数学分析知识点总结(微分方程)
数学分析知识点总结(微分方程)
2.7.微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系,通常是含有导数的方程——微分方程。
简单例子:(1)放射性物质,在每一时刻t ,衰变的速率dm dt -(由于是减少,因此0dm dt<,速率为标量,是正值)正比于该放射性物质尚存的质量,因此质量应满足一下微分方程。
dmkm dt-= (2)质量为m 的物体自由落体,取坐标轴沿竖直方向指向地心,下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F ma =,即22d ymg m dt=(3)质量为m 的跳伞员下落,所受空气阻力正比下降的速度,取坐标轴沿竖直方向指向地心,则t 时刻下降距离()y y t =满足22dy d y mg k m dt dt-=(1)如下图所示,钢球在以水平光滑杆上,受到弹力而来回整栋,原点位置为O ,钢球在t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程()22d x kx m dt-=如果钢球还受到一个与速度成正比,方向与速度相反的阻尼力的作用,那么它所满足的微分方程是22dx d xkx h m dt dt--=总结:最简单的一阶微分方程是()dxf t dt= 其中t 是自变量,上述方程的一般解应该是()x f t dt C =+⎰最简单的n 阶方程()n nd xf t dt = 它等价于说11n n d xdt--是()f t 的原函数,即11()n n d xf t dt C dt --=+⎰则再次积分,一直积分下去得到111()(1)!n n n t x f t dtdt C C t C n --=++++-⎰⎰2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程()()dxa t xb t dt+= 方程中有未知函数的一阶导数,且其一阶导数的系数为常数,其余部分未知函数最高层次数为一次,称为线性,上述方程为一阶线性微分方程。
如果()0a t =,则称为一阶线性常微分方程。
试着求解上述方程,方程两端都乘以()a t dte ⎰,得到()()()()()a t dta t dt a t dt dxe a t e x b t e dt⎰⎰⎰+= 即为下面的形式()()()()a t dta t dta t dt d e dxe x b t e dt dt ⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰⎰+=即()()()a t dta t dt d xeb t e dt⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰=于是有()()()a t dta t dtxe b t e dt C ⎰⎰=+⎰那么有()()()a t dt a t dt x e b t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这就是一阶线性微分方程的一般解。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支,研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y),其中y是未知函数,x是自变量,f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程:一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数,也可以是常数。
2. 高阶常微分方程:高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1)),其中n为方程的阶数,f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质,常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程:线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x),其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程:非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y),其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程:齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
数学分析的微分方程
数学分析的微分方程微分方程是数学分析中的一个重要分支,它研究的是含有导数或微分的方程。
微分方程在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解的存在唯一性以及一些常见的微分方程类型。
一、微分方程的基本概念微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
一般形式为:\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中,$y$是未知函数,$y'$表示$y$的一阶导数,$y''$表示$y$的二阶导数,$y^{(n)}$表示$y$的$n$阶导数。
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})$是已知的函数。
二、微分方程的分类微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只含有未知函数的一阶或多阶导数的方程,而偏微分方程则含有多个未知函数的偏导数。
常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为:\[y'=f(x,y)\]其中,$f(x,y)$是已知的函数。
高阶常微分方程则包括了二阶常微分方程、三阶常微分方程以及更高阶的情况。
三、微分方程的解的存在唯一性对于给定的微分方程,我们希望找到满足方程的函数。
解的存在唯一性指的是在一定的条件下,微分方程存在唯一的解。
对于常微分方程而言,解的存在唯一性定理常用的有皮卡-林德勒夫定理和格朗沃尔不等式等。
这些定理给出了某些条件下,常微分方程存在唯一的解的保证。
对于偏微分方程而言,解的存在唯一性的讨论则更加复杂,常需结合边界条件、初始条件以及问题本身的性质来进行具体的分析。
四、常见的微分方程类型1. 一阶线性常微分方程:一阶线性常微分方程的一般形式为:\[y'+p(x)y=q(x)\]其中,$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
解这类方程常用的方法有常数变易法、一阶线性齐次方程的解法以及一阶齐次方程的通解求解方法。
微分方程公式总结
微分方程公式总结微分方程是数学中的一个重要分支,用于描述变量之间的关系以及其随时间或空间的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域,在实际问题的建模与求解中起到重要的作用。
