3-4 高阶系统的时域分析-348
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3.4 高阶系统的时域分析
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(s)
(s
0.9s 1)(0.01s 2
1 0.08s
1)
s1 1, s2,3 4 j9.2, z1 1.1
主导极点
高阶系统中离虚轴最近的极点，如与虚轴的距离小于其他极点 离虚轴距离的1/5，且该极点附近没有零点，可以认为系统的响
应主要由该极点决定，称之为主导极点。
非主导极点对应时间响应在上升时间之前能基本衰减完，只 影响0~tr一段，对过渡时间ts等性能指标无影响。
主导极点可为实数，也可为共轭复数。具有一对共轭复数主 导极点的高阶系统可当作二阶系统分析。
3、系统零点和极点共同决定了系统响应曲线形状。对系数很小 的运动模态或衰减很快的运动模态可以忽略，这时高阶系统 就近似为较低阶系统。
主导极点
• 求高阶系统的时间响应很是困难，通常将多数高阶系统化 为一、二阶系统加以分析。
• 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极 点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点， 他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用， 可以忽略。这就是所谓的主导极点的概念
高阶系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点决定即输入信号决定暂态分量就是系统的自由运动模态形式由传递函数极点决定
第三章 线性系统时域分析法
3.4 高阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时间响应
常见高阶系统的单位阶跃响应如下图所示：
高阶系统时间响应高Fra bibliotek系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量
稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点 决定，即输入信号决定
暂态分量就是系统的自由运动模态，形式由传递函数 极点决定。
(s)
(s
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1)
s1 1, s2,3 4 j9.2, z1 1.1
主导极点
高阶系统中离虚轴最近的极点，如与虚轴的距离小于其他极点 离虚轴距离的1/5，且该极点附近没有零点，可以认为系统的响
应主要由该极点决定，称之为主导极点。
非主导极点对应时间响应在上升时间之前能基本衰减完，只 影响0~tr一段，对过渡时间ts等性能指标无影响。
主导极点可为实数，也可为共轭复数。具有一对共轭复数主 导极点的高阶系统可当作二阶系统分析。
3、系统零点和极点共同决定了系统响应曲线形状。对系数很小 的运动模态或衰减很快的运动模态可以忽略，这时高阶系统 就近似为较低阶系统。
主导极点
• 求高阶系统的时间响应很是困难，通常将多数高阶系统化 为一、二阶系统加以分析。
• 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极 点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点， 他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用， 可以忽略。这就是所谓的主导极点的概念
高阶系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点决定即输入信号决定暂态分量就是系统的自由运动模态形式由传递函数极点决定
第三章 线性系统时域分析法
3.4 高阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时间响应
常见高阶系统的单位阶跃响应如下图所示：
高阶系统时间响应高Fra bibliotek系统的时间响应也可分为稳态分量和暂态分量
稳态分量时间响应的形式由输入信号拉氏变换的极点 决定，即输入信号决定
暂态分量就是系统的自由运动模态，形式由传递函数 极点决定。
自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析
4 4 3 2
1 5 8.4 -5.8 40
12 18 40
40
3
2
1
0
从表中可以看出，第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。
1.2 未给定参数系统稳定参数范围
当 K、a、b 未知时，需要确定系统的参数范围，从而进一步判断系统是否稳定。 经过简化可得系统的特征方程为： D(s) =S +(a+4)S +(4a+8)S +(8a+k)S+Kb=0 其劳斯表为：
2
高阶系统的时域响应.............................................................................................................. 3 2.1 系统单位阶跃响应曲线................................................................................................... 3 2.2 系统单位斜坡响应曲线................................................................................................... 5 2.3 系统单位加速度响应曲线............................................................................................... 6 2.4 动态性能指标计算........................................................................................................... 7 2.5 稳态性能指标计算.......................................................................................................... 8
