用定积分求面积的技巧
定积分求球体表面积
定积分求球体表面积定积分是高中数学的一个重要内容，其运用领域非常广泛。
其中，求解球体表面积就是定积分的一个经典应用，本文将围绕此话题，详细介绍其求解方法。
步骤一：分析题目，列出公式求球体表面积，需要首先掌握球体表面积公式，即：S=4πr²其中，S为球体表面积，r为球半径。
由于球体表面积不可能直接计算出来，需要通过一定的数学方法来求解，这就需要运用到定积分了。
具体来讲，将球体表面划分为无限个小面元，每个面元的面积可以看做是圆锥的底面积，通过积分求和即可得到球体表面积。
步骤二：确定积分区间一般情况下，求解球体表面积的积分区间为[-r,r]，因为球体表面的上下半球体积相等，只需要计算一个半球体的表面积，随后再将其乘以2即可得到最终答案。
步骤三：确定被积函数在求解球体表面积的过程中，被积函数通常为圆锥底面积S0，即：S0=πx²其中，x表示球体表面到球心的距离。
步骤四：求解积分通过以上三个步骤，我们已经准备好了求解球体表面积的定积分，具体求解过程如下：S=2∫0^rπx²d对该积分式进行求解，不难得到球体表面积的解析式：S=4πr²因此，我们可以得出结论：球体表面积的计算可以通过求解定积分来实现。
总结在本文中，我们围绕“定积分求球体表面积”这一话题进行了详细讲解，从分析题目，列出公式，确定积分区间及被积函数，到最后的具体求解过程，一步步地讲解了如何通过定积分来计算球体表面积。
通过这个例子，我们不仅加深了对定积分的理解，还学习了一种实用的解决问题的方法。
希望本文对读者有所启发，有助于大家更好地掌握数学知识。
例谈活用定积分速求面积值的策略
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例谈活用定积分速求面积值的策略
作者：司绪荣
来源：《考试周刊》2013年第23期
利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一.如何灵活地运
用定积分的定义及有关公式，巧妙地将求不规则平面图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题，从而体现数形结合的数学思想方法.本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解
策略.
1.巧选积分变量求面积
求不规则平面图形的面积时，若能灵活选择积分变量，则可以使计算过程简洁.
2.巧用函数的对称性求面积
求不规则平面图形的面积时，巧妙地利用函数图像的对称性解题，是简化计算过程的常用手段.
点评：函数图像的对称性和积分变量的选取，都直接影响着计算过程的繁简；本题还可以运用整体减去局部的思想，那样更为简洁.
点评：利用偶函数图像的对称性，使求定积分的过程与计算简化.
3.适当分割求面积。
定积分求面积
找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度，然后描述无穷小单元的面积。
其实，不管是什么样的坐标，思路都是一样的。
事实上，最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。
用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。
Mbth是一种积分，它是函数f(X)在区间[a，b]上的积分和的极限。
这里要注意定积分和不定积分的关系：如果有定积分，就是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。
定积分定义：设函数f(X)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…。
，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。
可以知道，每个区间的长度依次为x1=x1-x0，并且每个子区间(xi-1，xi]中的任意点ξi(1，2，…，n)被用作求和公式。
这个求和公式称为积分和。
设λ=max{x1，x2，…，xn}(即，λ是最大间隔长度)。
