装箱问题的一种新算法及其性能比的证明_冯晓慧

摘要 给出了一个一维装箱问题的新算法 —— EP FF 算法 , 并证明了此算法在最坏 情况下的性能比 r EPF F = 1. 6. 关键词 一维装箱问题 FF算法 BF算法 性能比 中图分类号 O157. 2 飞机装舱 、码头装货、列车装箱、 工厂下料 , 甚至计算机的内存分配等 , 无不存在空间分配上的问题 , 这些问题都可以归结为装箱问题 . 装箱问题即 ( 0, 1 ]区 间上的一实数列 L 被装入容量为 1的箱子中 , 要 求所用的箱子数最少 . 这类问题属于 N P困难问题 , 在实际中为了解决这类问题 , 人们通常使用近似算 法 、启发式算法用少量时间求出其近似解 . 文中提出了一种 EPFF算法 , 此算法执行时间短 , 最坏情况下 的性能比为 1. 6, 这种算法比通常的 FF算法、 BF算法 、 RFF算法的精度高、速度快 .
1998 年 4 月 第 25 卷 第 2 期
西 安 电 子 科 技 大 学 学 报 JO URN AL O F XIDI AN UNIV ERSI TY
Apr. 1998 V o l. 25 No. 2
装箱问题的一种新算法及其性能比的证明
冯晓 慧 李 菊娥 任 春 丽
( 西安电子科技大学应用数学系 西安 710071)
图 1 EP FF算法的结构图
定理 1 对于任意实数列 L , L EPF F ≤ 8 /5 LO PT + 5( LEP FF 表示对序列 L 按 EPF F算法装箱所需箱子 数). 证明 前 7组箱子的内容至少为 Q= 2 Z1 + 3 1 2+ 1 4 7 + 12 Z32 + 1 4 Z21 + 1 2+ 1 5 7 + 12 Z33 + 1 5 Z2 2 + 7 Z23 + 12 1 + 2 1 3 Z31 + 1 5 3 ( 2 Z - 1) +
b4k - 3 + c4k - 2 + c4k - 1 + c4k + c 4k+ 1 + mi n{ ci , bi , d i } = 1+
所以每个箱子只能装 5个 L2 中元素 , 后面的 ci ( i ≥ 4k + 2) 元素及 bi , di ( 1 ≤ t ≤ n ) 元素都装不进前 面 的 k 个箱子 . 又因为 每个箱子 中分别有 b1 , b5 , … , b4k - 3 ,… , bn - 4 元 素 , 因此 装 L 2 中的 元素时要 用 ( n - 1) / 4个箱子 . 同理可得装 L 3L 4时 ,也是依次每箱中各装 5个元素 , 余最后 1个元素 bn 单独装入一个 箱子 ,按 F F算法 L5 中的第 1个元素 c1 可装入第 8组箱子中的第 1个箱子中去 , dn 元素装入最后一个箱 子 . 其中只装 bi 元素箱子的个数为 [n - 1 - ( n - 1) /4 ] / 5= ( 3n - 3) /20, 因此有序列 L按 EPF F算法 装箱的结构图见图 3.