1 5 8.4 -5.8 40
12 18 40
40
3
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1
0
从表中可以看出，第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。
1.2 未给定参数系统稳定参数范围
当 K、a、b 未知时，需要确定系统的参数范围，从而进一步判断系统是否稳定。 经过简化可得系统的特征方程为： D(s) =S +(a+4)S +(4a+8)S +(8a+k)S+Kb=0 其劳斯表为：
2
高阶系统的时域响应.............................................................................................................. 3 2.1 系统单位阶跃响应曲线................................................................................................... 3 2.2 系统单位斜坡响应曲线................................................................................................... 5 2.3 系统单位加速度响应曲线............................................................................................... 6 2.4 动态性能指标计算........................................................................................................... 7 2.5 稳态性能指标计算.......................................................................................................... 8
自控理论 3-4高阶系统分析
C(t) 1.16 1.0 0.05
t
3.2 4.6 7.0
作图得 σ % = 16%
t r = 3.2
t p = 4.6
ts = 7
ω n = 0.8
可作为主导极点， β = 10.5， s1 s2 可作为主导极点， ζ = 0.5 原系统闭环增益 K = Φ ( 0) = 1
利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。 Φ(0)不变 利用主导极点近似成二阶系统后，应保持Φ(0)不变。
式中 s1, 2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ
2
1 增加闭环极点： 增加闭环极点：s 3 = − T
单位阶跃响应
e s 3t e − ζωn t c( t ) = 1 − − 2 βζ ( β − 2) + 1 βζ 2 ( β − 2) + 1 βζ ζ 2 ( β − 2) + 1 2 sin ω d t βζ ( β − 2) cos ω d t + 1−ζ 2
[
]
( 3 − 67 )
jω ω
式中 β =
ζω n
s3
− s3
s1
- ζωn σ 0
取ζ=0.5,以β为参变量作 =0.5, c(t)和 ωnt 的关系曲线 。 (t)和 图3-31
s2
结论
(1)附加一个闭环极点, 将使 σ％↓ ，r ↑, tp ↑。 t (2)增加的极点离虚轴越近上述影响越显著。 , 上述影响越显著。 (3)当β < 1, 呈现过阻尼响应迟缓。 ,响应迟缓。 (4)当β闭环主导极点
1.定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 定义 对系统的暂态响应起主导作用的极点。 2.满足以下两个条件： 满足以下两个条件： 满足以下两个条件 (1)距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 距虚轴比较近,且附近没有其它的闭环零点与极点 距虚轴比较近 且附近没有其它的闭环零点与极点。 (2)其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 其实部的绝对值应比其它极点的实部绝对值小五 倍以上。 倍以上。 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 靠近虚轴的极点相对于远离虚轴的极点来说， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 其所对应的响应分量，随时间的推移衰减的慢， 因而在系统的时间响应过程中起主导作用； 因而在系统的时间响应过程中起主导作用；而远 离虚轴的极点由于其对应的分量随时间的推移衰 减的快， 减的快，所以可在高阶系统分析中略去远极点对 系统响应的影响。 系统响应的影响。
33-4 5 高阶系统时域响应及线性系统的稳定性PPT资料24页
C (s)K (sz1 )s(z2) (szm ),nm R (s) (sp 1 )s(p2) (sp n )
（3-43）
式中, z1 , z2 , zm 为闭环传递函数的零点; p 1 , p 2 , p n
为闭环传递函数的极点。令系统所有的零极点互不相同，且
j1
k1
q
C s
A j r B ksk nk C k nk 1 k 2
j 1sp j k 1
s2 2k nsk n 2k
g t q A je p jt rB k e k n tc k n o 1 k k 2 s t C k e k n ts k n i1 n k k 2 t
