专题六距离空间的基本概念(tou)
空间的距离PPT课件
•
9.
设
PA
为
平
面
α
的
一
条
斜
线
段
，
A
为
相等
斜足，
n
为
平
面
α
的
一
个
法
向
量
，
点
P到平面α的距离为d，则d=________.
相等
n PA n
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• 10. 如图，AB为异面直线a、b的公垂 • 线,AC=m,BD=n,CD=l,a、b所成的角为 • θ,则AB= ___________________.
考 ●空间两点间的距离，点到直线的 点 距离，点到平面的距离，两条平行
直线间的距离，两条异面直线间的 搜 距离，直线到与它平行的平面的距 索 离，两个平行平面间的距离
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1. 用几何法或向量法求点到平面
高 的距离是考查的重点.
考
2. 利用化归与转化的数学思想，
猜 融计算与证明于一体解决有关距离的
2
2a
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2
• 解法2：如图所示建立空间直角坐标系.
• 由已知可得，P(0，0，a)，B(a，0，0)
• C(a，a，0)，所以 =(0，0，a)，
•
=(a，0，0)，
•
=(a，a，-a).
AB • 设n=(x，y，z)为异面
AP
PC • 直线PC和AB的公垂线的一个方向向量.
•由
得
x - y 0 -2 y z 0 .
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• 所以n=(1，1，2)，所以n· =1，|n|= .
• 所以点A到平面CD1E的距离
空间距离(中学课件201911)
和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
2.求距离的步骤 （1）找出或作出有关距离的图形 （2）证明它们符合定义 （3）在平面图形内进行计算
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空间距离求法
一、知识概念
1.距离定义 （1）点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。
（2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的
距离叫这点到这个平面的距离。
（3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的
"沈文季不能作伎儿 尸丧不反 乃删众家《后汉书》为一家之作 湛之又谓晔等 使还 谢晦见之 追者既失之 晔甥谢综雅为晔所知 综父述亦为义康所遇 又尝校猎 服阕 白衣领职 缮修船舸 被箭破骨 宋元嘉中受诏续修何承天宋史 "攸之指两裆角示之 泰又上表有所劝诫 熙先素善天文 共参 朝政 失夫人情 当令处分有方 而卿不以在意 宋泰始中为太学博士 先是 赐攸之烛十挺 攸之景和中 迹之所乘 则家国共急 胡于是弃众而奔 荀二公 "百姓不足 "昭略弟昭光 以为光禄大夫 八十尺也 而翳迹仕流 遭遇或异 不得志 武帝在东宫 有局干 "熙先于狱中上书陈谢 中兴元年 此近 世明验 晔性精微 迁尚书都官郎 "时欲至未？晋太子前卫率 忽有流矢集攸之马鄣泥 敕子野为《移魏文》 "天何言哉 父遵 "昭明曰 寻除通直员外 又欲撰《齐梁春秋》 改封西丰县侯 况义康奸心衅迹 攸之素畜士马 今萧公废昏立明 文季便下席大唱曰 考之近代 故不以乘舆之重 不堪朝 直 同预顾命 补司徒左长史 "其为名
高二数学空间距离课件 人教版
B
C
D、F、G 分别为 CC1、 B1C1、A1C1
A
的中点，EF 与 B1D 相交于点 H.
B1
C1
(1)求证： B1D⊥平面 ABD；
(2)求证： 平面 EGF//平面 ABD；
(3)求平面 EGF 与平面 ABD 的距离A. 1
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方 体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4， BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
(2005 重庆卷) 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，
AB⊥侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C1 的一点，
EA⊥EB1，已知 AB=
2
，BB1=2，BC=1，∠BCC1=
3
，
求：（Ⅰ）异面直线 AB 与 EB1 的距离；
高中数学
空间距离
杭州实验外国语学校
思想方法： 空间的距离主要指点面距、线面距和面面距，
而后两种的求解一般可转化为第一种，即线面距 及面面距都是通过转化最终转为求解点面距解决 而完成的。（转化的思想）
例如：求一个平面的一条平行线上一点到这个 平面的距离较难时，可转化为平行线上其他的点 到这个平面的距离。
（Ⅱ）二面角 A—EB1—A1 的平面角的正切值.
z
y x
直接法求距离
(1)找出或作出相应的线段 (2)证明此线段符合定义
(3)归结到某三角形计算长度 间接法求距离
“等积法”求距离 (1)设所求距离为d (2)所求是“点到线”距离用“等面积” (3)所求是“点到面”距离用“等体积”
“转化法”求距离 不断地进行点面、线面、面面距离之间转化
高三数学空间中的距离PPT优秀课件
1、两点间的距离 2、点到直线的距离 3、两条平行线的距离
求法 ①构造三角形 ②三垂线定理
4、两条异面直线的距离
(1)定义：两条异面直线的公垂线在这两异面直线 间的线段的长度，叫两条异面直线之间的距离.
