第八章 相量法
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第八章 相量法
ψ
0
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素 正弦量的三要素 正弦量的
i(t)=Imcos(ω t+ψ) 二,正弦量的三要素 1, 幅值 (振幅, 最大值 m , 振幅, 振幅 最大值)I
i
ωT=2π π
ψ
0
ωt
2, 角频率ω : 反映正弦量变化的快慢. ω =d(ω t+ψ )/dt , 反映正弦量变化的快慢. 单位时间内变化的角度 单位: rad/s,弧度 秒 单位: ,弧度/秒 周期T 完成一个循环变化所需时间, 周期 : 完成一个循环变化所需时间,单位 s. . 频率f 每秒钟完成循环的次数,单位: 赫兹) 频率 : 每秒钟完成循环的次数,单位:Hz(赫兹 . 赫兹
T i 2 ( t ) Rdt R W交 = ∫0
周期电压如图所示.求其有效值U. 例 周期电压如图所示.求其有效值 . u(t)/V 2 1 0 1 2 3 4 5 6 t/s
根据有效值的定义, 解 根据有效值的定义,有
1 U= T =
∫
T 0
u 2 ( t )dt
2 3 1 1 2 2 1 dt + ∫ 2 dt + ∫ 0 2 dt = 1.29 V ∫0 1 2 3
π
UL
I
相量图
或
U I= ωL
I
3,相量形式: ,相量形式: jω L
+
UL
U L = jωLI = jX L I
XL=ω L,称为感抗,单位为 (欧姆 欧姆) ,称为感抗,单位为 欧姆
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相量模型 4,感抗的物理意义 ,
U (1) 表示限制电流的能力; I = 表示限制电流的能力; ωL (2) 感抗和频率成正比 ω =0 直流(XL=0) , ω→∞开路; 感抗和频率成正比, 直流( →∞开路 开路; XL
第八章相量法
ρ = a2 + b2
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
b
A (a + jb)
a = ρcosϕ, b = ρsinϕ ϕ ϕ
二.复数的加减 复数的加减 虚部(+j) 虚部 已知. 已知 A = a1 + jb1 , B = a2 + jb2 A A+B 则: A±B =(a1+jb1)±(a2 + jb2) ± ± ϕ1 =(a1±a2) +j (b1±b2) O ϕ2 实部(+1) 实部 jϕ1 ,B = ρ e-jϕ2 ϕ ϕ 如果. 如果 A = ρ1e 2 B 四边形法则 可用如图表示A± 可用如图表示 ±B
O ϕ -ϕ 虚部(+j) 虚部
A=a+jb
实部(+1) 实部
-b
A*= a–jb
§8-3. 正弦量的相量表示法
复数A 一.复数 =Im ωt + ϕ的旋转矢量表示 +j 复数 任一时刻旋转矢量OA 任一时刻旋转矢量 A 在横轴的投影为: 在横轴的投影为 A ω Imcos(ωt + ϕ) ω ωt+ϕ ϕ 在纵轴的投影为: 在纵轴的投影为 Im ϕ Imsin(ωt + ϕ) ω 复数A= Imcos(ωt + ϕ)+jImsin(ωt + ϕ)O 复数 ω ω 就是旋转矢量 的代数表示 旋转矢量OA的代数表示 的代数表示. 就是旋转矢量 此复数的实部即为正弦量. 此复数的实部即为正弦量 正弦量的复数 旋转矢量表示 复数,旋转矢量 二. 正弦量的复数 旋转矢量表示 ω i=Imcos(ωt + ϕ) = Re[Imej(ωt + ϕ)] ω 式中Re[ ]是取复数实部的意思 式中 是取复数实部的意思. 是取复数实部的意思
第8章 相量法_电气09级
*注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压、电流的瞬时值、 注意区分电压 最大值、有效值的符号。 最大值、有效值的符号。 宁波工程学院
i , Im , I
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
8-5
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
i , Im , I
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第8章 相量法 章
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 ———— 同理，正弦电压有效值： 同理，正弦电压有效值： 1 T 2 I = √ —∫ 0 i dt 1 T U= Um 2 i = Imcos( ωt + ϕ ) 或 Um = 2U —————————— Im
+j b
F
F=a+jb
F
θ
称为复数 的模 +1
0
a
——— F = √ a2 + b2
a = Fcos θ b = Fsin θ
宁波工程学院
θ = arg F = arctan ( b/a )
称为复数 的辐角
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第8章 相量法 章
3 指数形式和极坐标形式
指数形式 欧拉公式
F = F(cosθ + jsinθ ) = Fe jθ e jθ = cosθ + jsinθ F = F/θ
正弦交流电变化的快慢； 正弦交流电变化的快慢； ϕu、ϕi 为正弦交流电的初相位。 为正弦交流电的初相位。
相位角
u = Umcos ( ωt + ϕu ) or u = Umsin( ωt + ϕu ) 瞬时值： 瞬时值：
宁波工程学院 简称相角或相（ u = U m cos(ω t + ϕ u ) 简称相角或相 phase） 单位：弧度或度 单位： i = I m cos(ω t + ϕ i )
第08章 相量法
α= π
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