C (s ) 特 解A s 0 稳j态q 1 分s A 量jp j零 状k r 态1B 响k ( 应s 强s 2 k 制 n 分2 )量k n C s k nn 2 k 1 k 2
对上式拉氏反变换得
q
r
C(t)A0 Ae j pjt Be k kntkcosnk 1 k2t
《自动控制理论》 网址：
§3 控制系统的时域分析
§3.1 典型的试验信号 §3.2 一阶系统的时域响应 §3.3 二阶系统的时域响应 §3.4 高阶系统的时域响应 §3.5 线性定常系统的稳定性 §3.6 劳斯稳定判据 §3.7 控制系统的稳定误差
课程回顾
《自动控制理论》 网址：
§3.5.2 稳定的充要条件
根据系统稳定的定义，若 limk(t)0 ,则系统是稳定的。
t
必要性： (s)M (s)b m (sz1)(sz2) (szm )
D (s) a n (s1)(s2) (sn )
3-4高阶系统的时域分析
h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、 超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论： （1）闭环零点会减小系统阻尼。 （2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。 （3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、 调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的 根 ， 称 为 闭 环 极 点 。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2
ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si
m
s1 zi
i1 m
zi
i2
i1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
3.4 高阶系统的时域分析
z
5以及
n
p
5
n
2
n
(s)
z n p ( s 2
2
2
j ds n ) n一对共轭复数极点产生的瞬态分量 是按指数衰减的正弦振荡曲线。
第四节 高阶系统的时域分析
由上述分析可以得出： （4）系统中离虚轴最近极点附近没有零 点，其它极点离虚轴的距离是这个 （1）高阶系统的时域响应是由惯性环节 极点3（或5）倍以上，这个为主导 和二阶振荡环节的响应函数所组成。 极点。 （2）所有闭环极点必须位于左半平面系 （5）高阶系统中加入校正装置，使系统 统才能稳定。如果有一个极点在右 具有一对合适的共轭复数主导极点， 半平面，系统不稳定。 此时系统的动态性能比较理想。 （3）极点的实部在左半平面上离虚轴远 （6）一对靠得很近的闭环零、极点为偶极 近，确定相应的瞬态分量衰减快慢； 子,在系统动态响应中可以忽略不计。
第四节 高阶系统的时域分析
共轭复数极点的瞬态分量:
σ ω 式中： sk= +j Ak=|Ak|e j∠Ak Akeskt+Ak+1esk+1t
Akeskt+Ak+1esk+1t
σ sk+1= -jω Ak+1=|Ak+1|e־j∠Ak+1
系数可表示为
σt
=2|Ak|e cos( t+∠Ak ) ω
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近 似的估计分析。
高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变；
在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
例：
(s)
n (s z)
3.3高阶系统的时域分析
j 1
k 1
式中，q+2r=n, q为实数极点的个数；r为共轭复数极点的对数。
部分分式展开，并设0＜ζk＜1,取拉氏反变换，并整理
q
r
h(t) A0
Ajesjt
B e kkt k
c os ( k
1
2 k
)t
j 1
k 1
r k 1
Ck
k
Bk kk
3、 调节时间的计算
ts
1
n
ln
2
n
si
m s1 zi
i2 n
i1 m
s1 si
zi
i2
i 1
结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量 和调节时间越大；
（2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间，但可 减小系统的超调量和调节时间。
高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭 主导极点，这时可以用二阶系统的动态性能指标来估 算高阶系统的动态性能。
设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点: 系统单位阶跃响应的近似表达式：
s1,2 s jd , 0 1
C(s) M (s) 1 N(s) s
1
2 k
e kk t
s in( k
表明
1
2 k
)t,
t
0
（1）响应由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成。当所 有闭环极点都位于左半s开平面时，系统是稳定的。
（2）零极点对系统性能的影响。
三、闭环主导极点
3.4 高阶系统的时域分析
K G( s) s(Tm s 1)
K ( s) Tm s 2 s K
n K / Tm 0.5 1 /(Tm K )
n
K K
矛盾
由于典型二阶系统只有两个参数选择的自由度，难以 兼顾其响应的快速性和平稳性以及系统的动态和稳态性能 的全面要求，必须研究其他控制方式，以改善二阶系统的 性能。
斜坡输入时的稳态误差。可适当增加原系统的开环增 益，以减小稳态误差。
测速反馈不影响系统的自然频率ωn。 可通过适当调整测速反馈系数，增大系统的阻尼比。 测速反馈不形成闭环零点。
例3-3控制系统如图3-23所示。图(a)为不带测速反 馈的控制系统，图(b)为测速反馈的控制系统。试 确定是阻尼比为0.5时Kt的值，并比较(a)和(b)的各 项性能。
和标准形式比较有 n 10 3.16(rad / s), 0.5