本文将对微分方程的基本概念、常见的分类、常见的解法以及应用进行总结,以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为:F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量,y是未知函数,y'、y''...y^(n)代表y对x的一阶、二阶...n阶导数。
常见的微分方程类型有:常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一变量的导数,常见的类型有一阶、二阶和高阶常微分方程;偏微分方程中含有多个变量的偏导数,常见的类型有泊松方程、热方程和波动方程等。
二、常见的微分方程分类及解法1.一阶常微分方程一阶常微分方程形式为:dy/dx = f(x, y)解法:分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程形式为:y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)解法:齐次线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
3.一阶偏微分方程一阶偏微分方程形式为:F(x,y,u,p,q)=0其中u=u(x,y)是未知函数,p=∂u/∂x,q=∂u/∂y为一阶偏导数。
解法:变量分离法、特征线法、线性方程法等。
4.二阶偏微分方程二阶偏微分方程形式为:Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F为已知函数,A、B、C不同时为零。
解法:分离变量法、特征线法、变换法等。
三、微分方程的应用微分方程是物理学、工程学、经济学等实际问题的重要工具,应用领域广泛。
1.物理学应用微分方程可以描述物体的运动、电磁场的分布等物理现象。
微分方程公式总结
微分方程公式总结一、什么是微分方程微分方程是包含未知函数及其导数的方程,它描述了函数与其导数之间的关系。
一般形式的微分方程可以表示为:\[ F(x, y, \frac{{dy}}{{dx}}, \frac{{d^2y}}{{dx^2}}, ... , \frac{{d^ny}}{{dx^n}}) = 0 \]其中,\(y\) 是未知函数,\(x\) 是自变量,\(\frac{{dy}}{{dx}}\) 是\(y\) 对 \(x\) 的导数,\(n\) 是一个正整数,\(F\) 是一个给定的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程中包含的未知函数的阶数,微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两种。
1. 常微分方程:常微分方程是只包含未知函数的一阶或高阶导数的微分方程。
常微分方程的一般形式可以表示为:\[ F(x, y, \frac{{dy}}{{dx}}, \frac{{d^2y}}{{dx^2}}, ... , \frac{{d^ny}}{{dx^n}}) = 0 \]常微分方程的求解方法多种多样,其中常见的方法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2. 偏微分方程:偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的微分方程。
偏微分方程的一般形式可以表示为:\[ F(x, y_1, y_2, ..., \frac{{\partial y_1}}{{\partial x}}, \frac{{\partial y_2}}{{\partial x}}, ... , \frac{{\partial^2y_1}}{{\partial x^2}}, \frac{{\partial^2y_2}}{{\partial x^2}}, ... , \frac{{\partial^2y_1}}{{\partial x \partial y}}, \frac{{\partial^2y_2}}{{\partial x \partial y}}, ... ) = 0 \]偏微分方程的求解方法较为复杂,常用的方法包括分离变量法、特征线法、变量分离法等。
高数微分方程总结(一)
高数微分方程总结(一)前言高等数学(高数)是大学数学的重要基础课程之一,微分方程则是高等数学中的一大难点。
本文将对高数微分方程进行总结,希望能够对学习高数微分方程的同学提供一些帮助和指导。
正文什么是微分方程•微分方程是描述函数变化率的方程。
•包含未知函数、函数的导数及自变量的关系。
微分方程的分类1.常微分方程:–只包含有限个未知函数及其导数的方程。
–常微分方程的阶数为未知函数导数的最高阶数。
2.偏微分方程:–包含多个未知函数及其偏导数的方程。
–偏微分方程的阶数为未知函数偏导数的最高阶数。
微分方程的解法1.可分离变量法:–将未知函数与自变量的各项分离,在两边同时积分得到解。
2.齐次方程法:–换元化为可分离变量方程。
3.一阶线性方程:–使用积分因子法进行求解。
4.变量分离法:–将微分方程转化为关于不同变量的可分离变量方程。
5.常数变易法:–猜测一个常数解,进行代入验证,得到通解。
6.特征方程法:–对常数系数线性齐次微分方程,使用特征方程法求解。
微分方程应用领域•物理学:描述物理系统的运动规律。
•工程学:分析工程问题中的变化过程。
•经济学:研究经济发展、增长和波动等问题。
•生物学:描述生物体内的各种动态过程。
结尾通过对高数微分方程的总结,我们了解了微分方程的定义、分类以及常见的解法。
微分方程在许多学科领域都有广泛的应用,对于深入研究这些学科具有重要意义。
希望本文对正在学习高数微分方程的同学们有所帮助,加油!继续常见的微分方程类型•一阶线性常微分方程•一阶非线性常微分方程•一阶高阶常微分方程•二阶常系数齐次线性微分方程•二阶常系数非齐次线性微分方程•高阶齐次线性微分方程•高阶非齐次线性微分方程•可降阶的高阶微分方程微分方程的应用示例1.挂钟摆动的微分方程:–使用二阶常系数齐次线性微分方程描述,可求得钟摆的运动规律。
2.放射性衰变的微分方程:–使用一阶非线性常微分方程描述,可得到放射性物质的衰变速率。
3.电路中的无源电报方程:–使用二阶常系数非齐次线性微分方程描述,可分析电路中电流和电压的变化。
微分方程知识点
微分方程知识点微分方程是数学中的一种重要工具,用于描述自然界中许多现象的变化规律。
它是关于未知函数及其导数之间的关系式。
在物理、工程、经济等领域中,微分方程广泛应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和常见类型,帮助读者对微分方程有更深入的了解。
一、微分方程的定义微分方程是包含一个或多个未知函数及其导数的方程。
一般形式为:F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0其中,x 是自变量,y 是未知函数,y' 是 y 对 x 的导数,y^(n) 是 y 的 n 阶导数(n 为正整数)。
二、常见的微分方程类型1. 一阶微分方程一阶微分方程是只包含一阶导数的微分方程。
