三角函数---基本概念

1. 角的定义：

①角的静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 ②角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转的射线的端点叫做角的顶点，所旋转的射线的开始位置叫做角的始边，所旋转的射线的终止位置叫做角的终边。

2. 角的符号：

∠。

3. 角的分类：

⑴按旋转方向分⎧⎪

⎨⎪⎩

正角角零角负角。

⑵按终边所在位置分⎧⎨

⎩象限角角轴线角

，

象限角：置角的顶点于原点，始边重合于X 轴的非负半轴，终边落在第几象限就是第

几象限角。

轴线角：终边落在坐标轴上的角。 ①与角α同终边的角的集合{}

360(0360)S k ββαα==⋅+≤<，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍。； ②终边在y 轴上的角的集合

{}{}

{}

S |902180,|270(21)180,|90180,k k Z k k Z n n Z ββββββ==+⋅∈=++⋅∈==+⋅∈ ；

③终边在x 轴线的角的集合{}|180,S n n Z ββ==⋅∈；

④轴线角的集合{}|90,S n n Z ββ==⋅∈； ⑤象限角的集合{}|90,P n n Z ββ=

≠⋅∈；

⑥第一象限角的集合{}|360

36090,M k k k Z ββ=

⋅<<⋅+∈；

⑦第二象限角的集合{}|90360180360,P k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈； ⑧第三象限角的集合{}

|90360180360,N k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈； ⑨第四象限角的集合{

}

|270360360360,Q k k k Z ββ=+⋅<<+⋅∈。 ⑶按大小分：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角10种：①锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 ②直角：等于90°的角叫做直角。 ③大于90°而小于180°的角叫做钝角。

④平角：等于180°的角叫做平角。

⑤优角：大于180°小于360°叫优角。

⑥劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。

⑦周角：等于360°的角叫做周角。

⑧负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。

⑨正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角。

⑩0角：等于零度的角。如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。射线不做旋转时形成的角。

4.角的关系：

⑴数量关系：

①余角：两角之和为90°则两角互为余角。等角的余角相等。

②补角：两角之和为180°则两角互为补角。等角的补角相等。

⑵位置关系：

①对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延

长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。

②同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角

叫做同位角(corresponding angles)，截取出来的同位角呈“F”字形（多数情况下呈不规则形状如╓，╒╘╙等等）。

③内错角：两个角分别在截线的两侧，且在被截的两条直线之间，具有这样位置

关系的一对角互为内错角，内错角的截取出的特点z形。

④同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关

系的一对角互为同旁内角，截取出来的同旁内角呈"ㄈ"形(或反置)或C形或U形。

5. 弧度制定义：

等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。以已知角a的顶点为圆心，以任意值R为半径作圆弧，则a角所对的弧长与R之比是一个定值﹝与R无关﹞，我们称=R时的正角为1弧度的角。以1弧度角为量角大小的单位，称此度量制为弧度制，以示与角的另一种度量制──角度制区别。

6. 弧度制的基本思想：

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？

-550？﹞定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉

﹝1707-1783﹞于1748年引入。欧拉与阿利耶毗陀不同，先定半径为1个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

7. 弧度制的精髓：

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

8. 1弧度的大小：

等于半径长的圆弧所对圆心角叫做1弧度的角。1弧度约等于57.3°，大约是57°17′

45″，但准确的是等于

180

，180°=πrad。

9. 弧度制与角度制的换算公式：

1 rad =180/π°，1°=π/180 rad 。

10. 弧度制与角度制的比较：

弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制。以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零

角的弧度数是0。角α的弧度数的绝对值l r

α=

，（l 为弧长，r 为半径）。 11. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：

⑴弧长公式： l r α=； ⑵扇形面积：S 扇形=

1

2

lr 。 12. 用弧度制表示角的大小：

⑴锐角：0,

2πθ⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭；⑵直角：2

π

θ=； ⑶钝角：,2πθπ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

；⑷平角：θπ=；⑸周角：2θπ=； (6)0°到90°的角：[0,

)2π

θ∈；⑺小于90°角：(,)2

π

θ∈-∞；

⑻0°到180°的角：[0,)θπ∈；⑼0°到360°的角：[0,2)θπ∈。

13. 各种三角函数：

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。各种三角函数(初等基本表示)：（斜边为r ，对边为y ，邻边为x 。）在平面直角坐标系xOy 中，从点O 引出一条射线OP ，设旋转角为θ，设

OP=r ，P 点的坐标为(x,y)有

正弦函数：sin y

r θ=，角θ的对边比斜边； 余弦函数：cos x

r θ=，角θ的邻边比斜边；

正切函数：tan y

x

θ=，角θ的对边比邻边；

余切函数：cot x

y

θ=

，角θ的邻边比对边； 正割函数：sec r

x

θ=，角θ的斜边比邻边； 余割函数：csc r

y

θ=

，角θ的斜边比对边。 正矢函数：sin 1cos ver θθ=-； 余矢函数：cov s 1sin er θθ=-。