中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年压轴题版

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等边三角形的判定和性质习题及答案

等边三角形的判定和性质习题及答案

等边三角形的判定和性质(参考用时:30分钟)1.下列三角形,①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的个数是( A )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个2.如图,在 Rt△ABC 中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为( B )(A)4 (B)6 (C)4(D)8第2题图3.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD= 30°.第3题图4.如图,已知∠AOB=30°,点P在边OA上,点M,N在边OB上,且PM=PN=10,MN=12,则OP= 16 .第4题图5.如图,等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部,∠BDC=90°,连接AD,过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形,则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是120,150 度.第5题图6. 如图,等边△ABC中,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC,求证:AD=BE.证明:在等边△ABC中,∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,所以∠BAE=∠ACD=120°.因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD.所以AD=BE.7. 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.证明: 过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.在△MDF与△CEF中,因为∠MFD=∠CFE,FD=FE,∠MDF=∠E,所以△MDF≌△CEF,所以DM=CE.因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠B=60°.因为DM∥BE,所以∠ADM=∠B=60°,∠ADM=∠A=60°,所以△ADM为等边三角形,所以DM=AD,所以AD=CE.8. 如图所示,已知a∥b,c∥b,试用反证法证明:a∥c.证明:假设a与c不平行,即a与c相交,不妨设交点为P,由于a∥b,c ∥b,于是可得经过P点有两条直线a,c与直线b平行,这与“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,故假设不成立.所以a∥c.9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,连接CE,求CE的长.解:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠EAD=∠CAD.因为∠ACB=90°,DE⊥AB,所以∠ACD=∠AED.在△ACD与△AED中,∠ACD=∠AED=90°,∠EAD=∠CAD,AD=AD,所以△ACD≌△AED,所以AE=AC.因为∠B=30°,所以∠BAC=60°,所以△ACE是等边三角形,所以CE=AC=3.10. (核心素养—逻辑推理)(2018荆门)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.(1)证明:在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,所以BC=AB,E为AB边的中点,所以BE=AB,所以BC=EA,∠ABC=60°.因为△DEB是等边三角形,所以DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°.所以∠DEA=∠DBC=120°,所以△ADE≌△CDB.(2)解:作点B关于AC的对称点B′,连接EB′交AC于点H,则点H即为所求.连接CE,则△CBE是等边三角形.所以CE=CB=CB′.所以∠BEB′=90°.所以BH+EH的最小值为EB′==3.。

2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题06 等边三角形的判定和性质(解析版)

2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题06 等边三角形的判定和性质(解析版)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题06 等边三角形的判定和性质考试时间:120分钟 试卷满分:100分一.选择题(共11小题,满分22分,每小题2分)1.(2分)(2021八上·河东期末)如图,过边长为4的等边ABC 的边AB 上一点P ,作PE ⊥AC 于E ,Q 为BC 延长线上一点,当PA=CQ 时,连PQ 交AC 边于D ,则DE 的长为( )A .95B .2C .115D .125【答案】B【完整解答】解:过P 作PM BC ,交AC 于M ,∵ABC 是等边三角形,∴60APM B ∠=∠=︒,60A ∠=︒,∴APM 是等边三角形,又∵PE AM ⊥,∴12AE EM AM ==, ∵PM CQ ,∴PMD QCD ∠=∠,MPD Q ∠=∠,∵PA PM =,PA CQ =,∴PA PM CQ ==, 在PMD 和QCD 中,PDM CDQ PMD DCQ PM CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PMD QCD ≌,∴12CD DM CM ==, ∴11()222DM ME AM MC AC +=+==, 故答案为:B .【思路引导】过P 作PM BC ,交AC 于M ,得出APM 是等边三角形,推出PA PM CQ ==,根据等腰三角形的性质证出PMD QCD ≌,推出12CD DM CM ==,即可得出结论。

2.(2分)(2021八上·牡丹江期末)如图所示,已知在等边三角形ABC 中,点D ,E 分别是BC ,AC 上的点,且AE =CD ,连接AD ,BE 交于点P ,过点B 作BQ ⊥AD ,Q 为垂足,PQ =2,则BP 的长为( )A .3B .4C .5D .6【答案】B【完整解答】解:∵△ABC 为等边三角形,∴AB =AC ,∠BAC =∠ACB =60°,在△BAE 和△ACD 中,AB =CA ,∠BAE =∠ACD , AE =CD ,∴△BAE ≌△ACD (SAS ),∴∠ABE =∠CAD ,∵∠BPQ 为△ABP 外角,∴∠BPQ =∠ABE+∠BAD =∠CAD+∠BAD =∠BAC =60°,∵BQ ⊥AD ,∴∠PBQ =30°,∴BP =2PQ =4.故答案为:B .【思路引导】先求出AB =AC ,∠BAC =∠ACB =60°,再利用SAS 证明△BAE ≌△ACD ,最后求出BP 的值即可。

每日一练:2020年中考数学热门考点_含30度角的直角三角形练习题及答案(培优版)

每日一练:2020年中考数学热门考点_含30度角的直角三角形练习题及答案(培优版)

每日一练:2020年中考数学热门考点_含30度角的直角三角形练习题及答案(培优版) 轩爸辅导2020年中考数学热门考点_图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题压轴题1.(扬州2019中考) 如图,已知等边△ABC 的边长为8,点P 事AB 边上的一个动点(与点A 、B 不重合),直线l 是经过点P 的一条直线,把△ABC 沿直线l 折叠,点B 的对应点是点B’.(1) 如图1,当PB=4时,若点B’恰好在AC 边上,则AB’的长度为;(2) 如图2,当PB=5时,若直线l ∥AC ,则BB’的长度为;(3) 如图3,点P 在AB 边上运动过程中,若直线l 始终垂直于AC ,△ACB’的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;(4) 当PB=6时,在直线l变化过程中,求△ACB’面积的最大值。

考点:等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;轴对称的性质;2.(衡阳2019中考真卷) 如图,在等边中,,动点从点出发以的速度沿匀速运动.动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动,当点到达点时,点同时停止运动.设运动时间为以.过点作于,连接交 边于.以为边作平行四边形 .(1)当为何值时,为直角三角形;(2) 是否存在某一时刻,使点 在的平分线上?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;(3)求的长;(4)取线段的中点,连接,将沿直线 翻折,得 ,连接 ,当 为何值时, 的值最小?并求出最小值.考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;3.(润州2019中考模拟) 如图,在菱形ABCD 中,边长为2,∠BAD =120°,点P 从点B 开始,沿着B→D 方向,速度为每秒1个单位,运动到点D 停止,设运动的时间为t (秒),将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°,得到对应线段的延长线与过点P 且垂直AP 的垂线段相交于点E ,(≈1.73,sin11°≈0.19,cos11°≈0.98,sin19°≈0.33,tan19°≈0.34,sin41°≈0.65,tan41°≈0.87)(1) 当t =0时,求AE 的值.(2) P 点在运动过程中,线段PE 与菱形的边框交于点F.(精确到0.1)问题1:如图2,当∠BAP =11°,AF =2PF ,则OQ =.问题2:当t 为何值时,△APF 是含有30°角的直角三角形,写出所有符合条件的t 的值.(3) 当点P 在运动过程中,求出△ACE 的面积y 关于时间t 的函数表达式.(请说明理由)考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质;4.(浙江2019中考模拟) △ABC 和△ADE 是有公共顶点的三角形,∠BAC =∠DAE =90°,点P 为射线BD ,CE 的交点.(1) ①如图1,∠ADE =∠ABC =45°,求证:∠ABD =∠ACE.②如图2,∠ADE =∠ABC =30°,①中的结论是否成立?请说明理由.(2) 在(1) ①的条件下,AB =6,AD =4,若把△ADE 绕点A 旋转,当∠EAC =90°时,画图并求PB 的长度.考点: 等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;相似三角形的判定与性质;5.(瓯海2019中考模拟) 如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC =OB ,点D 是上一动点,点E 是CD 中点,连接BD 分别交OC,OE 于点F,G .(1)求∠DGE 的度数;(2) 若 = ,求的值;(3) 记△CFB ,△DGO 的面积分别为S ,S ,若=k ,求 的值.(用含k 的式子表示)考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学热门考点_图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题答案压轴题1.答案:122.答案:3.答案:4.答案:5.答案:2020年中考数学热门考点_图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题的""点各小题查看。

2020年中考数学压轴题:三角形问题考点专练

2020年中考数学压轴题:三角形问题考点专练
【答案】 3 3 . 【解析】 【分析】 根据折叠的性质可得:FG 是△ABC 的中位线,AC 的长即为△BDE 的周长.在 Rt△BDE 中, 根据 30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出 BD 与 BE 的长,从而可得 AC 的长, 再根据三角形的中位线定理即得答案. 【详解】 解:∵把三角形纸片折叠,使点 A、点 C 都与点 B 重合, ∴ AF BF , AE BE , BG CG , DC DB , ∴ FG 1 AC ,
(1)如图 1,点 M , N 分别在 AD , AB 上,且 BMN 90 ,当∠AMN 30 , AB 2 时, 求线段 AM 的长; (2)如图 2,点 E , F 分别在 AB , AC 上,且 EDF 90 ,求证: BE AF ; (3)如图 3,点 M 在 AD 的延长线上,点 N 在 AC 上,且 BMN 90 ,求证:AB AN 2AM .
【答案】(1) AM 2 2 3 ;(2)见解析;(3)见解析. 3
【解析】 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD=BD=DC= 2 ,求出 ∠MBD =30°,根据勾股定理计算即可; (2)证明△BDE≌△ADF,根据全等三角形的性质证明; (3)过点 M 作 ME∥BC 交 AB 的延长线于 E,证明△BME≌△AMN,根据全等三角形的 性质得到 BE=AN,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论. 【详解】 (1)解:BAC 90 , AB AC , AD BC , AD BD DC , ABC ACB 45 , BAD CAD 45 , AB 2 , AD BD DC 2, , AMN 30 ,
【答案】68 【解析】 【分析】 由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°,由三角形的外角性质得出∠AGB=68°,再由 平行线的性质即可得出∠2 的度数. 【详解】 如图,

八上数学每日一练:直角三角形全等的判定练习题及答案_2020年压轴题版

八上数学每日一练:直角三角形全等的判定练习题及答案_2020年压轴题版

八上数学每日一练:直角三角形全等的判定练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年八上数学:图形的性质_三角形_直角三角形全等的判定练习题1.(2019南开.八上期中) 如图,平面直角坐标系中,点A 、B 分别在x 、y 轴上,点B 的坐标为(0,1),∠BAO=30°.(1) 求AB 的长度;(2) 以AB 为一边作等边△ABE ,作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D .求证:BD=OE ;(3) 在(2)的条件下,连接DE 交AB 于F .求证:F 为DE 的中点.考点: 直角三角形全等的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;2.(2017临沂.八上期末) 如图,在△ABC 中,AB=AC ,DE 是过点A 的直线,BD ⊥DE 于D ,CE⊥DE 于点E ;(1) 若B 、C 在DE 的同侧(如图所示)且AD=CE .求证:AB⊥AC ;(2) 若B 、C 在DE 的两侧(如图所示),其他条件不变,AB 与AC 仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.考点: 全等三角形的性质;直角三角形全等的判定;3.(2018南山.八上期末) 已知长方形OABC 的边长OA=4,AB=3,E 是OA 的中点,分别以OA 、OC 所在的直线为X 轴、Y 轴,建立如图1所示的平面直角坐标系,直线l 经过C 、E 两点.答案解析答案解析答案解析(1) 求直线l 的函数表达式;(2) 如图2,在长方形OABC 中,过点E 作EG ⊥EC 交AB 于点G ,连接CG ,将△COE 沿直线l 折叠后得到△CEF ,点F恰好落在CG 上.证明:GF=GA 。

(3) 在(2)的条件下求四边形AGFE 的面积。

考点: 待定系数法求一次函数解析式;全等三角形的性质;直角三角形全等的判定;勾股定理;平行四边形的性质;4.(2019定西.八上期末) (2019八上·桐梓期中) 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,AE 是BC 边的中线,过点C 作CF⊥AE ,垂足为点F ,过点B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D.(1) 试说明AE =CD ;(2) 若AC =10cm ,求BD 的长.考点: 全等三角形的判定与性质;直角三角形全等的判定;5.(2018大石桥.八上期中) 已知Rt △ABC ≌Rt △DBE ,∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D .(1) 将两三角形按图①方式摆放,其中点E 落在AB 上,DE 所在直线交边AC 于点F .求证:AF+EF=DE ;(2) 若将两三角形按照图②方式摆放,边AC 的延长线与DE 相交于点F .你认为(1)中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF 、EF 与DE 之间的关系,并说明理由.考点: 直角三角形全等的判定;全等三角形的判定与性质;2020年八上数学:图形的性质_三角形_直角三角形全等的判定练习题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:。

部编数学八年级上册专题08等边三角形的判定和性质(解析版)含答案

部编数学八年级上册专题08等边三角形的判定和性质(解析版)含答案

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题08 等边三角形的判定和性质考试时间:120分钟 试卷满分:100分一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2021八上·凉山期末)如图, MNP V 中, 60P Ð=° , MN NP = , MQ PN ⊥ ,垂足为Q ,延长MN 至G ,取 NG NQ = ,若 MNP V 的周长为12,MQ m = ,则 MGQ V 周长是( )A .8+2mB .8+mC .6+2mD .6+m 【答案】C【完整解答】解:∵60P Ð=° , MN NP = ,∴△PMN 是等边三角形,∵MQ PN ⊥ ,∴QN=PQ= 12MN ,∠QMN=30°,∠QNM=60°,∵NG NQ = ,∴∠GQN=∠G=30°,QN=NG= 12MN ,∴∠QMN=∠G=30°,∴QM=QG ,∵MNP V 的周长为12, MQ m = ,∴MN=4,QN=NC=2,QM=QG=m ,∴MGQ V 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为:C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形,得QN=PQ=12MN ,∠QMN=30°,∠QNM=60°,根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°,QN=NG=12MN ,推出QM=QG ,根据△MNP 的周长可得MN=4,QN=NC=2,QM=QG=m ,据此求解.2.(2分)(2021八上·铁岭期末)如图,E 是等边ΔABC 中AC 边上的点,12Ð=Ð,BE CD =,则ADE ∆是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .不等边三角形D .无法确定【答案】B【完整解答】解:∵△ABC 为等边三角形∴AB=AC ,∠BAE=60°,∵∠1=∠2,BE=CD ,∴△ABE ≌△ACD (SAS ),∴AE=AD ,∠BAE=∠CAD=60°,∴△ADE 是等边三角形.故答案为:B .【思路引导】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。

中考数学每日一练:含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年压轴题版

中考数学每日一练:含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年压轴题版

中考数学每日一练:含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年压轴题版答案答案2020年中考数学:图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题~~第1题~~(2019扬州.中考真卷) 如图,已知等边△ABC 的边长为8,点P 事AB 边上的一个动点(与点A 、B 不重合),直线l 是经过点P 的一条直线,把△ABC 沿直线l 折叠,点B 的对应点是点B’.(1) 如图1,当PB=4时,若点B’恰好在AC 边上,则AB’的长度为;(2) 如图2,当PB=5时,若直线l ∥AC ,则BB’的长度为;(3) 如图3,点P 在AB 边上运动过程中,若直线l 始终垂直于AC ,△ACB’的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;(4) 当PB=6时,在直线l 变化过程中,求△ACB’面积的最大值。