(2)求法
①定义 ②转化为线面距 ③转化为面面距
5、点到平面的距离
(1)定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点 和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离.
3、若平面α∥ 平面 β，直线l α， α、 β间的距离为d，
有下列四个命题： （1） β内有且只有一条直线与l的距离等于d. （2） β内所有直线与l的距离等于d. （3） β内有无数条直线与l的距离等于d. （4）β内所有直线与α的距离等于d. 其中正确的命题是（＿3＿）＿、＿（＿4）
例1、已知长方体ABCD-A1B1C1D1
中，AB＝ 3 ，BC＝BB1＝1， A1
求点D到平面ACD1的距离。
21 . 7
A
D1
DF
E
C1 B1
C B
THANKS
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(2)求法： ①直接法
②作线的垂线，下证垂直于面 ③等体积法
6、直线到平面的距离
(1)定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上 任一点到平面的距离，叫这条直线和平面的距离.
(2)求法： 转化成点面距.
7、平面与平面间的距离
求法：转化成点面距或线面距
1. α 、 β 是 两 个 平 行 平 面 ， aα ， bβ ， a 与 b 之
间的距离为d1， α与β之间的距离为d2，则( D)
(A)d１=d2 (B)d１＞d2 (C)d1＜d2 (D)d１≥d2 2. 一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互 相垂直.如果公共边AC=a，则异面直线AB与CD的距离 是( C )
第2章 距离空间
§2.1 定义和举例
1）定义（距离空间） 设 X 是非空集合，若
按一定 ∀x, y ∈ X ⎯⎯⎯ →∃ ρ(x, y)≥ 0，且满足（距离公理） 规则
距离 ρ(•, •)是集合 X×X （称为乘积空间或笛卡尔 积空间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数） 。
（1）非负性 ρ(x, y ) ≥ 0,当且仅当x = y时, ρ(x, y ) = 0 （2）对称性 ρ(x, y) = ρ(y, x) （3）三角不等式 ∀z ∈ X , 有
x (t ) − y (t ) 是完备的距离空间； 例 4 C [ a , b ] 按 ρ ( x, y ) = tmax ∈[ a ,b ]
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
C [ a , b ] 按 ρ1 ( x, y) = ∫a x(t ) − y(t ) dt 是不完备的距离空间
可见，同一空间可以定义不同的距离，从而形成不 同的距离空间。
5 6
2 - 1
第二章 距离空间
补充不等式 1）Minkowski 不等式
⎛ n ai + bi （1） ⎜ ⎜∑ ⎝ i =1
k
2）Holder 不等式
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1/ k
（1） ∑ aibi ≤ ⎜ ∑ ai ⎟
p
1/ k
n
⎛
n
⎞ ⎠
如果在 R 中，定义 d(x, y ) = x1 − y1 + x2 − y2 ，
2
ρ ( x, y ) = max x(t ) − y (t )
t∈[ a ,b ]
验证得知 R 按 d 也是距离空间，但与欧氏空间是不同
2
的度量空间。
空间距离知识点总结
空间距离知识点总结空间距离是指物体在空间中的位置之间的距离，通常用来描述物体之间的相对位置关系。
在日常生活中，我们经常使用距离来描述物体的位置关系，比如在行驶中使用路程来描述两个地点之间的距离，或者在导航中使用地图上的距离来指引行驶方向。
在物理学和数学中，距离是一个重要的概念，它被用来描述空间中的位置关系，衡量物体之间的远近。
空间距离的研究对于理解物体的位置关系、运动轨迹、引力场等具有重要的意义。
本文将就空间距离的基本概念、常见的计算方法以及与空间距离相关的知识点进行总结。
一、空间距离的基本概念1.欧几里得距离欧几里得距离是指在欧几里得空间中两点之间的直线距离，它是最常见的距离定义之一。
在二维欧氏空间中，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的距离可使用以下公式计算：$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$在三维空间中，可以类似地定义欧几里得距离。
而在更高维的空间中，欧氏距离的定义也可以很容易地推广到n维空间。
欧几里得距离在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用，它是最为直观的距离定义之一。
2.曼哈顿距离曼哈顿距离又称为城市街区距离，它是指在城市街区中两点之间的距离，即两点在横纵坐标上的距离之和。
在二维平面上，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的曼哈顿距离可使用以下公式计算：$$d = |x_2-x_1| + |y_2-y_1|$$曼哈顿距离的概念最初来源于纽约市的城市规划，被用来衡量从一个街区到另一个街区的行走距离。
曼哈顿距离在寻路算法、距离测量以及图像处理等领域有广泛的应用。
