4.3.3 积、商、幂的对数
积、商、幂的 对数
对数函数性质总结
对数的定义域
对数函数的定义域为正实数 集。
对数的值域
对数函数的值域为全体实数 集。
对数的单调性
当底数大于1时，对数函数 在其定义域内单调增加；当 底数小于1时，对数函数在 其定义域内单调减少。
对数的运算法则
包括积的对数、商的对数和 幂的对数等运算法则。
与其他函数关系比较
与指数函数关系
思考题：请思考对数的定义和性 质与指数函数的定义和性质之间 的联系和区别。同时，尝试举出 几个对数在实际应用中的例子。
1. 计算log_2(8) + log_2(1/4)的 值。
3. 计算[log_5(3) + log_5(2)] * [log_5(2) - log_5(3)]的值。
THANK YOU
03
换底公式
对于任意正数a、b和实数x（a≠1， b≠1），有log_b a = log_c a / log_c b，其中c为任意正数且c≠1。 换底公式用于将对数表达式转换为以 其他数为底的对数形式。
拓展延伸内容探讨
对数的应用
对数的计算技巧
对数与指数的关系
对数在各个领域都有广泛的应用，如 计算复利、解决音程问题、衡量地震 震级等。通过探讨这些应用，可以加 深对对数概念和性质的理解。
幂的对数公式推导
幂的对数公式
$log_a M^n = nlog_a M$。
推导过程
设 $log_a M = x$，则 $a^x = M$。根据对数的定义和幂的运算法则，有 $a^{nx} = (a^x)^n = M^n$。因此，$log_a M^n = nx = nlog_a M$。
03
积、商、幂的 对数在实 际问题中应用
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件5：4.3.2 对数的运算
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)．( )
(4)由换底公式可得 logab＝lloogg－ －22ba.(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
针对训练 1．计算： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)log2 478＋log212－12log242－1； (3)12lg4392－43lg 8＋lg 245.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. (2)原式＝log2 478＋log212－log2 42－log22 ＝log2 48×7×1422×2＝log221 2
＝2llgg23··l2gl3g2＝4. ②原式＝lologg55132·lologg73794＝log13 2·log3 49
1 ＝lglg312·lglg394＝－2llgg23··223llgg32＝－32.
(2)[证明] ①logab·logba＝llggab·llggab＝1. ②loganbn＝llggbann＝nnllggba＝llggab＝logab.
题型二 对数换底公式的应用 典例 2 (1)计算：①log29·log34； ②log5 2×log79 .
log531×log73 4 (2)证明：①logab·logba＝1(a>0，且 a≠1；b>0，且 b≠1)； ②loganbn＝logab(a>0，且 a≠1，n≠0)．
《5.3.2 积、商、幂的对数》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21基础模块下
《积、商、幂的对数》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握积、商、幂的对数概念。
2. 能够运用对数运算公式进行对数运算。
3. 理解对数在数学和实际应用中的重要性和价值。
二、教学重难点1. 教学重点：理解对数运算公式，掌握对数运算方法。
2. 教学难点：运用对数运算公式解决实际问题。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、教学PPT等。
2. 制作对数运算公式的教学PPT，设计实际问题供学生练习。
3. 搜集与对数相关的实际应用案例，用于课堂拓展。
4. 设计课堂互动环节，引导学生积极参与对数运算的学习。
四、教学过程：（一）导入1. 回顾之前学习的对数知识，让学生回答问题。
2. 引出本节课的主题——积、商、幂的对数。
3. 强调对数在生活中的应用，激发学生学习兴趣。
（二）新课教学1. 讲解对数的概念及性质，让学生了解对数在数学中的地位和作用。
2. 介绍对数的运算法则，让学生掌握对数的计算方法。
3. 通过实例讲解如何求积、商、幂的对数，让学生能够灵活运用对数知识。
4. 布置课堂练习题，让学生进行实际操作，加深对知识的理解。
