离散型随机变量复习总结课

(2)设 可能的取值为 0,1,2,3.得
P( 0) 4 , 15
P(
1)

C
2 5

C
12C
1 4

C
1 5

C
2 4

22
,
P(

3)

C
1 5

1

1
,
C
2 6
C
2 6
C
2 6
C
2 6
45
C
2 6
C
2 6
45
P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3) 2 9
试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间
是:40,50 、50,60 、60,70 、 70,80 、 80,90 、 90,100 .
(Ⅰ)求图中 x 的值;
(Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生 中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ,求 的数学期望.
X0
1
2
P 0.5 0.49 0.01
E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
【规律方法】 求离散型随机变量的分布列时，关键是计算 各个概率值，一方面要弄清相应的概率类型(古典概型、相互 独立事件的概率、独立重复试验等)，以便套用相关的计算公 式计算；另一方面要注意运用分布列的性质检验所求的概率 值是否正确．
X0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.
法二：X所有可能的取值为0,1,2.
P(X＝0)＝ 0.3＋ 0.1＋ 0.1＝ 0.5；
P(X＝2)＝0.1×0.1＝0.01；
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；
所以X的分布列为
例2 (2012·高考陕西卷)某银行柜台设有一个服务窗口,假 设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对 以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时 间(分)
1
2
3
4
5
频率
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
从第一个顾客开始办理业务时计时．X表示至第2分钟末已办 理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与
数学期望；
例3
(2012·高考湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及
结物算的时1一00间次位等购顾信物客息量的，相安1关至件排数4一据5名至件,如员8下工19表2随至件所机示收11.36集至件了在17以该件上超及市购
顾客数(人) x 30 25 y
例4 （2012 年高考（广东理））(概率统计)某班 50 位学生期中考
试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间
是:40,50 、50,60 、60,70 、 70,80 、 80,90 、 90,100 .
(Ⅰ)求图中 x 的值;
超
(Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生
科目甲 科目乙
总计
第一小组
1
5
6
第二小组
2
4
6
总计
3
9
12
现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况.
(1)求选出的 4 人均选科目乙的概率;
(2)设 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 的分布列和数学期
望.
5．（惠州市 2013 届高三 4 月模拟试题）在某校高三学生的数学校本课
P(X＝2.5)＝12000＝15，P(X＝3)＝11000＝110. X 的分布列为
X 1 1.5 2 2.5 3
P
3 20
3 10
1 4
1 5
1 10
X 的数学期望为
E(X)＝1×230＋1.5×130＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.
例4 （2012 年高考（广东理））(概率统计)某班 50 位学生期中考
顾客数(人) 15 30 25 20
10 布
结算时间(分 钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与
数学期望；
【解】 (1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以 x＝15，y＝20. P(X＝1)＝11050＝230，P(X＝1.5)＝13000＝130，P(X＝2)＝12050＝14，
(1)求选出的 4 人均选科目乙的概率;
(2)设 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 的分布列和数学期
望.
5．惠州市 2013 届高三 4 月模拟试题）在某校高三学生的数学校本课程
选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与
第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:
望.
【答案】解:(1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A , “从第二小组选出的 2 人选科目乙””为事件 B .由于事 件 A 、 B 相互独立,
且
P( A)

C
2 5

2
,
C
2 6
3
P(B)

C
2 4

2
C
2 6
5
所以选出的 4 人均选科目乙的概率为
P( A B) P(A) P(B) 2 2 4 3 5 15
(3)二项分布：
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
若(4离)超散型几随何机分变布量
X
的分布列为 P(X
r )
CrM
CnN
r M
CNM
，其中
r=0,1,2,3,...,l,l=min(n,M)，，
则称 X 服从超几何分布，
例1 (2012·高考辽宁卷)电视传媒公司为了解某地区电视观众 对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调 查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间 的频率分布直方图：
的分布列为
012 Nhomakorabea3
P
4
22
2
1
15
45
9
45
∴ 的数学期望 E 0 4 1 22 2 2 3 1 1 15 45 9 45
例3
(2012·高考湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及
结物算的时1一00间次位等购顾信物客息量的，相安1关至件排数4一据5名至件,如员8下工19表2随至件所机示收11.36集至件了在17以该件上超及市购
顾客数(人) x 30 25 y
10
结算时间(分 钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组
与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:
科目甲 科目乙
总计
第一小组
1
5
6
第二小组
2
4
6
总计
3
9
12
现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况.
(1)求选出的 4 人均选科目乙的概率;
(2)设 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 的分布列和数学期
例1 (2012·高考辽宁卷)电视传媒公司为了解某地区电视观众 对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调 查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间 的频率分布直方图：
二
项
分
布
将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”． 将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该 地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众， 抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每 次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望 E(X)和方 差 D(X)．
解：由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，将 频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意 X～B(3，14)， 从而 X 的分布列为
E(X)＝np＝3×14＝34， D(X)＝np(1－p)＝3×14×34＝196.
解题思路 第一步：确定离散型随机变量的值即X＝； 第二步：求出Х取不同值的概率； 第三步：列出随机变量的分布列； 第四步：利用公式求其期望与方差； 第五步：反思回顾，查看关键点，易错点，可重点查看随机 变量所对应值的概率是否正确,数学期望是否求对.
目
标
突
破
将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷”． 将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该 地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众， 抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每 次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望 E(X)和方 差 D(X)．
思路点拨►.首先确定顾客人数X的取值,再写出分布列，从而可 【求解期】望法值一. ：X所有可能的取值为0,1,2.
P(X＝0)＝ 0.3＋ 0.1＋ 0.1＝ 0.5； P(X＝1)＝0.1×0.4＋ 0.1×0.3＋ 0.1×0.1＋ 0.1×0.1＋ 0.4 ＝0.49； P(X＝2)＝0.1×0.1＝0.01； 所以X的分布列为
例2 (2012·高考陕西卷)某银行柜台设有一个服务窗口,假
设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对
以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：