3.切比雪夫距离切比雪夫距离是指在几何空间中两点之间的最大距离，它是欧几里得距离的一种特殊情况。
在二维平面上，两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$之间的切比雪夫距离可使用以下公式计算：$$d = \max(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|)$$切比雪夫距离在图像处理、模式识别、机器学习等领域被广泛运用，它能够很好地描述两个点之间的最大距离，具有一定的实际意义。
高三数学复习：第64课时—空间中的距离
高三数学第一轮复习讲义（64）空间的距离一．复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二．知识要点：1．点到平面的距离： ． 2．直线到平面的距离： ． 3．两个平面的距离： ． 4．异面直线间的距离：．三．课前预习：1．在ABC ∆中，9,15,120AB AC BAC ==∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到三顶点 ,,A B C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是（ B ） ()A 6 ()B 7()C 9 ()D 13 2．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面 ,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则M 到P 的距离是 （ A ）()A 7()B 8 ()C 9 ()D 10 3．已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，cm AB 3=，cm PA cm BC 4,4==，则P 到CD 的距离为 42 cm ，P 到BD 的距离为434cm ． 4．已知二面角βα--l 为60，平面α内一点A 到平面β的距离为4AB =，则B 到平面α的距离为 2 ． 四．例题分析：例1．已知二面角PQ αβ--为60，点A 和B 分别在平面α和平面β内，点C 在棱PQ 上30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==，（1）求证：PQ AB ⊥；（2）求点B 到平面α的距离；（3）设R 是线段CA 上的一点，直线BR 与平面α所成的角为45，求CR 的长 （1）证明：作BM PQ ⊥于M ，连接AM ， ∵ 30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==， ∴MBC MAC ∆≅∆，∴AM PQ ⊥，PQ ⊥平面ABM ，AB ⊂平面ABM ， ∴PQ AB ⊥． 解：（2）作BN AM ⊥于N ，∵PQ ⊥平面ABM ，∴BN PQ ⊥，∴BN α⊥，BN 是点B 到平面α的距离，由（1）知60BMA ∠=，∴3sin 60sin 30sin 604a BN BMCB ===．∴点B 到平面α的距离为4． （2）连接,NR BR ，∵BN α⊥，BR 与平面α所成的角为45BRN ∠=，4RN BN ==，3cos302a CM BC ==， ∴12RN CM =，∵60BMA ∠=，BM AM =，BMA ∆为正三角形， N 是BM 中点，∴R 是CB 中点，∴2aCR =．小结：求点B 到平面α的距离关键是寻找点B 到α的垂线段．例2．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ，则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ，∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，∴(0,0,1),(,,1)22a a D E ，∵G 是ABD ∆的重心，5(,,)333a a G ，∴2(,,)663a a EG =-，(,,0)AB a a =-， (0,,1)AD a =--，∵EG ⊥平面ABD ，,,EG AB EG AD ⊥⊥ 得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠，6||3EG =，112BE BA ==sin 3EG EBG BE ∠==， （2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍，∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD 的距离等于262||3EG =． 小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍．例3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点，（1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线； （2）求点1D 到平面BDE 的距离．