1 E Pபைடு நூலகம்F算法
为方便起见 , 在此先给出 FF算法: FF算法 要装箱的元素为 a1 , a2 , … , am , 箱子的编号为 B 1 , B 2 , … , B J . 顺次地取出元素 a 1 , a 2 , … , 装 入箱子 . 装入元素 ai 时 , a 1 , a 2 , … , ai - 1 已分别装入箱子 B 1 , B 2 , … ,而 ai+ 1 ,… , am 都没有装箱 , 这时顺次 地观看 B 1 , B 2 , … , 找出最初能容纳 ai 的箱子 , 将 ai 装入该箱 . 下面给出 EPF F算法: 将所 有 的箱 子 分成 8 组 , 将 实 数列 中 的 元素 分 成 8 类 , 称 ( 2 /3, 1 ] , ( 7 /12, 2 /3 ] , ( 1 /2, 7 / 12 ], ( 5 /12, 1 / 2] , ( 1 /3, 5 /12 ] , ( 1 / 4, 1 / 3] , ( 1 /5, 1 /4 ], ( 0, 1 /5]上的元素分别为 T 1 ,T 2 ,T 3 ,U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 ,V 类元 素 ,T 1 ,T 2 ,T 3 统称为 T 元素 . 同时用 a , a1 , a2 , a3 , b1 , b 2 , b3 , b4 分别表示 T ,T 1 ,T 2 ,T 3 ,U 1 ,U 2 ,U 3 ,U 4 类元素的个 数 , 因此有: a = a1 + a 2 + a3 . EPFF 算法 : ( 1) 从 U 2 ,U 3 ,U 4 类元素中取出 a3 个元素与 T 3 类元素放在一起 (或 a3 > b2 + b3 + b4 ,则取完所有的 U 2 ,U 3 ,U 4 类元素为止 ) , 再从 U 3 ,U 4 类元素中取出 a2 个元素与 T 2 放在一起 . ( 2) 将 T 1 类元素装入第 1 组箱子中 , 每个箱子中装入 1 个元素 . ( 3) 将 T 2 元素及取出的 U 3 ,U 4 类元素装入第 2组箱子中 ,每个箱子最多装一个 T 2 元素和一个 U 3或
i+ 2 设 n = 20m + 1 (m ≥ 1) , X i = 1 /6 , ai = 1 / 2+ X i ,b i = 1 /6+ 2 X i , ci = 1 /6 - 4 X i , di = 1 /6+ X i( 1
≤ i ≤ n ) , L 1 = { a 1 , a 2 , a 3 , … , an } , L 2 = {b1 , c2 , c3 , c4 , c5 , … , b4k - 3 , c4k - 2 , c 4k - 1 , c4k , c4k+ 1 , … , bn- 4 , cn - 3 , cn - 2 , cn- 1 , cn } , L3 = { d 1 , d 2 , d 3 ,… , dn- 1 } , L4 = {剩余的 bi 按顺序排列 } , L 5 = { c1 , dn } , L = L 1 L2 L3 L 4L 5 . 显然最优装法如图 2所示 , 且有 LO P T = n . 在 EPF F算法中因为 ai 属于 T 3 类元素 , 而 bi , ci , di 属于 V 类元素 ,按 EPF F算 法将 L 1 中的元素 ai 每箱中各装一个得第 3 类箱子 , 而将剩余的 L2 L 3L 4 L5 中的元 素按 FF算法装箱可得第 8类箱子 . 因为 b4k - 3 + c4k - 2 + c4k - 1 + c4k + c4k+ 1 = 5 /6+ 1 556 /64k+ 3 , 所以装有 b4k - 3 , c4k - 2 , c4k - 1 , c4k , c 4k+ 1 元素的箱子的容量随 k 的增大而减少且 mi n{ ci , bi , d i } = c4k+ 2 , t , i ≥ 4k + 2 , 1 556 4 - 4k+ 4 > 1 , 图 2 最优装法 结构图 64k+ 3 6
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A new structure to improve the turn-off performance of the MOS -gated thyristor
Dai X ianying Zhang Heming W ang W ei ( Resea rch Inst. of Microelectro nics, Xi dian Univ . , Xi an, 710071) Abstract The maxi mum cont rollable current densi t y o f sing le cell M OS-Gat ed t hyristo r devices is la rg e but fo r the multicellula r devi ces there is a si gni fica nt reducti on. Nonuni fo rm turn-o ff of cells has been show n t o li mi t t he maxi mum cont rollable cur rent f or large-area device st ract ures. A new st ructure of M OS-Gat e t o turn -of f thy rist or -depletio n-mode M OS-Gat e i s descri bed i n this paper. Th e depletio n-mode M OS-Gat e can im prov e the no nunif orm t urn-of f of a multicel lula r dev ice. Key Words MO S-Gat ed thy rist or depletio n-m ode MO S turn-o ff g ate uni fo rm turn-of f
4 元素 . U
( 4) 将 T 3 元素及取出的 U 2 ,U 3 ,U 4 类元素装入第 3组箱子中 , 每个箱子最多装一个 T 3 元素和一个 U 2 或U 3或 U 4 元素 . ( 5) 将 U 1 类元素及剩余的 U 2 ,U 3 ,U 4 类元素分别装第入 4 ～ 7组箱子中 ,各组箱子分别装 2 、2 、3 、 4个 U 1、U 2、U 3、U 4 类元素 .
