kf x y x y x k k →→→====+++ 极限不存在.例 是否存在一个函数(,)f x y ，使得4x f x y =+，3y f x y =-？ （分析：21(,)4()2x f x y f dx x xy y φ==++⎰ 4()3y f x y x y φ'⇒=+≠-，所以这样的(,)f x y 不存在.）二、高阶偏导数1、高阶偏导数:设偏导函数),(y x f x 在区域D 内存在有偏导数,则称此偏导数为),(y x f z =的二阶偏导数,并记作⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆x z x y x f x z xx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆x z y y x f yx z xy),(2, 同理: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆y z y y x f y z yy ),(22，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆y z x y x f x y z yx ),(2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∆2232x z x x z ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂∆2222x z y y x z 等等. 例9求函数22sin()z x x y =⋅+的二阶偏导数.解：22222sin()2cos()x z x y x x y =++⋅+223226cos()4sin()xx z x x y x x y =⋅+-⋅+222cos()y z xy x y =⋅+，222222cos()4sin()yy z x x y xy x y =⋅+-⋅+； 222222cos()4sin()xy yx z z y x y x y x y ==⋅+-⋅+.2.【定理】:如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导),(y x f xy ，),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内必=),(y x f xy ),(y x f yx .二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.例13 设13323+--=xy xy y x z ,于是,6222xy x z =∂∂,6233y x z =∂∂,1223xy y x z =∂∂∂xy x y z 182322-=∂∂,y x x y z 186223-=∂∂∂, x y z 1833-=∂∂,196222--=∂∂∂y y x y x z ,xy x y x z 123=∂∂∂∂,y x y x z 186223-=∂∂∂, 196222--=∂∂∂y y x x y z .xy x y z 1223=∂∂∂,y x yx y z 18623-=∂∂∂∂. 例14设ru 1=222()()()r x a y b z c =-+-+-，证明：2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂.证明: 22311u du r r x a x a x dr x r x r r r ∂∂∂--==-=-=-∂∂∂,22234351313()u r x a x r r x r r ∂∂-=-+=-+∂∂； 同理 2223513()u y b y r r ∂-=-+∂, 2223513()u z c z r r ∂-=-+∂. 2222222223533[()()())u u u x a y b z c x y z r r ∂∂∂-+-+-++=-+∂∂∂ 33330r r=-+=.三、偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性在一元函数微积分中我们学习了边际与弹性概念，它们分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化率.将边际与弹性概念推广到多元函数微积分学中并被赋予经济含义,如某商品销售A Q是它的价格A P 及其它商品价格B P 的函数(,)A A B Q f P P =,称A BB AQ P P Q ∂⋅∂为A Q 对B P 的交叉弹性.交叉弹性反映了两种商品间的相关性．当交叉弹性大于零时,两商品为互为替代品； 当交叉弹性小于零时,两商品为为互补品；当交叉弹性等于零时,两商品为相互独立商品.交叉弹性定义：设函数(,)z f x y =在点(,)x y 处偏导数存在，函数对x 的相对改变量(,)(,)(,)x z f x x y f x y z f x y ∆+∆-=与自变量x 的相对改变量xx∆之比x zz x x ∆∆称为函数(,)f x y 对从x 到x x +∆两点间的弹性．当0x ∆→时，x zz x x∆∆的极限值称为函数(,)f x y 在点(,)x y 处对x 的弹性，记作x Ez Ex η或，即0lim x x x z Ezx z x Ex z x x zη∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.类似可以定义函数(,)f x y 在(,)x y 处对y 的弹性为0lim y y y z Ezy z y Ey z y y zη∆→∆∂==⋅=⋅∆∂.特别地，如果(,)z f x y =中z 表示需求量，x 表示价格，y 表示消费者收入，则x η表示需求对价格的弹性，y η表示需求对收入的弹性.例15 随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格（用B P 表示）会不断下降。
知识点五(多元函数微分学及其应用)