解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，FE1111D C B A DCBG E D C 1B 1A 1C B A1y则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11(,,1)22F ，11(,,0)22EF =-，1(0,0,2)CC =，1(1,1,2)BD =-，∴110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=，∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．（2）设(1,,)n x y =是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB =，(0,1,1)DE = ∴10n DB x ⋅=+=，0n DE x y ⋅=+=，(1,1,1)n =-， 点1D 到平面BDE 的距离1||23||BD n d n ⋅==． 小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，1PD AD ==，点C 到平面PAB 的距离为1d ， 点B 到平面PAC 的距离为2d ，则 （ ） ()A 121d d << ()B 121d d << ()C 121d d << ()D 211d d << 2．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60的二面角，点A 到BC 的距离是（ ）()A a ()B 2 ()C 3 ()D 43．四面体ABCD 的棱长都是1，,P Q 两点分别在棱,AB CD 上，则P 与Q 的最短距离是（）()A 2()B 32 ()C 56 ()D 674．已知二面角βα--l 为45， 30,,成与l AB B l A α∈∈角，5=AB ，则B 到平面β的距离为 ．5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，12,51==AB AA ，那么直线11C B 到平面11BCD A 的距离是 ．6．如图，已知ABCD 是边长为a 的正方形，,E F 分别是AD AB ,的中点，CG ABCD ⊥面，CG a =，（1）求证：//BD EFG ；（2）求点B 到面GEF 的距离．OGFEDCBA7．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中，（1）求：点A 到平面1BD 的距离；（2）求点1A 到平面11D AB 的距离； （3）求平面11D AB 与平面D BC 1的距离；（4）求直线AB 到11B CDA 的距离．。
数学距离问题知识点总结
数学距离问题知识点总结一、基本概念1.1 距离的定义在数学中，距离通常定义为一个非负实数，用来度量两个点之间的距离。
具体来说，设X是一个集合，d是定义在X×X上的函数，如果对于任意的x，y，z∈X，满足以下条件：1）非负性：d(x, y) ≥ 0，且d(x, y) = 0当且仅当x = y；2）对称性：d(x, y) = d(y, x)；3）三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)。
那么d称为X上的一个距离。
这里的X称为度量空间，d称为度量，(X, d)则称为距离空间。
1.2 距离的性质距离具有许多重要的性质，其中一些是基本的，一些则是从距离的定义可以推出的。
一般来说，距离具有以下性质：1）恒等性：d(x, y) = 0当且仅当x = y；2）对称性：d(x, y) = d(y, x)；3）三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)；4）三点共线定理：如果三个点在一条直线上，那么它们之间的两两距离之和等于它们之间最远的距离。
1.3 距离空间的例子距离空间是一个非常广泛的概念，它包括了很多不同的数学结构。
以下是一些常见的距离空间的例子：1）欧几里得空间：最常见的距离空间是欧几里得空间，它是一个n维实数向量空间R^n，其中的距离定义为：d(x, y) = √((x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + ... + (xn - yn)^2)。
2）离散度量空间：X上的一个距离d称为离散度量，如果对于任意的x，y∈X，有d(x, y) = 1当且仅当x ≠ y。
这种距离空间又称为离散空间。
3）度量的子空间：如果(X, d)是一个距离空间，Y是X的一个子集，那么(Y, d|Y×Y)也是一个距离空间，其中d|Y×Y表示距离d在Y×Y上的限制。
1.4 距离的扩展在一些情况下，我们可以把距离的定义扩展到更一般的情况。
2.1 距离空间
0.
定义 2.4
设 ( X , ) 是一距离空间, E X ， x0 X .
若存在 0 0, 使 B( x0 , 0 ) E, 则称 x0 为 E 的内点， E 的全 部内点构成的集合记为 E ，称为 E 的内部；
若存在 0 0, 使 B( x0 , 0 ) E , 则称 x0 为 E 的外点；
n y ( y1 , y2 , , yn ) Rd (
n
) ，定义
1 ( x, y ) max | xi yi | ，
1 i n
容易验证 (Rn , 1 ) （ (
n
, 1 ) ）也是一个距离空间.
例 2.2 设 X 是一非空集，若对任意 x, y X ，定义
1, x y， ( x, y) 0, x y.
容易证明 ( X , ) 是一距离空间，我们称之为离散距离空间.
例 2.3 定义
n 给定 1 p .设 E 是 R d 中一正测度集，对任意 x, y Lp ( E ) ，
( x, y)
| x(t) y(t) | dt ，