考点: 等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;轴对称的性质;~~第2题~~(2019衡阳.中考真卷) 如图,在等边中,,动点从点出发以的速度沿匀速运动.动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动,当点到达点时,点同时停止运动.设运动时间为以.过点作于 ,连接交边于.以为边作平行四边形 .(1) 当 为何值时,为直角三角形;(2) 是否存在某一时刻,使点在的平分线上?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由;(3) 求的长;(4) 取线段 的中点 ,连接 ,将 沿直线 翻折,得 ,连接 ,当 为何值时, 的值最小?并求出最小值.考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;~~第3题~~(2019润州.中考模拟) 如图,在菱形ABCD 中,边长为2,∠BAD =120°,点P 从点B 开始,沿着B→D 方向,速度为每秒1个单位,运动到点D 停止,设运动的时间为t (秒),将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°,得到对应线段的延长线与过点P 且垂直AP 的垂线段相交于点E ,( ≈1.73,sin11°≈0.19,cos11°≈0.98,sin19°≈0.33,tan19°≈0.34,sin41°≈0.65,tan41°≈0.87)答案答案答案(1) 当t =0时,求AE 的值.(2) P 点在运动过程中,线段PE 与菱形的边框交于点F.(精确到0.1)问题1:如图2,当∠BAP =11°,AF =2PF ,则OQ =.问题2:当t 为何值时,△APF 是含有30°角的直角三角形,写出所有符合条件的t 的值.(3) 当点P 在运动过程中,求出△ACE 的面积y 关于时间t 的函数表达式.(请说明理由)考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质;~~第4题~~(2019浙江.中考模拟) △ABC 和△ADE 是有公共顶点的三角形,∠BAC =∠DAE =90°,点P 为射线BD ,CE 的交点.(1) ①如图1,∠ADE =∠ABC =45°,求证:∠ABD =∠ACE.②如图2,∠ADE =∠ABC =30°,①中的结论是否成立?请说明理由.(2) 在(1) ①的条件下,AB =6,AD =4,若把△ADE 绕点A 旋转,当∠EAC =90°时,画图并求PB 的长度.考点: 等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;相似三角形的判定与性质;~~第5题~~(2019瓯海.中考模拟) 如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC =OB,点D 是上一动点,点E 是CD 中点,连接BD 分别交OC ,OE 于点F ,G .(1) 求∠DGE 的度数;(2) 若 =,求的值;(3) 记△CFB ,△DGO 的面积分别为S ,S ,若 =k ,求 的值.(用含k 的式子表示)考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学:图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题答案1.答案:122.答案:3.答案:4.答案:5.答案:。

中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年解答题版

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中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年解答题版答案答案答案答案2020年中考数学:图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题~~第1题~~(2020武汉.中考模拟) 如图,A 、B 是⊙O 上的两点,∠AOB =120°,C 是弧AB 的中点,CE ⊥OA 交⊙O 于点E ,连接AE .求证:AE =AO.考点: 等边三角形的判定与性质;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;~~第2题~~(2020温州.中考模拟) 如图,等腰直角△ABC 中,CA=CB ,点E 为△ABC 外一点,CE=CA ,且CD 平分∠ACB 交AE 于D ,且∠CDE=60°.(1) 求证:△CBE 为等边三角形;(2) 若AD=5,DE=7,求CD 的长.考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;~~第3题~~(2019无锡.中考模拟) 小明坐于堤边垂钓,如图,河堤的坡角为,长为 米,钓竿的倾斜角是,其长为 米,若 与钓鱼线 的夹角为 ,求浮漂 与河堤下端 之间的距离.考点: 等边三角形的判定与性质;解直角三角形的应用;~~第4题~~(2019丹阳.中考模拟) 如图,四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,∠BCD =150°,∠BAD =60°,AB =4,BC =2 ,求CD的长.考点: 直角三角形的性质;等边三角形的判定与性质;~~第5题~~答案(2019鱼峰.中考模拟) 如图,已知△ABC 是正三角形,D ,E ,F 分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.请你说明△DEF是正三角形.考点: 等边三角形的判定与性质;2020年中考数学:图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:。

中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年综合题版

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中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年综合题版答案答案答案2020年中考数学:图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题~~第1题~~(2020郑州.中考模拟) 在△ABC 中,AB=AC≠BC ,点D 和点A 在直线BC 的同侧,BD=BC ,∠BAC=α,∠DBC=β,且α+β=120°,连接AD ,求∠ADB 的度数.(不必解答)(1) 小聪先从特殊问题开始研究,当α=90°,β=30°时,利用轴对称知识,以AB 为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD′,连接CD′(如图2),然后利用α=90°,β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.请结合小聪研究问题的过程和思路,在这种特殊情况下填空:△D′BC 的形状是三角形;∠ADB 的度数为.(2) 在原问题中,当∠DBC <∠ABC (如图1)时,请计算∠ADB 的度数;(3) 在原问题中,过点A 作直线AE ⊥BD ,交直线BD 于E ,其他条件不变若BC=7,AD=2.请直接写出线段BE 的长为.考点: 等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;~~第2题~~(2020长春.中考模拟) 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,∠ACB=45°,∠AOC=150°,过点C 作⊙O的切线交AB 的延长线于点D 。

(1) 求证:CD=CB 。

(2) 如果⊙O 的半径为2,求AC 的长。

考点: 等边三角形的判定与性质;相似三角形的判定与性质;~~第3题~~(2019宁江.中考模拟)(1) 如图①,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,过点O 作直线EF ⊥BD ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,连接BE 、DF ,且BE 平分∠ABD.①求证:四边形BFDE 是菱形;②直接写出∠EBF 的度数;(2) 把(1)中菱形BFDE 进行分离研究,如图②,点G 、I 分别在BF 、BE 边上,且BG=BI ,连接GD ,H 为GD 的中点,连接FH 并延长,交ED 于点J ,连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系,并说明理由;(3) 把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究,如图③,当矩形ABCD 满足AB=AD 时,点E 是对角线AC 上一点,连接D E 、EF 、DF ,使△DEF 是等腰直角三角形,DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理;菱形的判定与性质;答案答案~~第4题~~(2019云南.中考模拟) 已知△ABC 是边长为4的等边三角形,边AB 在射线OM 上,且OA =6,点D 是射线OM 上的动点,当点D 不与点A 重合时,将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE , 连接DE .(1) 如图1,求证:△CDE 是等边三角形.(2) 设OD =t ,①当6<t <10时,△BDE 的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE 周长的最小值;若不存在,请说明理由.②求t 为何值时,△DEB 是直角三角形(直接写出结果即可).考点: 垂线段最短;直角三角形的性质;等边三角形的判定与性质;旋转的性质;~~第5题~~(2019绍兴.中考模拟) 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O 为AB 中点,点P 为直线BC上的动点(不与点B 、点C 重合),连接OC 、OP ,将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°,得到线段PQ ,连接BQ .(1) 如图1,当点P 在线段BC 上时,请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系.(2) 如图2,当点P 在CB 延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3) 如图3,当点P 在BC 延长线上时,若∠BPO=15°,BP=4,请求出BQ 的长.考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理;2020年中考数学:图形的性质_三角形_等边三角形的判定与性质练习题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:。

中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年填空题版

中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年填空题版

9.答案: 10.答案:
答案
~~第3题~~ (2020玉林.中考模拟) 如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,点E、F分别是AB,BC的中点,AB=4,E F=2,∠B=60°,则CD的长为________.
考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;
答案
~~第4题~~ (2020封开.中考模拟) 如图,在正方形 分的面积为________(结果保留 )
考点: 线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性顺.中考真卷) 如图,直线 的解析式是
,直线 的解析式是
,点 在 上, 的横坐标
为 ,作
交 于点 ,点 在 上,以 , 为邻边在直线 , 间作菱形
,分别以点
, 为圆心,以 为半径画弧得扇形
和扇形
,记扇形
中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年填空题版
2020年 中 考 数 学 : 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题
~~第1题~~ (2020温岭.中考模拟) 如图,在直径为8的弓形ACB中,弦AB=4 ,C是弧AB的中点,点M为弧上动点,CN⊥AM于 点N,当点M从点B出发逆时针运动到点C,点N所经过的路径长为________.
是直角三角形,则弦BC的长为________ .
考点: 等腰直角三角形;等边三角形的判定与性质;解直角三角形;
答案
2020年 中 考 数 学 : 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题 答 案
1.答案:
2.答案: 3.答案: 4.答案:
5.答案: 6.答案: 7.答案: 8.答案:

九上数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年填空题版

九上数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年填空题版

答案解析
9. (2018濮阳.九上期末) 如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交弧AB于点E,以点O为圆心, OC为半径作弧CD交OB于点D,若OA=2,则阴影部分的面积为________.
考点: 等边三角形的判定与性质;扇形面积的计算;

答案解析
10. (2018洛宁.九上期末) 已知:直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD、CE分别是斜边上的高和中线,AC=CE=10cm, 则BD=________.
③以C为圆心,OC为半径作弧,与圆O交于点D,作射线AD,∠DAB即为所求的角
请回答:该尺规作图的依据是________.
考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;圆周角定理;作图—基本作图;
答案解析
8. (2018福建.九上期末) 圆内接正六边形的边长为10cm,则它的边心距等于________cm. 考点: 等边三角形的判定与性质;正多边形和圆;解直角三角形;
考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;矩形的性质;
答案解析
2. (2019锦州.九上期末) 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,CE⊥AD,且CE=BC,连接BE交对角线AC于点F,则 ∠EFC=________°
考点: 等边三角形的判定与性质;菱形的性质;
答案解析
3. (2019上街.九上期末) 如图,六边形ABCDEF的六个角都是120°,边长AB=1cm,BC=3cm,CD=3cm,DE=2cm ,则这个六边形的周长是:________.
5.
(2020绍兴.九上期中) 如图,
的对角线
交于点 , 平分
,且
,连接 .下列结论:①

决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《三角形》(含解析)

决战2020年中考数学压轴题综合提升训练《三角形》(含解析)

