电子输运理论及性质
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3
e
k 1
f dk
在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为 e E f 0 f1 同时注意到 k
df f x) f (0) f '(0) ...... 泰勒定理： （ f 0 e dx x 0 f f0 E f 0 e k f f0 E .... k 因此，该式相当于上述泰
f f0 f1
e E f 0 f (2)电场 k . k . k
f1 f e ( B). (3)磁场 k . k k k
(3)磁场
k
e
B
f 0 f1 f f1 e f1 k . k k .[ k k ] k . k (k B). k
电子输运理论及性质
能带结构
输运性质
三个问题 载流子受到的散射或碰撞
引入驰豫时间描述 采用半经典模型
外场下作用下载流子的运动规律 外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响
引入分布函数，并将这些影 响归结到对分布函数的影响
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
外场下Bloch电子运动的半经典模型 Boltzmann方程 外场和碰撞作用 驰豫时间的统计理论 电-声子相互作用 金属电导率 电阻率
P P i 在多种散射机制存在下，总的散射几率是： i
Pi代表第i 种机制单位时间内的散射几率 总散射驰豫时间
1
ne 2 由于 m
1/ P
i 1
k
1
i
意味着总电阻率是不同散 射机制引起的电阻率之和
m 1 m k 1 故有 2 2 ne ne i 1 i
（ f r , k , t)
（r , k , t )
f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt ) 碰撞项
若将因碰撞引起的 f 变化写 (f / t )coll 则有 成
f f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt ) ( ) coll dt t
由于： d
f0 e dsd J 3 v (v E ) 4 k
2
而：
1 f 0 ( Ek ) exp[( Ek EF ) / kBT ] 1
f0 e2 dSd J 3 v (v E ) 4 k
由于 f0 / 只在费米 面附近才不为零，即
2 1/3
百度文库SF
vdS F
得到
kF (3n )
v k / m*
ne 2 ( EF ) m*
SF 4 (3n 2 )2/3
和在自由电子气模型中得到的 结果形式上相同，不同之处有 两点，一是电子的质量为有效 质量，二是驰豫时间为费米面 上电子的驰豫时间。
电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、 库仑作用等，往往存在着多种散射机制
f f f f r k ( )coll t r t k
对于稳态
f 0 t
f r f k k f t
玻尔兹曼方程
coll
Boltzmann方程
半经典模型
f r f k k f t
coll
决定于体系的能带结构
勒展开式的一级近似
相 当 于
（ f k ) f 0 (k
e
E ) f 0 (k
e
E)
（ f k ) f 0 (k
e
e
E)
说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡 分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了 e E 或者说，在k空间中，外加电场引起费米 球刚性平移了 e E
f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt )
由于碰撞的存在， dt 时间内从（ r-dr,kdk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处， 另一方面， t 时刻（r,k）处的电子也并非 都来自 t-dt 时刻（ r-dr,k-dk ）处漂移来的 电子，因此有：
§8.3 外场和碰撞作用
f r f k k f t
coll
通常假定非平衡的稳态分布 相对于平衡分布偏离甚少
(1)温度场
f f0 f1
f0 1/[e( u )/ kBT 1]
温度梯度的存在引起不均匀的分布函数
忽略掉温度梯 度对f1的影响
f f 0 f1 f 0 f 0 f 0 T u r r r r T u
所以总电 流密度为
J
1 4
3
e
k
f dk
ek
碰撞以及碰撞和外场同时 作用对 f 的影响？
在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系 统的分布函数为费米分布函数
f 0 ( k )
1 e
( k u ) / k BT
1
与位置无关。
有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡， 相应的分布函数 (r , k )点范围内
8.8
8.9
磁输运性质 霍尔效应 磁电阻效应
热输运性质 热电效应 热导率 热电势
§8.1
Bloch电子运动的半经典模型
对外电场、磁场采用经典方式处理
半经典含义
对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理 每个电子具有确定的位置 r 、波矢 k 和能带指标n
模型 建立模型描述r 、 k 和n 随 时间的变化规律
f 0 f 0 f 0 k k k
k .