（3）连续、偏导数存在和可微之间的关系在点处连续、偏导数存在、可微、存在连续的偏导数之间的关系是：在点处存在连续的偏导数在点处可微在点处连续在点处偏导数存在.3、多元复合函数求导法（1）一元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有．（2）多元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点具有对及对的偏导数．函数在对应点具有连续的偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有，．这里有两个自变量和两个中间变量，随着自变量个数与中间变量个数的变化，链导法公式也因之而异，但如果能搞清楚复合函数结构中哪些是自变量，哪些是中间变量以及它们的个数，则就抓住了复合函数求导的关键.如果自变量只有一个，不论中间变量的个数是多少，所求得的导数就是全导数.值得注意的是，对自变量兼作中间变量的情形，求导时往往容易弄混.例如下面的情形：，则复合函数对，的偏导数为，．这里与是不同的，是将复合函数中的看成不变而对的偏导数，是把中的及都看成不变而对的偏导数．与也有类似的区别．读者如能领会此点，就不难正确理解公式中的偏导符号的意义了.4、隐函数的求导公式（1）若是由方程所确定的一元隐函数.则且．（2）若是由方程所确定的二元隐函数.则.求隐函数的一阶导数或偏导数时，首先要认清公式中或中哪个为自变量，哪个为因变量，然后套用公式，值得注意的是，求二阶偏导数不能用上面的公式.5、偏导数的应用（1）偏导数的几何应用①设空间曲线方程为 .则曲线上点处的切线方程为法平面方程为.②空间曲线的方程为.则曲线在点处的切线方程为，法平面方程为．③空间曲线为则曲线在点处切线方程为.法平面方程为．④若曲面方程为.则在点的切平面方程为法线方程为.⑤曲面方程为．则曲面在点处的切平面方程．在点处的的法线方程为．（2）偏导数在经济上的应用主要表现为求边际成本、边际利润和交叉弹性，读者应注意其内在的经济意义.6、方向导数与梯度一般地，方向导数是单侧的，偏导数是双侧的，如函数沿着方向的方向导数存在，但不存在.若在点可微，则在该点它沿任何方向的方向导数均存在，且=（其中，分别为与轴和轴正向的交角，为的方向余弦）且，.梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数变化最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值.7、多元函数的极值（1）多元函数极值的概念与一元函数完全一样，函数在一点取得极值的含义就是必须大于（或小于）它在的某个邻域上的所有值，只是一元函数中的邻域是一维的区间，而二元函数是二维平面区域.可导函数在取得极值的必要条件是，．由于它们仅仅是必要条件，所以满足，的点不一定是极值点，但是可以肯定，凡不满足这两个条件的点就一定不会是极值点.换句话说，即这两个条件虽然不能用来肯定极值点，但却可起到筛选极值点的作用.因此，我们又引出驻点概念，并给出判定极值点的充分条件.（2）多元函数最值与拉格朗日乘数法在实际问题中，需要我们解决的往往是求函数在特定的有界闭区域上的最大值与最小值.我们知道，在有界闭区域上连续函数必有最大值与最小值，它们既可以在闭域内部取得，也可在边界上取得.与一元函数一样，如果在闭域内取得，则它一定也是极大值或极小值.值得注意的是，函数的最大值或最小值也可在函数不可导的点处取得.例如函数在原点处不可导，但它在原点得最大值1. 因此，求连续函数在有界闭域上的最大值、最小值的方法是：①计算出函数在区域内所有驻点、不可导的点（即所有的临界点）处的值；②将①中的这些值与区域边界上函数的最值一起加以比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.③在求最大、最小值的实际问题中，目标函数的各自变量之间往往还有附加的约束条件，这就形成了条件极值的概念.一般说来，条件极值问题可以化为无条件极值问题来处理，方法是利用约束条件将目标函数中多余的自变量消去，使之成为求另一个新的目标函数的无条件极值问题.但这种转化往往有一定的困难，这时我们可引入所谓拉格朗日乘数，它与目标函数及约束条件中的函数构成拉格朗日函数，把其中的乘数也看成是一个变量，然后按无条件极值写出求极值的必要条件，由此即可得到一组求解驻点的联立方程组：拉格朗日乘数法的优点在于引进了拉格朗日乘数后，可以把中的变量都当作自变量，然后按无条件极值写出形式完全对称的必要条件.因此，这个方法还便于推广到有多个约束条件的情形.。
2-6偏导数在经济分析中的应用
w1 w 2
)
由问题的实际意义知，当两种投入要素分别为
x 1 6( w 2 w1 )
, x 2 6(
w1 w 2
)
时，生产12个单位产量的成本取得最小值．
1 1 3 2 L , 某商品的生产函数为 Q 6 K 其中Q 为产品产量, L为劳动投入,K为资本投入;又知资本投 入价格为4,劳动力投入价格为3,产品销售价格为p=2. 求: (1). 该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大 利润; (2).若投入总额限定在60个单位范围内,求此时取最 大利润时的投入及最大利润.
表示每增加一个单位商品qx 的消费所得到的总 效用的增加量. 表示每增加一个单位商品qy 的消费所得到的总 效用的增加量.
¶u ¶ qy
边际效用是递减的, 随着一个人所消费的某种商品 的数量增加, 其总效用虽然递增, 但该物品的标边 际效用却是递减的趋势.
2. 弹性
考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:
D xz z Dx x = D xz x Dx z
当D x
0 时,
D xz x lim ? Dx 0 D x z fx ( x, y )
'
x f ( x, y )
称为z = f ( x, y) 在点 ( x , y ) 处对 x 的弹性函数. 记为 e x .
即
ex = f x ( x, y )
'
解 利润函数为
pf ( L , K ) w L rK
1 1 2
1 2 L3 K
4L 3K
其定义域为开区域
D {( L , K ) L 0 , K 0 }
由利润最大化的一阶必要条件，有
经济数学微积分偏导数及其在经济分析中的应用
y 2 u 2(x2( x2 y 2)y 2y )2 2y(x x 2 2 y y 2 2 )2. x 2u 2 y 2u 2(x y 2 2 y x 2 2 )2(x x 2 2 y y 2 2 )20.
四、偏导数在经济分析中的应用 ——交叉弹性(cross elastic)
价格 PA 和其他品牌电视机价格 PB 的函数.
Q AfP A ,P B
P 通过分析其边际
Q A PA
及
着 PA 及 B 变化的规律.
Q P
B B
可知道,
QA 随
进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度.
QA
Q A
Q A
对
PA
及
PB
亦称为
PB
的
QA
QA
交
PA
PB
叉
弹
性
QA对PA的 弹 性QA对PB的 弹 性
解
z 2x3y; x
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z 7 .
例2 设 zxy(x0,x1)， 求 证xz 1 z2z. yx lnxy
证
z yxy1,
5. 设u ( x )z ,则 2u __________.
y
zy
二、
求下列函数的偏导数:
1. z (1 xy) y ；
2．u arctan(x y)z.
三、
x2 y2
曲线
z
4
在点(2,4,5)处的切线
y 4
与 x 轴正向所成的倾角是多少?