常见的一阶微分方程类型包括:(1)可分离变量型dy/dx = f(x)g(y)这类微分方程可以通过变量分离的方法求解。
(2)齐次型dy/dx = f(y/x)这类微分方程可以通过令 y = ux 来化简,得到一阶线性微分方程。
(3)一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
该类型的一阶微分方程可以通过积分因子法求解。
2. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程是包含二阶导数的微分方程。
一般形式为:a(d^2y/dx^2) + b(dy/dx) + cy = f(x)其中 a、b、c 是常数,f(x) 是已知函数。
这类微分方程可以通过特征方程的根的情况来分类,并利用特解和齐次解的线性叠加原理求解。
3. 高阶线性微分方程和常系数线性微分方程除了二阶线性微分方程,还存在高阶线性微分方程。
当系数为常数时,称之为常系数线性微分方程。
求解方法与二阶线性微分方程类似,但需要考虑更多的特征方程根的情况。
4. 线性微分方程组线性微分方程组是多个未知函数相互依赖的微分方程的集合。
一般形式为:dy1/dx = a11y1 + a12y2 + ... + a1ny_n + F1(x)dy2/dx = a21y1 + a22y2 + ... + a2ny_n + F2(x)...dyn/dx = an1y1 + an2y2 + ... + anny_n + Fn(x)其中,a_ij 和 F_i(x) 是已知函数。
总结微分方程知识点
总结微分方程知识点一、微分方程的基本概念微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。
一般来说,微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。
其中,一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程,高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
微分方程的一般形式可以表示为:F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中,x是自变量,y是未知函数,y'是y对x的一阶导数,y''是y对x的二阶导数,y^(n)是y对x的n阶导数,F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程的性质和形式,微分方程可以分为很多种类。
其中,常见的微分方程包括:1. 隐式微分方程:形式是F(x,y,y')=0,其中y是未知函数;2. 显式微分方程:形式是y'=f(x,y);3. 线性微分方程:形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x);4. 非线性微分方程:形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0,且不满足线性微分方程的条件;5. 高阶微分方程:方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
三、微分方程的解法解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。
根据微分方程的类型和形式,可以采用不同的解法进行求解。
常见的解微分方程的方法包括:1. 可分离变量法:当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时,可以使用分离变量法求解微分方程;2. 线性微分方程的解法:对于一阶线性微分方程,可以使用积分因子法或者直接积分法求解。
而对于高阶线性微分方程,可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解;3. 变换微分方程:通过适当的变换,可以将微分方程化为更简单的形式,从而更容易求解;4. 特殊形式的微分方程的解法:例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等,都有其特定的解法;5. 数值解法:对于一些难以解析求解的微分方程,可以采用数值解法来进行求解,常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义:含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数(或微分)的等式称为常微分方程。
例如:y' + 2y = 0,其中y = y(x)是未知函数,x是自变量,y'是y 对x的一阶导数。
- 阶:方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解:如果函数y = φ(x)代入微分方程后,使方程成为恒等式,则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与方程的阶数相同,这样的解称为通解。
例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解(C_1,C_2为任意常数)。
- 特解:在通解中确定了任意常数的解称为特解。
比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中,当C_1 = 1,C_2 = 0时,y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式:g(y)dy = f(x)dx。
- 解法:对等式两边分别积分,即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C,得到方程的通解。
例如对于方程y'=(x)/(y),可化为ydy = xdx,积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C,即y^2=x^2+C_1(C_1 = 2C)。
2. 齐次方程。
- 形式:(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法:令u=(y)/(x),则y = ux,y'=u + xu',原方程化为u+xu'=F(u),这是一个可分离变量方程,可按照可分离变量方程的解法求解。
例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x),令u = (y)/(x),得到x(du)/(dx)=tan u,再分离变量求解。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中一个重要的分支,用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。
其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍微分方程的全部知识点。
一、基本概念和分类:1. 微分方程的定义和形式。
2. 微分方程的阶数和线性性。
3. 独立变量和因变量的概念。
4. 常微分方程和偏微分方程的区别。
