数学分析课本(华师大三版)-习题及答案10

习 题 十

1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y =

===1

14，，，0=； (2) 轴；

y x y y ==3

8，， (3) ；

y e y e x x

x

==−，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2

380，，=1；

(6) y x y y x y =+===14，，，；3

(7) ； y x x y 2

24=−=， (8) ．

x y y x =−=2

10()， 2. 求抛物线以及在点y x x =−+−2

4(,)03−和处的切线所围图形的面积．

(,)30 3. 设曲线与直线y x x =−2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为

a 92

． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2

g x cx c ()=>3

0（）(,)11

2

c c

，求的值，使位于区间c [,01

c

上，两曲线所围图形的面积等于

23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a t

y a t

t ==⎧⎨⎪⎩⎪≤≤cos sin 3

3

02　（）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积．

(1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =−31(sin )θ；

(3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ．

7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为：

h V h R =

−13

32

π()h

8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积．

x y a 22+=2

2

x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积．

x y a 2

2

+=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为．

h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积．

(1) ； y x x =≤sin ()　0π≤；(2) y x x y ===2

20，，(3) y x y x ==

2，；

(4) ； y x x e =≤ln ()　1≤3

(5) ． y x y x ==2

2

，

12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体

积．

13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =−3

2y x =2

y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长．

(1) ；

y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38；

(3) x y y y =

−≤≤141

2

12ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ　，()003；

(5) r a =≤sin ()3

3

03≤θ

θπ，； (6) ．

x a t t t y a t t t t =+=−≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2

2

20+=≥　()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密

度x a y a ==cos sin

3

θ，3

θρ为常数）

． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ；

y ay x a ==>2

2

0，　() (2) x a y b

x a y b 222

2100+=≤≤≤≤，，()；

(3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ；

18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3

（c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功．

20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米，

如果将盛满的水全部抽尽，需要作多少功？

21. 有一横截面积为s =20平方米，深为5米的圆柱形水池，现把池中盛满的水全部抽到高为10米的水塔顶上去，需要作多少功？

22. 把半径为R 的空心球，由与水面相切的位置压入水中，至球刚好完全淹没在水中，求克服浮力所作的功．

23. 水坝中有一直立的矩形闸门，宽20米，高16米，闸门的上边平行水面，试求下述各情况闸门所作的功．

(1) 闸门的上边与水面平齐时； (2) 水面在闸门的顶上8米时．

24. 一块高为，底为的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中挡住水，顶在下，底与水面相齐．试求薄板所受压力．如果把它的顶与水面相齐，而底与水面平行，则压力又如何？

a b 25. 闸门的形状为等腰梯形铅垂地挡住水，闸门的二水平边的长分别为200米和50米，高为10米，且较长的上底与水面相齐，试计算水对闸门的压力． 26. 一正方形薄板垂直地沉没在水中，正方形的一顶点位于水面，而一对角线平行于水面，设正方形的边长为a ，试求薄板每侧所受的压力．

27. 求由

x a y b

+=1（a ）与坐标轴所围图形的面积． b >>0，0) 28. 求由曲线所围图形的面积．

y x x 22

1=−( 29. 求曲线r =6sin θ与r =12sin θ所围图形的面积．

30. 直径为6米的球浸入水中，其球心在水平面下10米，求球面上所受的压力．