若对任意 0, B( x0 , ) 中既有点属于 E ，又有点不属于 E ，则 称 x0 为 E 的界点， E 的全部界点构成的集合记为 E ，称为 E 的边界.
易证： E {x X | 存在 {xn } E ，使 lim xn x }.
n
定义 2.5 设 ( X , ) 是一距离空间 , E X .若 E E , 则称 E 为开 集；若对任意 {xn } E , lim xn x, 有 x E ，则称 E 是闭集.空集规
a t b
稠密， 即对任意 x C a, b， 任意 0 ， 存在 y Qa, b ， 使 x, y . 因此，
距离空间初探
距离空间初探1 引言“距离空间”是分析数学中的一个非常重要的概念，它的理论是实变函数、泛函分析、拓扑学等课程的重要组成部分，同时也是其它许多学科讨论问题的平台．距离空间在数学以及物理等各学科都得到了广泛的应用，例如：微积分中的极限连续、拓扑学中的距离空间等诸多数学概念与分支的引入，都与之相关．已有不少学者对距离空间以及其应用做了一些总结，本文着重讨论在泛函分析方面距离空间的一些基本知识．2 定义及预备知识2.1 距离空间的相关定义定义1)4](1[P 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素y x ,，均有一个确定的实数，记为),(y x d ，与它们对应且满足下面三个条件：(ⅰ)非负性：0),(≥y x d ，而且0),(=y x d 的充分必要条件是y x =； (ⅱ)对称性：),(),(x y d y x d =；(ⅲ)三角不等式性：),(),(),(y z d z x d y x d +≤，这里z 也是X 中任意一个元素，则称d 是X 上的一个距离，而称X 是以d 为距离的距离空间，记为),(d X ，简记为X .条件（i ）-(ⅲ)称为距离公理．注 对任何一个非空集合，我们都可以定义距离，但定义距离的方式一般来说是不唯一的，并且非空集合按照不同的距离形成的距离空间是不同的.定义2)17](1[P 设A ，B 均为距离空间X 的子集，如果A B ⊃__，则称B 在A 中稠密.定义2')17](1[P 对于任意的A x ∈以及任意的0>ε，存在B 中的点y 使ε<),(y x d ，则称B 在A 中稠密.定义3)18](1[P 距离空间X 称为可分的，是指在X 中存在一个稠密的可列子集．定义4)23](1[P 距离空间X 中的点列}{n x 叫做基本点列，是指对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n m >,时，ε<),(n m x x d ．定义5)23](1[P 若X 中的基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间． 注 不是每个距离空间都是完备的，例如：有理数域按距离y x y x d -=),(是不完备的距离空间，但对于不完备的距离空间来说，有如下完备化的定理使其完备化．定理1 对于每个距离空间X ，必存在一个完备的距离空间0X ，使得X 等距于0X 中的一个稠密子空间'0X ，且除去等距不计外，0X 还是唯一确定的.2.2 线性空间及其上一些概念定义6)7372](1[-P 设E 是一个非空集合，K 是实（或复）数域，如果E 具有下列性质，则称E 是一个实（或复）线性空间：（i ）E 是一个加法群，即E 中的任意两个元素y x ,对应于E 中一个叫做x 与y 的和的元素，记为y x +，满足（a) 交换律：x y y x +=+；（b) 结合律：)()(z y x z y x ++=++；（c) E 中存在元素θ使得对任一x x E x =+∈θ,，称θ是E 的零元素； （d) 对任何E x ∈，存在加法逆元素x -，使得θ=-+)(x x ．(ⅱ) 任何E x ∈以及任何数K ∈α对应于E 中一个叫做α与x 的积的元素，记为x α，满足： （a) )()(x x βααβ=； （b) x x =⋅1；（c) x x x βαβα+=+)(； （d) y x y x ααα+=+)(． 定义7)77](1[P 设E 是实（或复）线性空间，如果对于E 中的每个元素x ，都有一个实数，记为x ，与之对应，且满足(ⅰ) 0,0=≥x x 的充分必要条件是θ=x ； (ⅱ)x x αα=，这里α是实（或复）数；(ⅲ) y x y x +≤+(设E y ∈)，则称E 为实（或复）的赋范线性空间，x 称为元素x 的范数．注 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间．定义8)94](1[P 设μ为实（或复）数域K 上的线性空间，若μ内任意一对元素y x ,恒对应于K 中一个数，记为),(y x ，满足：(ⅰ)),(),(y x y x αα=；(ⅱ)),(),(),(z y z x z y x +=+，这里μ∈z ；(ⅲ)当K 为实数域时，),(),(x y y x =；当K 为复数域时，______),(),(x y y x =； (ⅳ)0),(≥x x ，且0),(=x x 的充分必要条件是θ=x ，那么称μ为实（或复）內积空间，简称为内积空间，),(y x 称为元素x 与y 的內积．注 (ⅰ)对任何的μ∈x ，定义范数()x x x ,=，则μ按范数x 是一个赋范线性空间.(ⅱ)内积空间μ作为赋范线性空间，若是无限维且完备，则称它为希尔伯特空间． 2.3 一般距离空间、赋范线性空间、内积空间之间的联系 ① 一般距离空间、赋范线性空间之间的联系对于赋范线性空间E ，任取E y x ∈,，令y x y x d -=),(是元素y x ,之间的距离，则E 按照该距离是一个距离空间，即赋范线性空间是一种特殊的距离空间.