《三角形》1.已知,△ABC是等边三角形,过点C作CD∥AB,且CD=AB,连接BD交AC于点O.(1)如图1,求证:AC垂直平分BD;(2)如图2,点M在BC的延长线上,点N在线段CO上,且ND=NM,连接BN.求证:NB =NM.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°,∵CD∥AB,且CD=AB,∴CD=CA=BC,∠ACD=∠ACB=60°,∴BO=DO,CO⊥BD,∴AC垂直平分BD;(2)由(1)知AC垂直平分BD,∴NB=ND,∵ND=NM,∴NB=NM.2.等腰Rt△ABC,点D为斜边AB上的中点,点E在线段BD上,连结CD,CE,作AH⊥CE,垂足为H,交CD于点G,AH的延长线交BC于点F.(1)求证:△ADG≌△CDE.(2)若点H恰好为CE的中点,求证:∠CGF=∠CFG.证明:(1)在等腰Rt△ABC中,∵点D为斜边AB上的中点,∴CD=AB,CD⊥AB,∵AD=AB,∴AD=CD,∵CD⊥AB,∴∠ADG=∠CDE=90°,∵AH⊥CE,∴∠CGH+∠GCH=90°,∵∠AGD+∠GAD=90°,又∵∠AGD=∠CGH,∴∠GAD=∠GCH,在△△ADG和△CDE中∵∠ADG=∠CDE=90°,AD=CD,∠GAD=∠GCH∴△ADG≌△CDE(ASA),(2)∵AH⊥CE,点H为CE的中点,∴AC=AE,∴∠CAH=∠EAH,∵∠CAH+∠AFC=90°,∠EAH+∠AGD=90°,∴∠AFC=∠AGD,∵∠AGD=∠CGH,∴∠AFC=∠CGH,即∠CGF=∠CFG.3.如图,在△ABC中,AD⊥BC且BD=DE,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E.(1)若∠BAE=32°,求∠C的度数;(2)若AC=6cm,DC=5cm,求△ABC的周长.解:(1)∵AD⊥BC,BD=DE,EF垂直平分AC∴AB=AE=EC∴∠C=∠CAE,∵∠BAE=32°∴∠AED=(180°﹣32°)=74°;∴∠C=∠AED=37°;(2)由(1)知:AE=EC=AB,∵BD=DE,∴AB+BD=EC+DE=DC,∴△ABC的周长=AB+BC+AC,=AB+BD+DC+AC,=2DC+AC=2×5+6=16(cm).4.如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD⊥BC于D.(1)求证:∠AOB=90°+∠C;(2)求证:AE+BF=EF;(3)若OD=a,CE+CF=2b,请用含a,b的代数式表示△CEF的面积,S△CEF=ab(直接写出结果).证明:(1)∵OA,OB平分∠BAC和∠ABC,∴,,∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA====(2)∵EF∥AB,∴∠OAB=∠AOE,∠ABO=∠BOF又∠OAB=∠EAO,∠OBA=∠OBF,∴∠AOE=∠EAO,∠BOF=∠OBF,∴AE=OE,BF=OF,∴EF=OE+OF=AE+BF;(3)∵点O在∠ACB的平分线上,∴点O到AC的距离等于OD,∴S△CEF=(CE+CF)•OD=•2b•a=ab,故答案为:ab.5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:BD•AD=DE•AC.(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.(3)在(2)的条件下,求cos∠BDE的值.证明:(1)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD.∴,∴BA•AD=DE•CA;(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADB中,AD===12,∵•AD•BD=•AB•DE,∴DE=.(3)∵∠ADB=∠AED=90°,∴∠BDE=∠BAD,∴cos∠BDE=cos∠BAD=.6.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,交AC于点E.(1)求证:BD=CD.(2)若弧DE=50°,求∠C的度数.(3)过点D作DF⊥AB于点F,若BC=8,AF=3BF,求弧BD的长.(1)证明:如图,连接AD.∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BD.又∵AB=AC,∴BD=CD.(2)解:∵弧DE=50°,∴∠EOD=50°.∴∠DAE=∠DOE=25°.∵由(1)知,AD⊥BD,则∠ADB=90°,∴∠ABD=90°﹣25°=65°.∵AB=AC,∴∠C=∠ABD=65°.(3)∵BC=8,BD=CD,∴BD=4.设半径OD=x.则AB=2x.由AF=3BF可得AF=AB=x,BF=AB=x,∵AD⊥BD,DF⊥AB,∴BD2=BF•AB,即42=x•2x.解得x=4.∴OB=OD=BD=4,∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD=60°.∴弧BD的长是:=.7.阅读下面材料:数学课上,老师给出了如下问题:如图,AD为△ABC中线,点E在AC上,BE交AD于点F,AE=EF.求证:AC=BF.经过讨论,同学们得到以下两种思路:思路一如图①,添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB,再利用AE=EF可以进一步证得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,从而证明结论.思路二如图②,添加辅助线后并利用AE=EF可证得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE,再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB,从而证明结论.完成下面问题:(1)①思路一的辅助线的作法是:延长AD至点G,使DG=AD,连接BG;②思路二的辅助线的作法是:作BG=BF交AD的延长线于点G.(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求:只写出辅助线的作法,并画出相应的图形,不需要写出证明过程).解:(1)①延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,如图①,理由如下:∵AD为△ABC中线,∴BD=CD,在△ADC和△GDB中,,∴△ADC≌△GDB(SAS),∴AC=BG,∵AE=EF,∴∠CAD=∠EFA,∵∠BFG=∠G,∠G=∠CAD,∴∠G=∠BFG,∴BG=BF,∴AC=BF.故答案为:延长AD至点G,使DG=AD,连接BG;②作BG=BF交AD的延长线于点G,如图②.理由如下:∵BG=BF,∴∠G=∠BFG,∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA,∵∠EFA=∠BFG,∴∠G=∠EAF,在△ADC和△GDB中,,∴△A DC≌△GDB(AAS),∴AC=BG,∴AC=BF;故答案为:作BG=BF交AD的延长线于点G;(2)作BG∥AC交AD的延长线于G,如图③所示:则∠G=∠CAD,∵AD为△ABC中线,∴BD=CD,在△ADC和△GDB中,,∴△ADC≌△GDB(AAS),∴AC=BG,∵AE=EF,∴∠CAD=∠EFA,∵∠BFG=∠G,∠G=∠CAD,∴∠G=∠BFG,∴BG=BF,∴AC=BF.8.如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE∥OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0.(1)求A、B两点的坐标;(2)若点D为AB中点,求OE的长;(3)如图2,若点P(x,﹣2x+4)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标.解:(1)∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|=0,∴(n﹣4)2+|n﹣2m|=0,∵(n﹣4)2≥0,|n﹣2m|≥0,∴(n﹣4)2=0,|n﹣2m|=0,∴m=2,n=4,∴点A为(2,0),点B为(0,4);(2)延长DE交x轴于点F,延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,设OE=x,∵OC平分∠AOB,∴∠BOC=∠AOC=45°,∵DE∥OC,∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°,∴OE=OF=x,在△ADF和△BDG中,,∴△ADF≌△BDG(SAS),∴BG=AF=2+x,∠G=∠AFE=45°,∴∠G=∠BEG=45°,∴BG=BE=4﹣x,∴4﹣x=2+x,解得:x=1,∴OE=1;(3)如图2,分别过点F、P作FM⊥y轴于点M,PN⊥y轴于点N,设点E为(0,m),∵点P的坐标为(x,﹣2x+4),∴PN=x,EN=m+2x﹣4,∵∠PEF=90°,∴∠PEN+∠FEM=90°,∵FM⊥y轴,∴∠MFE+∠FEM=90°,∴∠PEN=∠MFE,在△EFM和△PEN中,,∴△EFM≌△PEN(AAS),∴ME=NP=x,FM=EN=m+2x﹣4,∴点F为(m+2x﹣4,m+x),∵F点的横坐标与纵坐标相等,∴m+2x﹣4=m+x,解得:x=4,∴点P为(4,﹣4).9.在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE,连结BE.(1)若点D在线段AM上时(如图1),则AD=BE(填“>”、“<”或“=”),∠CAM =30 度;(2)设直线BE与直线AM的交点为O.①当动点D在线段AM的延长线上时(如图2),试判断AD与BE的数量关系,并说明理由;②当动点D在直线AM上时,试判断∠AOB是否为定值?若是,请直接写出∠AOB的度数;若不是,请说明理由.解:(1))∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DC E=60°∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE;∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM=∠BAC,∴∠CAM=30°.故答案为:=,30;(2)①AD=BE,理由如下:∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB,∠BCE=∠DCE﹣∠DCB,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE.②∠AOB是定值,∠AOB=60°,理由如下:当点D在线段AM上时,如图1,由①知△ACD≌△BCE,则∠CBE=∠CAD=30°,又∠ABC=60°,∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°,∵△ABC是等边三角形,线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC,即,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.当点D在线段AM的延长线上时,如图2,∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴∠CBE=∠CAD=30°,同理可得:∠BAM=30°,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.10.数学课上,王老师出示了如下框中的题目.小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况•探索结论:在等边三角形ABC中,当点E为AB的中点时,点D在CB点延长线上,且ED=EC;如图1,确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论AE =DB;(2)特例启发,解答题目王老师给出的题目中,AE与DB的大小关系是:AE=DB.理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在△ABC中,AB=BC=AC=1;点E在AB的延长线上,AE=2;点D在CB的延长线上,ED =EC,如图3,请直接写CD的长1或3 .解:(1)如图1,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF为等边三角形,∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC,∴∠EDB=∠FEC,在△BDE和△FEC中,,∴△BDE≌△FEC(AAS),∴BD=EF,∴AE=BD,故答案为:=;(2)解答过程如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF为等边三角形,∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE,∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC,∴∠EDB=∠FEC,在△BDE和△FEC中,∴△BDE≌△FEC(AAS),∴BD=EF,∴AE=BD.故答案为:AE=DB.(3)解:分为四种情况:如图3,∵AB=AC=1,AE=2,∴B是AE的中点,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=1,△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),∴∠ACE=90°,∠AEC=30°,∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°,∠DBE=∠ABC=60°,∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°,即△DEB是直角三角形.∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半),即CD=1+2=3.如图4,过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M,∵等边三角形ABC,EC=ED,∴BN=CN=BC=,CM=MD=CD,AN∥EM,∴△BAN∽△BEM,∴,∵△ABC边长是1,AE=2,∴,∴MN=1,∴CM=MN﹣CN=1﹣=,∴CD=2CM=1;如图5,∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD不能大于120°,否则△EDC不符合三角形内角和定理,∴此时不存在EC=ED;如图6,∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB,又∵∠ABC=∠ACB=60°,∴∠ECD>∠EDC,即此时ED≠EC,∴此时情况不存在,答:CD的长是3或1.故答案为:1或3.11.定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍,则称这样的三角形为“倍角三角形”.(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,求证:△ABC是倍角三角形;(2)若△ABC是倍角三角形,∠A>∠B>∠C,∠B=30°,AC=,求△ABC面积;(3)如图2,△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D,延长CA到点E,使得AE=AB,若AB+AC=BD,请你找出图中的倍角三角形,并进行证明.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=36°,∴∠B=∠C=72°,∴∠A=2∠C,即△ABC是倍角三角形,(2)解:∵∠A>∠B>∠C,∠B=30°,①当∠B=2∠C,得∠C=15°,过C作CH⊥直线AB,垂足为H,可得∠CAH=45°,∴AH=CH=AC=4.∴BH=,∴AB=BH﹣AH=﹣4,∴S=.②当∠A=2∠B或∠A=2∠C时,与∠A>∠B>∠C矛盾,故不存在.综上所述,△ABC面积为.(3)∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,∵AB=AE,AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS),∴∠ADE=∠ADB,BD=DE.又∵AB+AC=BD,∴AE+AC=BD,即CE=BD.∴CE=DE.∴∠C=∠BDE=2∠ADC.∴△ADC是倍角三角形.12.如图,在平面直角坐标系中,OA=OB,AC=CD,已知两点A(4,0),C(0,7),点D 在第一象限内,∠DCA=90°,点B在线段OC上,AB的延长线与DC的延长线交于点M,AC与BD交于点N.(1)点B的坐标为:(0,4);(2)求点D的坐标;(3)求证:CM=CN.解:(1)∵A(4,0),∴OA=OB=4,∴B(0,4),故答案为:(0,4).(2)∵C(0,7),∴OC=7,过点D作DE⊥y轴,垂足为E,∴∠DEC=∠AOC=90°,∵∠DCA=90°,∴∠ECD+∠BCA=∠ECD+∠EDC=90°∴∠BCA=∠EDC,∴△DEC≌△COA(AAS),∴DE=OC=7,EC=OA=4,∴OE=OC+EC=11,∴D(7,11);(3)证明:∵BE=OE﹣OB=11﹣4=7 ∴BE=DE,∴△DBE是等腰直角三角形,∴∠DBE=45°,∵OA=OB,∴∠OBA=45°,∴∠DBA=90°,∴∠BAN+∠ANB=90°,∵∠DCA=90°,∴∠CDN+∠DNC=90°,∵∠DNC=∠ANB,∴∠CDN=∠BAN,∵∠DCA=90°,∴∠ACM=∠DCN=90°,∴△DCN≌△ACM(ASA),∴CM=CN.13.如图,在△ABC中,BD⊥AC,垂足为C,且∠A<∠C,点E是一动点,其在BC上移动,连接DE,并过点E作EF⊥DE,点F在AB的延长线上,连接DF交BC于点G.(1)请同学们根据以上提示,在上图基础上补全示意图.(2)当△ABD与△FDE全等,且AD=FE,∠A=30°,∠AFD=40°,求∠C的度数.解:(1)补全示意图如图所示,(2)∵DE⊥EF,BD⊥AC,∴∠DEF=∠ADB=90°.∵△ABD与△DEF全等,∴AB=DF,又∵AD=FE,∴∠ABD=∠FDE,∴BD=DE.在Rt△ABD中,∠ABD=90°﹣∠A=60°.∴∠FDE=60°.∵∠ABD=∠BDF+∠AFD,∵∠AFD=40°,∴∠BDF=20°.∴∠BDE=∠BDF+∠FDE=20°+60°=80°.∵BD=DE,∴∠DBE=∠BED=(180°﹣∠BDE)=50°.在Rt△BDC中,∠C=90°﹣∠DBE=90°﹣50°=40°.14.如图.CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线,点D在边BC上,以D为顶点,DA为一条边作∠ADF=60°,另一边交射线CP于F.(1)求证.AD=FD;(2)若AB=2,BD=x,DF=y,求y关于x的函数解析式;(3)联结AF,当△ADF的面积为时,求BD的长.证明:(1)如图1,连接AF,∵∠ACB=60°,∴∠ACE=120°,∵CP平分∠ACE,∴∠ACP=∠PCE=60°,∴∠ADF=∠ACP=60°,∴A、D、C、F四点共圆,∴∠AFD=∠ACB=60°,∴∠ADF=∠AFD=60°,∴∠DAF=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=FD;(2)如图2,过点A作AH⊥BC,∵△ABC是等边三角形,AH⊥BC,AB=2,∴BH=1,AH=BH=,∴HD=BD﹣BH=x﹣1,∵DF==,∴y=(3)∵△ADF是等边三角形,且△ADF的面积为,∴DF2=,∴DF2==x2﹣2x+4∴x=∴BD=或15.如图,△ABC是等边三角形,D是BC边的中点,以D为顶点作一个120°的角,角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点.以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变),当DM与AB垂直时(如图①所示),易证BM+CN=BD.(1)如图②,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC上时,BM+CN=BD是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;(2)如图③,当DM与AB不垂直,点M在边AB上,点N在边AC的延长线上时,BM+CN =BD是否仍然成立?若不成立,请写出BM,CN,BD之间的数量关系,不用证明.解:(1)结论BM+CN=BD成立,理由如下:如图②,过点D作DE∥AC交AB于E,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE∥AC,∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,∴△BDE是等边三角形,∠EDC=120°,∴BD=BE=DE,∠EDN+∠CDN=120°,∵∠EDM+∠EDN=∠MDN=120°,∴∠CDN=∠EDM,∵D是BC边的中点,∴DE=BD=CD,在△CDN和△EDM中,,∴△CDN≌△EDM(ASA),∴CN=EM,∴BD=BE=BM+EM=BM+CN;(2)上述结论不成立,BM,CN,BD之间的数量关系为:BM﹣CN=BD;理由如下:如图③,过点D作DE∥AC交AB于E,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∴∠NCD=120°,∵DE∥AC,∴∠BED=∠A=60°,∠BDE=∠C=60°,∴∠B=∠BED=∠BDE=60°,∴△BDE是等边三角形,∠MED=∠EDC=120°,∴BD=BE=DE,∠NCD=∠MED,∠EDM+∠CDM=120°,∵∠CDN+∠CDM=∠MDN=120°,∴∠CDN=∠EDM,∵D是BC边的中点,∴DE=BD=CD,在△CDN和△EDM中,,∴△CDN≌△EDM(ASA),∴CN=EM,∴BD=BE=BM﹣EM=BM﹣CN,∴BM﹣CN=BD.。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练:《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练:《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练:《三角形综合》1.(1)已知:如图1,△ABC为等边三角形,点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等边△ADE,连接CE.求证:①BD=CE,②∠DCE=120°;(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE,类比题(1),请你猜想:①∠DCE的度数;②线段BD、CD、DE之间的关系,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,若D点在BC的延长线上运动,以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE.①则题(2)的结论还成立吗?请直接写出,不需论证;②连结BE,若BE=10,BC=6,直接写出AE的长.证明:(1)①如图1,∵△ABC和△ADE是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠ACB=∠B=60°,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,∴∠BAD=∠EAC.在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE;②∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°;(2)∠DCE=90°,BD2+CD2=DE2.证明:如图2,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠B=∠ACE=45°,BD=CE,∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°,∴∠BCE=90°,∴Rt△DCE中,CE2+CD2=DE2,∴BD2+CD2=DE2;(3)①(2)中的结论还成立.理由:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABC=∠ACE=45°,BD=CE,∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°,∴∠BCE=90°=∠ECD,∴Rt△DCE中,CE2+CD2=DE2,∴BD2+CD2=DE2;②∵Rt△BCE中,BE=10,BC=6,∴CE===8,∴BD=CE=8,∴CD=8﹣6=2,∴Rt△DCE中,DE===,∵△ADE是等腰直角三角形,∴.2.【问题】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线L上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.【探究发现】(1)如图2,某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想,发现当点D 移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;【数学思考】(2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.【探究发现】证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DP=DB;【数学思考】证明:(2)∵DG⊥CD,∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG,在△CDP和△GDB中,,∴△CDP≌△GDB(ASA)∴DP=DB.3.在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC和AC上,AD与BE相交于点F.(1)如图1,若∠BAC=60°,BD=CE,求证:∠1=∠2;(2)如图2,在(1)的条件下,连接CF,若CF⊥BF,求证:BF=2AF;(3)如图3,∠BAC=∠BFD=2∠CFD=90°,若S△ABC =2,求S△CDF的值.(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠1=∠2;(2)如图2,过B作BH⊥AD,垂足为H,∵△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,∵∠ABF+∠CBE=60°,∴∠BFD=∠ABF+∠BAD=60°,∴∠FBH=30°,∴BF=2FH,在△AHB和△BFC中,∴△AHB≌△BFC(AAS),∴BF=AH=AF+FH=2FH,∴AF=FH,∴BF=2AF;(3)如图3,过C作CM⊥AD交AD延长线于M,过C作CN⊥BE交BE延长线于N,∵∠BFD=2∠CFD=90°,∴∠EFC=∠DFC=45°,∴CF是∠MFN的角平分线,∴CM=CN,∵∠BAC=∠BFD=90°,∴∠ABF=∠CAD,在△AFB和△CMA中,∴△AFB≌△CMA(AAS)∴BF=AM,AF=CM,∴AF=CN,∵∠FMC=90°,∠CFM=45°,∴△FMC为等腰直角三角形,∴FM=CM,∴BF=AM=AF+FM=2CM,∴S△BDF =2S△CDF,∵AF=CM,FM=CM,∴AF=FM,∴F是AM的中点,∴S△AFC =S△AMC=S△AFB,∵AF⊥BF,CN⊥BF,AF=CN,∴S△AFB =S△BFC,设S△CDF =x,则S△BDF=2x,∴S△AFB =S△BFC=3x∴S△AFC =S△AFB=x,则3x+3x+x=2,解得,x=,即S△CDF=.4.在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.(1)如图①,若∠BAC=110°,则∠MAN=40 °,若△AMN的周长为9,则BC=9 .(2)如图②,若∠BAC=135°,求证:BM2+CN2=MN2;(3)如图③,∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P,过点P作PH垂直BA 的延长线于点H.若AB=5,CB=12,求AH的长.