二、常微分方程:1. 一阶常微分方程的解法:可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。
2. 高阶常微分方程的解法:常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。
3. 微分方程的解的存在唯一性定理。
4. 常微分方程的初值问题和边值问题。
三、偏微分方程:1. 常见的偏微分方程类型:椭圆型、抛物型、双曲型方程。
2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。
3. 常用偏微分方程的具体应用:热传导方程、波动方程、扩散方程等。
四、数值解法:1. 欧拉法和改进的欧拉法。
2. 龙格-库塔法。
3. 有限差分法和有限元法。
五、应用领域:微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。
例如:1. 牛顿运动定律中的微分方程。
2. 电路中的微分方程。
3. 生物种群数量变化的微分方程。
4. 经济增长模型中的微分方程。
总结:微分方程是数学中一个重要的分支,主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。
掌握微分方程的解法和应用,对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。
微分方程期末总结
微分方程期末总结第一章微分方程的基本概念与理论基础微分方程作为数学的一个分支,在不同领域应用广泛。
它是描述自然界或社会现象中变量之间关系的数学工具。
微分方程的研究过程需要涉及到微积分、代数、几何等数学知识,并且需要运用数学分析、几何分析等方法。
1.1 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数未知函数及其各导数之间关系的方程。
常见的微分方程类型包括常微分方程、偏微分方程和积分方程。
常微分方程是自变量只有一个的微分方程,通过对未知函数及其导数的各阶求导得到。
偏微分方程是自变量有多个的微分方程,对未知函数及其各偏导数求导得到。
积分方程是通过对微分方程整体进行积分得到。
1.2 微分方程的解与解的存在唯一性微分方程的解是满足方程的函数,可以包含一个或多个参数。
微分方程的解可以是显式解或隐式解。
解的存在唯一性是指在一定条件下,对于给定的初值问题,当解存在时,解是唯一的。
1.3 微分方程的初值问题与边值问题初值问题是指给定了微分方程在某点的解值和导数值,要求求解整个方程解的问题。
边值问题是指在某一区间的两个端点处给定了微分方程的解值,要求求解在整个区间上的解的问题。
第二章一阶微分方程的解法一阶微分方程是指包含未知函数的一阶导数的方程,可以通过变量分离、齐次方程、线性方程等方法求解。
2.1 可分离变量方程可分离变量方程是指可以使方程的两边关于未知函数和自变量分离的方程。
通过对方程两边分离变量,再分别积分可以得到方程的解。
2.2 齐次方程齐次方程是指当方程右侧为零时,可以通过替换未知函数的形式,将方程转化为可分离变量方程。
通过变量替换和分离变量的方法可以求得齐次方程的解。
2.3 线性方程线性方程是指当方程右侧为一次函数时,可以通过积分因子法将方程转化为可分离变量方程。
通过确定积分因子和乘法积分可以求得线性方程的解。
2.4 恰当微分方程恰当微分方程是指可以通过判断方程的某种性质,从而直接找到方程的解。
判断恰当微分方程的方法包括齐次性条件和恰当条件。
微分方程的简单总结
微分方程的简单总结姜秋.学号:PB08207234一、一阶线性方程1、定义 方程 )()(x Q y x P dx dy =+ (1)称为一阶线性微分方程。
特点:关于未知函数y 及其导数'y 是一次的。
若0)(≡x Q ,称(1)为齐次的; 若0)(≠x Q ,称(1)为非齐次的。
如:(1)222'x xe xy y -=+ (2)25)1(12'+=+-x x y y2、解法当0)(≡x Q 时,方程(1)为可分离变量的微分方程。
当0)(≠x Q 时,先求其齐次方程的解再用常数变易法求其通解。
0)(=+y x P dx dy 称为对应于(1)的齐次微分方程,其解为:⎰=-dx x P Ce y )(利用常数变易法,用)(x u 代替C ,即⎰=-dx x P e x u y )()(故得通解 : ))(()()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。
二、Bernoulli 方程1、定义 ny x Q y x P dx dy )()(=+ )1,0(≠n 称为贝努里方程。
当1,0=n 时,为一阶线性微分方程。
2、解法 两边同除n y 得:)()(1x Q y x P dx dy y n n =+-- 令n y z -=1,则有 dx dy y n dxdz n--=)1( )()(11x Q z x P dx dz n =+-而 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+为一阶线性微分方程,故))()1(()()1()()1(C dx e x Q n e z dx x P n dx x P n +⎰-⎰=⎰---。
贝努里方程的解题步骤:(1) 两端同除ny n )1(-;(2) 代换ny z -=1 ; (3) 解关于z 的线性微分方程;(4) 还原3. 利用变量代换解微分方程例 解方程 )ln (ln y x y y y x +=+'解 令 u xy =,则 dx dy x y dxdu +=,于是 u x u u y dx du ln ln ==解得 Cx e u =, 即 Cxe xy = 三.二阶微分方程(一):可降阶的二阶微分方程1: y''=f(x)两次积分后就可以得到含两个独立任意常数(c 1,c 2)的微分方程的通解2:解y''=f(x,y')类方程可通过假设y'=p 得y''=dp/dx,代入到原方程得dp/dx=f(x,p)化为一阶微分方程从而可求其通解。
数学分析中的微分方程解法
数学分析中的微分方程解法数学分析是数学的重要分支之一,其中微分方程是数学分析的核心内容之一。
微分方程是描述自然界中变化规律的数学模型,广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍微分方程的解法,并探讨其中的数学原理和应用。
一、常微分方程的解法常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程的解法主要有解析解和数值解两种方法。
1. 解析解解析解是指通过数学方法得到的精确解。
对于一阶常微分方程,我们可以使用分离变量、齐次方程、一阶线性微分方程等方法求解。
分离变量法是常微分方程最常用的解法之一。
通过将方程中的变量分离到等式两边,再进行积分,即可得到解析解。
例如,对于一阶线性微分方程dy/dx = f(x),我们可以将方程改写为dy/f(x) = dx,然后对两边同时积分,即可得到解析解。
齐次方程是指方程中只包含未知函数及其导数的方程。
对于齐次方程,我们可以通过变量代换的方法将其转化为分离变量的形式,然后进行积分求解。
一阶线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的系数均为一次多项式的方程。