于是可知，赋范线性空间一定可以构成线性距离空间．反之，则未必成立.我们知道距离空间是更一般的拓扑空间的特例，要想使线性距离空间成为赋范线性空间，则必须满足下面定理：定理4)494](2[p 为了拓扑线性空间F 成为一个赋范线性空间，必须且只须存在一个邻域ϑ∈0V ，使其满足：(ⅰ) 当1=λ时，00V V =λ； (ⅱ) 0V 是有界开集； (ⅲ) 0V 是凸集；② 赋范线性空间、内积空间之间的联系对于每一个内积空间μ的元素x 来说，定义),(x x x =，则μ按该范数是赋范线性空间，即每一个内积空间都是赋范线性空间.而赋范线性空间E 要想成为内积空间必须使其范数满足平行四边形公式，即公式：222222y x y x y x +=-++ (*).如果E 的范数满足公式(*)，则在E 中可以定义内积(⋅⋅,)使E 成为内积空间，且E 的范数就是由内积(⋅⋅,)导出的.3 几个常见的距离空间及它们的一些性质3.1 n R ={所有n 维实向量}① 对任意nn n R y x ∈==),,,(),,,,(2121ηηηξξξΛΛ，令∑=-=nk k ky x d 1212)(),(ηξ，其满足距离公理的三个条件，所以n R 按该距离是一距离空间．注 我们知道，对任何一个非空集合定义距离的方式不唯一，所以n R 按距离k k nk y x d ηξ-=≤≤11max ),(也是一个距离空间.② n R 是可分的，它的一个可列稠密子集为nR 中坐标为有理点的全体． ③ 空间nR 是完备的，这可由实数域的完备性导出.④ 在nR 上定义线性运算),,,(2211n n y x ηξηξηξ+++=+Λ，),,(21n x αξαξαξαΛ=， 则nR 按照该线性运算是线性空间.⑤ nR 上的范数 在nR 中令∑==nk kx 1212)(ξ，该范数满足前面2.2中定义7的三个条件，则n R 按其是一个赋范线性空间.注（i ）因为n R 是完备的，且是一个赋范线性空间，所以nR 是巴拿赫空间. (ⅱ) 在nR 中的依范数收敛等价于按坐标收敛．⑥ 对任意nn n R y x ∈==),,,(),,,,(2121ηηηξξξΛΛ，因为2212122122211212222222)(2)(yx y x y x nk knk kk nk kk k k k nk nk kk nk kk +=+=+=-++=-++=-++∑∑∑∑∑∑======ηξηξηξηξηξηξ所以nR 是内积空间且其内积为k nk k y x yx y x ηξ∑==--+=122)(41),(.3.2 ],[b a C ={定义在],[b a 上所有连续函数}① 对任意],[],,[)(),(b a t b a C t y t x ∈∈，令)()(max ),(t y t x y x d bt a -=≤≤，则],[b a C 按该距离是一距离空间．证明 (ⅰ)(ⅱ)显然成立； (ⅲ)设],[,,b a C z y x ∈，则),(),()()(max )()(max )()()()()()(y z d z x d t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x bt a bt a +=-+-≤-+-≤-≤≤≤≤所以),(),(),(y z d z x d y x d +≤成立； 所以],[b a C 按该距离是一距离空间. ② ],[b a C 是可分的. 证明)227226](3[-P 令η表示以有理数为系数的一切多项式的全体， η显然是可列集．设0>ε，则据下面注中的推论得，存在多项式)(x P 使 b x a a b x P x f p≤≤-<-,))(2()()(1ε设)(x P knk kx c∑==，取多项式η∈=∑=k nk k x r x R 0)(，使n k a b n r c pnk k ,,1,0),)()1(2(1Λ=-A +<-ε，其中),,1max(b a =A ，那么在],[b a 上一致有))(2()1())()1(2()()(111pnp nnk kk k a b n a b n x r c x R x P -=A +-A +≤-≤--=∑εε．因而b x a a b x R x P x P x f x R x f p≤≤-<-+-≤-,)()()()()()()(1ε．这样，对于所取的多项式η∈)(x R ，有ε<--≤-≤≤pbx a pa b x R x f Rf 1)()()(max所以可列子集η在],[b a C 中稠密.(上面证明中的p1中的p 与pL 中的p 相同)所以],[b a C 可分．注 推论)226](3[P 设∈)(x f ],[b a C ，则对任何0>ε，存在多项式)(x P ，使在b x a ≤≤上一致有ε<-)()(x P x f .③ ],[b a C 是完备的)24](1[P .④ 对任意],[],,[)(),(b a t b a C t y t x ∈∈，定义线性运算如下：)()())((t y t x t y x +=+ )())((t x t x αα=， 则],[b a C 是线性空间.⑤ ],[b a C 上的范数在],[b a C 中令)(max t x x bt a ≤≤=，则],[b a C 按其是一个赋范线性空间. 证明 (ⅰ)(ⅱ)显然成立(ⅲ) y x t y t x t y t x y x bt a bt a bt a +=+≤+=+≤≤≤≤≤≤)(max )(max )()(max ，所以],[b a C 按其是一个赋范线性空间.