解:(1)∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°,∵AB边的垂直平分线交BC边于点M,∴AM=BM,∴∠BAM=∠B,同理:NA=NC,∴∠NAC=∠C,∴∠MAN=110°﹣(∠BAM+∠NAC)=40°,∵△AMN的周长为9,∴MA+MN+NA=9,∴BC=MB+MN+NC=MA+MN+NA=9,故答案为:40;9;(2)如图②,连接AM、AN,∵∠BAC=135°,∴∠B+∠C=45°,∵点M在AB的垂直平分线上,∴AM=BM,∴∠BAM=∠B,同理AN=CN,∠CAN=∠C,∴∠BAM+∠CAN=45°,∴∠MAN=∠BAC﹣(∠BAM+∠CAN)=90°,∴AM2+AN2=MN2,∴BM2+CN2=MN2;(3)如图③,连接AP、CP,过点P作PE⊥BC于点E,∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC,∴PH=PE,∵点P在AC的垂直平分线上,∴AP=CP,在Rt△APH和Rt△CPE中,,∴Rt△APH≌Rt△CPE(HL),∴AH=CE,在△BPH和△BPE中,,∴△BPH≌△BPE(AAS)∴BH=BE,∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH,∴AH=(BC﹣AB)÷2=3.5.5.(1)问题发现:如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.试写出线段DE,BD和CE之间的数量关系为DE=BD+CE;(2)思考探究:如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A、E三点都在直线m上,并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问(1)中结论还是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图3,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状并说明理由.解:(1)如图1,∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,在△ADB和△CEA中,,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE,故答案为:DE=BD+CE;(2)(1)中结论成立,理由如下:如图2,∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,∴∠DBA=∠CAE,在△ADB和△CEA中,,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE;(3)△DEF是等边三角形,理由如下:如图3,由(2)可知,△ADB≌△CEA,∴BD=AE,∠DBA=∠CAE,∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°,BF=AF,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠AFE,∵在△DBF和△EAF中,,∴△DBF≌△EAF(SAS)∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,∴∠DFE =∠DFA +∠AFE =∠DFA +∠BFD =60°,∴△DEF 为等边三角形.6.如图所示,直线AB 交x 轴于点A (4,0),交y 轴于点B (0,﹣4).(I )如图①,若C 的坐标为(﹣1,0),且AH ⊥BC 于点H ,AH 交OB 于点P ,试求点P 的坐标;(II )如图②,在(I )的条件下,连接OH ,求∠OHC 的度数;(III )如图③,若点D 为AB 的中点,点M 为y 轴正半轴上一动点,连接MD ,过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点,当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中,式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变?如发生改变,求出该式子的值的变化范围;若不改变,求该式子的值.解:(I )由题意,OA =OB =4,∵∠AHC =90°,∠BOC =90°,∴∠CAH =∠CBO ,在△OAP 和△OBC 中,,∴△OAP ≌△OBC (ASA ),∴OP =OC =1,则点P 的坐标为(0,﹣1);(II )如图②,过O 分别作OM ⊥BC 于M ,作ON ⊥AH 于N ,则四边形MONH 为矩形,∴∠MON =90°,∵∠COP =90°,∴∠COM =∠PON ,在△COM 和△PON 中,,∴△COM ≌△PON (AAS )∴OM =ON ,又OM ⊥BC ,作ON ⊥AH ,∴HO 平分∠MHN ,∴∠OHC =∠MHN =45°;(III )式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变,等于4.理由如下:如图③,连接OD ,∵∠AOB =90°,OA =OB ,点D 为AB 的中点,∴OD ⊥AB ,OD =AD =BD =,∠OAB =45°,∴∠BOD =45°,∴∠MOD =135°,∴∠MOD =∠NAD =135°,∵∠ODA =90°,∠MDN =90°,∴∠MDO =∠NDA ,在△MOD 和△NAD 中,,∴△MOD ≌△NAD (ASA )∴S △MDO =S △NDA ,∴S △BDM ﹣S △ADN =S △BDM ﹣S △ODM =S △BDO =××4×4=4.7.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D在边AB上,点E在边AC的左侧,连接AE.(1)求证:AE=BD;(2)试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系;(3)过点C作CF⊥DE交AB于点F,若BD:AF=1:2,CD=,求线段AB的长.(1)证明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.(2)解:由(1)得△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD,又∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB=∠CBA=∠CAE=45°,∴∠EAD=90°,在Rt△ADE中,AE2+AD2=ED2,且AE=BD,∴BD2+AD2=ED2,∵ED=CD,∴BD2+AD2=2CD2,(3)解:连接EF,设BD=x,∵BD:AF=1:2,则AF=2x,∵△ECD都是等腰直角三角形,CF⊥DE,∴DF=EF,由(1)、(2)可得,在Rt△FAE中,EF===3x,∵AE2+AD2=2CD2∴,解得x=1,∴AB=2+4.8.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.(1)如图1,若点D是AC的中点,求证:AD=CE;(2)如图2,若点D不是AC的中点,AD=CE是否成立?证明你的结论;(3)如图3,若点D在线段AC的延长线上,试判断AD与CE的大小关系,并说明理由.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC,∵D为AC中点,∴∠DBC=30°,AD=DC,∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=30°=∠E,∴CD=CE,∵AD=DC,∴AD=CE;(2)成立,如图2,过D作DF∥BC,交AB于F,则∠ADF=∠ACB=60°,∵∠A=60°,∴△AFD是等边三角形,∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°,∵DF∥BC,∴∠FDB=∠DBE=∠E,在△BFD和△DCE中,∴△BFD≌△DCE(AAS),∴CE=DF=AD,即AD=CE.(3)AD=CE.证明:如图3,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°,∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC,∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC,在△BPD和△DCE中,,∴△BPD≌△DCE(AAS),∴PD=CE,∴AD=CE.9.如图(a),△ABC、△DCE都为等腰直角三角形,B、C、E三点在同一直线上,连接AD.(1)若AB=2,CE=,求△ACD的周长;(2)如图(b),点G为BE的中点,连接DG并延长至F,使得GF=DG,连接BF、AG.(i)求证:BF∥DE;(ii)探索AG与FD的位置关系,并说明理由.(1)解:∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠ACB=45°,DC=DE,∠DCE=45°,∴∠ACD=180°﹣45°﹣45°=90°,在Rt△DCE中,DC2+DE2=CE2=()2=2,∴DC=DE=1,由勾股定理得,AD===,∴△ACD的周长=AC+CD+AD=3+;(2)(i)证明:在△BGF和△EGD中,,∴△BGF≌△EGD(SAS)∴∠GBF=∠E,∴BF∥DE;(ii)AG⊥FD,理由如下:如图(b)连接AF,∵△DEG≌△FBG,∴BF=DE=CD,∠GBF=∠E=45°,∵∠ABF=∠ABC+∠GBF=90°,∴∠ABF=∠ACD,在△ACD和△ABF中,,∴△ACD≌△ABF(SAS),∴AF=AD,又∵DG=FG,∴AG⊥FD.10.如图1,点M为直线AB上一动点,△PAB,△PMN都是等边三角形,连接BN,(1)M点如图1的位置时,如果AM=5,求BN的长;(2)M点在如图2位置时,线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM=BN;(3)M点在如图3位置时,当BM=AB时,证明:MN⊥AB.(1)解:∵△PAB,△PMN都是等边三角形,∴∠APB=MPN=60°,PA=PB,PM=PN,∴∠APB﹣∠MPB=MPN﹣∠MPB,即∠APM=∠BPN,在△PAM和△PBN中,∴△PAM≌△PBN(SAS)∴AM=BN=5;(2)解:AB+BM=BN,理由如下:∵△PAB,△PMN都是等边三角形,∴∠APB=MPN=60°,PA=PB,PM=PN,∴∠APB+∠MPB=MPN+∠MPB,即∠APM=∠BPN,在△PAM和△PBN中,∴△PAM≌△PBN(SAS)∴AM=BN,∴BN=AM=AB+BM,故答案为:AB+BM=BN;(3)证明:∵△PAB是等边三角形,∴AB=PB,∠ABP=60°,∵BM=AB,∴PB=BM,∴∠BPM=∠PMB,∵∠ABP=60°,∴∠BPM=∠PMB=30°,∵△PMN是等边三角形,∴∠PMN=60°,∴∠AMN=90°,∴MN⊥AB.11.如图1,张老师在黑板上画出了一个△ABC,其中AB=AC.让同学们进行探究.(1)探究一:如图2,小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC,连接AD.请直接写出∠ADB的度数150°;(2)探究二:如图3,小彬在(1)的条件下,又以AB为边作等边△ABE,连接CE.判断CE与AD的数量关系,并说明理由;(3)探究三:如图3,小聪在(2)的条件下,连接DE.若∠DEC=60°,DE=2,求AE 的长.解:(1)探究一:∵△BDC是等边三角形,∴BD=DC,∠BDC=60°,在△ADB和△ADC中,,∴△ADB≌△ADC(SSS),∴∠ADB=∠ADC,∵∠ADB+∠ADC=360°﹣60°,∴∠ADB=150°,故答案为:150°.(2)探究二:结论:CE=AD.理由:∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE=∠DBC=60°,AB=BE,BD=DC.∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD=∠EBC,在△ABD和△EBC中,∴△ABD≌△EBC(SAS).∴AD=CE.(3)探究三:∵△ABD≌△EBC,∴∠BDA=∠ECB=150°,∵∠BCD=60°,∴∠DCE=90°,∵∠DEC=60°,∴∠CDE=30°,∵DE=2,∴CE=1,由勾股定理得,DC=BC=,∵∠BDE=60°+30°=90°,DE=2,BD=.由勾股定理得,BE==.∵△ABE是等边三角形∴AE=BE=.12.(1)发现:如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E,由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型;(2)应用:如图2,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=BD,∠CAD=90°,AB=6,请求出△ABC的面积;(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣1,﹣4),点B为平面内一点.若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点B的坐标.解:(1)AC=DE,BC=AE;故答案为:DE,AE;(2)作AE⊥CD于E,如图2所示:∵AC=AD,∠CAD=90°,∴AE=CD=DE=CE,∴AD=AC=AE,设AE=DE=CE=x,则AC=AD=BD=x,∴BE=x+x,BC=2x+x,∴AB2=(x+x)2+x2=62,解得:x2=18﹣9,∴△ABC的面积=BC×AE=(2x+x)×x=×(2+)×x2=×(2+)×(18﹣9)=18;(3)分两种情况:①过A作AC⊥y轴于D,过B作BE⊥x轴于E,DA与EB相交于C,如图3所示:则∠C=90°,∵点A的坐标为(﹣1,﹣4),∴AD=1,OD=CE=4,∵∠OBO=90°,∴∠OBE+∠ABC=90°,∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠OBE,在△ABC与△BOE中,,∴△ABC≌△BOE(AAS),∴AC=BE,BC=OE,设OE=x,则BC=OE=CD=x,∴AC=BE=x+1,∴CE=BE+BC=x+1+x=OD=4,∴x=,x+1=,∴点B的坐标(,);②如图4,同理可得,点B的坐标(﹣,﹣),综上所述,点B的坐标为(,)或(﹣,﹣).13.模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为b+c(用含b,c的式子表示)(直接填空)模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为 5 .模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB=8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.解:当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,最大值为b+c,故答案为:线段BA的延长线上;b+c;模型应用:(1)证明:∵△ACD、△BCE都是等边三角形,∴CD=CA=AD,CB=CE,∠ACD=60°,∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△DCB和△ACE中,,∴△DCB≌△ACE(SAS)∴BD=AE;(2)当点D位于线段BA的延长线上时,线段BD的长取得最大值,最大值为AB+AD=AB+AC =3+2=5,∵AE=BD,∴线段AE长的最大值为5,故答案为:5;模型拓展:取AB的中点G,连接OG、CG,在Rt△AOB中,G为AB的中点,∴OG=AB=4,在Rt△CAG中,CG===5,当点O、G、C在同一条直线上时,OC最大,最大值为4+5=9.14.已知,平面直角坐标系中,A在x轴正半轴,B(0,1),∠OAB=30°.(1)如图1,已知AB=2.点C在y轴的正半轴上,当△ABC为等腰三角形时,直接写出点C的坐标为(0,3);(2)如图2,以AB为边作等边△ABE,AD⊥AB交OA的垂直平分线于D,求证:BD=OE;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DE交AB于F,求的值.(1)解:∵B(0,1),∴OB=1,∵AB=2,点C在y轴的正半轴上,△ABC为等腰三角形,∴BC=AB=2,∴OC=OB+BC=3,∴点C的坐标为(0,3),故答案为:(0,3);(2)证明:连接OD,如图2所示:∵△ABE是等边三角形,∴AB=AE,∠BAE=60°,∵∠OAB=30°,∴∠OAE=30°+60°=90°,∵AD⊥AB,∴∠DAB=90°=∠OAE,∠OAD=90°﹣30°=60°,∵MN是OA的垂直平分线,∴OD=AD,∴△OAD是等边三角形,∴AO=AD,在△ABD和△AEO中,,∴△ABD≌△AEO(SAS),∴BD=OE;(3)解:作EH⊥AB于H,如图3所示:∵△ABE是等边三角形,EH⊥AB,∴AH=AB,∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,∴OB=AB,∴AH=OB,在Rt△AEH和Rt△BAO中,,∴Rt△AEH≌Rt△BAO(HL),∴EH=AO=AD,在△HFE和△AFD中,,∴△HFE≌△AFD(AAS),∴EF=DF,∴DE=2DF,∴=.15.在平面直角坐标系中,M(m,n)且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4=0,B(0,b)为y轴上一动点,绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C,过C作AC⊥BC交直线BM于点A(a,t).(1)求点M的坐标;(2)如图1,在B点运动的过程中,A点的横坐标是否会发生变化?若不变,求a的值;若变化,写出A点的横坐标a的取值范围;(3)如图2,过T(a,0)作TH⊥BM(垂足H在x轴下方),在射线HB上截取HK=HT,连OK,求∠OKB的度数.解:(1)m2+2n2﹣2mn+4n+4=0,m2+n2﹣2mn+n2+4n+4=0,(m﹣n)2+(n+2)2=0,则m﹣n=0,n+2=0,解得,m=﹣2,n=﹣2,∴点M的坐标为(﹣2,﹣2);(2)过A作AT⊥x轴,MD⊥x轴于D,连接OM,CM,在Rt△ACB中,∠ABC=45°,∴CA=CB,∵∠ACB=90°,∴∠ACT+∠TCB=90°,∵∠BOC=90°,∴∠BCO+∠TCB=90°,∴∠ACT=∠CBO,在△CBO和△ACT中,,∴△CBO≌△ACT(AAS),∴CT=BO=﹣b,AT=CO=t,∴a=b+t,∵DO=DM,∴∠DOM=45°,∴∠MOC=135°,∴∠MOC+∠ABC=180°,∴O、M、B、C四点共圆,∴∠CMB=∠COB=90°,∵CA=CB,∴M为AB中点,∴b+t=﹣4,∴a=﹣4;(3)连TM、OM,过O作ON⊥BM于N,由(2)可知T(﹣4,0),∴OT=4,又点M的坐标为(﹣2,﹣2),∴△TMO为等腰直角三角形,∴MT=MO,∵∠THM=90°,∠TMO=90°,∴∠TMH=∠MON,在△HTM和△NMO中,,∴△HTM≌△NMO(AAS),∴HT=MN,HM=ON,∴HK=KN,∴KN=ON,∴∠OKB=45°.16.在等边三角形ABC中,点P从点B出发沿射线BA运动,同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动,P、Q两点运动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①,过点P作PE∥AC交BC于点E,求证:EP=CQ.(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为F.①当点P在线段BA上运动时,求证:BF+CD=BC.②当点P在线段BA延长线上运动时,直接写出BF、CD与BC之间的数量关系.(1)证明:由题意得:BP=CQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°,∵PE∥AC,∴∠BPE=∠BAC=60°,∠BEP=∠BCA=60°,∴∠B=∠BPE=∠BEP,∴△BPE是等边三角形,∴EP=BP,∴EP=CQ.(2)①证明:过点P作PE∥AC交BC于点E,如图②所示:由(1)得:EP=CQ,∠BEP=∠ACB=60°,△BPE是等边三角形,∴∠DEP=∠DCQ=120°,∵PF⊥BC,∴BF=EF,在△DPE和△DQC中,,∴△DPE≌△DQC(AAS),∴ED=CD,∴BF+CD=EF+ED=BC.②解:当点P在线段BA延长线上运动时,BC+2CD=2BF,理由如下:过点P作PE∥AC交BC于点E,如图③所示:同①得:△BPE是等边三角形,△DPE≌△DQC,∴ED=CD,∵PF⊥BC,∴BF=EF,∵BC﹣BF=CF,∴BC﹣BF=EF﹣2CD=BF﹣2CD,∴BC+2CD=2BF.17.问题情境:我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质,在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边,进而解决问题.问题初探:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为直线AB上的一个动点(D与A,B 不重合),连接CD,以CD为直角边作等腰直角三角形CDE,连接BE.(1)当点D在线段AB上时,AD与BE的数量关系是AD=BE;位置关系是AD⊥BE;AB,BD,BE三条线段之间的关系是AB=BD+BE.类比再探:(2)如图2,当点D运动到AB的延长线上时,AD与BE还存在(1)中的位置关系吗?若存在,请说明理由.同时探索AB,BD,BE三条线段之间的数量关系,并说明理由.能力提升:(3)如图3,当点D运动到BA的延长线上时,若AB=7,AD=2,则AE=9 .解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠ABC=45°,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°,∴∠ABE=90°,即AD⊥BE,∴AB=BD+AD=BD+BE;故答案为:AD=BE;AD⊥BE;AB=BD+BE;(2)AD⊥BE,理由如下:∵∠ACB=90°AC=BC,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CDE是等腰直角三角形,∴CD=CE,∠DCE=90°,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,在△ACD与△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴∠CBE=∠A=45°,∵∠ABC=45°,∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°,∴AB⊥BE,即AD⊥BE,∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∵AD=AB+BD,∴BE=AB+BD;(3)∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD,在△ACE与△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD=AD+AB=9,故答案为:9.18.已知△ABC和△DEF为等腰三角形,AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上,点F在射线AC上.(1)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:△ADC≌△BEC;(2)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:AD∥BC;(3)如图2,若AD=AB,已知AF=10,AE=4,求BC的长.证明:(1)∵∠BAC=∠EDF=60°,△ABC和△DEF为等腰三角形,∴△ABC、△DEF为等边三角形,∴BC=AC,CD=CE,∠B=∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE=60°,∴∠ACD=∠BCE,在△ADC和△BEC中,,∴△ADC≌△BEC(SAS);(2)证明:由(1)得:△ADC≌△BEC,∴∠DAC=∠EBC=60°,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC;(3)解:在FA上截取FM=AE,连接DM,如图2所示:∵∠BAC=∠EDF,∴∠AED=∠MFD,在△AED和△MFD中,,∴△AED≌△MFD(SAS),∴DA=DM=AB=AC,∠ADE=∠MDF,∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM,即∠ADM=∠EDF=∠BAC,在△ABC和△DAM中,,∴△ABC≌△DAM(SAS),∴AM=BC,∴AE+BC=FM+AM=AF.∴BC=AF﹣AE=10﹣4=6.19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC,AC上的点,AD,BE相交于点P,∠EBC=∠BAD.(1)如图1,求证:∠APE=∠C;(2)作AF∥BC交DE延长线于点F,PE=EC.①如图2,求证:AD=AF;②如图3,过点E作EG⊥BC于点G,若DP=1,DC=7,直接写出DG的长为 4 .(1)证明:∠APE=∠ABP+∠BAD,∠ABC=∠ABP+∠EBC,∵∠EBC=∠BAD,∴∠APE=∠ABC,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∴∠APE=∠C;(2)①证明:如图2,作EG⊥DC于G,EH⊥AD于H,在△EHP和△EGC中,,∴△EHP≌△EGC(AAS)∴EH=EG,又EG⊥DC,EH⊥AD,∴∠ADF=∠CDF,∵AF∥BC,∴∠F=∠CDF,∴∠F=∠ADF,∴AD=AF;②解:如图3,作EH⊥AD于H,由(2)①可知,△EHP≌△EGC,∴PH=GC,在△DEH和△DEG中,,∴△DEH≌△DEG(AAS)∴DH=DG,∴DG=DH=DP+PH=1+GC,∴1+GC+GC=7,解得,GC=3,∴DG=DC﹣GC=7﹣3=4,故答案为:4.20.Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点C.(1)当AC=BC时,如图1,分别过点A和B作AD⊥直线l于点D,BE⊥直线l于点E.△ACD与△CBE是否全等,并说明理由;(2)当AC=9cm,BC=6cm时,如图2,点B与点F关于直线l对称,连接BF、CF,点M 在AC上,点N是CF上一点,分别过点M、N作MD⊥直线l于点D,NE⊥直线l于点E,点M从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→C路径运动,终点为C,点N从点F出发,以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动,终点为F,点M、N同时开始运动,各自达到相应的终点时停止运动,设运动时间为t秒.①当△CMN为等腰直角三角形时,求t的值;②当△MDC与△CEN全等时,求t的值.解:(1)△ACD与△CBE全等.理由如下:∵AD⊥直线l,∴∠DAC+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠ECB,在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE(AAS);(2)①由题意得,AM=t,FN=3t,则CM=8﹣t,由折叠的性质可知,CF=CB=6,∴CN=6﹣3t,点N在BC上时,△CMN为等腰直角三角形,当点N沿C→B路径运动时,由题意得,9﹣t=3t﹣6,解得,t=,当点N沿B→C路径运动时,由题意得,9﹣t=18﹣3t,解得,t=,综上所述,当t=秒或秒时,△CMN为等腰直角三角形;②由折叠的性质可知,∠BCE=∠FCE,∵∠MCD+∠CMD=90°,∠MCD+∠BCE=90°,∴∠NCE=∠CMD,∴当CM=CN时,△MDC与△CEN全等,当点N沿F→C路径运动时,9﹣t=6﹣3t,解得,t=﹣(不合题意),当点N沿C→B路径运动时,9﹣t═3t﹣6,解得,t=,当点N沿B→C路径运动时,由题意得,9﹣t=18﹣3t,解得,t=,当点N沿C→F路径运动时,由题意得,9﹣t=3t﹣18,解得,t=,综上所述,当t=秒或秒或6秒时,△MDC与△CEN全等.。