1 10 K t 2 n K t
单位阶跃响应的性能指标为：
tr
0.77( s) d
tp
1.15( s) d
4.5
p% e
ts 3.5
1 2
100% 16.3%
( s)
b0 s b1s bm1s bm K n n 1 a0 s a1s an1s an
m m1
(s z j ) (s si )
i 1 j 1 n
m
K
(s z j )
2 2 ( s s ) ( s 2 s k l l l ) k 1 l 1 q j 1 r
100% 60.4%
3.5
n
4.5
7( s) 9( s)
K ( s) Tm s 2 s K
n K / Tm 0.5 1 /(Tm K )
n
K K
矛盾
由于典型二阶系统只有两个参数选择的自由度，难以 兼顾其响应的快速性和平稳性以及系统的动态和稳态性能 的全面要求，必须研究其他控制方式，以改善二阶系统的 性能。
斜坡输入时的稳态误差。可适当增加原系统的开环增 益，以减小稳态误差。
测速反馈不影响系统的自然频率ωn。 可通过适当调整测速反馈系数，增大系统的阻尼比。 测速反馈不形成闭环零点。
例3-3控制系统如图3-23所示。图(a)为不带测速反 馈的控制系统，图(b)为测速反馈的控制系统。试 确定是阻尼比为0.5时Kt的值，并比较(a)和(b)的各 项性能。
和标准形式比较有 n 10 3.16(rad / s), 0.5
1 10 K t 2 n K t
单位阶跃响应的性能指标为：
tr
0.77( s) d
tp
1.15( s) d
4.5
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ts 3.5
1 2
100% 16.3%
( s)
b0 s b1s bm1s bm K n n 1 a0 s a1s an1s an
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(s z j ) (s si )
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m
K
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100% 60.4%
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n
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7( s) 9( s)
高阶系统的时域分析
5n
n
c( t ) 1 Ai e
i 1
q
si t
Dk e si nk t cos( nk t 1 k2 k )
k 1
rn i 1
m
j
) ( s si ) s s
i
s ( s s i )
二．高阶系统单位阶跃响应的近似分析
C (s) ( s s i ) ( s 2 2 nk s nk )
2 j 1 k 1 q
1 s
r Bk ( s k nk ) C k nk 1 2 k 1 q Ai 2 s i 1 s s i k 1 s 2 2 k nk nk
§3-4 高阶系统的时域分析
一．闭环主导极点的概念
在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的 距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。
| ReS3 | 5 S1,2 j d
K (s - z j )
j 1 m
n
s3 s1 s2 Im Re
k
k
由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。
暂态响应分量的合成则有如下结论：
（1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 S i 及 k nk 决定。系统的极点在s平面左半部距虚轴愈远，相应的 暂态分量衰减愈快。 （2）系数 Ai 和 Dk 不仅与s平面中的极点位置有关， 并且与零点有关。
Ai 越小，对 c( t ) a.零极点相互靠近，且离虚轴较远， 影响越小；
b.零极点很靠近，对c(t ) 几乎没影响；
c.零极点重合（偶极子）， 对 c(t ) 无任何影响；
自动控制原理自学课件 第三章 控制系统的时域分析—3高阶系统时域分析
a 2 n 1 2 a1 s n a3 1 C s 2 2 2 2 2 2 s s n ( n 1 ) s n ( n 1 ) sP
b 2 b b 2 b 2 1 a1 , a2 2 b b 2 1 b 2 b 2 1 1 2
ct 1 a1 exp n t cos d t a2 exp n t sin d t a3 exp Pt
, a2 a2 , a3 a3 两者区别仅在于系数不同： a1 a1
9
闭环零点对过渡过程的影响
从上述分析可知： 1.闭环零点只影响过渡过程c(t)中暂态分量的系数ai，即 只影响暂态分量的初始值。因此可得出结论：控制系统 过渡过程的类型取决于闭环极点，而过渡过程的具体形 状由闭环零、极点共同决定。 越小，如果实数极点的数值和零点数值相等，即-Z=-P ，则暂态分量 a3 exp Pt 0 即负实数极点与负实数零点对过渡过程的作用相互抵消。 上述结论对于复数零、极点也同样适用。
3-4 高阶系统的时域分析
由二阶以上微分方程描述的控制系统称为高阶系统。工 程上，高阶系统是普遍存在的。本节的目的不在于研究高阶 系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函 数作用下的过渡过程讨论，引出闭环主导极点的概念。以便 将高阶系统在一定条件下转化为具有一对闭环主导极点的二 阶系统进行分析研究。
一对闭环零、极点靠的很近时，称为偶极子。距离虚
轴较远的偶极子其作用可以相互抵消，太靠近虚轴的偶 极子不能抵消。 [S平面] j 稳定区域 不稳定区域
0
12
闭环主导极点定义
该（对）极点最靠近虚轴，且其附近无零点； 其它极点到虚轴的距离为该（对）极点到虚轴距离的5
自动控制原理3第四节高阶系统分析
3.4 高阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
1
3.4 高阶系统的时域分析
一、典型三阶系统的瞬态响应