RT V2
导数在经济学中的应用
应用
在经济学中，约束最优化问题 可以用于求解各种实际问题， 例如在预算约束下求解效用最
大化问题。
06
经济中其他相关的导数概念及运 用
偏导数在经济中的应用
边际概念
偏导数可以用来描述一个变量对另一个变量的变化率，即边际概念。在经济学中，边际成本、边际收益和边际效用等概念是偏导数在经济学中的重要应用。
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导数的运算性质
导数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，即$(f+g)'=f'+g'$，$(f-g)'=f'-g'$，$(cf)'=cf'$，$(f/g)'=(f'gfg')/g^2$。
导数的计算方法
基本导数公式
常见的基本导数公式有$(x^n)'=nx^{n-1}$， $(ax^n)'=ax^{n-1}n$，$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=\sin x$等。
高阶导数在经济中的应用
稳定性分析
高阶导数可以用于分析经济模型的稳定 性。例如，在宏观经济模型中，如果一 个系统的特征根的实部小于零，那么该 系统就是稳定的；否则，该系统就是不 稳定的。
VS
政策效应分析
高阶导数可以用于政策效应的分析。例如 ，财政政策和货币政策的效应往往需要考 虑到高阶导数的影响。高阶导数可以反映 出一个变量对另一个变量的变化率的变化 情况。
求法
通过求偏导数判断函数的单调性，进而求得极值点。
应用
在经济学中，二元函数的极值可以用于求解最优化问 题，例如在生产函数中找到最大化产量点。
约束条件下的最优化问题
《偏导数的应用》课件
目录
• 偏导数的定义与性质 • 偏导数在几何中的应用 • 偏导数在优化问题中的应用 • 偏导数在经济学中的应用 • 偏导数在物理学中的应用 • 偏导数的实际应用案例分析
01
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
电场与磁场
总结词
在电磁学中，偏导数可以用于描述电场和磁场的变化。
详细描述
电场和磁场的变化可以用偏导数来描述，通过求解偏导数方程，可以深入理解电磁场的 特性和规律。这对于电磁波的传播、电磁力的计算以及电磁感应的研究等都具有重要意
义。
06
偏导数的实际应用案例分 析
最优价格策略案例
总结词
通过分析需求函数和成本函数，利用偏 导数确定最优价格策略。
在经济学中，边际分析使用偏导数来计算边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出最优决策。边际成本是生产 成本对产量变化的敏感度，边际收益是销售收入对销量变化 的敏感度，而边际利润则是两者之差。
弹性分析
总结词
弹性分析是偏导数的另一个重要应用，它通过计算因变量对自变量的反应程度，来描述函数在不同自变量值下的 变化规律。
偏导数的求法
通过求极限的方式计算偏导数，具体 方法包括求导法则、链式法则和隐函 数求导法则等。
偏导数的几何意义
01
切线斜率
对于二维平面上的曲线，偏导数 在几何上表示曲线在某点处切线 的斜率。
02
03
梯度
方向导数
对于向量场，偏导数可以组成梯 度，表示函数值增长最快的方向 。
对于高维空间中的曲面或超曲面 ，偏导数可以计算方向导数，表 示函数在给定方向上的变化率。
第二节 偏导数
第二节 偏导数一、偏导数1、偏增量：设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义.当x 从0x 取得改变量),0(≠∆∆x x 而0y y =保持不变时，函数z 得到一个改变量),(),(0000y x f y x x f z x -∆+=∆,称z x ∆为函数),(y x f 在点),(00y x 对x 的偏改变量或偏增量. 类似地，定义函数),(y x f 对于y 的偏改变量或偏增量)(),(0000y x f y y x f z y -∆+=∆.对于自变量x 、y 分别从0x 、0y 取得改变量y x ∆∆,，函数的相应的改变量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆称为函数),(y x f 的全改变量或全增量.2、偏导数的概念定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义.如果当0→∆x 时，极限xy x f y x x f x z x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(lim lim000000存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记作x y x f y x f x ∂∂'),(,),(0000 或 00y y x x xz==∂∂，0y y x x xz =='同样，如果极限 yy x f y y x f yz y y y ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(limlim00000存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记作y y x f y x f y ∂∂'),(,),(0000 或 0y y x x yz==∂∂，00y y x x yz =='如果函数),(y x f z =在平面区域D 内每一点),(y x 处对x （或y ）的偏导数都存在，则函数),(y x f z =在D 内有对x （或y ）的偏导函数，简称偏导数.记作),(y x f x '，x y x f ∂∂),(，xz∂∂，x z '， ),(y x f y '，y y x f ∂∂),(，yz∂∂，y z '. （3）偏导数的求法例1 求 )2sin(2y x z =的偏导数．解:)2sin(2y x x z =∂∂, )2cos(22y x yz=∂∂ 例2 求函数2236y xy x z ++=的偏导数),(y x f x '与),(y x f y '，并求)2,1(x f '，)2,1(y f '.解：把y 看常数，得),(y x f x '=y x 62+. 把x 看成常数，得),(y x f y '=y x 66+. 于是)2,1(x f '=2×1+6×2=14，)2,1(y f '=6×1+6×2=18.例3 设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂. 