我们可以通过积分因子的方法将一阶线性微分方程转化为一个可直接积分的形式,从而求得解析解。
对于高阶常微分方程,我们可以通过变量代换、特解叠加原理、常系数线性微分方程等方法求解。
其中,特解叠加原理是指将高阶常微分方程的解表示为其特解与齐次方程的通解之和。
2. 数值解数值解是指通过数值计算方法得到的近似解。
对于一些复杂的微分方程,往往无法通过解析解求解,这时我们可以使用数值方法进行求解。
常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程,然后利用差分逼近的方法求解。
数值解的精度取决于步长的选取,步长越小,精度越高。
二、偏微分方程的解法偏微分方程是指涉及多个自变量的微分方程。
偏微分方程的解法相对复杂,常用的方法有分离变量法、特征线法、变换法等。
分离变量法是偏微分方程最常用的解法之一。
通过假设解为多个函数的乘积形式,然后将偏微分方程转化为多个常微分方程,再分别求解,最后将得到的解合并即可。
(整理)微分方程知识
第二章 一阶微分方程的初等解法研究对象 一阶微分方程dy = f(x, y)与 F(x,y, y) =0 dx的求解问题1 变量可分离方程形如dy= f (x)中(y)的方程,称为变量可分离方程,其中 f(x)和中(y)分别是x, y 的 dx 连续函数。
注意:在变量分离的过程中,必须保证中(y)#0。
但如果9(y) = 0有根为y=y 0,则不难3^证y = y 0也是微分方程的解,有时无论怎样扩充通解的表达式中的任意常数,此解 不包含在其中,解题时要另外补充上,不能遗漏。
2)可化为可分离变量的方程a)齐次方程dy=g(3),dx x人 ydu g(u) -u 令u =*,万程可化为分离变量的万程,——=郢2 。
xdx xdy a 1 x b 1y c 1b)分式线性方程—=- ---------- - --- Ldx a 2x b 2 y c 2下面分三种情形来讨论:1)变量可分离方程的解法 对于变量分离方程分离变量得再积分,得这就是方程的通解。
dy _ dxdy (y)f(x)cp(y), =f(x)dx ,1 =f f (x)dx ,dy a1x b1y1 ) C i =C2 = 0 , 这时—= ---------------- 为齐次方程。
dx a2x b2 ya1bl _ 2 2 _ uii)#0及c1 +c2 #0,这时可作变换x =2+ h, y =刈+k ,其中h,k是线a2b2, a1h+bik+G = 0性代数方程,13 5 的唯一解,可将方程化为齐次方程a2h +b2k +c2= 0iii)a1 b1 =0及C12+c22¥0,这时可设曳=21 =儿,方程可化为a2 b2 a2 b2dy ■ (a2x b2y) c1一= ---------------------- ,dx (a2x b2 y) C2再令a2x + b2 y = u ,则方程可进一步化为曳=a2+ b2Au +c1 ,这是一个变量可dx u c2分离方程。
高中数学知识点总结微分方程与解的存在唯一性
高中数学知识点总结微分方程与解的存在唯一性微分方程是高中数学中的一个重要的内容,它在数学和其他科学领域具有广泛的应用,因此对于微分方程的研究与理解是非常必要和重要的。
本文将围绕着微分方程与解的存在唯一性展开讨论,首先介绍微分方程的基本概念和分类,随后探究微分方程解的存在性和唯一性的相关理论。
一、微分方程的基本概念和分类微分方程是描述自变量、未知函数及其一阶或高阶导数之间关系的方程。
根据方程中出现的未知函数的阶数和自变量的最高阶数,微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是指未知函数关于自变量的导数的方程,常微分方程的一般形式可以表示为:$\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)$,其中$f(x,y)$是已知的函数。
而偏微分方程则涉及多个自变量和多个未知函数的偏导数之间的关系。
二、微分方程解的存在性和唯一性对于微分方程解的存在性和唯一性,我们需要考虑以下两个基本的理论结果:1. 存在性定理存在性定理指出,对于某些特定类型的微分方程,它们的解一定存在。
其中最著名的存在性定理是皮卡-林德洛夫定理。
该定理可用于证明某些条件下的微分方程一定存在解。
当满足一定的条件时,存在性定理保证了微分方程的解在某个区间上存在。
2. 唯一性定理唯一性定理指出,对于某些特定类型的微分方程,它们的解是唯一的。
其中最著名的唯一性定理是皮卡-林德洛夫唯一性定理,该定理可用于证明某些条件下的微分方程解的唯一性。
当满足一定的条件时,唯一性定理保证了微分方程的解在某个区间上唯一。
三、微分方程解的存在唯一性的应用微分方程解的存在唯一性在实际问题的求解中具有重要意义。
通过确定微分方程解的存在性和唯一性,我们可以解决许多实际问题,比如经典的弹簧振子问题、电路中的RLC电路分析等。
在研究微分方程的存在唯一性时,我们还需要注意一些问题,比如初始条件的选择,以及方程中的连续性、可微性等假设条件的成立。
这些都对微分方程解的存在性和唯一性产生着重要的影响。
高考数学中的微分方程初步知识点及应用
高考数学中的微分方程初步知识点及应用随着高考数学考试难度不断上升,微分方程作为一道难度较大的数学题,在高考中也越来越受到重视。
对于学习数学的同学来说,微分方程是必须要掌握的知识。
下面,我们来详细了解微分方程的初步知识点及其应用。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述自然现象的重要工具。
它是指通过对未知函数的导数和自变量的关系式,来描述函数和它的导数之间的关系的方程。
通俗地说,如果一个方程中含有未知函数的导数,那么这个方程就是微分方程。
微分方程主要分为两类:常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程,如$y' + 2y = x$;而偏微分方程是涉及多个自变量的微分方程,如$\frac{\partial u}{\partialt}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$。
二、微分方程的基本类型1.可分离变量方程可分离变量是微分方程中最为简单的一种类型。
它是指给定一个微分方程,将方程中的自变量和因变量分离,得到一个有一个因变量和一个自变量的方程,最后对方程进行求解。
例如,对于微分方程$y'=\frac{3y^2+2}{2x}$,将方程变形可得$\frac{dy}{dx}=\frac{3y^2+2}{2x}$,然后将式子分离出来,即$$\frac{dy}{3y^2+2}=\frac{dx}{2x}$$对两边同时积分,得到$$\frac{1}{3}\ln|3y^2+2|=\ln|x|+C$$其中C为常数。
化简后,得到$$y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}Ce^{3x}}$$2.一阶线性方程一阶线性方程是指微分方程可以化为$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的形式。