传递函数：(s)
(s2
2
n2 ns n2
)(Ts
1)
当 0 < < 1 时，极点分布如下：
p1 n jn 1 2
p2 n jn 1 2
p3
1 T
p1
n 1 2
p3
n 0
p2
C(s) (s) 1
10
1 10 1 1 1
s s(s 1)( s 10) s 9 s 1 9 s 10
c(t) 1 10 et 1 e10t 99
8
3.4 高阶系统的时域分析
⒉零点的影响
高阶系统的定性分析
零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系数。零点若
靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。
s0
n2(s z) 2 ns n2 )( s
p)
z p
lim s 1 s (s2
s0
n2z 2 ns n2 ) p
z p
12
3.4 高阶系统的时域分析
小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。 极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的 大小
主导极点 高阶系统简化为二阶系统的原则
间常数。
11
3.4 高阶系统的时域分析
例如：
(s)
(s2
n2(s z) 2 ns n2 )(s
p)
jd
如果： z 5以及 p 5
n
n
z p n
则：
(s)
p(s2
z n 2 2 ns n2 )
3.4 高阶系统的时域分析
1
3.4 高阶系统的时域分析
一、典型三阶系统的瞬态响应
传递函数：(s)
(s2
2
n2 ns n2
)(Ts
1)
当 0 < < 1 时，极点分布如下：
p1 n jn 1 2
p2 n jn 1 2
p3
1 T
p1
n 1 2
p3
n 0
p2
C(s) (s) 1
10
1 10 1 1 1
s s(s 1)( s 10) s 9 s 1 9 s 10
c(t) 1 10 et 1 e10t 99
8
3.4 高阶系统的时域分析
⒉零点的影响
高阶系统的定性分析
零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系数。零点若
靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。
s0
n2(s z) 2 ns n2 )( s
p)
z p
lim s 1 s (s2
s0
n2z 2 ns n2 ) p
z p
12
3.4 高阶系统的时域分析
小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。 极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的 大小
主导极点 高阶系统简化为二阶系统的原则
间常数。
11
3.4 高阶系统的时域分析
例如：
(s)
(s2
n2(s z) 2 ns n2 )(s
p)
jd
如果： z 5以及 p 5
n
n
z p n
则：
(s)
p(s2
z n 2 2 ns n2 )
3.4高阶系统
进行拉氏反变换：
A0 L ( ) A0 s q q q A A p jt j j 1 1 L ( ) L ( ) Aj e s pj j 1 s p j j 1 j 1
1
08:47
Bk s Ck L [ 2 ] 2 s 2 kk s k
1
08:47
c(t ) L1[C ( s )] A0 Aj e
j 1 q p jt
Ak e k k t sin dk t k
k 1
r
结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。
对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大 (极 点距虚轴愈远 ) ，则其对应的响应分量 ( 模态 ) 衰减的越 迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关) 在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有 闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留 数的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)
System: untitled1 Settling Time (sec): 3.91 System: untitled2 Settling Time (sec): 4.02
Amplitude
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 G1 ( s ) s 1
10 G2 ( s) ( s 1)( s 10)
08:47
运动的模态
按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正 负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：
一阶模态 e p t pj<0 一阶收敛模态 pj>0 一阶发散模态
j
二阶模态 e t sin(bt ) n 0 二阶收敛模态 n 0 二阶等幅振荡模态 n 0 二阶发散模态
4高阶系统的时域分析
c 于是系统的单位阶跃响应为： ( t ) = A0 +
n
∑
i =1
Ai e p i t
分析其响应可见，系统的响应是由一系列指数函数（运动模态）的 和构成，其中每一项所占的“比重”就由留数 Ai 的大小决定，而 Ai 的大 小由零点和极点共同来决定。那些远离虚轴的极点所对应的运动形态对 阶跃响应的影响很小，同样那些周围有靠得比较近零点的极点（构成偶 极子）对暂态响应比较小（极点所对应的基本运动模态“比重”很小）。
如果 ξωn p > 5 ，则该系统的闭环主导极点为 p，系统可以简化为 一阶系统：
2 10ωn Φ(s) = 2 2 ( s + 2ξωn s + ωn )( s + p ) 2 10ωn 10 = ≈ 2ξ 1 2 1 2 pω n ( 2 s 2 + s + ωn )( s + 1) s + p p ωn ωn