f 0 ( B). 0 k k k
(4)碰撞
玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。
假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数 偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。 一般可以用弛豫时间 来描述这个恢复过程：
提供了从能带结构推断出 电子输运性质的理论基础
推断出电子的能带结构
输运性质
能带结构
同基于理论得到的能带结构进行比较从 而验证能带结构的理论基础的正确与否
§8.2 Boltzmann方程
对固体中电子输运性质的了解，除载流 子受到的散射或碰撞外，需要知道外场 作用下载流子的运动规律以及外场和碰 撞同时作用对载流子输运性质的影响。 现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和 外场同时作用对载流子运动规律的影响？ 定义
E
v k / m k (k )
注意到
1
f 0 f 0 k f0 k v (k ) f f0 e E k f 0 f 0 f f0 (v E )e
f 0 f f0 (v E )e
f 0 f1 f f 0 (v E )e
知道了分布函数就可以很方便的 求出电流密度，只需对分布函数 在相空间求积分：
J
1 4
3
evf dk
1
f 0 3 ve (v E )dk 4 e
考虑K空间的两个等能面
两个等能面之间的距离为dk 面元为ds 体积元为
dk dsdk k dk
dsd dk k
马西森(Matthiessen)定则
§8.4.2 导体电阻率
杂质、缺陷等散射
电子－声子相互作用 电子－电子相互作用 磁散射 导体电阻率至少包含四个部分
f f0 f t
方程的解：
该方程说明：由于碰撞作 用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。
负号源于偏离随时 间的增加而减小。
f f0 f1 f1 (t 0)e
t /
f 0 f f 0 (1)温度场 T u r T u
代入
e E f 0 f (2)电场 k . k . k
dr / dt n (k ) k n (k )
1
与外场有关
dk / dt e E ( r , t ) ( k ) B ( r , t ) n
因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞 作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输 运性质的理论基础
2
所以立方体晶体的电导率
e 2 dS F 3 SF vx 4 k
2
2 1 2 e 2 dS F 利用对称性 v v 3 SF vx 3 4 k 1 以及关系 v k / m k (k )
2 x
得到 利用
1 e2 3 12
（ f r , k , t) （ f r , k , t)
如何随时间变化呢？
t 时刻（r,k）处的电子
必来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处 漂移来的电子
（r vdt , k kdt , t dt )
（ f r vdt , k kdt , t dt )
若没有碰撞，则有
所以积分只需考虑 在费米面附近进行
f 0 ( F ) 2 dSF e J 3 SF v (v E ) 4 k
考虑一个立方体晶体， 外场方向沿着Ox方向， 电流沿着Ox
dSF e 2 J x 3 SF vx Ex Ex 4 k
温度场
电场
碰撞
磁场
§8.4 固体电阻率 §8.4.1 直流电导率
1 借助分布函数电 J 流密度可表示为 4 3
f 0 e E f 0 f1 e f1 r ( B) k r k k
e
k
f dk 由于平衡分布对
电流没有贡献
J
1 4
f f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt ) ( ) coll dt t
右边第一项展开，保留到dt的线性项，有
f f f f f (r , k , t ) f (r , k , t ) r k dt ( )coll dt t k t r
(2)电场
e E f 0 f 0 f1 f 0 f k . k k .[ k k ] k . k . k
k
e
E
f r f k k f t
f 0 f f 0 (1)温度场 T u r T u
coll
(1)电子总呆在同一能带中 (2)忽略不同带间的跃迁
能带指标
电子的速度
n cons.
