水文学与水文地质学5相关分析
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⑥ 误差分析。
例题
【例题】
某站年降雨量与年径流量相关计算
年份
1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956
实测年降 雨量
(mm)
514.1 610 602 564 575 580 750 610 550 612 845
实测年径流量
(m3/s)
y
(1)
y
(2)
y
(3)
y
(4)
x y (5)
x
x
x
y
(6)
x
x
关系总结说明框图
变量或现象之间的关系可依照密切程度划分
完全相关
零相关
相关关系
简复 相相 关关
直曲 线线 相相 关关
正负 相相 关关
相关分析：研究两个或两个以上随机变量之间的相关关系。
相关分析意义
(2) 相关分析在水文频率分析中的意义※ 相关分析的任务是寻求随机变量之间的统计
y
Sy
n
(yi y)2
i 1
n2
（3-33）
xi , yi
yi
yi y
或：
Sy y 1r2
0
xi
(x)
（3-34）
x
图示回归方程误差
y
x
相关系数误差
Sy Sy
3Sy
3Sy
② 相关系数的误差
标准误差[均方误] （sr）：
sr
1 r2 n
（3-35）
注意要点
(4) 相关分析的要点：
_
_
(xi x)2 (xi x)2
_
(yi y)2
n 1
_
(Leabharlann Baidui y)2
n 1
(yi y)2
(xi x)(yi y) •
n1 y
(xi x)2 (yi y)2
(xi x)2 x
n 1
（3-30）
a — 回归系数（回归线的斜率 ）
§3-5 相关分析 (Analyses of statistical relationship )
1 概述 （1）相关分析 （2）相关分析在水文频率分析中的意义※
2 线性简相关 （1）图解法 （2）相关分析法 （3）相关分析的误差 （4）相关分析中的要点
3 直线回归的扩充
1. 概 述 (1) 相关分析
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
径流量 y (mm) 130 147 107 273 67 131 221 207 233 197 180 153 284
降雨量 x1(mm) 512 578 578 724 450 550 565 543 570 545 544 581 713 饱和差 x2( mm) 2.43 2.47 3.04 2.00 3.61 2.64 1.92 1.87 1.73 1.85 2.08 2.21 1.84
62.8
67.8
70.3
87.3
121
插补年径流量 (m3/s)
74.0
65.9
68.7
73.9 63.5 74.2
年份
年降雨量 (mm)
年径流量 (m3/s)
插补年径流量 (m3/s)
1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967
829.9 697 715 667 468 943 648 792 874 705 503
关系，以延展和插补实测水文系列，提高样本的代 表性和设计成果的可靠性。 例如：流量与降水量
蒸发量与温度 ………
2。线性简相关
2. 线性简相关
图解法
相关分析法
一元回归方程
(1) 图解法: y
0
x, y
y=ax+b
x
回归分析法
(2) 相关分析法 1）直线回归方程 （Linear Regression Equation）
(K x 1)(K y 1)
(xi x)2 (yi y)2
(K x 1)2 (K y 1)2
直线回归扩充
3．直线回归的扩充
1）幂函数 一般形式有：
y = a·xb
2）指数函数 一般形式有：
y = a·ebx
线性复相关
4. 线性复相关
设多元线性回归方程有：
y a0 a1x1 a2 x2 am xm
回归方程式
回归线在 y 轴的截距：
b=
yry x
x
将公式（3-30）、（3-31）代入 y = ax + b，有：
（3-31）
y y r y (x x) x
（3-32）
式中： —— 相 关 系 数 定量表示两种变量之间的密切程度。
相关系数
(3) 相关分析的误差 ① 回归方程的误差 标准误差[均方误]（Sy）：
① 分析论证变量之间在物理成因上确实存在联系；
② 同期观测资料不能太少，一般要求n≥12，以减少抽样 误差和提高成果的可靠性；
③ 要求相关系数 r 0.8, 且Sy ＜（10%～15%）y ；
④ 回归分析中，长系列为自变量，短系列为倚变量，建立 回归方程，插补、延长短系列；
⑤ 外延回归线至无实测点控制部分时，要注意考证。
y
xi , yi
yi
0
( xx)i
x, y
yi
y
y=ax+b
最小二乘法
x
a、b表达式
a (xi x)( yi y) (xi x)2
b y ax
（3-29）
推倒 a 与γ关系式
_
_
a (xi x)(yi y)
_
(xi x)2
_
_
(xi x)(yi y) •
110.2 84.6 95.2 77.5 58.9 132
101 131
49.8
80.6
90.5
n=22， 相关分析内容，公式计算
y y r y (x x) x
x x
(K x 1)2 n 1
y y
(K y 1)2 n 1
r
(xi x)( yi y)
xm2
1 x1n
xmn
a0
A
a1
am
依据最小二乘法原理，得：
A ( X T X )1 X T Y
矛盾 / 普通意义
若（XTX）是非奇异矩阵，解向量A就是唯一的。
例题
【例题】
序号 1
某地区径流量、降雨量和湿度饱和差资料
式中a0, a1, a2, … am 为m+1个待定的系数。 设在 t 时刻，有：
yt a0 a1x1t a2 x2t am xmt
t =1，2，…，n
Y=XA