2 , e
j
复
数
Im
ɺ + jI
π
2 =+j
ɺ I
π
2
= cos
j−
π
2
+ j sin
0
Re
ɺ − jI
α =−
π
2
π
2
, e
= cos(− ) + j sin(− ) = − j 2 2
π
π
ɺ −I
2>、反向因子-1 、反向因子
α = ±π , e j ±π = cos(±π ) + j sin(±π ) = −1
def
T
0
有效值也称均方根值 有效值也称均方根值(root-meen-square，简 也称均方根值 ， 记为 rms。) 。
8. 1 正弦量的基本概念
电流有效值的物理意义： 电流有效值的物理意义： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期 内吸收的 ，在一周期T 电能，等于一直流电流I 流过R 在时间T 电能，等于一直流电流 流过 , 在时间 内吸收的电 的有效值。 能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t) 如图： 如图： T 2
m
8. 2
一、复数A表示形式 复数 表示形式
复
数
Im b A
在平面上， 在平面上，由O指向Ａ的有向 指向 线段（向量）， ），表示复数 线段（向量），表示复数Ａ。 1、直角坐标表示 、 代数形式： 代数形式：
O Im b
a A |A|
Re
Ａ=a+jb
Re[Ａ]=a Im[Ａ]=b
1 j = =−j j j⋅ j
8. 1 正弦量的基本概念
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
第八章 相量法
Um U= = 0.707U m 2
1 T u2dt （8-14） T 0
或者： Um = 2U
#
（8-15）
u = 2U cos(t + u )
§8.2 正弦量 相位差：两正弦量间的相位之差称为相位差。 线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦量，则电路 中的响应一定是同一频率的正弦量 。因此，在正弦交流电路中， u,i 常常遇到同频率的正弦量，设 任意两个同频率的正弦量 Im u =Umcos(ωt+φu ) Um i = Imcos(ωt+φi ) 从波形图中可看出u和i的频 率相同，而振幅、初相不同。
T
V
R
i 在一T内所产生的热量为： Q~= i2Rdt (J)
0
-
I 在一T内所产生的热量为： Q-= I2RT (J)
T
按定义两者的Q应相等，即
0
i2Rdt= I2RT
+ uS -
i
R
由此得有效值定义式：
I=
1 T i2dt T 0
（8-12）
§8.2 正弦量 将有效值定义用于正弦电流。 设：i =Imcos(ωt+φi )， 由（8-12）式得：
§8.3 相量法基础 Im= Ime jφi = Im φi 有效值相量为： I= Ie jφi = I φi （8-18）
（e jφi为旋转因子） （8-19）
任何一个正弦量通过上述变换都可以对应得到（8-19）式。 有效值相量与最大值相量的关系为：I = 2I m 例如： 已知正弦电压 u = 220 2 cos( 314t + 450 )V 所对应的有效值相量为： U= 220 450
．
．
第八章相量法
i i
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
i
i
i
如 i 26 2 cos(t 60) A 26e j 60 A 2660 A I 对应的有效值相量为：
Im 26 2e j 60 A 26 260 A 其最大值相量为：
U 同理若有： 220e j 30V 则有; u 220 2 cos(t 30)V 2.相量图 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。 若用旋转相量表示为，2Ie j e jt 其中复常数 2Ie j 2I i 称为旋转相量的复振幅， e jt 是一个随时间变化而以角速度不断逆时针旋转 的因子，两者的乘积即表示复振幅在复平面上不断 逆时针旋转，故称之为旋转相量，这就是复指数 函数的几何意义。
dt 2
③正弦量的积分
i 2I cos(t i ) 则 idt Re [ 2 Ie jt ]dt Re [ 2 Ie jt dt ] 如
jt I I Re [ 2 ( )e ] 2 cos(t i ) j 2
即正弦量的积分为同频率正弦量，其相量等于原 j 相量 I 除以 . I I 表示为： ( i ) idt
F F1 F2 F1 F2 [cos( 1 2 ) j sin(1 2 )]
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) a1a2 b1b2 a2 b1 a1b2 j 2 2 2 2 F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 jb2 ) a2 b2 a2 b2
1
i1 I1m cos(t i 1 ) A 和 i2 I 2 m cos(t i 2 ) A 则 i1 与 i 2 如 的相位差 12 (t i1 ) (t i 2 ) i1 i 2 （初相之差）
第八章 相量法
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
(j 1 为虚数单位)
2.电感
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
U L wLI L i 2
相量关系:
相量形式:
3.电容
时域形式:
(j 1 为虚数单位)
I C wCU C u 2
相量关系:
(j 1 为虚数单位)
上式表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示 时仍满足KCL；任一回路所有支路正弦电压用相量表 示时仍满足KVL.
