第二节图的道路与连通

一、无向图的道路

1。定义：图G中由结点和边交替构成的序列

p=v0e1v1e2v2...e k v k 称为由v0到v k的一条道路，其中每条e i和v i-1及v i关联。

? v0称为道路 p的起点，v k称为道路 p的终点。p中的边数k称为道路的长度。

?只由一个结点构成的道路称为零道路。

例：下图中 p1=v1e1v1e2v2e2v1e5v4e8v3e6v2

p2=v1e2v2e6v3e8v4e5v1e4v3e9v5

p3=v1e5v4e8v3e6v2（简记为：p3=v1v4v3v2） p4=v6都是道路。

v1 v2

e10

e12

e4 e5

e6 e3

e11

2。道路的分类：

①迹：任何满足道路定义的道路。

②简单道路：边不重复出现的道路。

③基本道路：结点不重复出现的道路。例：上图中，p1是迹，p2是简单道路， p3是基本道路，p4是零道路。

3。回路：起点和终点相同的道路。?边不重复出现的回路称为简单回路。?结点不重复出现的回路称为圈。

例：下图中，c1是一般回路，c2是简单回路，c3是圈。

例：下图中 c1=v1e1v1e2v2e7v4e8v3e4v1e3v2e2v1

c2=v1e1v1e2v2e3v1e5v4e8v3e4v1

c3=v1e5v4e10v6e12v5e9v3e4v1

（c3可简记为：c3=v1v4v6v5v3v1）都是回路。c1是一般回路，c2是简单回路，c3是圈。

v1 v2

e10

e12

e4 e5

e6 e3

e11

4。定理：设G是n阶图，如果存在从结点u到v的道路，则必存在长度不超过n-1的道路。

证明要点：如果结点u到v的道路 p的长度超过n-1，则 p中至少有n+1个结点，因而道路中至少有一个结点出现两次，如

v i e i ...v1 ，则去掉e i...v i后仍是结点u到v的道路，但是道路长度至少短1。重复这一

过程，即得所需结论。

二、无向图的连通问题

1。定义: 如果存在从结点u到结点v的道路，则称u到v是连通的。

结点集V上的“连通”关系具有性质：自反、对称、传递。

2。如果图G中任何两个结点都是连通的，则称G是

连通图。

3。图G 中的极大连通子图称为图G 的支，

图G 的支数记为ω(G)。

? 图G 连通当且仅当ω(G)=1。

例：下图中ω(G)=3。

v1v6v4v7

v5v2v3

4。连通图G=(V, E)的点割集定义：设S ? V ，如果 ω(G-S) >1，则称S 是G 的一个点割集。

① S 是G 的一个点割集，而S 的任何真子集都不是

点割集时，称S 是G 的一个基本点割集。

如 S1={v2，v5}， S2={v2，v6}, S3={v2，v7}， S4={v3，v5}, S5={v4}

② 由单个结点（如u ）构成的点割集简称为割点。

v1v6v4v7

v5v2v3

定理结点u是图G的割点当且仅当存在两结点v和w，使v到w的任何道路都经过u。

证明要点：“?”, 当u是割点时，则G - u至少有2支，从这2支中各选一个结点即可。

“?”,反之，如果 v到 w的任何道路都经

过 u，则去掉 u后，v和 w各在 G - u的 1支中，即u是割点。

5。连通图G=(V, E)的边割集定义：设F ? E ，如果ω(G - F) >1，则称F 是G 的一个边割集。

① F 是G 的一个边割集，而F 的任何真子集都不是边割集时，称 F 是G 的一个基本边割集。

如F1={v2v3，v3v7}，F2={v2v3，v5v7}, F3={v1v4}，F4={v2v4，v2v6，v5v6},

F5={v4v6，v2v6，v2v5，v3v7}

② 由单条边（如uv ）构成的边割集简称为割边。

v6v4v5v2v3v7

定理边e是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何回路上。

证明要点：“?”: 当e是割边时，则G - e有2支，因

而e 不在G的任何回路上。

“?”: 反之，如果 e不在任何回路上，则去掉 e 后，e

关联的两个结点各在 G - e的 1支中，即 e 是割边。

6. 图的连通度(限无环图G)

(1)点连通度: 记为К(G), 定义为

例如下图中, К(G) 2

v1v6v4v5v2v3

(2)边连通度: 记为λ(G), 定义为

例如下图中, К(G) =2, λ(G) =2

v1v6v4v5v2v3

(3)连通度定理: К(G) ≤λ(G) ≤δ

证明要点:

首先, 每个结点关联的边构成一个边割集, 于是λ(G) ≤δ.

下面证明К(G) ≤λ(G) ：

首先注意对每个基本边割集F，ω(G-F)=2；其次设F含λ(G)条边，G-F的2支为G1和G2，若G1或G2中至少有一个结点与F中的边不关联，则去掉这支中与F关联的全部结点即可；否则交替删去这2支中与F关联的结点即可。

四、有向图的道路

1。定义：如果图G 中由结点和边交替构成的序列 p=v 0e 1v 1e 2v 2...e k v k , 满足其中每条 e i 是 v i-1的出边和 v i 的入边，则称 p 为由 v 0到 v k 的一条有向道路。在下图中，一些有向道路 p1=v 1v 4v 2v 1v 3v 5v 4

p2=v 3v 2v 1v 3v 5v 4v 2 p3=v 5v 4v 2v 1v 3v1

v2v3v4v5

2。有向道路的分类：

①有向迹：任何满足定义的有向道路。

②有向简单道路：边不重复的有向道路。

③有向基本道路：结点不重复的有向道路。3。有向回路：起点和终点相同的有向道路。?边不重复的有向回路称为有向简单回路。?结点不重复的有向回路称为有向圈，

在下图中，一些有向回路

p1=v 1v 4v 2v 1v 3v 5v 4v 2v 1

p2=v 3v 2v 1v 3v 5v 4v 3

p3=v 5v 4v 2v 1v 3v 5

v2v3

五、有向图的连通问题

1。如果存在从结点u到结点v的有向道路，则称u可达v。?结点集V上的“可达”关系具有性质：自反、传递。?定理：如果在n阶有向图中结点u可达v，则必存在从结点u到结点v的长度不超过n-1的有向道路。

2。有向图G 的连通有如下三个层次：

① 强连通图：任何一对不同结点都相互可达。

②单向连通图：任何一对不同结点间，至少从一

个结点可达另一个结点。

③弱连通图：不看边的方向时是连通的。

a b c

d 单向连通弱连通a b c d a b

c d 强连通

第二节 图的道路与连通

第二节图的道路与连通