证明: 因1-=∂∂y yx x z , x x yz y ln =∂∂, 所以x x xyx y x y z x x z y x y y ln ln 1ln 11+=∂∂+∂∂- y y x x +=z 2= 二、二元函数偏导数的几何意义及与函数连续的关系1、偏导数的几何意义偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.2、偏导数与函数连续的关系一元函数中在某点可导 ====>连续，但是, 多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续. 见教材例4三、高阶偏导数一般地，函数),(y x f z =的偏导数 ),(y x f x ', ),(y x f y ', 还是y x ,的二元函数.如果这两个函数对自变量x 和y 的偏导数也存在，则称这些偏导数为函数),(y x f 的二阶偏导数.记作:⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆x z x y x f x z xx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆x z y y x f y x z xy ),(2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆y z y y x f y zyy ),(22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆y z x y x f x y zyx ),(2或分别简写为 xx z ''， xy z ''， yy z ''， yx z ''. 仿此可以定义二元函数更高阶的偏导数.例如：x y x zy x z x y x zx z y x zx z x ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂3223223322,, 等. 例4求3233y x y x z -=的二阶偏导数.解： 22232232183,66,63xy x yx zy xy x z xy y x xz-=∂∂∂-=∂∂-=∂∂ 222222223183,18,9xy x xy zy x y z y x x yz-=∂∂∂-=∂∂-=∂∂ 例5 设by e u ax cos =，于是,cos by ae x u ax =∂∂ ;sin by be yu ax -=∂∂ ,cos 222by e a x u ax =∂∂ ,cos 222by e b yu ax-=∂∂,sin 2by abe y x u ax-=∂∂∂ .sin 2by abe xy u ax -=∂∂∂ 定理:如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数),(y x f xy ，),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内必有=),(y x f xy ),(y x f yx .例9 证明函数r u 1=,222z y x r ++=,满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂证明: 32211r x r x r x r r x u -=-=∂∂-=∂∂, 52343223131rx r x r r r x u +-=∂∂+-=∂∂； 同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂.∴ 033)(333352223222222=+-=+++-=∂∂+∂∂+∂∂r r r z y x r z u y u x u 四、偏导数在经济分析中的应用-交叉弹性。
偏导数在经济分析中的应用
通 过偏 导数 的定 义可 以得 出 ， 在求多元函数对某个 自变 的偏 导数 时 ， 只需把 其余 自变量 看作常数 ， 然后直 接利用 函数的求导公式及复合函数求导法则来计算。
二、 偏 导数在 经 济分析 中的应用
己 营销 策 略 。即 该 品 牌 电视 机 的销 售 量 Ｑ 是 它 的价 格 Ｐ Ａ 及 其 他 品牌 电视 机 价 格 Ｐ Ｉ ｊ 的 函数 ， 即 Ｑ Ａ ＝ ｆ （ Ｐ Ａ ， Ｐ ｎ ）
—
在 经济 学 中应 用 极 广 。
实例 １ ， 某体育用品公 司的某种产品有下列的生产 函数 ｐ （ ｘ ， Ｙ ） ＝ ２ ４ ０ ｘ ” ４ ｙ 。 ， 其中 Ｐ是 南 ｘ个人力单位和 ｙ 个 资本
） ＝１ ４４・ ３ ２ ・ｌ ０２ ４ ４ ＝３ ６
类似地， 函数 ｚ ＝ ｆ （ ｘ ， Ｙ ） 在点 （ ｙ ｏ ） 处 对 Ｙ的偏 导数 为 ｌ ｉ ｆ （ ｌ ’ ｙ Ｉ 】 ± 垒 ． ｒ （ ， ｙ ｔ 记为：
，
＝
ｄ ｙ
、ｍ
￡ Ｖ
上面的例子的经济意义是 ， 假设所花 费的资本 总数 固定
ｆ （ ｘ ｏ ＋ Ａ ， ｙ 。 ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ， 如果！ ｉ
１ ） ＿ 盟 №上 存在 ， 则
（ ２ ） ＝ ２ ４ ０・ ０ ． ４ ｘ ６ ｙ “ ９ ６ ｘ
Ｏ ｐ ＝２ 函数 ｚ ＝ ｆ （ ｘ ， ｙ ） 在点（ ｘ ｎ ， Ｙ 。 ） 处对 ｘ的偏导数 ， 记为 ：
摘
要： 在经济分析 中， 许 多问题 需要利用 高等数学的知识去研 究、 解决。因此 ， 高等数 学作为一种工具在经济学
弹性和偏导数在经济数学中应用初探
定 义
＝
・ ｑ利 Ｅ ２ ｌ ｑ Ｏ ￣
Ｏ ２ ｑ
。 。
＝
称 为品的求 器 商Ａ需
对 自身 的 价 格 弹 性 ， 表 示 商 品 Ａ 和 的 价 格 在 某 种 水 平 它
量 对 价 格 的 相 对 变 化 率 ， 为 价 格 ｐ为 时 需 求 量 对 价 格 的 弹 称
售 量 Ｑ ＝１ ０件 ， 时 总 收 入 Ｒ ＝Ｐ ， ０ 此 ×Ｑ ＝５ ０ ０元 。现 假 ００ 定 价 格 下 跌 ｒ ｌ ％ ， 果 该 商 品 是 富 有 弹 性 的Ｅ ： Ｏ 如 Ｑ
一
ｌ 时 ， 求 量 ｇ 变 化 的百 分 比 。Ｅ ２ 类 似 的 意 义 ％ 需 。 ｑ有
求 对 商 品 Ｂ 的交 叉 价 格 弹 性 ， 表 示 商 品 Ａ和 Ｂ的 价 格 在某 它
种 水 平 上 ， Ａ的价 格 Ｐ 当 保 持 不 变 ， 品 Ｂ 的 价 格 Ｐ 商 增 加
现 实 中极 为 罕 见 。 当 一１ ＜