2. 电路的相量模型（phasor model)
(j 1 为虚数单位) 时域电路
的相量模型:电压、电流用相量；元件用相量模型。
4.指数形式
F Fe
j
极坐标形式 F F
(j 1 为虚数单位) 二、复数运算
1.加减运算----代数形式
2.乘除运算----极坐标形式
(j 1 为虚数单位)
解：
(j 1 为虚数单位)
Im 3.旋转因子 F• ej
O
F Re
(j 1 为虚数单位)
所以，电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。
小结：
1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应 用相量法将该问题转化为求解复数代数方程 (j 1 为虚数单位) 问题。 2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微 分方程，而直接列写相量形式的代数方程。
(j 1 为虚数单位)
注意：
1. 只有正弦量才能用相量表示,非正弦量 不可以.
(j 相量只是表示正弦量 1 为虚数单位) ,不是等于正弦量. 2.
3. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量 图上,不同频率不行.
电路(第八章)相量法
复数运算
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i u u i 0 iw t
j ＝ 0， 同相：
直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1
0 Re
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式
若 则:
A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
Im 2I
i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)； u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系：
j = (180o ) ，反相：
u, i u u i 0 iw t
j ＝ 0， 同相：
直流I
物 理 意 义
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri ( t )dt
T 2 0
电流有效 值定义为
1 T 2 I 0 i (t )dt T
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
第八章 相量法
而A2中包含了正弦量中不同变量中可变的两个要素I、φ i （不同变量，I、φ i 不相同）。 定义：1：A1 2e jt 称为旋转矢量——是个不变的复指数函数
可以看出 i(t)和指数函数A是一一对应的关系，再将A作如下变换：
其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量（取实部）。
2e jt 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量，
而 i(t ) Re[I 2e jt ]
I I1 I 2
2. 相量的乘除 u (t ) 2U cos(t u ) U U u i (t ) 2 I cos(t ) I I
i i
复阻抗
U U u U Z ( u i ) I i I I Z z
I 1 I 1 1 I 2 I 2 2 I I I
1 2
显然，三角函数本身的代数和较 麻烦，若转化为相量求代数和后 再转换成正弦函数就容易的多。
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) Re I1 2e jt Re I 2 2e jt Re (I1 I 2 ) 2e jt
U Z I Z z Ii Uu
3．正弦量的一阶微分（积分）仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相 量乘以（除以） jω 。（P211） 正弦量的积分仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相量除以jω 。
i (t ) 2 I cos(t i ) 则 di(t ) dt j I
除法时，复数的模直接相除，而幅角相减。
A1 1 A2 2 A1 A2 1 2
1 2
§8-2正弦量
可以看出 i(t)和指数函数A是一一对应的关系，再将A作如下变换：
其在实轴上的投影随时间规律变化就是正弦量（取实部）。
2e jt 是随时间从实轴出发沿逆时针方向旋转的一个矢量，
而 i(t ) Re[I 2e jt ]
I I1 I 2
2. 相量的乘除 u (t ) 2U cos(t u ) U U u i (t ) 2 I cos(t ) I I
i i
复阻抗
U U u U Z ( u i ) I i I I Z z
I 1 I 1 1 I 2 I 2 2 I I I
1 2
显然，三角函数本身的代数和较 麻烦，若转化为相量求代数和后 再转换成正弦函数就容易的多。
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) Re I1 2e jt Re I 2 2e jt Re (I1 I 2 ) 2e jt
U Z I Z z Ii Uu