（三）合作探究1. 将学生分成小组，让他们互相讨论对数在实际生活中的应用和解题方法。
2. 教师巡回指导，帮助学生解决疑难问题。
3. 小组代表发言，展示讨论成果，教师给予评价和指导。
（四）课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，让学生总结对数知识要点。
2. 强调对数在实际生活中的应用，让学生了解对数的重要性。
3. 鼓励学生积极思考，培养他们的自主学习能力。
（五）布置作业1. 课后练习题，巩固对数知识。
2. 搜集一些有关对数的实际应用案例，下节课与同学分享。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解对数的基本概念，如指数和对数。
2. 学生能够应用对数知识解决简单的数学问题。
3. 学生能够理解对数在生活中的应用，增强数学与生活的联系。
二、教学重难点1. 教学重点：理解对数的概念，掌握对数的基本运算。
《5.3.2 积、商、幂的对数》学历案-中职数学高教版21基础模块下册
《积、商、幂的对数》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“积、商、幂的对数”。
该主题属于中职数学课程中的基础内容，是理解和掌握对数运算的重要一环。
通过本课的学习，学生将掌握对数的基本概念、性质及运算法则，为后续学习指数方程、对数方程等打下坚实的基础。
二、学习目标1. 理解对数的概念及对数与指数的关系；2. 掌握对数的读法与写法，能正确使用对数符号；3. 掌握积、商的对数运算法则，并能进行简单的对数运算；4. 培养学生的数学运算能力和逻辑思维能力。
三、评价任务1. 评价学生对对数概念的理解程度，能否正确解释对数的含义及对数与指数的互化关系；2. 评价学生是否能够正确运用对数符号进行读数和写数；3. 评价学生是否能够熟练掌握积、商的对数运算法则，并能够进行简单的对数运算；4. 通过课堂练习和课后作业，评价学生的数学运算能力和逻辑思维能力的提高程度。
四、学习过程1. 导入新课：通过复习指数的概念及运算，引导学生思考指数与对数的关系，从而引入对数的概念。
2. 新课讲解：首先讲解对数的定义、读法与写法，然后讲解积、商的对数运算法则，并通过实例加以说明。
3. 学生练习：学生根据教师的讲解和示例进行练习，教师巡视指导，及时解答学生疑问。
4. 课堂小结：总结本课所学内容，强调对数的概念、运算法则及读法写法的重要性。
5. 布置作业：布置相关练习题，包括积、商的对数运算及简单的对数方程求解。
五、检测与作业1. 检测：通过课堂小测验的方式，检测学生对对数概念的理解程度及对积、商的对数运算法则的掌握情况。
2. 作业：布置适量的练习题，包括对数的读法写法、积商的对数运算及简单的对数方程求解。
要求学生独立完成，并强调解题过程中的规范性和准确性。
3. 反馈：及时收集学生作业，进行批改和反馈，针对学生出现的问题进行讲解和辅导。
六、学后反思1. 反思教学重点是否突出，学生对对数的概念及运算法则是否真正理解并掌握；2. 反思教学方法是否得当，是否能够激发学生的学习兴趣和积极性；3. 反思作业布置是否合理，是否能够有效地巩固和拓展学生的知识；4. 针对学生的不同情况，思考如何更好地进行差异化教学，提高教学效果。
中职数学-4.3.3积商幂的对数
4.3.3积、商、幂的对数
一、教材分析
本节课是新课标职业高中数学基础模块上册第四章指数函数与对数函数中的内容，而即将学习的对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一。
本节积商幂的对数是进行对数计算的重要依据，它是在对数概念的基础上学习的，主要是为了学习对数函数，起到了承上启下的作用。
二、学情分析
刚升入高中的学生正处于形象思维向抽象思维的转折阶段，但更注重形象思维。
在初中与指数函数学习的基础上，用研究指数的方法进一步研究和学习对数的概念及运算性质，有利于学生进一步完善知识体系，为对数函数做准备，有利于学生对初等函数的认识，加深对函数的思想方法的理解。
在教学过程中，观察得出学生的认识水平还很有限，但只要引导学生利用指数与对数互化式和已学习的指数幂的相关知识来理解对数运算性质，进而通过课下练习加深对对数运算性质的记忆，为对数运算性质的应用做良好的铺垫。
三、教学设计
五、课后反思
在教学过程中让学生独立思考、讨论交流并板演展示，充分让学生成为课堂的主人，变被动学习为主动学习，有助于学生更方面能力的提高。
(新教材)人教B版数学必修二4.2.2对数运算法则
【内化·悟】 1.lg 2与lg 5之间有何关系? 提示:lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2. 2.应用对数运算性质求值时关键是什么? 提示:关键是对数的底数应该相同,才能利用性质合并 计算.