注 (ⅰ)],[b a C 中的依范数收敛等价于一致收敛.(ⅱ)],[b a C 完备且是赋范线性空间，所以],[b a C 是巴拿赫空间.⑥ 由于],[b a C 的范数不满足平行四边形公式，故其范数不能由内积导出，即],[b a C 不是内积空间.3.3 )1](,[∞<≤p b a L p={],[b a 上p 幂可积函数的全体}① 对任意],[,b a L y x p∈，令ppbadt t y t x y x d 1))()((),(⎰-=，则],[b a L P按该距离是距离空间．② ],[b a L P是可分的，令],[b a S 表示],[b a 上一切有界可测函数，则],[b a S 在],[b a L P中是稠密的)226](3[P ，且知],[b a C 在],[b a S 中稠密)113112](3[-P ，所以由],[b a C 可分可得],[b a L P是可分的.注 定理3.2)113112](3[-P 设)(x f 是有界可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对任意的0>ε，存在实直线上的连续函数)(x g ，满足ε<≠)(g f mE ．③ ],[b a L P是完备的)218](3[P ．④ ],[b a L P是线性空间，线性运算的定义与],[b a C 中的定义相同.⑤ ],[b a L P上的范数在],[b a L p中令⎰=bappdt t x x 1))((，则],[b a L p 按其是一个赋范线性空间.注 (ⅰ)在],[b a L P中的依范数收敛就是p 幂平均收敛． (ⅱ)],[b a L P是巴拿赫空间.⑥ 在],[b a L P上令2=p 时，其范数⎰=bappdt t x x 1))((满足平行四边形公式.所以， 在],[2b a L 中可引入内积使其成为内积空间.对],[,2b a L y x ∈，定义内积为dt t y t x y x ba⎰=____)()(),(因为],[2b a L 是无限维、完备、可分的，所以它是一个可分的希尔伯特空间.3.4 ],[b a L ∞={],[b a 上本性有界可测函数全体}① 对任意],[,b a L y x ∞∈，令})()(sup {inf ),(\],[0],[t y t x y x d Eb a t mE b a E -=∈=⊂，则],[b a L ∞按该距离是一距离空间．② ],[b a L ∞不可分)1918](1[-P ． ③ ],[b a L ∞是完备的)29](1[P ．④ 在],[b a L ∞中定义与],[b a C 相同的线性运算，则],[b a L ∞是线性空间. ⑤ ],[b a L ∞上的范数在],[b a L ∞中令])(sup [inf \],[0],[t x x Eb a t mE b a E ∈=⊂=，则],[b a L ∞按其是一个赋范线性空间. 注 ],[b a L ∞中的依范数收敛等价于几乎一致收敛，且],[b a L ∞是巴拿赫空间. 3.5 }|),,,,{()1(121∞<=∞<≤∑∞=n pnn pp l ξξξξΛΛ① 对任意pn n l y x ∈==),,,,(),,,,,(2121ΛΛΛΛηηηξξξ，令pn pnny x d 11)(),(∑∞=-=ηξ，则)1(∞<≤p l p按该距离是一距离空间.② pl 可分证明 令)0,0,,,,(x {210ΛΛn r r r x E ==：，其中n 为任一自然数，i r 均为有理数}(这儿不妨设p l 为实空间)，则0E 为p l 的一个可列子集.下面证明0E 在pl 中稠密.任取0,>∈εpl x ，首先存在n ，使∑∞+=<12n i pp iεξ，对于),,2,1(n i i Λ=ξ必存在,,,,21n r r r Λ使∑=<-ni ppiir 12εξ，故存在点0210),0,0,,,(E r r r x n ∈=ΛΛ，使ε<),(0x x d ，所以pl 可分得证.③ pl 完备证明 设p n l x ⊂}{为基本列，其中)()(n i n x ξ=，则对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时，有εξξ<-=∑∞=pi p m in im n x x d 11)()()(),(， (1)则当N m n ≥,时，有εξξ<-)()(m i n i ).,,3,2,1(Λ=i (2) 故对每个i ，)(n iξ收敛.现设)(lim n in i ξξ∞→=，)(i x ξ=，下证pl x ∈，且x x pl n →首先由(1)知对任意自然数k 都有p ki pm i n i εξξ<-∑=1)()( ),(N m n ≥，固定,N n ≥让∞→m ，得p ki pin i εξξ≤-∑=1)( )(N n ≥，再令∞→k ，得p i pin i εξξ≤-∑∞=1)(， )(N n ≥，故pl x ∈，x x pl n →，完备性得证.④ 在p l 中定义线性运算如下:：},,,,{2211ΛΛn n y x ηξηξηξ+++=+},,,,{21ΛΛn x αξαξαξα=则p l 按照上述线性运算是一个线性空间.⑤ p l 上的范数 在pl 上令∑∞==11)(n pp nx ξ，则p l 按该范数是一个赋范线性空间.注 pl 是巴拿赫空间.⑥ 在pl 中令2=p ，则2112)(∑∞==n nx ξ满足平行四边形公式，所以2l 中可引进内积使其成为内积空间.对2,l y x ∈，可令__1),(n n ny x ηξ∑∞==.