例如,对于微分方程$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x^2$,将方程变形可得$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=-x^2$,然后将P(x)和Q(x)分别设为$\frac{1}{x}$和$-x^2$,代入公式中,得到$$y=e^{-\ln|x|}\left[\int e^{\ln|x|}(-x^2)dx+C\right]$$化简后,得到$$y=\frac{x^2}{3}+Cx^{-1}$$其中C为常数。
微分方程全部知识点
微分方程全部知识点微分方程是数学中的一个重要分支,其概念和应用涵盖广泛,包括生物学、物理学、化学、工程学等众多领域。
本文将重点介绍微分方程的基本概念、分类以及解法,并列出相关的参考内容。
一、基本概念微分方程是描述自变量与其导数之间关系的数学方程。
其中,自变量通常为时间,而导数表示系统在不同时间点的状态。
微分方程可以分为两类:一类是常微分方程,另一类是偏微分方程。
二、分类常微分方程是指导数只包含一个自变量的微分方程,按照阶数和形式可以分为以下几类:1. 一阶常微分方程:dy/dx = f(x, y)2. 可分离变量的一阶常微分方程:dy/dx = g(x)h(y)3. 线性一阶常微分方程: dy/dx +p(x)y = q(x)4. Bernoulli方程:dy/dx +p(x)y = q(x)y^n5. 二阶线性常微分方程:d²y/dx² +p(x)dy/dx +q(x)y = f(x)偏微分方程用于描述多元函数的导数关系,并且可表示为含有多个未知函数的方程。
按照阶数和形式可以分为以下几类:1. 热方程:u(x, t) = α∂u/∂t + β∂²u/∂x²2. 波动方程:u(x, t) = α∂²u/∂t² + β∂²u/∂x²3. 椭圆方程:u(x, y) = ∑a_ij(∂²u/∂xi∂xj) + ∑b_i(∂u/∂xi) + c(x, y)三、解法常微分方程解法主要有以下几种方式:1. 可分离变量法:将常微分方程化为两个函数的乘积。
2. 齐次方程:将方程中所有项除以后,引入一个新的函数y = ux。
3. 一阶线性方程:利用积分因子将一阶线性微分方程约化为可积函数的形式。
4. Bernoulli方程、Riccati方程和其他特殊方程的解法。
偏微分方程解法主要有以下两种方式:1. 分离变量法:把问题转化为一系列常微分方程。
常微分方程总结
(1) 概念微分方程:一般,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如: 一阶:2dyx dx= 二阶:220.4d sdt=-三阶:32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶:()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式:()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
(2)微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数,如果在区间I 上,()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注:一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的,中间没有断开(即没有间断点)。
导数→导函数简称导数,导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的,而并没有在某点发生突变。
函数连续定义:设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续:()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续:()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数,叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间,包括端点,是指函数在右端点左连续,在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=(3)微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫微分注:任意常数是相互独立的:它们不能合并使得任意常数的个数减少。
微分方程总结
第十章:微分方程总结姓名:刘桥学号:40905237班级:工商49班小组:第八小组组长:刘洪材一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1:常微分方程(未知函数为一元函数的微分方程)()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程(未知函数为多元函数,从而出现偏导数的微分方程)()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂微分方程的阶.:微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2:一阶微分方程(,,)0,(,);F x y y y f x y ''==高阶(n )微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '=()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3:线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4:单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 2. 微风方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程解的分类:通解(微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.),y y '=例;x y ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解特解( 确定了通解中任意常数以后的解.) 初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.积分曲线:微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程可分离变量的微分方程:形如:()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味:求方程()290ydyx dy ye ++=的通解 分离变量得,219y ye dy dx x =+ 两边同时积分得,219y ye dy dx x =-+⎰⎰于是得到通解为,()11arctan 33y xy e c -=+2. 齐次方程如果一阶微分方程可化为()dy yf dx x=形如的方程,那么久称之为齐次方程. 