【类题·通】 利用对数运算求值的方法
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对 数. (2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和 (差).
(2)lg xy2 =lg(xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
z
(3)lg xy3 =lg(xy3)-lg =lg x+3lg y- 1 lg z.
z
z
2
(4)lg x =lg -lg(y2z)= 1 lg x-2lg y-lg z.
y2z
x
2
【内化·悟】 利用对数运算法则化简的一般顺序是什么? 提示:先商,再积,最后幂.
()
【解析】选C.因为lg 2=m,lg 3=n, 所以 lg 12 2lg 2 lg 3 2m n 2m n .
lg 15 lg 3 lg 5 n 1 lg 2 n 1 m
2.化简
x2 y loga 3 z
.
【解析】因为 x2 y >0且x2>0, y >0,所以y>0,z>0.
【习练·破】 1.(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=________. 【解析】原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2= lg 10=1. 答案:1
2.计算: log 27 +lg 4+lg 25. 3
【解析】原式= log ( 3
人教版高中数学必修第一册4.3对数的概念 第2课时 对数的运算【课件】
初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形
4.3对数与对数的基本运算
授课主题对数与对数运算教学目标1．掌握对数的运算性质．2．理解推导这些法则的依据和过程．3．能熟练地运用法则变形对数式．4．掌握对数的换底公式．5．熟练地运用对数的运算性质解决有关化简、求值、证明的问题．教学内容1．对数如果a x＝N(a＞0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：Nalog2．指对数互化：log a N＝x ⇔a x＝N对数式⇔指数式对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂数3．对数恒等式：log a Na N=．4．对数的性质：（1）0和负数没有对数，即0N>;（2）1的对数为0，即log10a=；（3）底的对数等于1，即log1aa=．5．常用对数：以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把"log"写成"lg"，即把10log N 记做lg.N6．自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数 2.71828e=为底的对数．以e为底的对数叫做自然对数．logeN通常记作ln N．7．积、商、幂的对数公式：()log log loga a aMN M N=+log log loga a aMM NN=-log logna aM n M=（0M>，0N>，0a>，1a≠）8．换底公式：logloglogmamNNa=(01;01)a a m m>≠>≠，，1loglogabba=log logmnaanb bm=题型一对数的概念例1求log84的值巩固求值：题型二指数式与对数式的互化例2将下列对数式写成指数式：巩固将下列指数式与对数式互化：题型三求对数式中的未知数例3求下列对数式中x的值：巩固求下列各式中的x：(1)log x81＝2；(2)x＝log84.题型四对数的运算性质例4点评：1.对于底数相同的对数式的化简或求值，常用的方法是：(1)“收”，将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简或求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理．选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．log a1＝0，log a a＝1(a＞0，且a≠1)在计算对数值时经常用到．巩固求值：题型五对数的综合运用例5巩 固 (1)已知14log 2a =，试用a 表示2log7；(2)已知x ，y ，z 为正数，且346x y z==，求证：1112y z x=-．题型六 换底公式的应用例6计算下列各式的值：巩固82log9log3=__________. 答案：2315、 若)(x f =1+log x 3, )(x g =2log x 2, 试比较)(x f 与)(x g 的大小.答案：一、选择题1、C ；2、C ；3、B ；4、A ；5、B ；6、C ；7、D二、填空题8、21 9、a b a －＋12 10、a －2 11、12 12、2 二、解答题13、解：原式2)12(lg )5lg 2lg 2(2lg -++= =++-=+-=lg (lg lg )|lg |lg lg 22521212114、解: ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+21lg lg 2lg lg b a b a , 2)(lg )lg(b a ab ⋅=(lga+lgb)(lga －lgb)2=2[(lga+lgb)－4lgalgb]2=2(4－4×21)=4 15、解: f(x)－g(x)=log x (43x). (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≠>0)143)(1(10x x x x , 即0<x<1或x>34时, f(x)>g(x) (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--≠>0)143)(1(10x x x x , 即1<x<34时, f(x)<g(x) (3) x=34时, f(x)=g(x).一、选择题1、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ）。
4.3.2 对数的运算
4.3.2 对数的运算课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．教学重点：对数的运算性质、换底公式．教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.教学过程基础知识知识点一对数运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．知识点二换底公式(1)对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．(2)三个较为常用的推论①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)；③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．基础自测1．若，，，，，下列式子中正确的个数是( )①；②；③；④.A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．2．等于( )A．1 B．2C．5 D．6[解析] .3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：_____.[解析] 原式.4.求下列各式的值：(1)；(2)lg5＋lg2；(3)ln3＋ln；(4)log35－log315.[解析] (1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.(3)ln3＋ln＝ln(3×)＝ln1＝0.(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.