＜０ 称 需 求 缺 乏 弹 性 ， 时 价 ， 此
ｐ
性 。记 为 ＝ ｐ 。在 经 济 学 中 ， 当 ＜ ＿１日 ’ 寸 称
上 ， Ｂ 的价 格 Ｐ 持 不 变 ， 品 Ａ 的 价 格 Ｐ 增 加 １ 时 ， 当 保 商 。 ％
需 求 量 ｑ 变 化 的 百 分 比 。Ｅ 有 类 似 的 意 义 。 量 ｌ
，
ｐ，
需 求 是 富 有 弹 性 的 ， 时 若 采 取 适 当降 价 会 使 需 求 量 有 较 大 此
向变 动 的 ， 总 收 入 随 价 格 的提 高 而 增 加 ， 价 格 的 降 低 而 即 随
若数＝ ） ， 限 ＝ 为数 １． 偏 弹 性 （局 部 弹 性 ） 函 ，（ 导 极 丧称 函 ／ ２ ， 则 ，可
偏导数及其应用
经济学以及规划方面起举足轻重的作用。本文先对偏导数的概念以及基本性质进行阐述 ，然后具体阐述偏导数在求
最值问题上的应用。同时介绍拉格朗日乘数法 ，阐述偏导数在求条件最值方面的用法。对于偏导数求最值的用法 ,
本文在每一种最值上都举了例子从而表明求最值的方法。最后介绍偏导数在不等式求解和经济学方面的一些简单应
量固定 ，即可求出对于各个自变量的偏导。
其中值得一提的是 ，对于一元函数而言 ，不连续
的函数的导数时没有意义的。例如 ，对于 y=|x| 这个函
数 ，在 x=0 处不连续 ，于是这个函数在 x=0 处没有导数。
而对于多元函数的偏导 ，不连续未必说明不可导 ，而可
导也未必说明连续。下面举个例子来说明 ：
用 ，从而对偏导数的实际生活应用层面进行探讨。
关键词 偏导数 ；极值 ；最值 ；拉格朗日乘数法 ；交叉弹性
中图分类号 O1
文献标识码 A
文章编号 2095-6363（2016）15-0036-02
1 偏导数的概念及其基本性质
偏导数的定义 ：假设二元函数 z=f(x,y), 点 (x0， y0) 是在函数定义域内的某一点 ，把 y0 固定而使得 x0 处
4 含有约束条件的偏导数问题求法 在实际情况中 ，问题往往不能简单的抽象为一个
函数本身的最值问题 ，往往还存在约束条件。有些情况 下的约束条件很好处理。例如求 z=x2+y2 在约束条件下 y=x+1 的最小值 ，我们只需将函数中的 y 换成 x 就可以 很轻松的求出最小值。但是对于某些约束条件却不是那
科学前沿论坛
偏导数及其应用
丁志诚 南京师范大学附属中学江宁分校 ，江苏南京 211102
摘 要 当今社会 ，随着实际工作中最优化问题的出现 ，函数问题变得越来越重要。很多问题 ，需要考虑的因素
《函数偏导数的应用》课件
经济增长模型通常采用偏导数来分析各种经济变量对经济增 长的影响。例如，政府可以通过调整投资、消费、技术进步 等变量的偏导数大小，来预测经济增长的变化，从而制定相 应的经济政策。
牛顿冷却定律
总结词
牛顿冷却定律是描述物体温度随时间变 化的规律，通过偏导数可以分析温度变 化的速率。
VS
详细描述
根据牛顿冷却定律，物体的温度随时间的 变化率与物体和周围环境的温差成正比。 通过引入偏导数，可以进一步分析温度变 化的速度和方向，从而更好地理解物体冷 却或加热的过程。
偏导数的几何意义
在二维平面上，偏导数表示函数图像 在某一点的切线的斜率。在三维空间 中，偏导数表示函数图像在某一点的 切平面与坐标轴的交点。
偏导数的性质
线性性质
对于两个函数的和或差，其偏导数等于各自 偏导数的和或差。
常数倍性质
对于常数倍的函数，其偏导数等于该常数乘以函数 的偏导数。
高阶偏导数
对于一个多变量的函数，其偏导数可以多次 求导，得到高阶偏导数。高阶偏导数的计算 方法与一阶偏导数类似。
信号特征提取
利用偏导数可以提取信号的特征，通过求导数找到信号的突变点 或峰值点，从而提取出信号的特征。
信号分类
利用偏导数可以对信号进行分类，通过求导数找到不同类信号的 特征，从而实现信号的分类。
06
偏导数的实际案例分析
经济增长模型
总结词
经济增长模型是偏导数在实际中应用的经典案例，通过偏导 数分析自变量对因变量的影响程度，为政策制定提供依据。
系统稳定性分析
利用偏导数可以分析控制系统的 稳定性，通过求导数找到系统失 稳的临界点，从而采取相应的措 施提高系统的稳定性。
控制系统优化
导数在经济学中的应用
编号2010212044学年论文（2010 级本科）题目：导数在经济学中的应用二级学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学作者姓名：石学存指导教师：朱福国职称：副教授完成日期：2012 年11 月18 日二○一二年十二月导数在经济学中的应用石学存 指导老师：朱福国（河西学院数学与应用数学专业2010级103班2010212044号, 甘肃张掖 734000）摘 要 导数在经济领域中的应用非常广泛,运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、弹性分析、优化分析,对企业定价策略有着非常重要的作用.关键词 导数;边际;弹性;交叉弹性中图分类号 O172.11 引言随着市场经济的发展,应用导数定量分析经济领域中的问题,已成为经济学中的一个重要组成部分.导数是微积分中一个重要概念,它是函数关于自变量的变化率.在经济学中也存在变化率问题；如价格的变化必然会带动需求量的变化,为了实现利润最大化,我们需要考虑,企业产品的需求价格边际问题、弹性、交叉弹性问题,从微观和宏观把握经济的变化.2 导数的经济学解释)('x f 刻画了函数)(x f y =在0x 的变化率,当自变量0x 处有一个单位的变化,则函数)(x f y =在)(0x f 处有)('0x f 个单位的变化.假设市场上某种商品的需求函数)(x f f =其中x 为商品的价格,f 为市场上该商品的需求量.)('0x f 表示当价格在0x 处有一个单位的变化,则该商品的需求量将会有)('0x f 个单位的变化.同样对于供给函数、总成本函数、总收入函数、总利润函数都可以对导数意义理解.3 边际分析在经济学中,所谓“边际”指当x 的改变量0→∆x 时,y 的相应改变量y ∆与x ∆比值xy ∆∆的变化.即当x 在某一给定值附近有微小的变化时y 的瞬时变化. 3.1边际成本]1[边际成本在经济学中被定义为产量增加一个单位时所增加的成本.设某产品的成本函数为)(q C C =,q 为产量.即边际成本为)()()1(q C q C q C ∆=-+,当q∆变化很小时,dq q =∆,)(')()()(q C q d q dC q C ==(微积分定义).)('q C 为边际成本函数. 可见,边际成本约等于成本函数的变化率,在实际生产中：在每一产量水平上的边际成本就是相应的总成本曲线在该点处切线的斜率,即总成本函数在该产量处的导数值.