dr / dt n (k ) 1 k n (k )
波矢随时间的变化
dk / dt e E (r , t ) n (k ) B( r , t )
dr / dt n (k ) k n (k )
f1 f e ( B). (3)磁场 k . k k k
f r f k k f t
coll
f f0 f1 (4)碰撞 ( f ) coll t
得 到
温度场、电场、磁场及碰撞作 用同时存在下的Boltzmann方程
f 0 e E f 0 f1 e f1 r ( B) k r k k
外场下载流子运动规 律可基于半经典模型
引入分布函数，并将这些 影响归结到对分布函数的 影响
对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k） 处 drdk 相空间体积内的电子数为： n通常不标出，因为考虑
fn (r , k ; t )drdk / 8 3
每一个电子对电 流密度的贡献为
的是同一带中的电子
1
Bloch 电子 的运动方程
dk / dt e E ( r , t ) ( k ) B ( r , t ) n
对晶格周期场的量子力学处 理全部概括在 n (k ) 函数中
半经典模型使能带结构与输运性 质即电子对外场的响应相联系
能带结构
基于输运性质的测量结果
输运性质
e
k 1
f dk
在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为 e E f 0 f1 同时注意到 k
df f x) f (0) f '(0) ...... 泰勒定理： （ f 0 e dx x 0 f f0 E f 0 e k f f0 E .... k 因此，该式相当于上述泰
f f0 f1
e E f 0 f (2)电场 k . k . k
f1 f e ( B). (3)磁场 k . k k k
(3)磁场
k
e
B
f 0 f1 f f1 e f1 k . k k .[ k k ] k . k (k B). k
电子输运理论及性质
能带结构
输运性质
三个问题 载流子受到的散射或碰撞
引入驰豫时间描述 采用半经典模型
外场下作用下载流子的运动规律 外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响
引入分布函数，并将这些影 响归结到对分布函数的影响
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
外场下Bloch电子运动的半经典模型 Boltzmann方程 外场和碰撞作用 驰豫时间的统计理论 电-声子相互作用 金属电导率 电阻率
P P i 在多种散射机制存在下，总的散射几率是： i
Pi代表第i 种机制单位时间内的散射几率 总散射驰豫时间
1
ne 2 由于 m
1/ P
i 1
k
1
i
意味着总电阻率是不同散 射机制引起的电阻率之和
m 1 m k 1 故有 2 2 ne ne i 1 i
（ f r , k , t)
（r , k , t )
f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt ) 碰撞项
若将因碰撞引起的 f 变化写 (f / t )coll 则有 成
f f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt ) ( ) coll dt t
由于： d
f0 e dsd J 3 v (v E ) 4 k
2
而：
1 f 0 ( Ek ) exp[( Ek EF ) / kBT ] 1
f0 e2 dSd J 3 v (v E ) 4 k
由于 f0 / 只在费米 面附近才不为零，即
2 1/3
百度文库SF
vdS F
得到
kF (3n )
v k / m*
ne 2 ( EF ) m*
SF 4 (3n 2 )2/3
和在自由电子气模型中得到的 结果形式上相同，不同之处有 两点，一是电子的质量为有效 质量，二是驰豫时间为费米面 上电子的驰豫时间。
电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、 库仑作用等，往往存在着多种散射机制
f f f f r k ( )coll t r t k
对于稳态
f 0 t
f r f k k f t
玻尔兹曼方程
coll
Boltzmann方程
半经典模型
f r f k k f t
coll
决定于体系的能带结构
勒展开式的一级近似
相 当 于
（ f k ) f 0 (k
e
E ) f 0 (k
e
E)
（ f k ) f 0 (k
e
e
E)
说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡 分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了 e E 或者说，在k空间中，外加电场引起费米 球刚性平移了 e E
f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt )
由于碰撞的存在， dt 时间内从（ r-dr,kdk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处， 另一方面， t 时刻（r,k）处的电子也并非 都来自 t-dt 时刻（ r-dr,k-dk ）处漂移来的 电子，因此有：
§8.3 外场和碰撞作用
f r f k k f t
coll
通常假定非平衡的稳态分布 相对于平衡分布偏离甚少
(1)温度场
f f0 f1
f0 1/[e( u )/ kBT 1]
温度梯度的存在引起不均匀的分布函数
忽略掉温度梯 度对f1的影响
f f 0 f1 f 0 f 0 f 0 T u r r r r T u
所以总电 流密度为
J
1 4
3
e
k
f dk
ek
碰撞以及碰撞和外场同时 作用对 f 的影响？
在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系 统的分布函数为费米分布函数
f 0 ( k )
1 e
( k u ) / k BT
1
与位置无关。
有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡， 相应的分布函数 (r , k )点范围内
8.8
8.9
磁输运性质 霍尔效应 磁电阻效应
热输运性质 热电效应 热导率 热电势
§8.1
Bloch电子运动的半经典模型
对外电场、磁场采用经典方式处理
半经典含义
对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理 每个电子具有确定的位置 r 、波矢 k 和能带指标n
模型 建立模型描述r 、 k 和n 随 时间的变化规律
f 0 f 0 f 0 k k k
k .