如果当λ→为0时存在积分和极限，则这个极限称为函数f(X)在区间[a，b]上的定积分，记为，函数f(X)在区间[1]内，其中：a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a，b]称为积分区间，函数f(X)称为被积函数，x称为积分变量，f(X)dx称为被积函数表达式，∫称为整数。
之所以叫定积分，是因为积分后得到的值是定的，是常数，不是函数。
根据上述定义，如果函数f(X)可以在区间[a，b]内积分，则存在n等分的特殊除法：特别地，根据上述表达式，当区间[a，b]恰好是区间[0，1]时，区间[0，1]的积分表达式如下：1.当a=b时，2.当a>b时，3.在整数前可以提到常量。
4.代数和的积分等于积分的代数和。
5.定积分的可加性：如果将积分区间[a，b]分成两个子区间[a，c]和[c，b]，则有由于性质2，如果f(X)在区间d上可积，则区间d(可能不在区间[a，b]上)中的任何c都满足条件。
6.如果f(X)在区间[a，b]内≥0。
定积分几何意义求圆面积
定积分几何意义求圆面积
圆面积的积分几何意义：
一、定义：
1. 圆面积是指圆的表面积的大小。
2. 它是指圆的周长除以2π的值。
二、概念：
1. 圆面积是指圆的表面积的大小，它可以理解为圆形表面上组成这个圆形表面的基本细胞（即每个细胞的单位长度乘以其宽度）的总和。
2. 积分几何意义：圆面积等于圆的周长除以2π的值，即A=2πR / 2π，其中A表示圆面积，R表示圆的半径。
三、计算圆面积的方法：
1. 直接计算法：直接计算圆面积的方法是一种最简单、普遍适用的方法，即A=πr²，其中r表示圆的半径。
2. 差商计算法：差商计算法是指把圆分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积，然后把所有矩形的面积总合就得到圆的面积。
3. 积分计算法：积分计算法是根据“积分几何意义”圆面积等于圆的周长除以2π的值来计算的，即A=2πR / 2π=R，其中R表示圆的半径。
四、圆面积积分几何意义的应用：
1. 圆面积积分几何意义可以用来计算圆形物体的面积，比如圆形池塘、圆形地面等。
2. 圆面积积分几何意义可以用来估计椭圆、圆弧等物体的面积。
3. 圆面积积分几何意义可以用来计算不规则多边形物体的周长和面积，比如计算一个多边形的周长除以2π的值即可得到面积。
4. 圆面积积分几何意义可以用来分析空间物体的几何关系，比如分析
边角关系等。
定积分求圆的面积
定积分求圆的面积
哎呀呀，说到定积分求圆的面积，这可真是个超级有趣又有点小复杂的事儿！
咱先想想圆是啥样的？圆就像一个超级光滑、超级完美的大圈圈，对吧？那要怎么用定积分来算出它的面积呢？
就好比我们要把这个圆像切蛋糕一样切成好多好多小小的片儿。
这些小片儿有的宽有的窄，但是如果我们切得足够细，每一小片儿就差不多一样宽啦。
假设这个圆的半径是r ，那圆的方程就是x² + y² = r² ，对吧？
然后我们就从圆的最左边开始，一点点往右走。
每走一小段距离dx ，对应的高度就是y 啦。
那这一小段的面积不就差不多是ydx 嘛！
我们把从最左边到最右边所有这样的小段面积都加起来，不就得到圆的面积了嘛！
就好像我们在收集一颗颗小珍珠，把它们都串起来，就变成了一串漂亮的珍珠项链，这串项链的长度就是圆的面积啦！
那怎么用定积分来表示这个加起来的过程呢？这就要用到我们学过的公式啦！
算出来的结果就是πr² ，哇塞！这不就是我们熟悉的圆的面积公式嘛！
你说神奇不神奇？这定积分就像一个魔法棒，轻轻一挥，就把圆的面积给算出来啦！
哎呀，数学的世界真是充满了惊喜和奇妙，就像一个大宝藏，等着我们去挖掘！通过定积分求圆的面积，让我更加觉得数学有趣极了！。
定积分求面积
1
2
3
4
-1
-2
16
A 2 1 r 2( )d a2 (1 cos )2d
20
0
a2 (2cos2 )2d 令t / 2
0
2
4a2 2 / 2 cos 4td t 8a2 3 1 3 a2
0
42 2 2
b
b
F (b) F (a) a dF( x) a f ( x)dx.
4
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积（Area）
用微元法求面积
d A f (x) g( x)dx
b
A a d A
b
a
f
(
x)
g(
x)dx
5
例 1 求由 y 1x和
2 y2 8 x 8
变化过程中， 每两个零点曲线封闭一次.