因此,在经济决策分析中边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算.例1某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式为3201.02.04100)(q q q q C C +-+==.求当生产水平q=10(万件)时的边际成本,并从降低成本角度看,继续提高产量是否合适？解 10=q 时的总成本为130)10(01.0)10(2.0104100)10(32=+-⨯+==C C ,边际成本 203.04.04)('q q q C +-=即)/(31003.0104.04)10('2件元=⨯+⨯-=C .因此在生产水品为10万件时,每增加一个产品总成本增加3元.这远低于当前的单位成本,从降低成本的角度看,应该继续提高产量.3.2 边际收入边际收入指稍微增加一个单位的销量时所增加的销售收入.即假设某产品的收入函数为)(q R R =,q 为产品的销售量,有边际收入)(')()()1(q R q dR q R q R R =≈-+=∆因此,边际收入约等于收入函数的变化率.在实际中：每一销售水平上的边际收入值就是相应的总收入曲线在该点处切线的斜率,即总收入曲线关于该销售量的导数值.3.3 边际利润边际利润即边际收入与边际成本的差设某产品德销售量为q 时的利润函数为)(q L L =,当)(q L 可导时,称)('q L 销售量为q 时的边际利润,它近似等于销售量为q 时再多销售一个产品所增加的利润.由于利润为收入与成本的差,即利润函数为收入函数与成本函数之差,即)()()(q C q R q L -=由导数的运算法知)(')(')('q C q R q L -=,即边际利润为边际收入与边际成本之差.例2 某餐店每月对某种菜的需求是由20006000)(q q P -=确定的,其中q 是需求量(盘),p 是价格(元),生产q 盘菜的成本为)5000(,56.0500)(≤≤+=q q q C ,试问当产量是多少时,餐店才获得的利润最大？最大利润是多少？解 总收入 2000600020006000)()(2q q q q q qP x R -=-⨯== 因 q q C 56.0500)(+ 56.0)('=q C200026000)('q q R -=, 根据利润最大原则 )(')('q R q C =即244056.0200026000=⇒=-q q , 所以q=2440(盘).由于q=2440是函数)(q L 唯一的极值点,所以是函数的最大点,即当产量为2440时有最大利润. 由利润)56.0500(20006000)()()(2q q q q C q R q L +--=-=, 最大利润8.2476)244056.0500(2000244024406000)2440()(2max =⨯---⨯=q L , 所以当产量为2440时,餐店获得最大利润,最大利润为2476.8.例3 某公司总利润)(万元L 与日产量)(吨q 之间的函数关系式即利润函数为150005.02)(2--==q q q L L （元/件）,试求每天生产150吨、200吨、350吨时的边际利润,并说明其经济意义.解 有利润函数 150005.02)(2--==q q q L L 得边际利润q q L 01.02)('-=;5.015001.02)150('=⨯-=L ;020001.02)200('=⨯-=L ;5.135001.02)350('-=⨯-=L .从上面可以看出,当日产量在150吨时,每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元;当日产量在200吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在350时,每天产量再增加反而使总利润减少1.5万元,由此可见,该公司应该把日产量定在200吨,此时总利润最大：)(50150200005.02002)200(2万元=-⨯-⨯=L .4 弹性问题弹性概念是经济学中的一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的敏感程度,其定义为:00/lim lim '/x x y y x y x y x x y x y∆→∆→∆∆==∆∆为)(x f 在点x 处的点弹性,也是弹性系数.设函数)(x f y =在点x 处可导,函数的相对改变量y y ∆与xx ∆自变量的相对改变量之比,当0→∆x 时的极限称为函数)(x f y =在点x 处的相对变化率,称弹性函数,记为)(')(x f fxx x E =. 4.1需求价格弹性[2]经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性,记为)(')(p Q p Q p E d = 由于需求函数是价格的递减函数,所以需求函数d E 一般为负值.故当1-=d E 时,称为单位弹性,即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等. 当1>d E 时,称为富有弹性.即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化,此时价格的变化对需求量的影响较大.换句话说,适当降价会使需求量大幅度上升,从而能够增加收入.相反,商品价格上升会导致需求量大大减少,从而导致总收入减少. 当1<d E 时,称为缺乏弹性,即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化,此时价格的相对变化对需求量的影响较小,在适当涨价（降价）不会使需求量有太大的变化.例4 某商品的需求函数为210p Q -=,Q 为需求量,p 为售价. (1)求)(p E d ;(2)计算)3(d E 并经济角度解释所得结果.解 (1) 由 210p Q -= 得 21)('-=p Q , 因为)(')()(p Q p Q p p E d =,所以需求价格弹性为 20)21(210)(-=-⨯-=p p p p p E d . (2) 1732033)3(-=-=d E . 其含义为当商品的售价为3元时,若单价每增加1元,则需求量将减少约18%,反之,若单价每降低1元,则销售量将提高18%.4.2 收入价格弹性把收入价格相对价格的相对变化率成为收入价格弹性.