矩阵： Y = X A
y1
Y
y2
yn
1 x11 xm1
X 1 x12
例题
【例题】
某站年降雨量与年径流量相关计算
年份
1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956
实测年降 雨量
(mm)
514.1 610 602 564 575 580 750 610 550 612 845
实测年径流量
(m3/s)
y
(1)
y
(2)
y
(3)
y
(4)
x y (5)
x
x
x
y
(6)
x
x
关系总结说明框图
变量或现象之间的关系可依照密切程度划分
完全相关
零相关
相关关系
简复 相相 关关
直曲 线线 相相 关关
正负 相相 关关
相关分析：研究两个或两个以上随机变量之间的相关关系。
相关分析意义
(2) 相关分析在水文频率分析中的意义※ 相关分析的任务是寻求随机变量之间的统计
y
Sy
n
(yi y)2
i 1
n2
（3-33）
xi , yi
yi
yi y
或：
Sy y 1r2
0
xi
(x)
（3-34）
x
图示回归方程误差
y
x
相关系数误差
Sy Sy
3Sy
3Sy
② 相关系数的误差
标准误差[均方误] （sr）：
sr
1 r2 n
（3-35）
注意要点
(4) 相关分析的要点：
_
_
(xi x)2 (xi x)2
_
(yi y)2
n 1
_
(Leabharlann Baidui y)2
n 1
(yi y)2
(xi x)(yi y) •
n1 y
(xi x)2 (yi y)2
(xi x)2 x
n 1
（3-30）
a — 回归系数（回归线的斜率 ）
§3-5 相关分析 (Analyses of statistical relationship )
1 概述 （1）相关分析 （2）相关分析在水文频率分析中的意义※
2 线性简相关 （1）图解法 （2）相关分析法 （3）相关分析的误差 （4）相关分析中的要点
3 直线回归的扩充
1. 概 述 (1) 相关分析
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
径流量 y (mm) 130 147 107 273 67 131 221 207 233 197 180 153 284
降雨量 x1(mm) 512 578 578 724 450 550 565 543 570 545 544 581 713 饱和差 x2( mm) 2.43 2.47 3.04 2.00 3.61 2.64 1.92 1.87 1.73 1.85 2.08 2.21 1.84
62.8
67.8
70.3
87.3
121
插补年径流量 (m3/s)
74.0
65.9
68.7
73.9 63.5 74.2
年份
年降雨量 (mm)
年径流量 (m3/s)
插补年径流量 (m3/s)
1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967
829.9 697 715 667 468 943 648 792 874 705 503
关系，以延展和插补实测水文系列，提高样本的代 表性和设计成果的可靠性。 例如：流量与降水量
蒸发量与温度 ………
2。线性简相关
2. 线性简相关
图解法
相关分析法
一元回归方程
(1) 图解法: y
0
x, y
y=ax+b
x
回归分析法
(2) 相关分析法 1）直线回归方程 （Linear Regression Equation）
(K x 1)(K y 1)
(xi x)2 (yi y)2
(K x 1)2 (K y 1)2
直线回归扩充
3．直线回归的扩充
1）幂函数 一般形式有：
y = a·xb
2）指数函数 一般形式有：
y = a·ebx
线性复相关
4. 线性复相关
设多元线性回归方程有：
y a0 a1x1 a2 x2 am xm
回归方程式
回归线在 y 轴的截距：
b=
yry x
x
将公式（3-30）、（3-31）代入 y = ax + b，有：
（3-31）
y y r y (x x) x
（3-32）
式中： —— 相 关 系 数 定量表示两种变量之间的密切程度。
相关系数
(3) 相关分析的误差 ① 回归方程的误差 标准误差[均方误]（Sy）：
① 分析论证变量之间在物理成因上确实存在联系；
② 同期观测资料不能太少，一般要求n≥12，以减少抽样 误差和提高成果的可靠性；
③ 要求相关系数 r 0.8, 且Sy ＜（10%～15%）y ；
④ 回归分析中，长系列为自变量，短系列为倚变量，建立 回归方程，插补、延长短系列；
⑤ 外延回归线至无实测点控制部分时，要注意考证。
y
xi , yi
yi
0
( xx)i
x, y
yi
y
y=ax+b
最小二乘法
x
a、b表达式
a (xi x)( yi y) (xi x)2
b y ax
（3-29）
推倒 a 与γ关系式
_
_
a (xi x)(yi y)
_
(xi x)2
_
_
(xi x)(yi y) •
110.2 84.6 95.2 77.5 58.9 132
101 131
49.8
80.6
90.5
n=22， 相关分析内容，公式计算
y y r y (x x) x
x x
(K x 1)2 n 1
y y
(K y 1)2 n 1
r
(xi x)( yi y)
xm2
1 x1n
xmn
a0
A
a1
am
依据最小二乘法原理，得：
A ( X T X )1 X T Y
矛盾 / 普通意义
若（XTX）是非奇异矩阵，解向量A就是唯一的。
例题
【例题】
序号 1
某地区径流量、降雨量和湿度饱和差资料
式中a0, a1, a2, … am 为m+1个待定的系数。 设在 t 时刻，有：
yt a0 a1x1t a2 x2t am xmt
t =1，2，…，n
Y=XA
矩阵： Y = X A
y1
Y
y2
yn
1 x11 xm1
X 1 x12