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题(含答案解)

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题(含答案解)

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题(含答案解) 知识点总结1. 等边三角形的概念:三条边都相等的三角形是等边三角形。

2. 等边三角形的性质:①等边三角形的三条边都相等,三个角也相等,且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形,有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于243a (a 为等腰三角形的边长)。

3. 等腰三角形的判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等(两个角是60°)的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

练习题1、(2022•鞍山)如图,直线a ∥b ,等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上,∠2=40°,则∠1的度数为( )A .80°B .70°C .60°D .50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A =60°,再根据三角形内角和定理计算出∠3=80°,然后根据平行线的性质得到∠1的度数.【解答】解:∵△ABC 为等边三角形,∴∠A =60°,∵∠A +∠3+∠2=180°,∴∠3=180°﹣40°﹣60°=80°,∵a∥b,∴∠1=∠3=80°.故选:A.2、(2022•绵阳)下列关于等边三角形的描述不正确的是()A.是轴对称图形B.对称轴的交点是其重心C.是中心对称图形D.绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质,轴对称图形的定义,中心对称图形的定义进行判断即可.【解答】解:等边三角形是轴对称图形,每条边的高线所在的直线是其对称轴,故A选项不符合题意;三条高线的交点为等边三角形的重心,∴对称轴的交点是其重心,故B选项不符合题意;等边三角形不是中心对称图形,故C选项符合题意;等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合,故D选项不符合题意,故选:C.3、(2022•海南)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是()A.80°B.100°C.120°D.140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠C=60°,由三角形外角的性质可得∠AEF的度数,由平行线的性质可得同旁内角互补,可得结论.【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.对于△AEF,∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF=140°﹣60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°,∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°﹣80°=100°,故选:B.4、(2022•张家界)如图,点O是等边三角形ABC内一点,OA=2,OB=1,OC=3,则△AOB与△BOC的面积之和为()A .43B .23C .433D .3【分析】将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ,连接OD ,可得△BOD 是等边三角形,再利用勾股定理的逆定理可得∠COD =90°,从而解决问题.【解答】解:将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ,连接OD ,∴OB =BD ,∠OBD =60°,CD =OA =2,∴△BOD 是等边三角形,∴OD =OB =1,∵OD 2+OC 2=12+()2=4,CD 2=22=4,∴OD 2+OC 2=CD 2,∴∠DOC =90°,∴△AOB 与△BOC 的面积之和为S △BOC +S △BCD =S △BOD +S △COD =×12+=, 故选:C .。

专题02 等边三角形的判定和性质必考压轴题(老师版)

专题02 等边三角形的判定和性质必考压轴题(老师版)