设收入函数为)()(p pf xp p r ==,因此收入函数关于价格的变化 ))(1)(())(')(1)(()(')()('p E p f p f p f p p f p pf p f p r d +=+=+=, 收入价格的弹性为)(1)())(1)(()(')()(p E p pf p E p pf p r p r p p E d d r +=+==. 此时可发现,0)('>p r ,则价格的变动与收入的变化是同方向的;反之0)('<p r ,则价格的变动与收入的变化是反方向的.例5 某生产公司经营某种电器的需求弹性在5.25.1-之间,如果公司决定将价格下降10%,问此种电器的销售量将会怎样变化？总收入怎样变化？解 由于需求弹性)(')(p Q p Q p E d =,Q 为商品需求量,p 为价格 p p p E Q Q d ∆⋅=∆)(, )(1)(p E pp p E r r d r +=∆⋅=∆, 当5.1-=d E 时,15.0)1.0()5.1(=-⨯-=∆QQ 05.0)1.0()5.01(=-⨯-=∆rr 当5.2-=d E 时,25.0)1.0()5.2(=-⨯-=∆QQ 15.0)1.0()5.21(=-⨯-=∆rr 由此可见,当价格下降10%时,该电器的销售量将会增加15%-25%,总收入将会增加5%-15%.例6 已知某生产商生产某种家电的总成本函数为73108102.2)(+=q p C ,通过市场调查,可以预计这种家电的年需求量为p q 50101.35-=.其中p 价格(单位/元),q 是需求量,试求使利润最大的销量和销售价格.解 有需求量 q p p q 02.0102.650101.335-=⇒-=, 因此,当销售量为q 时总收入函数为 2302.0102.6)(q q pq q R -== 利润函数为)108102.2(02.0102.6)()()(7323+--=-=q q q q C q R q L =72310802.0104--q q q q L 04.0104)('3-= 令0)('=p L 得唯一驻点510=q由实际问题可知510=q 是利润函数为)(q L 的极大值点,也是最大值点,最大利润为8725535102.1108)10(02.010104)10(=-⨯-=L , 当510=q 时,销量为 )(42001002.0102.653元=⨯-=p . 家电的年需求量为p q 50101.35-=,那么其边际需求为50'-=q ,需求弹性为p p q p q p p E d 50101.350)(')()(5--==, 使利润最大的家电售价为4200元,需求弹性1.2420050101.350)4200(5-=⨯--=d E . 即当家电售价为4200时,其需求弹性为富有弹性,此时,适当降价不仅能增加销售量、扩大企业的家电市场上的占有成本,增加销售总收入,给企业带来经济效益.5 偏导数在需求交叉弹性中的问题[3]经济学中的一个重要概念是偏弹性,在经济活动中商品的需求量Q 受商品的价格1P ,消费者的收入M 以及相关商品的价格2P 等因素的影响.)2,,1(P M P f Q =则(1)需求的直接价格偏弹性为11110121/lim /Qp P p Q Q p Q E p p Q p ∆→∆∂==⋅∆∂. (2)需求的交叉价格偏弹性为22220222/lim /Qp P p Q Q p Q E p p Q p ∆→∆∂==⋅∆∂, (3)需求收入价格偏弹性为0/lim /QM M MQ Q M Q E M M Q M∆→∆∂==⋅∆∂. 例7 已知某市场牛肉的需求函数为215.11.054850p M p Q ++-=,其中Q 为牛肉的需求量,1p 为牛肉价格2p 为相关商品猪肉的价格.市场调查知消费者年收入平均10000,牛肉价格为10元,猪肉价格为8元,求当猪肉价格增加%10,牛肉价格不变的情况下,牛肉的市场需求量将如何变化？解 由已知条件 215.11.054850p M p Q ++-= 得到25.1100001.01054850p Q +⨯+⨯-=002.022=∂∂⋅=pQ Q p E Qp . 所以当相关商品猪肉的价格增加%10,而牛肉价格不变时,牛肉的市场需求量将增加%02.0.6结语对于企业来说,进行边际分析和弹性分析是非常重要的,企业如果离开边际分析盲目生产就会造成资源的巨大浪费.企业如果离开弹性分析就不可能达到利润的最大化的目标,导数作为边际分析和弹性分析的工具可以给决策者提供客观的数据,从而做出合理的决策,有了科学的经营决策依据.导数在经济中的应用,只是数学在经济中一小部分,其应用颇为广泛.致谢 感谢本文在朱福国老师的精心指导下完成.参 考 文 献[1] 田婷.导数在经济学中的简单应用[J].林区教学,2009(4):98-99.[2] 李兰平.导数在企业定价策略方面的应用[J].企业管理,2010(11):72-73.[3] 吴素琴.谈导数及其经济分析中的若干应用[J].科学教育,2011(3):4-6.[4] 王青青.浅谈导数在经济中的应用[J].高校讲坛,2011(9):8.[5] 陈昆.导数在经济中“边际”和“弹性”方面的应用[J].考试周刊,2009(18):38-39.[6] 晋晓飞.导数在经济领域的简单应用[J].时代经贸,2009(5):25-28.[7] 顾静相.经济数学基础[M].北京:北京高等教育出版社,2009.[8] 李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角,2010(2)：17-19.。
8.2偏导数的概念
二、偏导数几何意义及与函数连续的关系 z 1、二元函数偏导数的几何意义:
第八章 多元函数
M0
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
Tx
y0
Ty
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 x0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
四、偏导数在经济分析中的应用
第八章 多元函数
需求弹性（Elasticity of demand） 需求弹性说明需求量对某种影响因素变化的 反应程度。用公式表示为：
Q变动% E X变动％
E：需求弹性 的某因素 Q：需求量 X：影响需求量
注意：每一种弹性都是百分比变化的比值， 而不是变动量的绝对值之比。这个新形式是个无 名数，它彻底摆脱了商品和货币计量单位的困扰。
三、高阶偏导数
函数 z f ( x , y )的二阶偏导数为
z 2 z 2 f xx ( x , y ), x x x
2
第八章 多元函数
z 2 z 2 f yy ( x , y ) y y y
纯偏导
f z ( x, y , z ) ?