18
故有 0 2 或 2 2 3 ，
进而得 0 或 3 ，
2
2
由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重
复出现在第一、三象限,且图形关于原点对
称，又关于 y x (即 ) 对称，因为
10
例 2 再求由
y 1x和 2
y2 8 x
所围图形的 面积.(如图)
2 (8, 0) 4
11
解 dA f ( y) g( y)dx [(8 y2 ) 2 y]dy
A 2 [8 y2 2 y]dy 4
那 种
8 y 1 y3 y2 2
d
极坐标系下求面积
d
圆的面积公式推导过程定积分
圆的面积公式推导过程定积分圆的面积公式推导过程（定积分法）一、建立坐标系。
我们以圆的圆心为原点建立平面直角坐标系。
设圆的半径为r，则圆的方程为x^2+y^2=r^2，即y = ±√(r^2)-x^{2}。
由于圆关于x轴对称，我们只需要计算上半圆的面积，然后乘以2就可以得到整个圆的面积。
上半圆的方程为y=√(r^2)-x^{2}。
二、利用定积分计算面积。
1. 确定积分区间。
对于圆来说，x的取值范围是从-r到r。
2. 计算定积分。
根据定积分的几何意义，函数y = √(r^2)-x^{2}在区间[-r,r]上与x轴所围成的图形的面积S为：S=2∫_0^r√(r^2)-x^{2}dx令x = rsinθ，则dx = rcosθ dθ。
当x = 0时，θ= 0；当x = r时，θ=(π)/(2)。
将x = rsinθ和dx = rcosθ dθ代入积分式可得：S=2∫_0^(π)/(2)√(r^2)-r^{2sin^2θ}· rcosθ dθ =2∫_0^(π)/(2)r√(1 - sin^2)θ· rcosθ dθ=2r^2∫_0^(π)/(2)cos^2θ dθ根据三角函数的二倍角公式cos^2θ=(1 + cos2θ)/(2)，则：S=2r^2∫_0^(π)/(2)(1+cos2θ)/(2)dθ =r^2∫_0^(π)/(2)(1 + cos2θ)dθ =r^2<=ft[θ+(1)/(2)sin2θ]_0^(π)/(2) =r^2<=ft((π)/(2)+ 0-(0 + 0)) =π r^2所以，圆的面积公式为S = π r^2。
定积分求解圆面积
定积分求解圆面积
本文将介绍如何利用定积分求解圆的面积。
圆是一种常见的几何图形，它由一条固定的曲线构成，所有点到圆心的距离都相等。
我们可以通过对圆的面积进行积分来求解圆的面积。
首先，我们需要确定积分的区间。
对于圆，我们可以选择一个正方形作为积分区间，该正方形的边长为圆的直径。
这是因为圆可以被视为正方形的内切圆，因此正方形的面积与圆的面积相等。
接下来，我们需要找到代表圆的函数。
圆的方程可以表示为 x^2 + y^2 = r^2，其中 r 表示圆的半径。
我们可以将该方程进行变形，使其表示为 y = sqrt(r^2 - x^2) 或 y = -sqrt(r^2 - x^2)。
因此，我们可以利用这两个函数来表示圆。
然后，我们可以利用定积分的公式来计算圆的面积。
对于正方形积分区间 [a, b]，圆的面积可以表示为：
S = 4 ∫a^b sqrt(r^2 - x^2) dx
我们可以使用反三角函数来求解该积分。
通过将 sqrt(r^2 - x^2) 替换为 sin θ，我们可以得到：
S = 4 ∫0^(π/2) r^2 sin θ dθ
该积分可以通过简单的代换和求导得到，结果为：
S = πr^2
因此，圆的面积等于半径的平方乘以π。
以上就是利用定积分求解圆的面积的方法。
通过这种方法，我们可以轻松地计算出任意大小的圆的面积。
定积分求面积步骤的四个步骤
定积分求面积步骤的四个步骤嘿，咱今儿个就来讲讲定积分求面积的那四个步骤哈！这可是个很有意思的事儿呢。
第一步啊，就像是给咱要算的区域画个圈圈，确定好范围。
你得明确从哪儿到哪儿是咱要研究的地盘呀，就跟咱去果园摘果子，得先知道从哪棵树开始摘到哪棵树结束一样。
要是范围都没搞清楚，那不是瞎忙活嘛！第二步呢，就好比给这个区域穿上一件合适的衣服，找到合适的函数表达式。
这个函数就像是区域的标签一样，有了它才能准确地描述这个区域的特点。
不然的话，就像给一个人没穿对衣服，那可就别扭啦！第三步呀，就是真正开始动手算啦！这就像咱数自己有多少颗糖果一样，得一个一个认真地数。
把那些小小的部分加起来，可不能马虎哟，不然结果可就不对啦。
第四步呢，就是得出最后的答案啦！就像终于数清楚了糖果的数量，那种成就感，嘿嘿，别提多棒啦！你说这定积分求面积是不是挺神奇的？就这么几个步骤，就能算出一块区域的大小来。
想象一下，要是没有这些步骤，咱得费多大劲儿才能知道一块地有多大呀。
就好像要去量一个大操场的面积，没有方法那不得累个半死呀。
咱学习定积分求面积的步骤，就跟学走路一样，一步一步来，稳扎稳打。
一开始可能会有点迷糊，但只要多练习，多琢磨，肯定能搞得清清楚楚。
其实啊，生活中很多事情不也都这样嘛，都有它的步骤和方法。
咱得认真对待每一个环节，不能偷懒，不能马虎。
就像盖房子，要是基础没打好，那房子能结实吗？所以啊，大家可别小瞧了这定积分求面积的四个步骤哟，它们可是很重要的呢！好好学，好好用，以后遇到求面积的问题就再也不怕啦！咱就能轻松搞定，是不是很棒呀！。
定积分求面积
定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。
今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。
其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。
今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。
定积分应用求面积
y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注：如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即： A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
3
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O，且与极轴的夹角为 的直线方程 .