解法:作变量代换,yu x=,y xu =或 两边分求微分得,,dy udx xdu =+ 代入原式得,(),du u xf u dx +=().du x f u u dx=-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得,()du dxf u u x=-. 两边分别积分得,()du dxf u u x=-⎰⎰求出积分后,将yu x=代入,就求得了原微分方程的通解. 例题回味:求解微分方程(cos )cos 0.y yx y dx x dy x x-+=解,yu x=令,dy xdu udx =+则,(cos )cos ()0,x ux u dx x u udx xdu -++= cos ,dxudu x=-sin ln ,u x C =-+ 微分方程的解为sin ln .yx C x =-+3. 一阶线性微分方程形如()()dyp x y q x dx+=的方程称为一阶线性微分方程 ()0,Q x ≠当称方程式为非齐次线性微分方程 ()0,Q x =当称方程()()dyp x y q x dx+=为齐次线性微分方程 解法:1. 线性齐次方程(分离变量法) 2. 线性非齐次方程例题回味:1sin .x y y x x'+=求方程的通解 解1(),P x x =sin (),xQ x x=11sin dx dxx x x y e e dx C x -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ln ln sin x x x e e dx C x -⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰()1sin xdx C x=+⎰()1cos .x C x=-+ 4. 伯努利方程形如()()n dyP x y Q x y dx+=(n 为常数)的方程称为伯努利方程. 三、 高阶微分方程1. n 阶线性微分方程解的结构n 阶线性微分方程的一般形式:()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=()0f x ≠当时,称方程式为非齐次线性方程, ()0f x =当时,称方程式为齐次线性方程。
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2.7.微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系,通常是含有导数的方程——微分方程。
简单例子:(1)放射性物质,在每一时刻t ,衰变的速率dm dt -(由于是减少,因此0dmdt<,速率为标量,是正值)正比于该放射性物质尚存的质量,因此质量应满足一下微分方程。
dmkm dt-= (2)质量为m 的物体自由落体,取坐标轴沿竖直方向指向地心,下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F ma =,即22d ymg m dt=(3)质量为m 的跳伞员下落,所受空气阻力正比下降的速度,取坐标轴沿竖直方向指向地心,则t 时刻下降距离()y y t =满足22dy d y mg k m dt dt-=(1)如下图所示,钢球在以水平光滑杆上,受到弹力而来回整栋,原点位置为O ,钢球在t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程()22d x kx m dt-=如果钢球还受到一个与速度成正比,方向与速度相反的阻尼力的作用,那么它所满足的微分方程是22dx d xkx h m dt dt--=总结:最简单的一阶微分方程是()dxf t dt= 其中t 是自变量,上述方程的一般解应该是()x f t dt C =+⎰最简单的n 阶方程()n nd xf t dt = 它等价于说11n n d xdt--是()f t 的原函数,即11()n n d xf t dt C dt --=+⎰则再次积分,一直积分下去得到111()(1)!n n n t x f t dtdt C C t C n --=++++-⎰⎰2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程()()dxa t xb t dt+= 方程中有未知函数的一阶导数,且其一阶导数的系数为常数,其余部分未知函数最高层次数为一次,称为线性,上述方程为一阶线性微分方程。
如果()0a t =,则称为一阶线性常微分方程。
试着求解上述方程,方程两端都乘以()a t dte ⎰,得到()()()()()a t dta t dt a t dt dxe a t e x b t e dt⎰⎰⎰+= 即为下面的形式()()()()a t dta t dta t dt d e dxe x b t e dt dt ⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰⎰+=即()()()a t dta t dt d xeb t e dt⎛⎫⎰ ⎪⎝⎭⎰=于是有()()()a t dta t dtxe b t e dt C ⎰⎰=+⎰那么有()()()a t dt a t dt x e b t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这就是一阶线性微分方程的一般解。
这个解法的关键部分是以()a t dte ⎰乘以方程两端。
简单的例子(1)质量为m 的跳伞员下落,所受空气阻力正比下降的速度,取坐标轴沿竖直方向指向地心,则t 时刻下降距离()y y t =满足22dy d y mg k m dt dt-=由于速度dyv dt=,因此方程化为 dv kv g dt m+= 方程两边同时乘以()k kdt ta t dtm m e e e ⎰⎰==,则有k k k t t t mmm dv k ee v ge dt m+= 即有k t mk t m d ve ge dt⎛⎫ ⎪⎝⎭= 得到k k t t mm mg v ee C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即kk k t t t mm m mg mg v ee C Ce k k--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 跳伞的初始速度为0,即0,0t v ==,则00t mgv C k ==+= 所以mgC k=-则跳伞速度为1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭由于dyv dt=,因此有 1'k k t t m mmg mg m y vdt e dt t e C k k k --⎛⎫⎛⎫==-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰跳伞的初始位移为0,即0,0t y ==,则0'0t mg m y C k k =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭则'mC k=-因此有1k t mmg m y t e k k -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭自然界有一些量,它的减少正比于该量本身数值,这样的量x 