专题02等边三角形的判定和性质一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1.(2分)(2022秋•莱州市期末)如图,△ABC中,AB=BC,∠C=60°,AD是BC上的高,DE∥AC,图中与BD (BD除外)相等的线段共有()条.A.1B.2C.3D.4解:△ABC中,AB=BC,∠C=60°,∴△ABC为等边三角形,∵AD是BC上的高,∴BD=CD,∵DE∥AC,∴∠BED=∠EDB=60°,∠B=60°,∴△BED是等边三角形,∴BD=ED=BE,∵BD=CD,ED∥AC,∴ED是△ABC的中位线,∴BE=AE,∴BD=AE.∴图中与BD(BD除外)相等的线段有CD、DE、BE、AE共4条.故选:D.2.(2分)(2022春•碑林区校级月考)下列说法不正确的有()A.三边相等的三角形是等边三角形B.三个角相等的三角形是等边三角形C.有一个角是60°的三角形是等边三角形D.顶角为60°的等腰三角形是等边三角形解:三边相等的三角形是等边三角形,故A选项不符合题意;三个角都相等的三角形是等边三角形,故B选项不符合题意;有一个角是60°的三角形,其他两个角度数不能确定,故C选项符合题意;顶角为60°的等腰三角形,即三个角都是60°的三角形是等边三角形,故D选项不符合题意.故选:C.3.(2分)(2022春•大埔县期末)如图,已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(异于点B、C),过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,连接FD,FE.当点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰三角形;②△CFG一定为等边三角形;③△FDC可能为等腰三角形.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解:∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,∴FE=FD,∴△DEF一定为等腰三角形,故①正确;∵DE⊥AB,DE⊥FG,∴AB∥FG,∴∠FGC=∠B=60°,又∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∴△CFG中,∠C=∠CFG=∠CGF,∴△CFG一定为等边三角形;故②正确;∵∠FDC>∠FGC=60°,∠C=60°,∠CFD<∠CFG=60°,∴△FDC不可能为等腰三角形.故③错误;故选:C.4.(2分)(2022秋•梁溪区期中)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地,则A,C两地相距()A.100海里B.80海里C.60海里D.40海里解:如图所示:连接AC.∵点B在点A的南偏西40°方向,点C在点B的北偏西20°方向,∴∠ABD=40°,∠CBD=20°,∴∠CBA=∠ABD+∠CBD=60°.又∵BC=BA,∴△ABC为等边三角形.∴AC=BC=AB=100海里.故选:A.5.(2分)(2021秋•翔安区期末)如图,AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°,若EF=2,则DF=()A.3B.4C.5D.6解:如图,过点E作EG⊥BC,交BC于点G∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∴∠AEF=30°,∴∠AFE=90°,即EF⊥AB,∵△ABC是等边三角形,AE=CE,∴BE平分∠ABC,∴EG=EF=2,在Rt△DEG中,DE=2EG=4,∴DF=EF+DE=2+4=6;方法二、∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∵△ABC是等边三角形,AE=CE,∴BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=30°=∠CDE,∴BE=DE,∠BFD=90°,∴BE=2EF=4=DE,∴DF=DE+EF=6;故选:D.6.(2分)(2021春•新泰市期中)在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,∠CAE =15°,连接OE,则下面的结论中正确的有()①△DOC是等边三角形;②△BOE是等腰三角形;③BC=AB;④∠AOE=135°;⑤S△AOE =S△BOE.A.2个B.3个C.4个D.5个解:∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴∠AEB=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠ACE=∠AEB﹣∠CAE=45°﹣15°=30°,∴∠BAO=90°﹣30°=60°,∵矩形ABCD中:OA=OB=OC=OD,∴△ABO是等边三角形,△COD是等边三角形,故①正确;∴OB=AB,∠ABO=∠AOB=60°,∴OB=BE,∴△BOE是等腰三角形,故②正确;∵∠OBE=∠ABC﹣∠ABO=90°﹣60°=30°=∠ACB,∴∠BOE=(180°﹣30°)=75°,BC=AB,故③正确;∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°,故④正确;∵AO=CO,∴S△AOE =S△COE,故⑤正确;故选:D.7.(2分)(2019秋•岳麓区校级期中)在△ABC中,AB=AC,若∠B=60°,则△ABC的形状为()A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不等边三角形解:∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.故选:B.8.(2分)(2020秋•九龙坡区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC 于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有()①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴∠ADE=∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠DCB=90°,∵∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∠DCB=∠B;故①正确;∴CD=BD,∵AD=CD,∴CD=AB;故②正确;∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,但不能判定△ADC是等边三角形;故③错误;∵若∠E=30°,∴∠A=60°,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC=60°,∵∠ADE=∠ACB=90°,∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°,∴CF=DF,∴DE=EF+DF=EF+CF.故④正确.故选:B.9.(2分)(2019春•秦淮区期末)如图,△ABC是等边三角形,P是三角形内任意一点,D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点,且PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC.若PF+PD+PE=a,则△ABC的边长为()A.a B.a C.a D.a解:延长EP交BC于点G,延长FP交AC于点H,如图所示:∵PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC,∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形,∴PE=AH,PG=CD.又∵△ABC为等边三角形,∴△FGP和△HPD也是等边三角形,∴PF=PG=CD,PD=DH,∴PE+PD+PF=AH+DH+CD=AC,∴AC=a;故选:D.10.(2分)(2018秋•道里区期末)下列说法:①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形;③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等;④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个解:①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;正确.②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形;正确.③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等;正确.④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形;错误.故选:C.二.填空题(共9小题,满分18分,每小题2分)11.(2分)(2021春•乐清市期末)如图,O是等边三角形ABC内任意一点,过点O作OD∥AB,OE∥AC,OF∥BC 分别交AC,BC,AB于点G,H,I,已知等边三角形ABC的周长18,则OD+OE+OF=6.解:∵OD∥AB,OE∥AC,OF∥BC,∴∠EIO=∠ODH=∠GOF=∠B=60°,∠OEI=∠OGF=∠OHD=60°,四边形OIBD和四边形OFCH都是平行四边形,∴三角形△IEO、△OGF、△ODH是等边三角形,OI=BD,OF=CH,∴OE=OI,OD=DH,∴OD+OE+OF=DH+BD+CH=BC,∵△ABC的周长为18,∴OD+OE+OF=18÷3=6.故答案为:6.12.(2分)(2022春•顺义区期末)等边△ABC的边长为4,点D是BC边上的任意一点(不与点B,C重合),过点D分别作DE∥AC,DF∥AB,交AB,AC于点E,F,则四边形AEDF的周长是8.解:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠A=∠B=∠C=60°,∵DF∥AB,DE∥AC,∴∠FDC=∠B=60°,∠EDB=∠C=60°,四边形AEDF为平行四边形,∴△BED和△FDC都为等边三角形,AF=ED,FD=AE,∴BE=BD=ED,FD=CD=FC,∵AB=4,∴四边形AEDF的周长为AE+ED+DF+AF=AE+BE+FC+AF=AB+AC=2AB=8.故答案为:8.13.(2分)(2022春•通海县期末)如图,某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A,B两点,“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行,若AB=100m,∠CAB=∠DBA=60°,则此“九曲桥”的总长度为200m.解:如图,延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M.由题意可知,四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形,∵∠CAB=∠DBA=60°,∴△ABE是等边三角形,∴ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH,∴“九曲桥”的总长度是AE+EB=2AB=200m.故答案为:200m.14.(2分)(2020春•淮安区校级期末)如图,已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(异于点B、C),过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,连接FD,FE.当点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰三角形,②△CFG一定为等边三角形,③△FDC可能为等腰三角形.其中正确的是①②.(填写序号)解:∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,∴FE=FD,∴△DEF为等腰三角形,故①正确;∵DE⊥AB,DE⊥FG,∴AB∥FG,∴∠FGC=∠B=60°,又∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∴△CFG中,∠C=∠CFG=∠CGF,∴△CFG是等边三角形,故②正确;∵∠FDC>∠FGC=60°,∠C=60°,∠CFD<∠CFG=60°,∴△CDF不可能是等腰三角形,故③错误;故答案为:①②.15.(2分)(2021秋•富裕县期末)如图,AB=AC,DB=DC,若∠ABC为60°,BE=3cm,则AB=6cm.解:在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD.∴∠BAD=∠CAD.又∵AB=AC,∴BE=EC=3cm.∴BC=6cm.∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形.∴AB=6cm.故答案为:6.16.(2分)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=8cm.解:延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM为等边三角形,∵BE=6,DE=2,∴DM=4,∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴NM=2,∴BN=4,∴BC=2BN=8,故答案为8.17.(2分)△ABC为等边三角形,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且AE=CD=BF,则△DEF为等边三角形.解:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,又AE=CD=BF,∴AF=BD=CE,∴△EAF≌△FBD≌△DCE(ASA),∴EF=FD=DE,即△DEF为等边三角形.故填等边.18.(2分)(2018秋•太康县期中)已知如图等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°;②∠APO=∠DCO;③△OPC是等边三角形;④AB=AO+AP.其中正确的序号是①③④.解:①如图1,连接OB,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=×120°=60°,∴OB=OC,∠ABC=90°﹣∠BAD=30°∵OP=OC,∴OB=OC=OP,∴∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°;故①正确;②由①知:∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∵点O是线段AD上一点,∴∠ABO与∠DBO不一定相等,则∠APO与∠DCO不一定相等,故②不正确;③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,∴∠APC+∠DCP=150°,∵∠APO+∠DCO=30°,∴∠OPC+∠OCP=120°,∴∠POC=180°﹣(∠OPC+∠OCP)=60°,∵OP=OC,∴△OPC是等边三角形;故③正确;④如图2,在AC上截取AE=PA,连接PB,∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°,∴△APE是等边三角形,∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,∴∠APO+∠OPE=60°,∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,∴∠APO=∠CPE,∵OP=CP,在△OPA和△CPE中,,∴△OPA≌△CPE(SAS),∴AO=CE,∴AB=AC=AE+CE=AO+AP;故④正确;本题正确的结论有:①③④,故答案为①③④.19.(2分)(2021秋•华容县期末)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③OP=OQ;④△CPQ为等边三角形;⑤∠AOB=60°.其中正确的有①②④⑤.(注:把你认为正确的答案序号都写上)解:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE,结论①正确.∵△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE,又∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°,∴∠ACP=∠BCQ=60°,在△ACP和△BCQ中,∠ACP=∠BCQ,∠CAP=∠CBQ,AC=BC,∴△ACP≌△BCQ(AAS),∴AP=BQ,CP=CQ,又∵∠PCQ=60°,∴△PCQ为等边三角形,结论④正确;∴∠PQC=∠DCE=60°,∴PQ∥AE,结论②正确.∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠AEO,∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,∴结论⑤正确.没有条件证出OP=OQ,③错误;综上,可得正确的结论有4个:①②④⑤.故答案为:①②④⑤.三.解答题(共8小题,满分62分)20.(6分)(2021秋•随县期末)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB.∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.(1)求证:△ABD是等边三角形;(2)求证:BE=AF.(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC=∠BAC,∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°,∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形;(2)证明:∵△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD∵∠EDF=60°,∴∠ABD=∠EDF,∴∠ABD﹣∠ADE=∠EDF﹣∠ADE,∴∠BDE=∠ADF,在△BDE与△ADF中,,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.21.(6分)(2021秋•颍东区期末)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.(1)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;(2)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?解:(1)∵△OCD是等边三角形,∴OC=CD,而△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∵∠ACB=∠OCD=60°,∴∠BCO=∠ACD,在△BOC与△ADC中,∵,∴△BOC≌△ADC,∴∠BOC=∠ADC,而∠BOC=α=150°,∠ODC=60°,∴∠ADO=150°﹣60°=90°,∴△ADO是直角三角形;(2)∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,则a+b=60°,b+c=180°﹣110°=70°,c+d=60°,∴b﹣d=10°,∴(60°﹣a)﹣d=10°,∴a+d=50°,即∠DAO=50°,①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,∴190°﹣α=α﹣60°,∴α=125°;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,∴110°+80°+60°+α=360°∴α=110°;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,110°+50°+60°+α=360°,∴α=140°.所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形.22.(6分)(2019秋•博山区期中)如图,E为等边△ABC的边AC上一点,且∠1=∠2,CD=BE,试判定△ADE 的形状,并说明理由.解:∵E为等边△ABC的边AC上一点,∴AB=AC,∠BAE=60°,在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴AD=AE,∠CAD=∠BAE=60°,∴△ADE是等边三角形.23.(8分)(2019秋•房县期中)已知:如图所示,△ABC是边长6cm等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为Vp =2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts(1)当t何值时,△PBQ为等边三角形?(2)t何值时,△PBQ为直角三角形?解:由题意可知AP=2t,BQ=t,则BP=AB﹣AP=6﹣2t,(1)当△PBQ为等边三角形时,则有BP=BQ,即6﹣2t=t,解得t=2,即当t=2s时△PBQ为等边三角形;(2)当PQ⊥BQ时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴在Rt△PBQ中,BP=2BQ,即6﹣2t=2t,解得t=1.5;当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6﹣2t),解得t=2.4,综上可知当t为1.5s或2.4s时△PBQ为直角三角形.24.(8分)(2021秋•韶关期末)已知:如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.(1)求证:AD=BE;(2)求∠DOE的度数;(3)求证:△MNC是等边三角形.解:(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE.(2)解:∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC,∵等边三角形DCE,∴∠CED=∠CDE=60°,∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED,=∠ADC+60°+∠BED,=∠CED+60°,=60°+60°,=120°,∴∠DOE=180°﹣(∠ADE+∠BED)=60°,答:∠DOE的度数是60°.(3)证明:∵△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点,∴AM=AD,BN=BE,∴AM=BN,在△ACM和△BCN中,∴△ACM≌△BCN,∴CM=CN,∠ACM=∠BCN,又∠ACB=60°,∴∠ACM+∠MCB=60°,∴∠BCN+∠MCB=60°,∴∠MCN=60°,∴△MNC是等边三角形.25.(10分)(2021秋•香洲区期中)如图,在等边△ABC中,AB=9cm,点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动.P、Q两点同时出发,它们移动的时间为t秒钟.(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗?请你表示出来.(2)请问几秒钟后,△PBQ为等边三角形?(3)若P、Q两点分别从C、B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动,请问经过几秒钟后点P 与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴BC=AB=9cm,∵点P的速度为2cm/s,时间为ts,∴CP=2t,则PB=BC﹣CP=(9﹣2t)cm;∵点Q的速度为5cm/s,时间为ts,∴BQ=5t;(2)若△PBQ为等边三角形,则有BQ=BP,即9﹣2t=5t,解得t=,所以当t=s时,△PBQ为等边三角形;(3)设ts时,Q与P第一次相遇,根据题意得:5t﹣2t=18,解得t=6,则6s时,两点第一次相遇.当t=6s时,P走过得路程为2×6=12cm,而9<12<18,即此时P在AB边上,则两点在AB上第一次相遇.26.(8分)(2017春•邵阳县校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D、F分别为AB、AC的中点,且DE⊥AB,FG⊥AC,点E、G在BC上,BC=18cm,求线段EG的长.解:如图,连接AE、AG∵D为AB中点,ED⊥AB,∴EB=EA,∴△ABE为等腰三角形,又∵∠B=∠EAB=30°,∴∠BAE=30°,∴∠AEG=60°,同理可证:∠AGE=60°,∴△AEG为等边三角形,∴AE=EG=AG,又∵AE=BE,AG=GC,∴BE=EG=GC,又BE+EG+GC=BC=18(cm),∴EG=6(cm).27.(10分)(2022春•和平县期末)如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC、AC上,若CD=3,过点D作DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求证:△CDE为等边三角形;(2)求EF的长.解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°,∴△EDC是等边三角形,(2)∵△EDC是等边三角形,∴DE=DC=3,在Rt△DEF中,∵∠DEF=90°,DE=3,∴DF=2DE=6,∴EF==3.。

2020届初三数学中考复习 等边三角形 专题练习和答案

2020届初三数学中考复习 等边三角形 专题练习和答案

等边三角形1. 如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的角平分线BD和CE相交于点O,则图中的全等三角形共有( )A.4对 B.3对 C.2对 D.1对2. 下列说法:①等边三角形的每一个内角都等于60°;②等边三角形三条边上的高都相等;③等腰三角形两底角的平分线相等;④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合;⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合.其中说法正确的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3. 如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于( )A.20° B.25° C.30° D.35°4. 如图,点D是等边△ABC的边AC上一点,以BD为边作等边△BDE,若BC =10,BD=8,则△ADE的周长为( )A.25 B.20 C.18 D.155. 在下列三角形中:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角都相等;④一边上的高也是这边上的中线;⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是( )A.①②③ B.①②③⑤ C.①②④ D.①②④⑤6. 在△ABC中,∠A=60°,若要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件,下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;②如果添加条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果添加条件“边AB,BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.正确的说法有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个7. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD等于( )A.3 B.2 C.1 D.58. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是( )A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.79. 若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角的度数为10. 如图,△ABC为等边三角形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形,下列结论中:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD;④∠ABE=60°.其中正确的有个11. 如图,已知四边形ABCD是正方形,△FAD是等边三角形,则∠BFC的度数是12. 如图,△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=____度.13. 如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D 恰好落在BC上,AP的长是14. 在下列三角形中:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角都相等;④一边上的高也是这边上的中线;⑤一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是(填序号)15. 如图,将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起,则拼接后的△ABD的形状是.16. 如图是屋架设计图的一部分,其中BC⊥AC,DE⊥AC,点D是AB的中点,∠A=30°,AB=7.4m,则BC=____ m,DE=____ m.17. 如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则△ABC的面积为____cm218. 如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边△CDE,使点E,A在直线DC同侧.连接AE,求证:AE∥BC.19. 如图,在等边△ABC中,D是BC上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数.20. 如图,点P,M,N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB,MN⊥BC,PN ⊥AC.(1) 求证:△PMN是等边三角形;(2) 若AB=9 cm,求CM的长度.21. 如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1,求AD的长.22. 在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=∠D=60°,连接AC. (1)如图①,点E,F分别在边BC,CD上,BE=CF.求证:①△ABE≌ACF;②△AEF是等边三角形;(2)如图②,若点E在BC的延长线上,在直线CD上是否存在点F,使△AEF 是等边三角形?证明你的结论.答案:1---8 BDACB ABD9. 50°10. 411. 30°12. 1513. 614. ① ② ③ ⑤15. 等边三角形16. 3.7 1.8517. 2518. 证明:∵△ABC ,△CDE 是等边三角形,∴∠BCD +∠ACD =∠ACE +∠ACD =60°,∴∠BCD =∠ACE.在△BCD 和△ACE 中,BC =AC ,∠BCD =∠ACE ,CD =CE , ∴△BCD ≌△ACE(SAS),∴∠B =∠CAE.∵∠B =∠ACB ,∴∠CAE =∠ACB , ∴AE ∥BC19. 解:∵△ABC 是等边三角形,BF 是高,∴∠ABO =12∠ABC=30°, 根据SAS 证明△AOE≌△AOB,得∠E=∠ABO=30°20. 解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠A =60°,∵PN ⊥AC ,∴∠APN =30°,又∵MP⊥AB,∴∠MPN =60°,同理可得∠PMN=∠MNP=∠MPN=60°,∴△PMN 是等边三角形(2)MC =3 cm 点拨:可证△APN≌△BMP≌△CNM,∴AN =BP =CM ,∵在Rt △APN 中,∠APN =30°,∴AN =12AP ,则BP =12AP , ∵AB =9cm ,∴CM =BP =3cm21. 解:根据SAS 可证△ABE≌△CAD,∴BE =AD ,∠ABE =∠CAD.∵∠BPQ=∠ABE+∠BAD,∠BAC =∠CAD+∠BAD,∴∠BPQ =∠BAC=60°,又∵BQ⊥AD,∴∠BQP =90°,∴∠PBQ =90°-∠BPQ=30°,∴PQ =12BP ,∴BP =2PQ =2×3=6,∴BE =BP +PE =7, ∴AD =BE =722. 解:(1)①∵AB =BC ,∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形.同理可得△ACD 是等边三角形.∵AB =AC ,∠B =∠ACF =60°,BE =CF ,∴△ABE ≌△ACF(SAS) ②由△ABE ≌△ACF 得AE =AF ,∠BAE =∠CAF ,∵∠BAE +∠CAE =60°,∴∠CAF +∠CAE =60°,即∠EAF =60°,∴△AEF 是等边三角形 (2)存在.证明:当BE =CF 时,与(1)同理证△ABE ≌△ACF ,∴AE =AF ,∠BAE =∠CAF ,∴∠CAF -∠CAE =∠BAE -∠CAE ,∴∠EAF =∠BAC =60°,∴△AEF 是等边三角形。

八下数学每日一练:三角形中位线定理练习题及答案_2020年压轴题版

八下数学每日一练:三角形中位线定理练习题及答案_2020年压轴题版

(2) 己知AB=10,

①当四边形ECBH是菱形时,求EG的长.
②连结CH,DH,记△DEH的面积为S1,△CBH的面积为S2.若EG=2FH,求S1+S2的值.
考点: 三角形的面积;三角形中位线定理;菱形的性质;矩形的判定;
答案

2020年 八 下 数 学 : 图 形 的 性 质 _三 角 形 _三 角 形 中 位 线 定 理 练 习 题 答 案
②若
,点 是 的中点,直接写出当点 由点 运动到点 时,点 运动路线的长. 28.
(2) 已知,
中,

.如图 ,把
绕点 旋转到
边 与边 的交点,点 在边 上且
,连接 .求点 到直线 的距离.
考点: 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等边三角形的性质;三角形中位线定理;
的位置,点 是 答案
~~第2题~~ (2019宜兴.八下期中) 在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2 的正方形 AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明 理由)
八下数学每日一练:三角形中位线定理练习题及答案_2020年压轴题版
2020年 八 下 数 学 : 图 形 的 性 质 _三 角 形 _三 角 形 中 位 线 定 理 练 习 题
~~第1题~~ (2019兰州.八下期中) (1) 如图 ,已知点
在正三角形
的边 上,以 为边作正三角形
,连接 .
①求证:

考点: 勾股定理;三角形中位线定理;正方形的性质;
答案
~~第5题~~
(2019温州.八下期末) 如图,点C在线段AB上,过点C作CD⊥AB,点E,F分别是AD,CD的中点,连结EF并延长EF