题型探究题型一对数运算性质的应用例1 用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.[解析] (1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay.(3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)]＝(logax－logay－2logaz)．[归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)loga.[解析] (1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay. (2)loga＝loga－loga(yz)＝logax－(logay＋logaz)题型二利用对数运算性质化简、求值例2 化简下列各式：(1)log2(23×45)；(2)；(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；(4)log2＋log2；(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析] (1)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.(2)＝＝＝1.(3)方法一：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.方法二：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg()2＋lg7－lg18(4)log2＋log2＝log2[()()]＝log2＝log24＝2.(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝log2[(1＋)2－()2]＝log2(3＋2－3)＝log22＝log22＝.＝lg＝lg1＝0.[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则(1)正用或逆用公式，对真数进行处理．(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．【对点练习】❷计算下列各式的值：(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log3＋lg－lg4；(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.[解析] (1)原式＝＝＋lg＝＋lg10－1＝－1＝.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.题型三换底公式的应用例3 (1)计算log2·log3·log5；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．[解析] (1)原式＝··＝＝－12.(2)由题意，得··＝＝，∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3，∴m＝.[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸计算下列各式的值：(1)log89·log2732；(2)log927；(3)log2·log3·log5.[解析] (1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.(2)log927＝＝＝＝.(3)log2·log3·log5＝log25－3·log32－5·log53－1＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15···＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4 解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.[错解]原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1，∴log2(x＋1)－log2＝1，∴log2＝log22，∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，故原方程的解为x＝－3或x＝5.[错因分析] 解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解]∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4＝1，∴解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨] 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.[分析] (1)欲求＋的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析] (1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝＝，y＝＝，∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log1256＝＝.解法二：因为log23＝a，所以log32＝.又3b＝7，所以log37＝b.从而log1256＝＝＝＝＝.[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．4.3.2 对数的运算课程标准：掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简．教学重点：对数的运算性质、换底公式．教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.教学过程基础知识知识点一对数运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．知识点二换底公式(1)对数的换底公式：logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．(2)三个较为常用的推论①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)；③logam bn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．基础自测1．若，，，，，下列式子中正确的个数是( )①；②；③；④.A．0 B．1 C．2 D．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．2．等于( )A．1 B．2C．5 D．6[解析] .3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：_____.[解析] 原式.4.求下列各式的值：(1)；(2)lg5＋lg2；(3)ln3＋ln；(4)log35－log315.[解析] (1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.(3)ln3＋ln＝ln(3×)＝ln1＝0.(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.题型探究题型一对数运算性质的应用例1 用logax，logay，logaz表示：(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.[解析] (1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay.(3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)]＝(logax－logay－2logaz)．