3．正弦量的一阶微分（积分）仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相 量乘以（除以） jω 。（P211） 正弦量的积分仍为同频率的正弦量，其相量为原正弦量的相量除以jω 。
i (t ) 2 I cos(t i ) 则 di(t ) dt j I
除法时，复数的模直接相除，而幅角相减。
A1 1 A2 2 A1 A2 1 2
1 2
§8-2正弦量
第8章 相量法
第八章相量法一、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。
5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。
二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
四、学时安排总学时：4五、教学内容§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
图 8.2(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。
第8章_相量法
(3) 由于复数感抗的存在使电流滞后电压。
22
3、电容： i (t) + u(t) 时域模型 时域
u(t ) 2U sint
频域
U0 o U
I
C
du (t ) i(t ) C dt 2CU cost 2CU sin( t 90o )
jC U I
有效值关系 I=C U 相位关系 i 超前u 90°
jC U I
1 U j C 相量模型
+
I
U
1 U I j 1 I j C C
三个含义：
相量图
23
容抗： X C
定义
1 C
错误的写法 1 u C i
1 U C I
容抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗的绝对值和频率成反比。
注 意
① Ψi 与参考方向的设定有关，不同则差180º 。 ②正弦量的一个重要性质： 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频 正弦量的代数和等，结果均为同频正弦量。
8
§8 - 3 相量法的基础(****)
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 例如： 正弦量 i 220 2 cos(314t 30 )A
定义： 随时间按正弦规律变化的电压和电流，称为正弦量。 i
u 在图示参考方向的前提下， +
i(t ) I m cos(t i )
5
注意： 方向是随时间在周期性的变化， 所以更要标定参考方向。
1、变化的快慢： ①频率f：每秒变化的次数。单位：Hz ②周期T： 变化一次所需的时间。单位：s ③角频率ω： 每秒变化的弧度数。单位：rad/s 2、大小及有效值： ①瞬时值： 小写，任一时刻的实际值。 ②最大值： 幅值，最大的瞬时值。峰峰值
第08章相量法
？ 则：U＝10V U 10e j15V？ -j15º 已知： I 10050 A
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
？ 则： i＝100cos(t＋50º)A
100 2
（3-24）
§8.3 相量法的基础
无物理意义
一、正弦量为何可以用相量表示？
某复函数： A(t ) 2Iej(t)
为正弦量 有物理意义
（3-16）
+j
b
r
A
+1
a
欧拉公式
cos＋jsin ＝ej
A＝a＋jb …………………………代数式
＝r(cos＋j sin) …………三角函数式
＝rej …… …………………………指数式
＝r∠ …………………………极坐标形式
（3-17）
设a、b为正实数
A＝a＋jb ＝r∠
0<< 90º
2.KVL相量式
——任一瞬间任一回路上: u(t)＝0
若该回路上的电压均为同频率正 弦量,则用相量表示时仍满足KVL,即:
KVL相量形式 U 0
I
如右图,设uR,uL,uC均为同频率正弦量：
U R U L U C U 0
+R
U U R U L U C
相量——表示正弦电压、电流的复数
（3-15）
一、复数的基本形式
设复平面上某复数A ：
+j
b
r
A
+1
a
r a2 b2
arctan b
a a＝rcos
b＝ rsin
其中:r—复数的模; —辐角; a—实部; b —虚部
A＝a＋jb ＝rcos＋jrsin ＝r(cos＋j sin)
第八章 相量法
99.5531 99.55e j 31 u (t ) 99.55 2 cos(t 31)V
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
（ 3）
注意：
电路
在这样的表示中舍弃了正弦量的时间因子。如果给 出一个正弦量的相量表示，要求出该正弦量的瞬时值 表达式，只要在相量式中乘以一个不变的量 2e jt ， 然后取其实部即可得到该正弦量的瞬时表达式。 例如，已知 U 10e V 求u=? ∵ U 2e jt 10 2e j 300 e jt 10 2e j (t 300 )
j
代数式 指数式 极坐标形式
U
电路
设a、b为正实数
j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e j U a jb U e
在第一象限Ⅰ 在第二象限Ⅱ
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
设：
U e U 1 1 j 2 U e U
2 2
j 1
电路
则：
U1 U1 j 1 2 e U2 U2
A
90°旋转因子。+j逆时针 转90°，-j顺时针转90°
说明： 设：任一矢量 则：
e A