2020年九年级数学典型中考压轴题训练:《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练:《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练:《三角形综合》1.(1)已知:如图1,△ABC为等边三角形,点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等边△ADE,连接CE.求证:①BD=CE,②∠DCE=120°;(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE,类比题(1),请你猜想:①∠DCE的度数;②线段BD、CD、DE之间的关系,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,若D点在BC的延长线上运动,以AD为边作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE.①则题(2)的结论还成立吗?请直接写出,不需论证;②连结BE,若BE=10,BC=6,直接写出AE的长.证明:(1)①如图1,∵△ABC和△ADE是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠ACB=∠B=60°,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,∴∠BAD=∠EAC.在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE;②∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°;(2)∠DCE=90°,BD2+CD2=DE2.证明:如图2,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠B=∠ACE=45°,BD=CE,∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°,∴∠BCE=90°,∴Rt△DCE中,CE2+CD2=DE2,∴BD2+CD2=DE2;(3)①(2)中的结论还成立.理由:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,在△ABD与△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABC=∠ACE=45°,BD=CE,∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°,∴∠BCE=90°=∠ECD,∴Rt△DCE中,CE2+CD2=DE2,∴BD2+CD2=DE2;②∵Rt△BCE中,BE=10,BC=6,∴CE===8,∴BD=CE=8,∴CD=8﹣6=2,∴Rt△DCE中,DE===,∵△ADE是等腰直角三角形,∴.2.【问题】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线L上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.【探究发现】(1)如图2,某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想,发现当点D 移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;【数学思考】(2)如图3,若点P是AC上的任意一点(不含端点A、C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程.【探究发现】证明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°,且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DP=DB;【数学思考】证明:(2)∵DG⊥CD,∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG,在△CDP和△GDB中,,∴△CDP≌△GDB(ASA)∴DP=DB.3.在△ABC中,AB=AC,D、E分别在BC和AC上,AD与BE相交于点F.(1)如图1,若∠BAC=60°,BD=CE,求证:∠1=∠2;(2)如图2,在(1)的条件下,连接CF,若CF⊥BF,求证:BF=2AF;(3)如图3,∠BAC=∠BFD=2∠CFD=90°,若S△ABC =2,求S△CDF的值.(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠1=∠2;(2)如图2,过B作BH⊥AD,垂足为H,∵△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,∵∠ABF+∠CBE=60°,∴∠BFD=∠ABF+∠BAD=60°,∴∠FBH=30°,∴BF=2FH,在△AHB和△BFC中,∴△AHB≌△BFC(AAS),∴BF=AH=AF+FH=2FH,∴AF=FH,∴BF=2AF;(3)如图3,过C作CM⊥AD交AD延长线于M,过C作CN⊥BE交BE延长线于N,∵∠BFD=2∠CFD=90°,∴∠EFC=∠DFC=45°,∴CF是∠MFN的角平分线,∴CM=CN,∵∠BAC=∠BFD=90°,∴∠ABF=∠CAD,在△AFB和△CMA中,∴△AFB≌△CMA(AAS)∴BF=AM,AF=CM,∴AF=CN,∵∠FMC=90°,∠CFM=45°,∴△FMC为等腰直角三角形,∴FM=CM,∴BF=AM=AF+FM=2CM,∴S△BDF =2S△CDF,∵AF=CM,FM=CM,∴AF=FM,∴F是AM的中点,∴S△AFC =S△AMC=S△AFB,∵AF⊥BF,CN⊥BF,AF=CN,∴S△AFB =S△BFC,设S△CDF =x,则S△BDF=2x,∴S△AFB =S△BFC=3x∴S△AFC =S△AFB=x,则3x+3x+x=2,解得,x=,即S△CDF=.4.在△ABC中,AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N.(1)如图①,若∠BAC=110°,则∠MAN=40 °,若△AMN的周长为9,则BC=9 .(2)如图②,若∠BAC=135°,求证:BM2+CN2=MN2;(3)如图③,∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P,过点P作PH垂直BA 的延长线于点H.若AB=5,CB=12,求AH的长.解:(1)∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°,∵AB边的垂直平分线交BC边于点M,∴AM=BM,∴∠BAM=∠B,同理:NA=NC,∴∠NAC=∠C,∴∠MAN=110°﹣(∠BAM+∠NAC)=40°,∵△AMN的周长为9,∴MA+MN+NA=9,∴BC=MB+MN+NC=MA+MN+NA=9,故答案为:40;9;(2)如图②,连接AM、AN,∵∠BAC=135°,∴∠B+∠C=45°,∵点M在AB的垂直平分线上,∴AM=BM,∴∠BAM=∠B,同理AN=CN,∠CAN=∠C,∴∠BAM+∠CAN=45°,∴∠MAN=∠BAC﹣(∠BAM+∠CAN)=90°,∴AM2+AN2=MN2,∴BM2+CN2=MN2;(3)如图③,连接AP、CP,过点P作PE⊥BC于点E,∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC,∴PH=PE,∵点P在AC的垂直平分线上,∴AP=CP,在Rt△APH和Rt△CPE中,,∴Rt△APH≌Rt△CPE(HL),∴AH=CE,在△BPH和△BPE中,,∴△BPH≌△BPE(AAS)∴BH=BE,∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH,∴AH=(BC﹣AB)÷2=3.5.5.(1)问题发现:如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.试写出线段DE,BD和CE之间的数量关系为DE=BD+CE;(2)思考探究:如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A、E三点都在直线m上,并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问(1)中结论还是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展应用:如图3,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD,CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状并说明理由.解:(1)如图1,∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD,在△ADB和△CEA中,,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE,故答案为:DE=BD+CE;(2)(1)中结论成立,理由如下:如图2,∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,∴∠DBA=∠CAE,在△ADB和△CEA中,,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE;(3)△DEF是等边三角形,理由如下:如图3,由(2)可知,△ADB≌△CEA,∴BD=AE,∠DBA=∠CAE,∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=60°,BF=AF,∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠AFE,∵在△DBF和△EAF中,,∴△DBF≌△EAF(SAS)∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,∴∠DFE =∠DFA +∠AFE =∠DFA +∠BFD =60°,∴△DEF 为等边三角形.6.如图所示,直线AB 交x 轴于点A (4,0),交y 轴于点B (0,﹣4).(I )如图①,若C 的坐标为(﹣1,0),且AH ⊥BC 于点H ,AH 交OB 于点P ,试求点P 的坐标;(II )如图②,在(I )的条件下,连接OH ,求∠OHC 的度数;(III )如图③,若点D 为AB 的中点,点M 为y 轴正半轴上一动点,连接MD ,过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点,当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中,式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变?如发生改变,求出该式子的值的变化范围;若不改变,求该式子的值.解:(I )由题意,OA =OB =4,∵∠AHC =90°,∠BOC =90°,∴∠CAH =∠CBO ,在△OAP 和△OBC 中,,∴△OAP ≌△OBC (ASA ),∴OP =OC =1,则点P 的坐标为(0,﹣1);(II )如图②,过O 分别作OM ⊥BC 于M ,作ON ⊥AH 于N ,则四边形MONH 为矩形,∴∠MON =90°,∵∠COP =90°,∴∠COM =∠PON ,在△COM 和△PON 中,,∴△COM ≌△PON (AAS )∴OM =ON ,又OM ⊥BC ,作ON ⊥AH ,∴HO 平分∠MHN ,∴∠OHC =∠MHN =45°;(III )式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变,等于4.理由如下:如图③,连接OD ,∵∠AOB =90°,OA =OB ,点D 为AB 的中点,∴OD ⊥AB ,OD =AD =BD =,∠OAB =45°,∴∠BOD =45°,∴∠MOD =135°,∴∠MOD =∠NAD =135°,∵∠ODA =90°,∠MDN =90°,∴∠MDO =∠NDA ,在△MOD 和△NAD 中,,∴△MOD ≌△NAD (ASA )∴S △MDO =S △NDA ,∴S △BDM ﹣S △ADN =S △BDM ﹣S △ODM =S △BDO =××4×4=4.7.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D在边AB上,点E在边AC的左侧,连接AE.(1)求证:AE=BD;(2)试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系;(3)过点C作CF⊥DE交AB于点F,若BD:AF=1:2,CD=,求线段AB的长.(1)证明:∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD.(2)解:由(1)得△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD,又∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB=∠CBA=∠CAE=45°,∴∠EAD=90°,在Rt△ADE中,AE2+AD2=ED2,且AE=BD,∴BD2+AD2=ED2,∵ED=CD,∴BD2+AD2=2CD2,(3)解:连接EF,设BD=x,∵BD:AF=1:2,则AF=2x,∵△ECD都是等腰直角三角形,CF⊥DE,∴DF=EF,由(1)、(2)可得,在Rt△FAE中,EF===3x,∵AE2+AD2=2CD2∴,解得x=1,∴AB=2+4.8.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC上,点E在BC的延长线上,且BD=DE.(1)如图1,若点D是AC的中点,求证:AD=CE;(2)如图2,若点D不是AC的中点,AD=CE是否成立?证明你的结论;(3)如图3,若点D在线段AC的延长线上,试判断AD与CE的大小关系,并说明理由.(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC,∵D为AC中点,∴∠DBC=30°,AD=DC,∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠CDE=30°=∠E,∴CD=CE,∵AD=DC,∴AD=CE;(2)成立,如图2,过D作DF∥BC,交AB于F,则∠ADF=∠ACB=60°,∵∠A=60°,∴△AFD是等边三角形,∴AD=DF=AF,∠AFD=60°,∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°,∵DF∥BC,∴∠FDB=∠DBE=∠E,在△BFD和△DCE中,∴△BFD≌△DCE(AAS),∴CE=DF=AD,即AD=CE.(3)AD=CE.证明:如图3,过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P,∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°,∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC,∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC,在△BPD和△DCE中,,∴△BPD≌△DCE(AAS),∴PD=CE,∴AD=CE.9.如图(a),△ABC、△DCE都为等腰直角三角形,B、C、E三点在同一直线上,连接AD.(1)若AB=2,CE=,求△ACD的周长;(2)如图(b),点G为BE的中点,连接DG并延长至F,使得GF=DG,连接BF、AG.(i)求证:BF∥DE;(ii)探索AG与FD的位置关系,并说明理由.(1)解:∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠ACB=45°,DC=DE,∠DCE=45°,∴∠ACD=180°﹣45°﹣45°=90°,在Rt△DCE中,DC2+DE2=CE2=()2=2,∴DC=DE=1,由勾股定理得,AD===,∴△ACD的周长=AC+CD+AD=3+;(2)(i)证明:在△BGF和△EGD中,,∴△BGF≌△EGD(SAS)∴∠GBF=∠E,∴BF∥DE;(ii)AG⊥FD,理由如下:如图(b)连接AF,∵△DEG≌△FBG,∴BF=DE=CD,∠GBF=∠E=45°,∵∠ABF=∠ABC+∠GBF=90°,∴∠ABF=∠ACD,在△ACD和△ABF中,,∴△ACD≌△ABF(SAS),∴AF=AD,又∵DG=FG,∴AG⊥FD.10.如图1,点M为直线AB上一动点,△PAB,△PMN都是等边三角形,连接BN,(1)M点如图1的位置时,如果AM=5,求BN的长;(2)M点在如图2位置时,线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM=BN;(3)M点在如图3位置时,当BM=AB时,证明:MN⊥AB.(1)解:∵△PAB,△PMN都是等边三角形,∴∠APB=MPN=60°,PA=PB,PM=PN,∴∠APB﹣∠MPB=MPN﹣∠MPB,即∠APM=∠BPN,在△PAM和△PBN中,∴△PAM≌△PBN(SAS)∴AM=BN=5;(2)解:AB+BM=BN,理由如下:∵△PAB,△PMN都是等边三角形,∴∠APB=MPN=60°,PA=PB,PM=PN,∴∠APB+∠MPB=MPN+∠MPB,即∠APM=∠BPN,在△PAM和△PBN中,∴△PAM≌△PBN(SAS)∴AM=BN,∴BN=AM=AB+BM,故答案为:AB+BM=BN;(3)证明:∵△PAB是等边三角形,∴AB=PB,∠ABP=60°,∵BM=AB,∴PB=BM,∴∠BPM=∠PMB,∵∠ABP=60°,∴∠BPM=∠PMB=30°,∵△PMN是等边三角形,∴∠PMN=60°,∴∠AMN=90°,∴MN⊥AB.11.如图1,张老师在黑板上画出了一个△ABC,其中AB=AC.让同学们进行探究.(1)探究一:如图2,小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC,连接AD.请直接写出∠ADB的度数150°;(2)探究二:如图3,小彬在(1)的条件下,又以AB为边作等边△ABE,连接CE.判断CE与AD的数量关系,并说明理由;(3)探究三:如图3,小聪在(2)的条件下,连接DE.若∠DEC=60°,DE=2,求AE 的长.解:(1)探究一:∵△BDC是等边三角形,∴BD=DC,∠BDC=60°,在△ADB和△ADC中,,∴△ADB≌△ADC(SSS),∴∠ADB=∠ADC,∵∠ADB+∠ADC=360°﹣60°,∴∠ADB=150°,故答案为:150°.(2)探究二:结论:CE=AD.理由:∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE=∠DBC=60°,AB=BE,BD=DC.∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD=∠EBC,在△ABD和△EBC中,∴△ABD≌△EBC(SAS).∴AD=CE.(3)探究三:∵△ABD≌△EBC,∴∠BDA=∠ECB=150°,∵∠BCD=60°,∴∠DCE=90°,∵∠DEC=60°,∴∠CDE=30°,∵DE=2,∴CE=1,由勾股定理得,DC=BC=,∵∠BDE=60°+30°=90°,DE=2,BD=.由勾股定理得,BE==.∵△ABE是等边三角形∴AE=BE=.12.(1)发现:如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E,由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D,又∠ACB=∠AED=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型;(2)应用:如图2,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=BD,∠CAD=90°,AB=6,请求出△ABC的面积;(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣1,﹣4),点B为平面内一点.若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形,请直接写出点B的坐标.解:(1)AC=DE,BC=AE;故答案为:DE,AE;(2)作AE⊥CD于E,如图2所示:∵AC=AD,∠CAD=90°,∴AE=CD=DE=CE,∴AD=AC=AE,设AE=DE=CE=x,则AC=AD=BD=x,∴BE=x+x,BC=2x+x,∴AB2=(x+x)2+x2=62,解得:x2=18﹣9,∴△ABC的面积=BC×AE=(2x+x)×x=×(2+)×x2=×(2+)×(18﹣9)=18;(3)分两种情况:①过A作AC⊥y轴于D,过B作BE⊥x轴于E,DA与EB相交于C,如图3所示:则∠C=90°,∵点A的坐标为(﹣1,﹣4),∴AD=1,OD=CE=4,∵∠OBO=90°,∴∠OBE+∠ABC=90°,∵∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠OBE,在△ABC与△BOE中,,∴△ABC≌△BOE(AAS),∴AC=BE,BC=OE,设OE=x,则BC=OE=CD=x,∴AC=BE=x+1,∴CE=BE+BC=x+1+x=OD=4,∴x=,x+1=,∴点B的坐标(,);②如图4,同理可得,点B的坐标(﹣,﹣),综上所述,点B的坐标为(,)或(﹣,﹣).13.模型发现:同学们知道,三角形的两边之和大于第三边,即如图1,在△ABC中,AB+AC>BC.对于图1,若把点C看作是线段AB外一动点,且AB=c,AC=b,则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化.因为AB、AC的长度固定,所以当∠BAC越大时,BC边越长.特别的,当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,且最大值为b+c(用含b,c的式子表示)(直接填空)模型应用:点C为线段AB外一动点,且AB=3,AC=2,如图2所示,分别以AC,BC为边,作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接BD,AE.(1)求证:BD=AE.(2)线段AE长的最大值为 5 .模型拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A是y轴正半轴上的一动点,点B是x轴正半轴上的一动点,且AB=8.若AC⊥AB,AC=3,试求OC长的最大值.解:当点C位于线段BA的延长线上时,线段BC的长取得最大值,最大值为b+c,故答案为:线段BA的延长线上;b+c;模型应用:(1)证明:∵△ACD、△BCE都是等边三角形,∴CD=CA=AD,CB=CE,∠ACD=60°,∠BCE=60°,∴∠DCB=∠ACE,在△DCB和△ACE中,,∴△DCB≌△ACE(SAS)∴BD=AE;(2)当点D位于线段BA的延长线上时,线段BD的长取得最大值,最大值为AB+AD=AB+AC =3+2=5,∵AE=BD,∴线段AE长的最大值为5,故答案为:5;模型拓展:取AB的中点G,连接OG、CG,在Rt△AOB中,G为AB的中点,∴OG=AB=4,在Rt△CAG中,CG===5,当点O、G、C在同一条直线上时,OC最大,最大值为4+5=9.14.已知,平面直角坐标系中,A在x轴正半轴,B(0,1),∠OAB=30°.(1)如图1,已知AB=2.点C在y轴的正半轴上,当△ABC为等腰三角形时,直接写出点C的坐标为(0,3);(2)如图2,以AB为边作等边△ABE,AD⊥AB交OA的垂直平分线于D,求证:BD=OE;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DE交AB于F,求的值.(1)解:∵B(0,1),∴OB=1,∵AB=2,点C在y轴的正半轴上,△ABC为等腰三角形,∴BC=AB=2,∴OC=OB+BC=3,∴点C的坐标为(0,3),故答案为:(0,3);(2)证明:连接OD,如图2所示:∵△ABE是等边三角形,∴AB=AE,∠BAE=60°,∵∠OAB=30°,∴∠OAE=30°+60°=90°,∵AD⊥AB,∴∠DAB=90°=∠OAE,∠OAD=90°﹣30°=60°,∵MN是OA的垂直平分线,∴OD=AD,∴△OAD是等边三角形,∴AO=AD,在△ABD和△AEO中,,∴△ABD≌△AEO(SAS),∴BD=OE;(3)解:作EH⊥AB于H,如图3所示:∵△ABE是等边三角形,EH⊥AB,∴AH=AB,∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,∴OB=AB,∴AH=OB,在Rt△AEH和Rt△BAO中,,∴Rt△AEH≌Rt△BAO(HL),∴EH=AO=AD,在△HFE和△AFD中,,∴△HFE≌△AFD(AAS),∴EF=DF,∴DE=2DF,∴=.15.在平面直角坐标系中,M(m,n)且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4=0,B(0,b)为y轴上一动点,绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C,过C作AC⊥BC交直线BM于点A(a,t).(1)求点M的坐标;(2)如图1,在B点运动的过程中,A点的横坐标是否会发生变化?若不变,求a的值;若变化,写出A点的横坐标a的取值范围;(3)如图2,过T(a,0)作TH⊥BM(垂足H在x轴下方),在射线HB上截取HK=HT,连OK,求∠OKB的度数.解:(1)m2+2n2﹣2mn+4n+4=0,m2+n2﹣2mn+n2+4n+4=0,(m﹣n)2+(n+2)2=0,则m﹣n=0,n+2=0,解得,m=﹣2,n=﹣2,∴点M的坐标为(﹣2,﹣2);(2)过A作AT⊥x轴,MD⊥x轴于D,连接OM,CM,在Rt△ACB中,∠ABC=45°,∴CA=CB,∵∠ACB=90°,∴∠ACT+∠TCB=90°,∵∠BOC=90°,∴∠BCO+∠TCB=90°,∴∠ACT=∠CBO,在△CBO和△ACT中,,∴△CBO≌△ACT(AAS),∴CT=BO=﹣b,AT=CO=t,∴a=b+t,∵DO=DM,∴∠DOM=45°,∴∠MOC=135°,∴∠MOC+∠ABC=180°,∴O、M、B、C四点共圆,∴∠CMB=∠COB=90°,∵CA=CB,∴M为AB中点,∴b+t=﹣4,∴a=﹣4;(3)连TM、OM,过O作ON⊥BM于N,由(2)可知T(﹣4,0),∴OT=4,又点M的坐标为(﹣2,﹣2),∴△TMO为等腰直角三角形,∴MT=MO,∵∠THM=90°,∠TMO=90°,∴∠TMH=∠MON,在△HTM和△NMO中,,∴△HTM≌△NMO(AAS),∴HT=MN,HM=ON,∴HK=KN,∴KN=ON,∴∠OKB=45°.16.在等边三角形ABC中,点P从点B出发沿射线BA运动,同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动,P、Q两点运动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①,过点P作PE∥AC交BC于点E,求证:EP=CQ.(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为F.①当点P在线段BA上运动时,求证:BF+CD=BC.②当点P在线段BA延长线上运动时,直接写出BF、CD与BC之间的数量关系.(1)证明:由题意得:BP=CQ,∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°,∵PE∥AC,∴∠BPE=∠BAC=60°,∠BEP=∠BCA=60°,∴∠B=∠BPE=∠BEP,∴△BPE是等边三角形,∴EP=BP,∴EP=CQ.(2)①证明:过点P作PE∥AC交BC于点E,如图②所示:由(1)得:EP=CQ,∠BEP=∠ACB=60°,△BPE是等边三角形,∴∠DEP=∠DCQ=120°,∵PF⊥BC,∴BF=EF,在△DPE和△DQC中,,∴△DPE≌△DQC(AAS),∴ED=CD,∴BF+CD=EF+ED=BC.②解:当点P在线段BA延长线上运动时,BC+2CD=2BF,理由如下:过点P作PE∥AC交BC于点E,如图③所示:同①得:△BPE是等边三角形,△DPE≌△DQC,∴ED=CD,∵PF⊥BC,∴BF=EF,∵BC﹣BF=CF,∴BC﹣BF=EF﹣2CD=BF﹣2CD,∴BC+2CD=2BF.17.问题情境:我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质,在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边,进而解决问题.问题初探:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为直线AB上的一个动点(D与A,B 不重合),连接CD,以CD为直角边作等腰直角三角形CDE,连接BE.(1)当点D在线段AB上时,AD与BE的数量关系是AD=BE;位置关系是AD⊥BE;AB,BD,BE三条线段之间的关系是AB=BD+BE.类比再探:(2)如图2,当点D运动到AB的延长线上时,AD与BE还存在(1)中的位置关系吗?若存在,请说明理由.同时探索AB,BD,BE三条线段之间的数量关系,并说明理由.能力提升:(3)如图3,当点D运动到BA的延长线上时,若AB=7,AD=2,则AE=9 .解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠ABC=45°,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°,∴∠ABE=90°,即AD⊥BE,∴AB=BD+AD=BD+BE;故答案为:AD=BE;AD⊥BE;AB=BD+BE;(2)AD⊥BE,理由如下:∵∠ACB=90°AC=BC,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CDE是等腰直角三角形,∴CD=CE,∠DCE=90°,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,在△ACD与△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS)∴∠CBE=∠A=45°,∵∠ABC=45°,∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°,∴AB⊥BE,即AD⊥BE,∵△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∵AD=AB+BD,∴BE=AB+BD;(3)∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD,在△ACE与△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD=AD+AB=9,故答案为:9.18.已知△ABC和△DEF为等腰三角形,AB=AC,DE=DF,∠BAC=∠EDF,点E在AB上,点F在射线AC上.(1)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:△ADC≌△BEC;(2)如图1,若∠BAC=60°,点F与点C重合,求证:AD∥BC;(3)如图2,若AD=AB,已知AF=10,AE=4,求BC的长.证明:(1)∵∠BAC=∠EDF=60°,△ABC和△DEF为等腰三角形,∴△ABC、△DEF为等边三角形,∴BC=AC,CD=CE,∠B=∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE=60°,∴∠ACD=∠BCE,在△ADC和△BEC中,,∴△ADC≌△BEC(SAS);(2)证明:由(1)得:△ADC≌△BEC,∴∠DAC=∠EBC=60°,∴∠DAC=∠ACB,∴AD∥BC;(3)解:在FA上截取FM=AE,连接DM,如图2所示:∵∠BAC=∠EDF,∴∠AED=∠MFD,在△AED和△MFD中,,∴△AED≌△MFD(SAS),∴DA=DM=AB=AC,∠ADE=∠MDF,∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM,即∠ADM=∠EDF=∠BAC,在△ABC和△DAM中,,∴△ABC≌△DAM(SAS),∴AM=BC,∴AE+BC=FM+AM=AF.∴BC=AF﹣AE=10﹣4=6.19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC,AC上的点,AD,BE相交于点P,∠EBC=∠BAD.(1)如图1,求证:∠APE=∠C;(2)作AF∥BC交DE延长线于点F,PE=EC.①如图2,求证:AD=AF;②如图3,过点E作EG⊥BC于点G,若DP=1,DC=7,直接写出DG的长为 4 .(1)证明:∠APE=∠ABP+∠BAD,∠ABC=∠ABP+∠EBC,∵∠EBC=∠BAD,∴∠APE=∠ABC,∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∴∠APE=∠C;(2)①证明:如图2,作EG⊥DC于G,EH⊥AD于H,在△EHP和△EGC中,,∴△EHP≌△EGC(AAS)∴EH=EG,又EG⊥DC,EH⊥AD,∴∠ADF=∠CDF,∵AF∥BC,∴∠F=∠CDF,∴∠F=∠ADF,∴AD=AF;②解:如图3,作EH⊥AD于H,由(2)①可知,△EHP≌△EGC,∴PH=GC,在△DEH和△DEG中,,∴△DEH≌△DEG(AAS)∴DH=DG,∴DG=DH=DP+PH=1+GC,∴1+GC+GC=7,解得,GC=3,∴DG=DC﹣GC=7﹣3=4,故答案为:4.20.Rt△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点C.(1)当AC=BC时,如图1,分别过点A和B作AD⊥直线l于点D,BE⊥直线l于点E.△ACD与△CBE是否全等,并说明理由;(2)当AC=9cm,BC=6cm时,如图2,点B与点F关于直线l对称,连接BF、CF,点M 在AC上,点N是CF上一点,分别过点M、N作MD⊥直线l于点D,NE⊥直线l于点E,点M从A点出发,以每秒1cm的速度沿A→C路径运动,终点为C,点N从点F出发,以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动,终点为F,点M、N同时开始运动,各自达到相应的终点时停止运动,设运动时间为t秒.①当△CMN为等腰直角三角形时,求t的值;②当△MDC与△CEN全等时,求t的值.解:(1)△ACD与△CBE全等.理由如下:∵AD⊥直线l,∴∠DAC+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠ECB,在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE(AAS);(2)①由题意得,AM=t,FN=3t,则CM=8﹣t,由折叠的性质可知,CF=CB=6,∴CN=6﹣3t,点N在BC上时,△CMN为等腰直角三角形,当点N沿C→B路径运动时,由题意得,9﹣t=3t﹣6,解得,t=,当点N沿B→C路径运动时,由题意得,9﹣t=18﹣3t,解得,t=,综上所述,当t=秒或秒时,△CMN为等腰直角三角形;②由折叠的性质可知,∠BCE=∠FCE,∵∠MCD+∠CMD=90°,∠MCD+∠BCE=90°,∴∠NCE=∠CMD,∴当CM=CN时,△MDC与△CEN全等,当点N沿F→C路径运动时,9﹣t=6﹣3t,解得,t=﹣(不合题意),当点N沿C→B路径运动时,9﹣t═3t﹣6,解得,t=,当点N沿B→C路径运动时,由题意得,9﹣t=18﹣3t,解得,t=,当点N沿C→F路径运动时,由题意得,9﹣t=3t﹣18,解得,t=,综上所述,当t=秒或秒或6秒时,△MDC与△CEN全等.。