(请自己写出)
第八章 多元函数
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。
f 求 ， 只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量， x
对 x 求导数即可。
f 求 ， 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量， y
对 y 求导数即可。 其它情况类似。
( y
z ) n 1 x y
逐次求导法
n
• 求高阶偏导数的方法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
8-2 偏导数及其应用
表示Q2对自身价格p2的边际需求,称为偏边际
微积分八③
17/31
Q1 p2 Q2 p1
表示Q1对相关价格p2的边际需求,
称为交叉边际
表示Q2对相关价格p1的边际需求,
称为交叉边际
Q1 Q2
p1
p2
2.偏弹性与交叉弹性
微积分八③
18/31
需求量Q1对自身价格p1 的直接价格偏弹性（或 称为自价格弹性）为：
微积分八③
20/31
例9.某城市大气污染指数P取决于两个因素:空气中固体废 物含量x;有害气体含量y,且在某种情况下有 P x 2 xy 4 xy P P EP EP , (1)计算 并解释其含义. (2)计算 ,
2 2
x
(10,5)
y
(10,5)
Ex
(1 0 ,5 )
Ey
(1 0 ,5 )
一、全微分的定义 二、可微的条件 三、全微分在近似计算中的应用
分
电 子 教 案
23/31
一、全微分的定义
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量
z f ( x x , y y ) f ( x , y ) 可以表示为 z Ax By o( ) ，其中 A, B 不依赖于
一阶偏导（2个）
二阶偏导（4个）
微积分八③
11/31
二阶偏导数的符号与名称 2 2 z f [ f x ( x , y )]x : ; ; f xx ( x , y ); z 对x的二阶偏导 xx 2 2 x x 2 2 z f [ f y ( x , y )]y : 2 ; ; f yy ( x , y ); z 对y的二阶偏导 yy 2 y y
偏导数应用交叉弹性
五班第一小组委员会监制
称为函数 z = f ( x , y ) 对 x 从 x 到 x + x 两点间的弹性 . 当 x 0 时， xz x z x 的极限称为 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处对 x 的弹性，记作 x或 Ez 即 Ex Ez x z x z x x lim ; Ex x 0 z x x z 类似可定义 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 对 y 的弹性 y z y z y Ez lim ; y y y z Ey y0 z 特别地，如果 z = f ( x , y )中 z 表示需求量， x 表示价
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格，y 表示消费者收入，则 x 表示需求对价格的弹 性， y 表示需求对收入的弹性 .
PPT制作：李易颖 徐浩天
当 PA 50 , PB 5 时，
EQA 5 20 2 ; EPB 120 5 50 25
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由以上两例可知，不同交叉弹性的值，能反映两种 商品间的相关性，具体就是： 当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品； 当交叉弹性小于零时，两商品为互补品； 当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。 一般地，我们对函数 z = f ( x , y ) 给出如下定义： 定义 设函数 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处偏导数存在，函 数对 x 的相对改变量 x z f ( x x , y) f ( x , y) z f ( x , y) x 与自变量 x 的相对改变量 之比 x xz x z x
求 PA 50 , PB 5 时 , (1) Q A 对 PA 的弹性 ; (2) Q A对 PB 的交叉弹性。
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称为函数 z = f ( x , y ) 对 x 从 x 到 x + x 两点间的弹性 . 当 x 0 时， xz x z x 的极限称为 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处对 x 的弹性，记作 x或 Ez 即 Ex Ez x z x z x x lim ; Ex x 0 z x x z 类似可定义 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 对 y 的弹性 y z y z y Ez lim ; y y y z Ey y0 z 特别地，如果 z = f ( x , y )中 z 表示需求量， x 表示价
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格，y 表示消费者收入，则 x 表示需求对价格的弹 性， y 表示需求对收入的弹性 .源自PPT制作：李易颖 徐浩天
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PB 变化而变化的规律。进一步分析其弹性
QA PA QA PB 及 QA PA QA PB
可知这种变化的灵敏度。 前者称为 Q A对 PA 的弹性 ; 后者称为 Q A对 PB 的弹性,
亦称为 Q A对 PB 的交叉弹性。这里, 我们将主要研究交 QA PB 叉弹性 及其经济意义。 PB QA
PB 0.85 ,
而肉鸡价格将下降
PB 5% , PB 于是猪肉的需求量将下降
Q A PB PB 4.25% . QA PB
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例2 某种数码相机的销售量 Q A , 除与它自身的价格
PA 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格 PB 有关，具 体为 250 2 QA 120 10 PB PB , PA
先看如下两个例子： 例1 随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格 (用 PB 表示) 会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降 5% ,
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且猪肉需求量 (用 Q A 表示) 对肉鸡价格的交叉弹性为 0.85，问明年猪肉的需求量将如何变化? 解 由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格的下降 将导致猪肉需求量的下降。 依题意，猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为
求 PA 50 , PB 5 时 , (1) Q A 对 PA 的弹性 ; (2) Q A对 PB 的交叉弹性。
解 (1) Q A 对PA 的弹性为
250 PA EQA QA PA 2 2 PA 120 250 PA 10 PB PB EPA PA QA 250 2 , 120PA 250 PA (10 PB PB )
偏导数在经济分析中的应用
交叉弹性举例
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偏导数在经济分析中的应用—交叉弹性 在一元函数微分学中，我们引出了边际和弹性的概 念，来分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化 率。这些概念也可以推广到多元函数微分学中去，并 被赋予了更丰富的经济含义。 例如, 某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时, 除 了关心本品牌电视机的价格取向外 , 更关心其他品牌 同类型电视机的价格情况 , 以决定自己的营销策略。 即该品牌电视机的销售量 Q A 是它的价格 PA 及其他 品牌电视机价格 PB 的函数 QA f ( PA , PB ) Q A Q A 通过分析其边际 及 可知道，Q A 随着 PA 及 PA PB
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当 PA 50 , PB 5 时， EQA 250 1 ; 2 EPA 10 120 50 250 50(10 5 5 )
(2) Q A对 PB的弹性为
EQA QA PB EPB PB QA
PB (10 2 PB ) 2 , 120 250 PA 10 PB PB
当 PA 50 , PB 5 时，
EQA 5 20 2 ; EPB 120 5 50 25
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由以上两例可知，不同交叉弹性的值，能反映两种 商品间的相关性，具体就是： 当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品； 当交叉弹性小于零时，两商品为互补品； 当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。 一般地，我们对函数 z = f ( x , y ) 给出如下定义： 定义 设函数 z = f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处偏导数存在，函 数对 x 的相对改变量 x z f ( x x , y) f ( x , y) z f ( x , y) x 与自变量 x 的相对改变量 之比 x xz x z x