[归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶用logax、logay、logaz表示下列各式：(1)loga(x3y5)；(2)loga.[解析] (1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay.(2)loga＝loga－loga(yz)＝logax－(logay＋logaz)题型二利用对数运算性质化简、求值例2 化简下列各式：(1)log2(23×45)；(2)；(3)lg14－2lg＋lg7－lg18；(4)log2＋log2；(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析] (1)log2(23×45)＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5×2＝13.(2)＝＝＝1.(3)方法一：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.方法二：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg()2＋lg7－lg18(4)log2＋log2＝log2[()()]＝log2＝log24＝2.(5)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝log2[(1＋)2－()2]＝log2(3＋2－3)＝log22＝log22＝.＝lg＝lg1＝0.[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则(1)正用或逆用公式，对真数进行处理．(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．【对点练习】❷计算下列各式的值：(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log3＋lg－lg4；(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.[解析] (1)原式＝＝＋lg＝＋lg10－1＝－1＝.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.题型三换底公式的应用例3 (1)计算log2·log3·log5；(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．[解析] (1)原式＝··＝＝－12.(2)由题意，得··＝＝，∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3，∴m＝.[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan ＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸计算下列各式的值：(1)log89·log2732；(2)log927；(3)log2·log3·log5.[解析] (1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.(2)log927＝＝＝＝.(3)log2·log3·log5＝log25－3·log32－5·log53－1＝－3log25·(－5l og32)·(－log53)＝－15···＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4 解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.[错解]原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1，∴log2(x＋1)－log2＝1，∴log2＝log22，∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，故原方程的解为x＝－3或x＝5.[错因分析] 解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解]∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，∴log4＝1，∴解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨] 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.[分析] (1)欲求＋的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析] (1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝＝，y＝＝，∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log1256＝＝.解法二：因为log23＝a，所以log32＝.又3b＝7，所以log37＝b.从而log1256＝＝＝＝＝.[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．。
对数的运算法则
3+
1+
.
1-
2+
.
课前预学
【当堂检测】
1.计算:log153-log62+log155-log63=( B ).
A.-2
B.0
C.1
D.2
解析 原式=log15(3×5)-log6(2×3)=1-1=0.
课堂导学
课堂导学
课前预学
2.(log43+log83)(log32+log92)=
所以 log1456=
lg56
lg14
lg8 +lg7
=
lg2 +lg7
=
lg3
lg2
=a,
lg7
lg3
3lg2 +lg7
lg2 +lg7
lg5
lg12
lg5
=
2lg2 +lg3
lg3
=b,则 lg 2=
=
lg3
+blg3
lg3
+blg3
3×
=
=
1-lg2
2lg2 +lg3
=
,lg 7=blg 3,
2lg3
×
3lg2
+
lg5
lg9
·lg 2
2 4
=2× = .
3 3
lg 2
课前预学
课堂导学
方法总结 换底公式在求值中的应用:利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对
数或自然对数或同底的对数,即可用对数的运算性质来解决对数的求值问题,同时要注意换底公
式的逆用和变形应用.
课堂导学
对数的运算
反思 解决对数应用题的一般步骤
感悟
跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质 量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝1＋Mm2 000(e为自然对数 的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最 大速度(单位：m/s).
解
lg 原式＝
3＋45lg 3－190lg 4lg 3－3lg 3
3
＝1＋445－－319l0gl3g 3 ＝190.
二、对数换底公式的应用
5 例2 (1)计算：(log43＋log83)log32＝____6____.
解析 原式＝log134＋log138log32 ＝2lo1g32＋3lo1g32log32
第四章 4.3 对 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 对数运算性质
计算速度.
(2)利用结论logab·logba＝1，logan
bm＝
m n
logab化简求值更方便.
3.常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆.