2．闭环主导极点和高阶系统的近似
★在稳定的高阶系统中，对于其时间响应其主导作用的闭环极点 称为闭环主导极点。 ★闭环主导极点的条件： 第一：在S左半平面上离虚轴最近，且其周围没有其它零点； 第二：其它极点离虚轴的距离是该极点离虚轴的距离在5倍以上 （工程上并非这么绝对）。 ★高阶系统的降阶（近似） 原则： 在符合简化对极点分布要求的前提下，还必须保证简化 前后的传递函数的稳态值要相等。 步骤： 第一，确定系统的闭环主导极点； 第二，将高阶系统的开环传递函数或闭环传递函数写为时间常数 表达形式； 第三，忽略小时间常数项。
在零初始条件为零和单位阶跃输入信号作用下，输出响应为：
( s − z1 )(( s − z2 )⋯ ( s − zm ) 1 × C ( s) = G ( s) R( s) = K g ( s − p1 )( s − p2 )⋯ ( s − pn ) s A0 n Ai = +∑ s i =1 s − pi
高阶系统的时域分析
题目: 高阶系统的时域分析初始条件：设单位系统的开环传递函数为要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1）当K=10,a=1,b=5时用劳斯判据判断系统的稳定性。
（2）如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用Matlab绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。
（3）如不稳定，则计算系统稳定时K、a和b的取值范围，在稳定范围内任取一值重复第2个要求。
（4）绘制稳定时系统的根轨迹（在稳定范围内任取a、b值）。
分析K变化对系统性能的影响。
时间安排：任务时间（天）指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要 I1系统稳定性分析 12不同输入信号的时域响应曲线 22.1系统单位阶跃响应曲线 22.2系统单位斜坡函数响应曲线 32.3系统单位加速度响应曲线 43动态性能指标与稳态性能指标 63.1动态性能指标计算 63.1.1采用主导极点分析 63.1.2应用MATLAB软件进行分析 63.2稳态性能指标 84根轨迹图绘制 94.1根轨迹数据计算 94.2用MATLAB软件绘制根轨迹 105体会与总结 115.1总结 115.2体会 11本科生课程设计成绩评定表 13摘要此次课程设计内容是高阶系统的时域分析，包括了稳定性分析、不同输入信号下的响应以及动态性能指标、稳态性能指标求解等等，同时还包括了根轨迹的绘制。
在分析的过程中还使用了MATLAB软件，从而使分析变的更为清晰。
在分析过程中应用了劳斯判据，根轨迹绘制规则等方法。
关键词：高阶系统性能指标根轨迹高阶系统的时域分析1系统稳定性分析题目给定系统的开环传递函数为：则系统的闭环传递函数为：则系统的特征方程为：当K=10,a=1,b=5时系统的特征方程为:用劳斯判据判断系统的稳定性，其劳斯表如下所示S4 1 15 50S3 6 20 0S2 11.7 50S1 -5.6 0S0 50从表中可以看出，第一列系数第四行符号为负，故系统是不稳定的。
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2
2.5
Time (sec)
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0
Aje pjt
A e kkt k
sin
dkt k
j 1
k 1
结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定
如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它 决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平 面的极点决定)，随t的推移最终趋于其对应的稳 定值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个 系统对外显示是发散的。
j 1
k 1
A0 s
q j 1
Aj s pj
r k 1
s2
Bk s Ck
2 kk s k2
进行拉氏反变换：
L1 (
A0 s
)
A0
07:57
q
L1 (
j 1
Aj ) s pj
q
L1 (
Aj
)
j 1
s pj
q
Aje pjt
j 1
L1[
s2
Bk s Ck
2 kk s
k2
]
L1[
Bk (s kk ) (s kk )2
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
07:57 0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
Impulse Response 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Impulse Response 1.5
1
0.5
0
-0.5
2、附近没有零点存在;
3、其他所有极点远离虚轴(与虚轴的距离 都在此极点与虚轴的距离的五倍以上)。
j
主导极点
5
主导极点
07:57
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中 的主导极点决定。
原因：
❖ 离虚轴近：由此极点决定的指数项衰减缓慢，等其 它闭环极点随时间的推移作用消失后，其作用仍然 存在，并逐渐显现出来；
Impulse Response 1.2
1
s 1
(s)
0.8
(s 0.2)2 1
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
传递函数：
(s)
A1s B1 s2 b2
零极点分布图：
j b
0
07:57
Amplitude
运动模态4
c(t) Asin(bt )
讲授技巧及注 尽可能将表达式转换过程中所使用的数学基础讲
意事项
清楚，再将表达式和图形一一对应起来。
07:57
❖描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系 统。
