安工大数学建模考试作业答案

作业1

1、四脚呈长方形的椅子在不平的地上能放稳吗？

①问题分析：把椅子往不平的地面上放，通常是只有三只脚触地，放不稳的，然而，只需要稍微的挪动几次，一般都可以使四只脚同时触地。

②模型假设：为了使问题数学化，可以用建模的思想求解，可做如下三种假设。

⑴椅子的四条腿长度一样，四个椅脚与地面均点接触，四角连线呈长方形。

⑵地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面。

⑶地面相对平坦，使椅子在任意位置至少有三只脚触地。

③模型构成：解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。

我们很容易注意到，椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转0

180后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题，其图形如图一所示；其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

图一椅子四只脚旋转示意图

容易得知当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，

即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0，因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是中心对称图形，绕其对称中心 O 沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A 、B 两脚与地面竖直距离之和为()1h θ，C 、D 两脚与地面竖直距离之和为()2h θ，其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知()1h θ和()2h θ是θ的非负连续函数，对任意θ，()1h θ•()2h θ＝0，证明：存在0θ∈[0，π]，使得()10h θ＝()20h θ＝0成立。 ④模型求解：

1.如果()10h ＝()20h ＝0，那么结论成立。

2.如果()10h 与()20h 不同时为零，不妨设()10h ＞0，()20h ＝0。这时，将长方形ABCD 绕点O 逆时针旋转角度π后，点A ，B 分别与C ，D 互换，但长方形ABCD 在地面上所处的位置不变，由此可知，()1h π＝()20h ，()2h π＝()10h 。而由()10h ＞0，()20h ＝0，得()2h π＞0，()1h π＝0。

令()H θ＝()1h θ－()2h θ，由()1h θ和()2h θ的连续性知()H θ也是连续函数。又()0H ＝()10h －()20h ＞0，()H π＝()1h π－()2h π＜0，,根据连续函数介值定理，必存在0θ∈（0，π）使得()0H θ＝0，即()10h θ＝()20h θ ；

又因为()10h θ•()20h θ＝0，所以()10h θ＝()20h θ＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。

2、有四个商人带四个随从过河，船只能容纳2人,由人划。随从们密约：一旦河的任一岸随从数比商人多，就杀商人。但是乘船渡河的方案由商人决定，且商人已获知该密约，问商人们怎样安全过河？（写出模型即可） 问题分析：多步决策过程

决策：每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多） 目标：经有限步使全体人员过河

模型构成：

~k x k 第次渡河前此岸的商人数 ,0,1,2,3,k k x y = ~k y k 第次渡河前此岸的随从数 1,2,3,k = (,)~k k k s x y =过程的状态 S~允许状态集合

S ={(x , y )|x =0, y =0,1,2,3,4; x =4,y =0,1,2,3,4; x =y =1,2,3}

~k u k 第次渡船上的商人数 ,0,1,2k k u v = ~k v k 第次渡船上的随从数 1,2,3,k =

(,)~k k k d u v =决策 D ={(u ,v )|u +v =1,2}~允许决策集合 1(1)k k k k s s d +=+- ~状态转移律

多步决策问题：

11(1,2,),(4,4)(0,0).

k k k d D k n s S s s +∈=∈==求使按转移律

由到达

作业2

请举例说明数学建模解决工程研究问题（或者实际生活问题）的例子。有完整的解决过程最好，没有的话，提出问题也可以（只要你认为是可以通过数学建模去解决的）

通过数学建模解决污水处理问题

问题说明：

如图1，有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口均有污水处理站，处理站对面是居民点，工厂1上游的江水流量和污水浓度、国家标准规定的水污染浓度以及各个工厂的污水流量和污水浓度均为已知。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差及污水流量成正比，每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用(称处理系数)为已知.处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，江水会使污水浓度降低一个比例系数(称自净系数，该系数可以估计)，试确定各污水处理厂出口的污水浓度在符合国家标准规定的条件下为多少时总费用最小。

图1 沿江污水处理点与居民点分布图

对此问题，我们应先建立一般情况的数学模型再求具体问题。设上游江水流量为12100010/min L ⨯，污水浓度为0.8/mg L ，3个工厂的污水流量均为

12510/min L ⨯，污水浓度(从上游到下游排列)分别为100 mg/ L, 60 mg/ L, 50 mg/

L ，处理系数均为1万元/()()12

10/min /L mg L ⎡⎤⨯⎣⎦，3个工厂之间两段江面的自净

系数(从上游到下游)分别为0.9和0.6国家标准规定水的污染浓度不能超过

1/mg L 。

问题分析：

将上述情况分为两个问题来解决，问题1：使江面上所有地段的污水达到国家标准，最少需要花费多少？问题2：如果只要求三个居民点上游的污水达到国家标准，最少需要花费多少？根据上文假设知，三个工厂污水总量均为

12510/min L ⨯，从上游到下游工厂污水浓度分别为100 mg/ L, 60 mg/ L 和50 mg/

L ，上游流量为12100010/min L ⨯，上游污水浓度为0.8/mg L ，3个工厂之间的两段江面的自净系数(上游至下游)为0. 9和0. 6.根据污水处理费用与污水处理前后的浓度关系可以得出z v c =⋅∆，式中：z 为污水处理费用，c ∆为处理前后的污水浓度差，v 为污水流量。由假设知处理系数均为1万元，得k= 1，污水经工厂处