j 90
( j ) A
§8.2
一、交流电的概念
电路 5 、 一个正弦量对时间积分的相量等于该正弦量相量 除以 j
( idt )
I j
如： i
2I cos(t i ) I Ie j
i
1 2I uc idt cos(t i )dt C C
2I 2I sin(t i ) cos(t i ) C 2 C
第8章 相量法
重点掌握正弦稳态电路 的解题思路。
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
重点理解正弦量和相量 运算的映射关系。
§8-1 §8-1 复数（complex 复数（complex number） number）
一、复数的四种表示方法
1、代数形式
+j
b
F = a + jb
a = Re [F] —— 实部real b = Im [F] —— 虚部image 2、三角形式
映射
& = I∠ ϕ I
∫ idt = ∫
=
1 = ⋅ 2 ICos(ωt + ϕ − 90o ) ω
结论：
2 ICos (ω t + ϕ ) d t I 2 Sin (ω t + ϕ ) ω
∫ idt
映射
1 & I jω
& = U C 1 × I&C jω C
1 电容VCR : uC = ∫ iC dt C
学生练习： 217页 题8-9 （充分体现出相量运算的简便性）
二、微分运算
i=
2 ICos (ω t + ϕ I
di 则： dt
=
d [ 2 I cos( ω t + ϕ )] = = − 2 I ω sin( ω t + ϕ ) dt
2 I ω sin( ω t + ϕ + 180 o )
三、正弦量的有效值
1、任意周期量的有效值 ——定义和本质：热等效
T产生热量 Q i：经过一个周期 ：经过一个周期T 产生热量Q I：经过时间 T产生 了相同的 热量 直流 直流I ：经过时间T 产生了 相同的热量
i i
R
I
R
∫
T
相量法
I 2 R
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率， 即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。 如：i1(t)的有效值为I1，则：在整数个周期内， i1(t)与直流量I1 产生的热量相等、耗能相等。
1．周期量的有效值
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系： 设正弦信号 i = I m cos(t+ ) , 由有效值定义
t1+ i(t1)
若相量 2 I 从初相角θ， 以角速度ω绕0点逆时针旋转，则旋转相量
2Ie j ( t ) 2Ie j t 在实轴的投影即为正弦量 i (t ) 2 I cos( t )
例5-2-1 用有效值相量表示下列正弦量
i1 (t ) 10 2 sin( t 60 ) i2 (t ) 15 2 cos(314t 57 ) u (t ) 200 sin t V
j ( 1 2 )
j 三.旋转因子 e
A A e j A的模值不变,而将复数A逆时针旋转一个角度θ
§8-2 正 弦 量
一. 正弦量的三要素
以正弦电流为例
i(t ) I m cos( t i )
1. 振幅、最大值 (amplitude) Im 是正弦量在整个变化过程 中所能到达的最大值。
i1 i2 9.67 2 cos( t 41.9 )( A) di1 1884 2 cos( t 120 )( A) dt i2dt 0.0127 2 cos( t 30 )( A)
314 314 314
§8-4 电路定律的相量形式
一、基尔霍夫定律的相量形式
解： I 10－60 90 1
A A
10－150 ( A)
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第八章 相量法
例8-1 计算 复数
解：
本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。
例8-2 计算 复数
解：
本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
例8-3 已知正弦电流波形如图所示， ω＝ 103rad/s ， （1）写出正弦 i(t) 表达式；
（2）求正弦电流最大值发生的时间 t 1
解： 根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有：
解得
由于最大值发生在计时起点右侧故取
所以
当时电流取得最大值，即：
例8-4计算下列两正弦量的相位差。
解：（1）
转为主值范围：
说明i1滞后i2。
（2）先把i2变为余弦函数：
则
说明i1超前i2。
（3）因为两个正弦量的角频率，故不能比较相位差。
（4）
则
说明i1超前i2
本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
例8-5计算两正弦电压之和，已知：
解：两正弦电压对应的相量为 :
相量之和为：
所以
本题也可借助相量图计算，如下图所示。
相量图
例8-6试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。
解：（1）错，瞬时式和相量混淆，正确写法为：
（2）错，瞬时式不能和相量相等，正确写法为：
（3）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（4）对
（5）错，感抗和容抗混淆，正确写法为：
（6）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或。