用定积分求面积的技巧

用定积分求面积的技巧

求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.

一、巧选积分变量

求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.

例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积．

解析：如图1，解方程组224y x y x ⎧=⎨=-⎩

，，得两曲线的变点为(22)(84)-，，，．

方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即332828822022024222(24)224183032

S xdx x x dx x x x =+-+=++=⎰⎰|||． 方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即24

234

22114418226y S y y dy y y --⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰|． 点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y 积分时，积分函数应

是()x y ϕ=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为2142

x y x y =

=+，的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.

二、巧用对称性

在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 例2 求由三条曲线2241y x y x y ===，

，所围图形的面积. 解析：如图2，因为224y x y x ==，

是偶函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的面积再两倍即可．

解方程组21

y x y ⎧=⎨=⎩，，和241y x y ⎧=⎨=⎩，，得交点坐标(11)(11)(21)(21)--，，，，，，，． 方法一：选择x 为积分变量， 则221223123201101114212444123x x S x dx dx x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝

⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰|||． 方法二：可以选择y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成.

点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.

三、分割计算

例3 求由抛物线243y x x =-+-及其在点(03)M -，和点(30)N ，处两条切线所围成的图形的面积．

解析：由243y x x =-+-，得24y x '=-+，

04x y ='=∴|，过M 点的切线方程为43y x =-；

32x y ='=-|，过N 点的切线方程为26y x =-+． 又可求得两切线交点的横坐标为32x =

， 故所求面积3

3222

3029(43)(43)[(26)(43)]4

S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-=

⎰⎰． 点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x 轴垂线， 将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.