第 2 期 冯晓慧等 : 装箱问题的一种新算法及其性能比的证明
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情况 1 Z34 = 0, 情况 2 Z 34 ≠ 0. 应用性质得 L EP F F ≤ 8 / 5 L O PT + 5(详细证明参见 [ 1] ) . 定理 2 r EPF F = 1. 6. 证明 因为由定理 1可知: LEP FF ≤ 1. 6 LO PT + 4, 所以只需要找到一个序列 L , 将其进行装箱 ,使得 L EPF F = 1. 6 LO PT + O ( 1) 即可 .
1 34 5 4 2 Z + 12 ( 2 Z - 1) +
1 ( 3 Z6 - 2) + 4
1 ( 4 Z7 - 3) , 5 6 ( LO P T - Q ) + 2 , 5
第 8组箱子的内容至少为 Lopt - Q , 由性质 7可知: Z8 ≤ 因此 L EP FF = Z1 + Z 21 + Z22 + Z23 + Z31 + Z32 + Z33 + Z34 + Z4 + Z5 + Z6 + Z7 + Z8 ≤ 6 L OP T + 5 2 34 5 Z + 分两种情况进行讨论 . 1 3 3 1 4 Z1 + Z22 + Z23 + Z32 + Z33 + 5 50 10 10 25 1 5 1 6 1 7 111 5 Z + 10 Z + 25 Z + 2 50 .
校青年基金 资助 . 收稿日期 : 1997 — 09 — 29
232 西安电子科技大学学报 第 25卷 ( 6) 将 V 类元素按 F F算法装入第 8组箱子中 . 根据算法的装法及分类数据 , 容易得到下列性质 : 性质 1 Z5 = [ (b2 - Z31 ) /2 ] + 1. 性质 2 Z6 = [ (b3 - Z21 - Z32 ) /3 ] + 1. 性质 3 Z7 = [ (b4 - Z22 - Z33 ) /4 ] + 1. 性质 4 a = Z1 + Z21 + Z22 + Z23 + Z31 + Z32 + Z33 + Z34. 性质 5 a ≤ LO P T . 性质 6 b2 ≤ 2 LO P T - a , b3 ≤ 3 L OP T - 2a , b4 ≤ 4 L O PT - 2a (其中 Z1、 Z21、 Z22… 分别表示装有如 图 1所示元素的箱子个数 . L O PT 表示最优装箱情况下的箱子数 ) . 性质 7 在第 8组箱子中 , 内容 ≥ 5 /6,可能有两个箱子例外 . DPF F算法的结构图如图 1所示 .
图 3 EPF F装法结构图
则由图 3可知 : L EPF F = n + 因此有 rEP FF = 1. 6. n- 1 n- 1 3n - 3 + + = 4 5 20 8 n+ 5 2 = 5 8 L O PT + 5 2 5
2 结 论
由此可知 , EPF F算法的最坏情况下的性能比为 1. 6, 因此这种算法比通常的 FF 算法、 BF 算法 、 RFF算法的精度高 . 此算法还可以推广到二维 、三维装箱问题中去 , 用来解决一些切割、 下料 、运输等实 际问题 . (下转第 238页 )