几何不变体系

6
5多余约束：不减少体系自由度过的约束称为多余约束。 A
a 注意：多余约束是结构中有用的、不可少的约束。它将影响
结构的受力与变形，只是不减少体系的自由度。
6、单刚结点：将两刚片联结成一个整体的结点
图示两刚片有六个自由度 加刚联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。
刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束, 若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
G
依次去掉二元体AB
CDEFG后剩下大地，
F
E
故该体系为几何不变
A 体系且无多余约束。
DC
B
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例2： D
CB
例3：A
F
A C
依次去掉二元体A，B，C，D后 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系
2、如上部体系于基础
用满足要求三个约
G
束相联可去掉基础，
B 只分析上部。
D
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抛开基础，只分析上部， 上部体系右左右两刚片用一铰和一链杆相连 故：该体系为无多余约束的几何不变体系！
2、几何可变体系：在外力作用下，其形状或位置会改变。
图a
图b
1
几何可变体系又可分为两种： （1）几何常变体系：受力后可发生有限位移。 （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。
PA
P
N
N
A
∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞ 由于瞬变体系能产生很大
β
PA
β
的内力, 故几何常变体系和几 何瞬变体系不能作为建筑结
F
Ⅱ
C A
C B
Ⅲ
19
（Ⅰ,Ⅱ） 例
Ⅰ
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
(Ⅰ,Ⅲ)
（Ⅱ，Ⅲ） （Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连 三刚片以三个无穷远处虚铰相连
几何瞬变体系
组成瞬变体系
20
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
7
§2.2体系的计算自由度
一个平面体系通常都是由若干部件刚片（结点）加入一些
约束组成。按照各部件都是自由的情况， 算出各部件自由度
总数， 再算出所加入的约束总数， 将两者的差值定义为体系
的计算自由度W。即：
W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数）
如以m表示刚片数，h表示单铰数，r表示支承链杆数，则
W=3m －（2h+r）
（2——1）
注意：1、复铰要换算成单铰。正确识别复铰连接的刚片数。
连四刚片 h=3
连三刚片 h=2
连两刚片 h=1
2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有a个无铰
封闭框，约束数应加 3a 个。
3、饺支座、定向支座相当于两个支承链杆， 固定端相
当于三个支承链杆。！
8
对于铰接链杆体系也可将结点视为部件，链杆视为约束， 则：
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
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进一步分析可得，体系是无多余约
束的几何不变体系
24
例4、
(2,3)
Ⅱ
Ⅲ
(1,3)
Ⅰ
(1,2)
如图所示：三刚片用不共线三饺相连，故 无多余约束的几何不变2体1 系。
5、由基础开始逐件组装
无多余约束几何不变体系
有一个多余约束的 几何不变体系
22
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
14
（a）
（b）
（c）
（e） （d）
15
规则 连接对象 必要约束数 对约束的布置要求 瞬变体系
一 三刚片
六个 三铰(实或虚)不共线 三种
二 两刚片
三
三个
链杆不过铰
一种
三链杆不平行也不交于一点 两种
四 一点一刚片 两个
两链杆不共线
一种
几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
【举例】1、
12
图a为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC、BC均看成刚片，
就成为两刚片组成的无多余约束几何不变体系C
二、两刚片以一铰及不通过该铰的 一根链杆相联组成无多余约束的 几何不变体系 。
A
a
A 图a B 图b
B
杆通过铰 瞬变体系
三、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系。
Δ是微量
构使用.
P
只有几何不变体N 系才 N
能作为建筑结构使用！！
2
三、自由度：所谓体系的自由度是指体系运动时，可以 独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐 标的数目。
1、平面内一点＿2＿各自由度；
2、平面内一刚片＿3＿各自由度；
y x
yx 图a
yX
o
y
x
图b
3
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
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例5、
抛开基础，分析上部，去掉二元体后， 剩下两个刚片用两根杆相连 如故图：示该，体三系刚为片有用一三个个自不由共度线的的几铰何相可连变，体系 故：该体系为无多余约束的几何不变体系
例6、 E
3、当体系杆件
D
数较多时，将刚
片选得分散些，
用链杆相连，
A
B
而不用单铰相连。
O13 O23
O12
F D
Ⅰ
1、链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
Ⅰ
15 6
3
4
一根链杆可以减少体系一个自由度， 相当于一个约束。！
4
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰
加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
1
C
2
x
y
两根不共线的链杆相当于一个单铰 3、虚铰（瞬铰） 即瞬铰
W=2j－b－r 式中：j为结点数；b为链杆数；r支承链杆数
例a：j=6；b=9；r=3。所以：W=2×6－9－3=0
E② D
F
① ⑤⑥
③ ⑧⑨
C
⑦
④
A
B
①
②
⑥
⑨
⑤
③
⑦
⑧
④
例b：j=6；b=9；r=3。所以：W=2×6－9－3=0
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m=1，a=1，h=0 r=4+3×2＝10 则：
W=3m－2h － r －3×a =3×1－10 － 3×1 ＝ － 10
m=7，h=9，r=3 W=3×m－2×h－r
=3×7－2×9－3 =0
10
注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系 必须的约束数够不够。即：
W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。
W=0 实际约束数等于体系必须的约束数 不能断定体系
W<0 体系有多余约束
是否几何不变
由此可见:W≤0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而 不是充分条件。
§2.3无多余约束几何不变体系的组成规则
图a为一无多余约束的几何不变体系 将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三刚 片组成的无多余约束的几何不变体系
一、三刚片以不在一条直线上的三铰C 相联，组成无多余约束的几何不 变体系。
A
图a
B
三铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联：瞬变体系
两平行链杆于两铰连线平行： 瞬变体系
瞬 变 体 系
常
o
瞬 变
变 体
体
系
系
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将BC杆视为刚片 ，该体系就成为一刚片于一点相联
A
四、一点与一刚片用两根不共线的
链杆相联，组成无多余约束的
几何不变体系。
B
C
1 A2
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变原体系的机 动性，也不改变原体系的自由度。
2、实际自由度S、计算自由度W和多余约束n之间的关系： S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数）+（多余约束数）
所以：
S=W + n
由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是
体系的实际自由度！
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§2.1构造分析的几个基本概念 一、构造分析的目的
1、研究结构 正确的连接方式，确保所设计的结构能承受 荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的 计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。 二、体系的分类：在忽略变形的前提下，体系可分为两类：
1、几何不变体系：在任何外力作用下，其形状和位置都不 会改变。
O 瞬铰
单铰
A 定轴转动
5
平面运动！
4、复铰（重铰）联结三个或三个以上刚片的铰
A
x
C
先有刚片A,然后以单铰将 刚片B联于刚片A, 再以单铰
将刚片C联刚片于A上
也可以理解加复铰前三个刚
共有九个自由度， 加复铰后还剩
图示五个自由度。
B y
所以联结三个刚片的复铰相当
于两个单铰，减少体系四个约束。
一般说来，联结n个刚片的复铰相当于n-1个 单铰，相当于 2(n-1)个约束！