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
定积分曲线与面积计算
定积分曲线与面积计算在数学中，定积分是一种重要的数学概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的长度。
定积分的应用广泛，尤其在微积分和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将介绍定积分的定义和性质，并详细说明如何使用定积分来计算曲线与面积。
一、定积分的定义定积分是对一个区间上的函数进行积分运算的结果。
它可以看作是将一个曲线下方的面积划分为无穷多个无穷小的长方形，并将这些长方形的面积相加而得到的极限值。
数学上，定积分通过极限运算来定义。
如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则对应的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x) dx其中，∫表示积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)为被积函数，dx表示自变量的微小增量。
二、定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：对于任意的实数c，d和函数f(x)、g(x)，有：∫[a, b] (c * f(x) + d * g(x)) dx = c * ∫[a, b] f(x) dx + d * ∫[a, b] g(x) dx2. 区间可加性：对于区间[a, c]和区间[c, b]上的函数f(x)，有：∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx3. 积分上下界交换性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，则下面两个积分相等：∫[a, b] f(x) dx = ∫[b, a] f(x) dx三、使用定积分计算曲线与面积使用定积分可以计算曲线与坐标轴之间的面积。
具体步骤如下：1. 确定积分区间：首先需要确定曲线与坐标轴之间需要计算面积的区间。
2. 构建被积函数：根据具体情况，将曲线的方程表示为y = f(x)，并构建被积函数f(x)。
3. 计算定积分：将被积函数代入定积分的定义中，并按照定义计算出定积分的值。
举例说明，考虑计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。
首先确定积分区间为[-1, 1]，然后将曲线方程改写为x = y^(1/2)，构建被积函数f(y) = y^(1/2)。
定积分的应用计算面积和体积
定积分的应用计算面积和体积定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
其中，一项常见的应用就是用定积分来计算图形的面积和物体的体积。
本文将从定积分的基本概念入手，介绍如何利用定积分来计算面积和体积。
一、定积分的基本概念定积分是积分学中的一种，它可以将函数与坐标轴之间的面积联系起来。
对于一个函数f(x)，我们可以通过定积分来计算其在某个区间[a, b]上的面积。
定积分的公式如下：∫[a,b]f(x)dx其中，∫表示积分符号，a和b是积分的下界和上界，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
二、使用定积分计算面积使用定积分计算面积时，我们需要确定被积函数和积分区间。
一般来说，面积可以通过将函数所在的曲线图形与坐标轴所夹的区域进行分割，将其近似看作多个矩形或梯形，再对这些矩形或梯形的面积进行求和来逼近真实的面积。
例如，我们要计算函数y = f(x)在区间[a, b]上的面积，可以先将该区间分割成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
然后，在每个小区间上选择一个点(xi, yi)，用这些点构成的矩形或梯形的面积之和来近似曲线与坐标轴之间的面积。
将小区间个数无限增加，使Δx趋近于0，此时逼近的面积将趋向于真实的面积，即可利用定积分公式求得准确的面积值。
三、使用定积分计算体积定积分在计算物体的体积时同样具有重要的作用。
当一个平面图形绕某条直线旋转一周，形成一个立体图形时，我们可以使用定积分来计算该立体图形的体积。
对于一个平面图形，假设其边界可以由函数y = f(x)和y = g(x)所描述，其中f(x)表示上曲线，g(x)表示下曲线。
图形绕x轴旋转一周后，所形成的立体体积可以通过定积分进行计算。
首先，我们将x轴上的区间[a, b]进行分割，并在每个小区间上选择一个点(xi, yi)。
然后，计算曲线与x轴所形成的圆柱的体积，并对所有小区间的体积求和，即可逼近真实的体积。
当小区间数量趋近于无穷大时，利用定积分公式可以得到准确的体积值。
定积分的应用： 平面图形面积讲解
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x 曲边梯形的面积
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
oa
xx b x
曲边梯形的面积
A
b
a[
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解: 设抛物线上切点为
则该点处的切线方程为
B
M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 且为最小点 . 故所求切线为
B M
A
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2 (t)(t)dt. t1
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
3 2
2 sin
1 sin 2
4
0
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
a2 .