本课结束
反思
感悟 利用换底公式化简与求值的思路
跟踪训练 2 (1)lloogg8293的值是
√2 A.3
3 B.2
C.1
D.2
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
4.3.3 积、商、幂对数运算法则练习
；
（3）
lg(
y x
)3
x4 y ； （4） lg 3 z
〖练习 3〗计算下列各式：
〖练习 4〗计算：
1
适用范围：数学基础模块上册（高教版）第 4 章 指数函数与对数函数
石城县职业技术学校—寒假线上学习练习题
【技能训练】
训练题 4.3.3
A组
1、选择题：
（1）设 a 0,b 0 ，下列各式中正确的是（
石城县职业技术学校—寒假线上学习练习题
B组
1、已知 log6 2 0.3869 ，求 log6 3 的值；
2、计算： (lg 5)2 lg 2 lg 25 (lg 2)2 .
3
适用范围：数学基础模块上册（高教版）第 4 章 指数函数与对数函数
）；
A. lg(a b) lg a lg b
B. lg(ab) lg a lg b
B. lg(ab) lg a lg b
D.
lg a lg a b lg b
（2） log2 32 log2 4 （
）；
A. log2 28
B. 2
C. 3
D. 4
（3） ln x 2 ln 3 ，则 x （
M N
_____________，loga
Mn
__________ .
2、观看微课，查看教师课件，自学完成下列练习：
〖练习 1〗证明：log a (M N) = log a M ＋ log a N ；
〖练习 2〗用 lg x，lg y，lg z 表示下列各式：
（1） lg x
；
（2） lg
xy z
）；
A. 6
4.3.2 对数的运算 课件(共21张ppt) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
作者编号：32101
学习目标
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．
2.掌握换底公式及其推论．
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
作者编号：32101
情境引入
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对
数运算性质呢？
指数幂运算
(1) = + ( > 0, , ∈ );
(2)( ) = ( > 0, , ∈ );
(3)() = ( > 0, > 0, ∈ ).
作者编号：32101
新课讲授
设 = , =
∵ = + ,
∴ = + .
根据对数与指数间的关系可得：
= , = , () = + = + .
作者编号：32101
对数换底公式的重要推论
(1)logaN＝ 1
logNa
(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1).
(2) log n b m m log a b (a>0，且a≠1，b>0).
a
n
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).
∴xlg 6=lg a,ylg 5=lg a.
1
lg6
1
∴ = lg=loga6，
1
1
=
lg5
=loga5.
lg
∴ + =loga6+loga5=loga30=1.∴a=30.
2 lg 2 5lg 3 3lg 2 5
4.3.3积、商、幂的对数(上课)
第一组 log232 log2(8×32)
3
5
8
log2 8 log2 32 log2 (8 32)
设log 2 8 x 则2 x 8 23 x 3
log 2 32 2 x 32 25 x 5 log 2 (8 32) log 2 28 8
动手实践 1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜 想对数的运算性质
第三组
式 值 猜想 性质
log335
5· log33
5
5
5
log3 3 5 log3 3
2,利用科学计算器,完成下表(精确到0.000001) 并从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质
M N lg(MN) lgM+lgN lgM· lgN
M lg N
50 20 3 3
2.210411 0.397940 0.397940 1.305865
3.141596 2.718281
2008 1949 6.592576 6.592576 0.012952 0.012952 1.003937
0.931445
0.931445 0.062906 0.062906 1.144846
课堂小结：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： loga MN loga M loga N ⑴
M log a log a M log a N ⑵ N n loga M n loga M (n R) ⑶
说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
复
习
一、对数的概念 （一）定义： 当a 0, 且a 1时， a b N loga N b, （二）性质： 1.两点注意： (1)底数 a 0, 且a 1， (2)真数N>0，即0和负数无对数. 2.三个运算式： (1) loga 1 0 (2) loga a 1
对数运算 对数运算法则
2
2
(2)lg 52+ lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
3
7×12
1
1
解:(1)原式=log2
=log2 =-2.
48× 42
2
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5·(1+lg 2)+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)
=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
一
二
三
四
一、对数的概念
1.你会求下列方程吗?
(1)2x=8; (2)2x=1; (3)3x=2.
提示:(1)(2)易求,满足2x=8的x=3;满足2x=1的x=0;但满足3x=2的x
没法立即写出的,但根据前面所学零点及指数函数知识,可以确定
方程3x=2存在唯一实根,但鉴于所学知识,现无法表示出来,因此需
1.为什么零和负数没有对数?