f 0 ( B). 0 k k k
(4)碰撞
玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。
假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数 偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。 一般可以用弛豫时间 来描述这个恢复过程：
提供了从能带结构推断出 电子输运性质的理论基础
推断出电子的能带结构
输运性质
能带结构
同基于理论得到的能带结构进行比较从 而验证能带结构的理论基础的正确与否
§8.2 Boltzmann方程
对固体中电子输运性质的了解，除载流 子受到的散射或碰撞外，需要知道外场 作用下载流子的运动规律以及外场和碰 撞同时作用对载流子输运性质的影响。 现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和 外场同时作用对载流子运动规律的影响？ 定义
E
v k / m k (k )
注意到
1
f 0 f 0 k f0 k v (k ) f f0 e E k f 0 f 0 f f0 (v E )e
f 0 f f0 (v E )e
f 0 f1 f f 0 (v E )e
知道了分布函数就可以很方便的 求出电流密度，只需对分布函数 在相空间求积分：
J
1 4
3
evf dk
1
f 0 3 ve (v E )dk 4 e
考虑K空间的两个等能面
两个等能面之间的距离为dk 面元为ds 体积元为
dk dsdk k dk
dsd dk k
马西森(Matthiessen)定则
§8.4.2 导体电阻率
杂质、缺陷等散射
电子－声子相互作用 电子－电子相互作用 磁散射 导体电阻率至少包含四个部分
f f0 f t
方程的解：
该方程说明：由于碰撞作 用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。
负号源于偏离随时 间的增加而减小。
f f0 f1 f1 (t 0)e
t /
f 0 f f 0 (1)温度场 T u r T u
代入
e E f 0 f (2)电场 k . k . k
dr / dt n (k ) k n (k )
1
与外场有关
dk / dt e E ( r , t ) ( k ) B ( r , t ) n
因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞 作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输 运性质的理论基础
2
所以立方体晶体的电导率
e 2 dS F 3 SF vx 4 k
2
2 1 2 e 2 dS F 利用对称性 v v 3 SF vx 3 4 k 1 以及关系 v k / m k (k )
2 x
得到 利用
1 e2 3 12
（ f r , k , t) （ f r , k , t)
如何随时间变化呢？
t 时刻（r,k）处的电子
必来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处 漂移来的电子
（r vdt , k kdt , t dt )
（ f r vdt , k kdt , t dt )
若没有碰撞，则有
所以积分只需考虑 在费米面附近进行
f 0 ( F ) 2 dSF e J 3 SF v (v E ) 4 k
考虑一个立方体晶体， 外场方向沿着Ox方向， 电流沿着Ox
dSF e 2 J x 3 SF vx Ex Ex 4 k
温度场
电场
碰撞
磁场
§8.4 固体电阻率 §8.4.1 直流电导率
1 借助分布函数电 J 流密度可表示为 4 3
f 0 e E f 0 f1 e f1 r ( B) k r k k
e
k
f dk 由于平衡分布对
电流没有贡献
J
1 4
f f (r , k , t ) f (r dt , k kdt , t dt ) ( ) coll dt t
右边第一项展开，保留到dt的线性项，有
f f f f f (r , k , t ) f (r , k , t ) r k dt ( )coll dt t k t r
(2)电场
e E f 0 f 0 f1 f 0 f k . k k .[ k k ] k . k . k
k
e
E
f r f k k f t
f 0 f f 0 (1)温度场 T u r T u
coll
(1)电子总呆在同一能带中 (2)忽略不同带间的跃迁
能带指标
电子的速度
n cons.
dr / dt n (k ) 1 k n (k )
波矢随时间的变化
dk / dt e E (r , t ) n (k ) B( r , t )
dr / dt n (k ) k n (k )
f1 f e ( B). (3)磁场 k . k k k
f r f k k f t
coll
f f0 f1 (4)碰撞 ( f ) coll t
得 到
温度场、电场、磁场及碰撞作 用同时存在下的Boltzmann方程
f 0 e E f 0 f1 e f1 r ( B) k r k k
外场下载流子运动规 律可基于半经典模型
引入分布函数，并将这些 影响归结到对分布函数的 影响
对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k） 处 drdk 相空间体积内的电子数为： n通常不标出，因为考虑
fn (r , k ; t )drdk / 8 3
每一个电子对电 流密度的贡献为
的是同一带中的电子
1
Bloch 电子 的运动方程
dk / dt e E ( r , t ) ( k ) B ( r , t ) n
对晶格周期场的量子力学处 理全部概括在 n (k ) 函数中
半经典模型使能带结构与输运性 质即电子对外场的响应相联系
能带结构
基于输运性质的测量结果
输运性质