应该满足一下的微分方程dxkx dt=- 即0dxkx dt+= 解这微分方程得到kt x Ce -=设0t =时x 的值为0x ,则有0C x =,量x 的变化规律为0kt x x e -=2.7.3 变量分离型微分方程先看一个简单的例子,考察一阶线性方程()dxa t x dt= 我们把这个方程改写为()dxa t dt x= 如果()x x t =是方程的解,那么它能使上式成为恒等式,两边求不定积分得 ()'dxa t dt C x =+⎰⎰ 因此得到 ln ||()'x a t dt C =+⎰()'a t dtC x e e ⎰=±⋅令'C C e =±,则得到()a t dtx Ce ⎰=因此我们可以得到结论,方程()dxa t x dt= 的一般解为()a t dtx Ce ⎰=(一般的变量分离型方程) 对于一般的变量分离型方程()()dxf tg x dt= 事实上,如果()0g x ≠,那么方程可以改写为()()dxf t dtg x = 再对两边求不定积分得到()()dxf t dt Cg x =+⎰⎰另外,如果有0x 能使得0()0g x =,那么常值函数0x x ≡也是原方程的解。
(经过换元后得到变量分离型方程)(1)考察方程dx x f dt t ⎛⎫= ⎪⎝⎭换元,引入新的未知数 xu t=我们得到 x ut =()dx d ut du u t dt dt dt==+ 代入原方程得到 ()duu tf u dt+=()du f u u dt t-= 这又是一个变量分离型方程,我们有()du dtf u u t=-()du dtC f u u t=+-⎰⎰则有ln ||()dut C f u u=+-⎰(2)考察方程 dx x t f dtx t αβγδ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ 变换方程x dxx t f g x dt t tαβγδ⎛⎫+ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭换元,令xu t= 我们得到 x ut =dx du u t dt dt=+ 代入原方程,我们有duu u tf dt u αβγδ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭这是一个分离变量型的方程,得到du dttu f u u αβγδ=⎛⎫+-⎪+⎝⎭两边取积分得到du dtC tu f u u αβγδ=+⎛⎫+-⎪+⎝⎭⎰⎰则得到ln ||du t C u f u u αβγδ=+⎛⎫+-⎪+⎝⎭⎰(3)考察方程dxx t f dt x t αβλγδμ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭这个方程可以化成(2)中的形式,取0x 和0t 满足000000x t x t αβλγδμ++=⎧⎨++=⎩ 作如下变换 00x x t t ξτ=+⎧⎨=+⎩则有00()()d x dx d dt d t d ξξττ+==+ 00000000()()()()()()00x t x t x t f f f x t x t x t f f f αξβτλαξβταβλαβλγδμγξδτμγξδτγδμξαβαξβταξβττξγξδτγξδτγδτ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++== ⎪ ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭作换元,令u ξτ= 我们得到 u ξτ=d du u d d ξτττ=+ 代入原方程,我们有duu u f d u αβττγδ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭du d u f u u τταβγδ=⎛⎫+-⎪+⎝⎭du d C u f u u τταβγδ=+⎛⎫+-⎪+⎝⎭⎰⎰ln ||du C u f u u ταβγδ=+⎛⎫+-⎪+⎝⎭⎰求解方程后只要将值还原为还原前的值。
2.7.4 实变复值函数对于代数方程式,我们已经有过这样的经验:即使是实系数的代数方程,为了弄清楚它的根的状况,最好到更广泛的复数范围内加以讨论。
在处理微分方程的某些问题时,例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题:虽然是“实”的微分方程,所求的也是实解(实值函数解),但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。
本节为这一讨论做准备。
(1)复数与平面向量,复数序列的极限 我们把形状如w u iv =+ 的数称为复数,这里1i =-是虚单位,而,u v 都是实数,分别称为实部和虚部,记为Re ,w u =Im w v =复数的加法和乘法定义如下:11221212()()()()u iv u iv u u i v v +++=+++ 11221212()()()()u iv u iv u u i v v +-+=-+-11221221121212122112()()()()u iv u iv u u iv u iv u v v u u v v i v u v u +⋅+=++-=-++1111221212122112121221222222222222222222()()()()()()u iv u iv u iv u u v v i v u v u u u v v v u v u iu iv u iv u iv u v u v u v ++-++-+-===+++-+++ 作除法时要求220u iv +≠,即22220u v +≠。
复数w u iv =+可以解释为平面直角坐标系中坐标为(,)u v 的点,这点的极坐标为(,)r θ,x ()y i Orθ(,)u v其中22r u v =+,cos u r θ=,sin vrθ= 我们把(cos sin )w r i θθ=+称为复数的极坐标表示,r 和θ分别称为复数的模和幅角,分别用符号||w 和Argw 表示。
采用这种表示来计算复数的乘方特别方便:(cos sin )n n w r n i n θθ=+证明:当1n =时明显成立,假设当n k =时成立,有(cos sin )k k w r k i k θθ=+则当1n k =+时,有[][]1111(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos cos sin sin )(cos sin sin cos )cos(1)sin(1)k k k k k k w w w r k i k r i r k i k i r k k i k k r k i k θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++=⋅=+⋅+=++=-++=+++所以对1n k =+也成立,故而有(cos sin )n n w r n i n θθ=+复数w u iv =+还可以解释为长为||w 方位角为Argw 的一个平面向量,多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。