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数列基本概念

数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：

依定义域分为：有穷数列、无穷数列；

依值域分为：有界数列和无界数列；

依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；

数列通项： a n f (n)

2、等差数列

1、定义当n N ,且 n 2 时，总有a n 1a n d ,( d常) ，d叫公差。

2、通项公式a n a1(n1)d

3、前 n 项和公式

由 S n a1 a2 a n , S n a

n

a

n 1 a1，

相加得

S n a1 a n n ，还可表示为 S n na1 n(n 1)

d , (d 0) ，是n的二次函数。

2 2

特别的，由a1 a

2 n 1 2a n 可得 S2n 1 (2n 1)a n。

4、 由三个数 a ， ， b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则

称为 a 与 b 的

等差中项．若 b

a

c

，则称 b 为 a 与 c 的等差中项．

2

5、等差数列的性质：

（1） m n

p q （ m 、 n 、 p 、 q

*

），则 a m a n a p a q ；

特别地，若 2n

p q （ n 、 p 、 q ），则 2a n a p a q ．

*

（2） S n ， S 2n S n ， S 3 n S 2 n 成等比数列．

（3）若项数为 2n n

*

，则

S S

nd ，．

偶

奇

（4）若项数为 2n 1 n

*

2n 1 a ，

S 奇

n ，则 S

1

2n n

S 偶

n

1

3、等比数列

1、 定义 当 n

N ,且 n 2

时，总有

a n

q( q 0)

, q 叫公比。

a

n 1

2、通项公式：

a n a 1q n 1 a m q n m , 在 等 比 数 列 中 ， 若 m n p q

2r , 则

a m a n a p a q a r 2 .

3、 、在 a 与 b 中间插入一个数

G ，使 a ， G ， b 成等比数列，则 G 称为 a 与 b 的等比中

项．若 G 2 ab ，则称 G 为 a 与 b 的等比中项．

4、 等比数列的前

n 项和的性质：

（ 1） m n p q （ m 、 n 、 p 、 q

*

），则 a m a n a p a q ；若 a n 是等比数

列，且 2n

p q （ n 、 p 、 q

*

），则 a n 2 a p a q ．

（ 2） S n ， S 2n

S n ， S 3 n S 2 n 成等比数列。

5、 前 n 项和公式 :

由 S n

a 1 a 2 a n ,qS n a 2 a 3 a n a n 1 ， 两式相减，

当 q

1时， S

a (1 q n )

a 1 a n q

1时 ， s n na 1 。

1

,( q 1) ；当 q

1 q

1 q

关于此公式可以从以下几方面认识：

a1 (1 q n ) a1 a n q

① 不能忽视S

1 成立的条件： q 1。特别是公比用字母表示时，要分

1 q q

类讨论。

②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。

如，公差为 d 的等差数列 { a n} ， S n a1 x a2 x2 a n x n ，则xS n a1 x2 a x2 3 a n x n1 a n x n ，

相减得S n (1 x) a1 x dx 2 dx n a n x n 1 ，

当 x 1时，

S n(1 x) a1 x dx(1 x n 1 ) a n x n 1 ，S n a1 x a n x n 1 dx2 (1 x n 1 )

1 x 1 x (1 x)2

当 x 1 时，；

第一节 等差数列的概念、性质及前

n 项和

题根一

等差数列

{a

n } 中，

a 6

a 9

a

12

a

15

20 ，求 S 20

[ 思路 ] 等差数列前 n 项和公式 S n

(a 1 a n )n

n(n 1)

2

na 1

d ：

2

1

、 由已知直接求 a 1 ，公差 d.

2

、 利用性质 m n p q a m a n a p a q

[请你试试 1—— 1]

1、 等差数列 {a n } 满足 a 1

a 2

a 101

0 ，则有 （ ）

A 、 a 1 a 101 0

B 、 a 2

a

1 0 0

C 、

a 3 a 9 9 0 D 、 a 51 51

2、 等差数列中 , a 3 +a 7- a 10 =8, a 11- a 4=4, 求 S 13 。

第 1 变

求和方法——倒序相加法

[ 变题 1] 等差数列 {a n } 共 10 项， a 1

a 2 a 3 a 4 20 ， a n a n 1 a n 2 a n 3 60 ，求 S n.