三、小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
直角坐标方 边界方程 参 程数方程
极坐标方程
b
A a f1(x) f2 (x) dx
思考题
设曲线 y f ( x)过原点及点(2,3) ，且 f ( x)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
二、极坐标系情形
设由曲线r ( )及射线 、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( )
定积分求面积
定积分求面积平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。
定积分在几何上的意义是曲线围成的面积，那么它只能求面积吗?它的应用可广泛了，可以这样说，我们都有一门课叫大学物理，其实大学物理跟高中物理相比在知识点上并没有增加多少，只是用微积分的方法解决了一些连续性变化的物理问题而已。
很多同学觉得大学物理难学，那一定是你没有领会微积分的真谛，也就是不会使用微积分解决实际问题。
用定积分求平面图形面积的关键是根据题意准确确定平面图形的边界，并根据边界将面积正确的写成积分形式。
用定积分求弧长问题难点在于曲线方程的直角坐标系形式与极坐标系形式之间的转换，以及对这些变换的理解，然后就是对三角函数类定积分的熟练计算，很多时候不能“蛮算”要“巧算”。
很多同学觉得这是很简单的事情，而不以为然，认为这种题目很简单没有必要浪费时间去做，可是到了考试时候真正出现这种题目，又有几个人能用很短的时间把题目做正确？确定边界问题咋一看很简单——不就是初中数学的内容吗？但是解题需要的是熟练，而熟练必然建立在多练习多总结的基础上。
此外用定积分求面积问题积累的经验在后面多重积分的应用问题中也非常有用，求曲线弧长积累的经验在后面曲线曲面积分计算中也很有用。
很多同学之所以觉得曲线曲面积分、多重积分很难是因为定积分学的不够扎实。
如果我们在一维的数学思维训练够了，那么学习更高维的数学就不再是难事。
见到题目都觉得简单，都不想去动手做，最终必然是什么都不会。
所以希望同学们从基础题目做起，千万不要眼高手低——天下难事必作于易。
定积分求平面图形的面积
解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线 与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线 与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线 与 所围成的图形面积。 4.求曲线 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中 为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线 与 及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。
用定积分求面积的技巧
用定积分求面积的技巧求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定 积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便例1求抛物线y 2 = 2x 与直线j = x -4围成的平面图形的面积.解析：如图1，解方程组I* = 2*，得两曲线的变点为(2,-2),(8,4). I y = x - 4,方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即 S = 2』'、J2xdx + J 8(42x - x + 4)dx = —、2x2 |2 +— <2x 2 k +4x |8 = 18 .0 2 30 0 32 22方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，I 4 -2 7点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求 平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应 是x 河(y )，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为x =1y 2 x = y + 4的形式，然后求 2 得积分.另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的， 即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计 算过程的常用手段.例2求由三条曲线y = x 2,4y = x 2, y = 1所围图形的面积.解析：如图2，因为y = x 2,4y = x 2是偶函数，根据对称性 只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可. 18li' i，解方程组 J y =，2,和 J 4 >=，2,得交点坐标(-i ,i ),(u )(-2,1),(21). [y =1， [ y =1，方法一：选择X 为积分变量，方法二：可以选择y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成. 点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.三、分割计算例3求由抛物线y = -x 2 + 4x -3及其在点M (0, -3)和点N (3,0)处两条切线所围成的 图形的面积.解析：由 y = -x 2 + 4x - 3 ,得 y' = -2x + 4 ,・.・y [=0 = 4,过M 点的切线方程为y = 4 x - 3 ；y '| = -2，过N 点的切线方程为y = -2x + 6 . x =3又可求得两切线交点的横坐标为x =3 ,2 故所求面积5 =f 2(4x -3)-(-x 2 + 4x -3)dx + f 3[(-2x + 6)-(-x 2 + 4x -3)]dx =-. 0 号 4 2点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x 轴垂线， 将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法. dx + f 2 1 k dx |1 + X |2 一 0 1 (1 \ —X 3 k 12 7 I 21。