中考数学每日一练:全等三角形的判定与性质练习题及答案_2020年解答题版

中考数学每日一练:全等三角形的判定与性质练习题及答案_2020年解答题版

中考数学每日一练:全等三角形的判定与性质练习题及答案_2020年解答题版答案答案答案答案2020年中考数学:图形的性质_三角形_全等三角形的判定与性质练习题~~第1题~~(2020嘉兴.中考模拟) 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC ,BD 相交于点 O ,过点 O 的一条直线分别交 AD ,BC于点 E ,F .求证:AE=CF .考点: 全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质;~~第2题~~(2020温州.中考模拟) 如图,等腰直角△ABC 中,CA=CB ,点E 为△ABC 外一点,CE=CA ,且CD 平分∠ACB 交AE 于D ,且∠CDE=60°.(1) 求证:△CBE 为等边三角形;(2) 若AD=5,DE=7,求CD 的长.考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;~~第3题~~(2019陕西.中考模拟) 如图,点B 、F 、C 、E 在一条直线上,FB=CE ,AB ∥ED ,AC ∥FD ,AD 交BE于O .求证:AD 与BE 互相平分.考点: 全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;~~第4题~~(2019山西.中考真卷) (2019·山西) 已知:如图,点B ,D 在线段AE 上,AD=BE ,AC ∥EH,∠C=∠H.求证:BC=DH.考点:全等三角形的判定与性质;~~第5题~~(2019大连.中考真卷) 如图,点,在 上, , , ,求证: .考点:全等三角形的判定与性质;答案2020年中考数学:图形的性质_三角形_全等三角形的判定与性质练习题答案1.答案:2.答案:3.答案:4.答案:5.答案:。

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问题2:当t为何值时,△APF是含有30°角的直角三角形,写出所有符合条件的t的值.
(3) 当点P在运动过程中,求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式.(请说明理由)
考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;菱形的性质;旋转的性质;相似三角形的判定与性质;
答案
~~第2题~~ (2019海门.中考模拟) 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),B(2,4),连结AB.若对于平面内一点P,线 段AB上只要存在点Q,使得PQ≤ AB,则称点P是线段AB的“卫星点”.
(3) 若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2=BE2+CE2,求点E运动路径的长度.
考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质;弧长的计算;
答案
2020年 中 考 数 学 : 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题 答 案
1.答
5.答案:
考点: 坐标与图形性质;一次函数与不等式(组)的综合应用;等边三角形的判定与性质;
答案
~~第3题~~ (2019丹阳.中考模拟) 问题:如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、F D之间的数量关系.
(1) [发现证明] 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图(1)证明上述结论.
中考数学每日一练:等边三角形的判定与性质练习题及答案_2020年压轴题版
2020年 中 考 数 学 : 图 形 的 性 质 _三 角 形 _等 边 三 角 形 的 判 定 与 性 质 练 习 题
~~第1题~~ (2019润州.中考模拟) 如图,在菱形ABCD中,边长为2 ,∠BAD=120°,点P从点B开始,沿着B→D方向,速度为 每秒1个单位,运动到点D停止,设运动的时间为t(秒),将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到对应线段的延长线与过点 P且垂直AP的垂线段相交于点E,
(2) [类比引申] 如图(2),四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时,仍有EF=BE+FD.
(3) [探究应用] 如图(3),在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BA D=150°,道路BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=40( ﹣1)米,现要在E、F之间修一条笔直道路,求这 条道路EF的长(结果取整数,参考数据: =1.41, =1.73)
(1) 在点C(4,2),D(2,﹣ ),E( ,2)中,线段AB的“卫星点”是点;
(2) 若点P1,P2是线段AB的“卫星点”(点P1在点P2的左侧),且P1P2=1,P1P2∥x轴,点F坐标为(0,2). ①若将△P1P2F的面积记为S,当S最大时,求点P1的坐标;
②直线FP1的解析式y=mx+2(m≠0),直线FP2的解析式y=nx+2(n≠0),求 的取值范围.
考点: 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;相似三角形的判定与性质;
答案
~~第5题~~ (2019宣城.中考模拟) 如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.
(1) 求∠A+∠C的度数;
(2) 连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;
( ≈1.73,sin11°≈0.19,cos11°≈0.98,sin19°≈0.33,tan19°≈0.34,sin41°≈0.65,tan41°≈0.87)
(1) 当t=0时,求AE的值. (2) P点在运动过程中,线段PE与菱形的边框交于点F.(精确到0.1) 问题1:如图2,当∠BAP=11°,AF=2PF,则OQ=.
考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质;旋转的性质;
答案
~~第4题~~ (2019瓯海.中考模拟) 如图,AB是⊙O的直径,弦BC=OB,点D是 ,OE于点F,G.
上一动点,点E是CD中点,连接BD分别交OC
(1) 求∠DGE的度数; (2) 若 = ,求 的值;
(3) 记△CFB,△DGO的面积分别为S1,S2,若 =k,求 的值.(用含k的式子表示)
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