提示:因为x=logaN(a>0,且a≠1)⇔ax=N(a>0,且a≠1),而当a>0,且
a≠1时,ax恒大于0,即N>0.故0和负数没有对数.
2.填写下表:
性质 1
性质 2
性质 3
负数和零没有对数,即 N>0
1 的对数为 0,即 loga1=0(a>0,且 a≠1)
底数的对数是 1,即 logaa=1(a>0,且 a≠1)
∴lo g () = lo g +lo g ,∴loga(MN)=logaM+logaN.
课前篇自主预习
对数幂的运算法则
对数幂的运算法则是指对数和幂运算之间的关系。下面是常见的对数幂运算法则：
1. 对数运算法则： - 对数的乘法法则：logₐ(b * c) = logₐ(b) + logₐ(c) - 对数的除法法则：logₐ(b / c) = logₐ(b) - logₐ(c) - 对数的幂运算法则：logₐ(b^c) = c * logₐ(b)
需要注意的是，这些对数幂运算法则仅适用于相同底数的对数和幂运算。如果底数不同， 则无法直接应用这些法则。此外，对数和幂运算法则还有其他一些变体和特殊情况，具体的 运算规则可能会因具体情况而有所不同。因此，在具体运算时，最好根据具体问题乘法法则：a^b * a^c = a^(b + c)
对数幂的运算法则
- 幂的除法法则：a^b / a^c = a^(b - c) - 幂的幂运算法则：(a^b)^c = a^(b * c)
这些法则可以帮助我们在进行对数和幂运算时进行简化和合并。例如，如果需要计算 log₃(4 * 5)，根据对数的乘法法则，我们可以将其简化为log₃(4) + log₃(5)。同样地，如果需 要计算2^3 * 2^4，根据幂的乘法法则，我们可以将其简化为2^(3 + 4) = 2^7。
《5.3.2 积、商、幂的对数》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础模
《积、商、幂的对数》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解对数的概念，掌握对数运算性质。
2. 能够运用对数进行简单的运算。
3. 培养数学运算和推理能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解对数的概念，掌握对数运算性质。
2. 教学难点：运用对数进行复杂的运算。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、计算器等。
2. 准备教学资料：包括教材、习题、实验等。
3. 设计教学课件，展示对数运算的步骤和结果。
4. 安排学生进行小组讨论，互相交流对数运算的技巧和方法。
5. 针对教学难点，设计有针对性的练习题，帮助学生加深对知识的理解和掌握。
四、教学过程：本节课我们学习对数的概念及对数运算性质。
本节课主要采用类比和创设情境的教学方法，设计以下五个环节：（一）导入教师提问：如果你要把一个数扩大100倍，你需乘以多少？怎样用数学式子表示？学生回答后，教师指出：在数学上，我们把乘100叫做乘一个对数。
既然对数在生产、生活中有广泛应用，那么对数是如何产生和发展的？它的运算性质又是怎样的？这就是我们这节课要研究的内容。
设计意图：通过问题情境的创设，使学生明确学习目标。
（二）探究新知1. 体验对数的产生教师利用多媒体展示指数函数图形，并引导学生观察图形思考下列问题：（1）若底数a逐渐减小，指数函数图像的形状如何变化？底数a在什么范围内变化时，图像会趋于第一象限？（2）当a=2时，图像在第一象限上凸起的原因是什么？学生回答后，教师指出：底数的增长速度越来越慢，与指数之间的差距越来越大，为了刻画这种变化规律，我们引入对数的概念。
利用教材所提供的材料，请学生阅读并讨论下列问题：（1）由材料可知，为什么要引入对数？（2）以“开方”为“指数”在生活中的应用。
讨论结束后，教师组织学生进行交流讨论，鼓励学生利用所学知识解释对数的意义及来源。
学生讨论结束后，教师指名学生回答问题，并进行有针对性的点评和补充。
在此基础上，教师指出：数学是源于现实生活、抽象概括而成的。