高等数学：利用定积分求面积
⾼等数学：利⽤定积分求⾯积
今天我们以例题铺开，教⼤家如何利⽤定积分求出图形的⾯积。
看好了：
什么叫做旋转体，你可以这样想，就是⼀个图形绕着x或者y轴转⼀圈所得到的图形。
⾸先，你看⼀眼，我是不是可以先把它的⾯积写出来（既然是旋转体，那么它的剖⾯图必然是圆）。
注意我说的是你先把⼀个⼩剖⾯的⾯积写出来，就是Πr2。
这个剖⾯图是你想象的，⽽不是在这幅图表⽰的。
完了之后，我们就进⾏积分运算。
拿这个绕x旋转为例，正是⽆数个0与1之间的剖⾯图叠加在⼀起才组成了这个⽴体图，所以他们的积分就必然是体积了。
第⼆个⼤家要注意是对Y积分，因为它是对y旋转嘛。
再就是不要忘了平⽅，还有Π。
但是我做这套题的时候，突发奇想⼀下，想换种⽅式做，却做错了，着错在哪⾥？
从平⾯上来讲，似乎表⽰的⾯积都相等可是你⼀积上分，那就不同了，你想象⼀下⽴体图，我这么写，便是的就这这份图形直线在绕x转了，他们在同⼀剖⾯的⾯积就不同（不是我画的图，是你想象的剖⾯图），体积就更不同了。
谢谢⼤家的阅读，祝⼤家期末考试顺利！。
定积分求平面图形的面积
解 由 y2 2x 得两曲线的交点：(2, 2)、(8, 4)
y x4
x y2
选 y 为积分变量，y [2, 4]
y2 2x2
d
A c [2 ( y) 1( y)]dy 4 A
y 4 y2 dy
2
2
4
1 2
y2
4
y
高等数学之——
7.1.2 定积分求平面图形的面积
第七章 定积分的应用
第一节 定积分在几何上的应用
第二讲 定积分求平面图形的面积
引入：
如何计算湖泊 的面积呢？
如何求不规则图形的面积呢？
一、简单回顾微元法
y
y f (x)
（1） x a,b
（2） 取微段 、求微元
取其中任一小区间 x, x dx，求出
b
a
f
(
x)
g
(
x)
dx
x
（上边界-下边界)
练习 求由曲线 y x2 和直线 y 2x 3所围成的图形的面积.
A: 16 3
C: 7 3
解 选B
B: 32 3
D: 47 3
（2）由两条曲线 x 1( y), x 2 ( y) 1(y) 2(y) 以及直线 y c,
选 x 为积分变量, x [0,1]
面积微元 dA = ( x x2 )dx
1
A 0 (
x x2 )dx
2 3
x
3 2
x3 3
1
0
1 3
y x
(1,1)
(0,0) x x+dx
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用定积分求面积的技巧
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.
一、巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.
例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积．
解析：如图1，解方程组224y x y x ⎧=⎨=-⎩
，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，．
方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即332828822022024222(24)224183032
S xdx x x dx x x x =+-+=++=⎰⎰|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即24
234
22114418226y S y y dy y y --⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应
是()x y ϕ=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142
x y x y =
=+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.
二、巧用对称性
在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===，
，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==，
是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．
解方程组21
y x y ⎧=⎨=⎩，，和241y x y ⎧=⎨=⎩，，得交点坐标(11)(11)(21)(21)--，，，，，，，． 方法一：选择x 为积分变量， 则221223123201101114212444123x x S x dx dx x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰|||． 方法二：可以选择y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成.
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.
三、分割计算
例3 求由抛物线243y x x =-+-及其在点(03)M -，和点(30)N ，处两条切线所围成的图形的面积．
解析：由243y x x =-+-，得24y x '=-+，
04x y ='=∴|，过M 点的切线方程为43y x =-；
32x y ='=-|，过N 点的切线方程为26y x =-+． 又可求得两切线交点的横坐标为32x =
， 故所求面积3
3222
3029(43)(43)[(26)(43)]4
S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-=
⎰⎰． 点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x 轴垂线， 将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.。