工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当 地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。
原因： 1、高阶系统的计算比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往 往是不必要的，甚至是无意义的。
s 1
(s)
1.5
Impulse Response
s2 1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
传递函数：
(s)
(s
A1s a)2
B1 b2
零极点分布图：
j b
0a
07:57
Amplitude
运动模态5
c(t) Aeat sin(bt )
j
-10
-1
s =-1为主导极点，忽略极点s =-10的影响。为了保持
G(0)值不变，应将系统简化为：
G(s) 1
简化前后稳态增益不变
s 1
07:57
Amplitude
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
07:57
System: untitled1 Rise Time (sec): 2.2
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
高阶系统的主导极点常常是共轭 复数极点，因此高阶系统可以常用主 导极点构成的二阶系统来近似。相应 的性能指标可按二阶系统的各项指标 来估计。在设计高阶系统时，常利用 主导极点的概念来选择系统参数，使 系统具有预期的一对共轭复数主导极 点，这样，就可以近似的用二阶系统 的性能指标来设计系统。
Ai [C(s)(s pi )]s pi
在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有闭 环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数 的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关)
07:57
进一步理解
Ai [C(s)(s pi )]s pi
a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，且离 虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小；
07:57
c(t) L1[C(s)]
q
r
A0
Aje pjt
A e kkt k
sin
dkt k
j 1
k 1
结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。
对于稳定的系统，闭环极点负实部的绝对值越大(极 点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅 速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)
0
P= -5.0000 -0.4000 + 0.9165i -0.4000 - 0.9165i
07:57
系统传递函数可近似为
G(s)
s2
0.2 0.8s
1
G(s)
1
s3 +5.8s2 +5s+ 5
0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0 0
07:57
Amplitude
Step Response
Bk kk
2 2
kk
Ck
k2
]
L1[
Bk (s kk )
(Ck
Bk kk)
k k
1
2 k
1
2 k
]
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
(s kk )2 (k
1
2 k
)2
B e kkt k
cos(k
1
2 k
)t
Ck
k
Bk kk
1
2 k
e kkt
sin(k
1
2 k
)t
A ekkt k
bm1s bm an1s an
m
Kr (s zi )
q
i 1 r
(s p j ) (s2 2 kk s k2 )
07:57
j 1
k 1
在单位阶跃信号下的响应：
m
C(s) s
q
Kr (s zi )
i 1
1
(s p j ) r (s2 2 kk s k2 ) s
07:57
※高阶系统的降阶简化思路： 1、去除传递函数中影响较小的极点； 2、利用偶极子概念的零极点抵消作用，最终降为 二阶或三阶系统。
注意保持系统稳态放大倍数不变，即Φ(0)不变 或A0不变。
07:57
例： 已知系统的传递函数如下，试讨论系统简化的
可能性。
G(s)
10
(s 1)(s 1se 0.35
s4
0.3
G(s) (s 5)(s3 2s2 3s 4)
1
G(s)
0.25
s3 2s2 3s 4
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Time (sec)
❖ 去掉非主导极点和偶极子后的曲线与原曲线的比较：
(s) A s p
零极点分布图：
j
-p
0
07:57
Amplitude
运动模态1
c(t) Ae pt
Impulse Response 1
0.9
1
0.8
(s) s 1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
传递函数：
(s) A s p
零极点分布图：
j
07:57
b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响；
c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响；
d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对 c(t)影响大。
高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中
那些靠近虚轴而又远离零点的极点(主导极点)
来决定。
07:57
二、高阶系统的二阶近似
※主导极点
1、离虚轴最近;
-1
-1.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)