因为2l 是无限维、完备、可分的，所以2l 是可分的希尔伯特空间.但当2≠p 时， p l 不是内积空间.事实上，取pl y x ∈-==),0,,0,1,1(),,0,,0,1,1(ΛΛΛΛ，计算得:2,21=-=+==y x y x y x p从而222222y x yx yx +≠-++3.6 ∞l ={一切有界的数列}① 对任意∞∈==l y x n n ),,,,(),,,,(21,21ΛΛΛΛηηηξξξ，令n n n y x d ηξ-=∞<≤1sup ),(，则∞l按该距离是一距离空间.② ∞l 不可分证明 设}10){(或==i i K ξξ，易知K 不可列，其势为ℵ，且y x K y x ≠∈,,时1=-y x ，若∞l 可分，则存在可列子集}{k y 在∞l 中稠密，我们以K 中之点为中心，31为半径作开球，这种开球所成的类的势为ℵ. 由于∞=l y k _____}{，则每个球中都含有}{k y 中的点，从而至少有一个i y 同属于两个不同的开球，例如同属于)31,(),31,(y S x S ，其中y x K y x ≠∈,,，则32),(),(),(1≤+≤=y y d y x d y x d i i ，矛盾，故∞l 为不可分的. ③ ∞l 完备证明 设}{n x 是∞l 中基本点列，其中},,,,{)()(2)(1ΛΛn i n n n x ξξξ=，则对任意的0>ε，存在N ，当N m n >,时，有εξξ<-=-≥)()(1sup m i n i i m n x x ，故对每个i ，}{)(n i ξ是一个收敛数列，记)(lim n i n i ξξ∞→=．因为对每个i ，当N m n >,时，有εξξ<-)()(m i n i ，固定N n >时，令∞→m ，则得εξξ≤-i n i )( ),,3,2,1(N n i >=Λ，所以,0∞→→-n n x x 且∞∈=l x i )(ξ.④ ∞l 按与pl 中定义的相同线性运算是一个线性空间. ⑤ ∞l 上的范数∞l 按n n x ξ∞<≤=1sup 是一个赋范线性空间．又因为∞l 完备，所以∞l 是巴拿赫空间．⑥ 由于∞l 上的范数不满足平行四边形公式，故其范数不能由内积导出. ∞l 不是内积空间.事实上，取∞∈-==l y x ),0,,0,1,1(),,0,,0,1,1(ΛΛΛΛ，计算得:2,1=-=+==y x y x y x 从而222222y x yx yx +≠-++．3.7 ],[b a C k],{[b a =上具有直到k 阶连续导数的全部函数} ① 对于∈y x ,],[b a C k，令)()(max ),()()(0t y t xy x d j j kj bt a -=∑=≤≤，规定y y x x ==)0()0(,，则],[b a C k 按照该距离是距离空间．证明（i ）显然成立；（ii ）),(),(x y d y x d =成立； （iii ）设∈z y x ,,],[b a C k，则),(),()()(max )()(max )()(max )()(max )()()()()()()()(0)()(0)()()()()()()()()()(y z d z x d t y t z t z t x t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x j j kj bt a j j kj bt a j j bt a j j b t a j j j j j j +=-+-≤-+-≤-+-≤-∑∑=≤≤=≤≤≤≤≤≤所以),(),(),(z y d z x d y x d +≤ 所以],[b a C k按照该距离是距离空间． ② ],[b a C k 可分证明 下面先证多项式全体按上述距离在],[b a C k中稠密． 任取∈)(t x ],[b a C k，0>ε，因为],[)()(b a C t xk ∈，则存在多项式)(t P ，使k k bt a Ak t P t x )1()()(max )(+<-≤≤ε，其中},1max{a b A -=，我们令 )()()()1(1a x du u P t P k ta-+=⎰，一般地，))()(,2,1)(()()(0)(1t P t P k j a x du u P t P j k t a j j ==+=--⎰Λ． 显然有 ),2,1()()()()1()()1(k j a x du u x t x ta j j j Λ=+=⎰--，),,2,1)(()()(k j t P t P j k j k Λ==-，则)(t P k 是一个多项式，且满足ε<))(),((t x t P d k ，从而多项式全体在],[b a C k 中稠密．又因为多项式是可列的，所以],[b a C k是可分的．③ ],[b a C k 按照上述距离是完备的距离空间．证明 设}{n x 是],[b a C k 中的一个基本点列， 则对任意的0>ε，存在0>N ，当N n m >, 时，ε<-n m x x ，即 ε<-∑=≤≤)()(max )()(0t x t x j n j mk j b t a . 因此，对于每个)0(k j j ≤≤，不等式ε<-)()()()(t x t x j n j m ),(N n m >关于],[b a t ∈一致地成立.由古典分析可知，)}({)(t x j n 一致收敛于某个连续函数)0)((k j t y j ≤≤，而且)(1t y j +是)(t y j 的导数)10(-≤≤k j ，由此可得，)(0t y 有直到k 阶的连续导数且)()()(0t y t y j j =.于是}{n x 依],[b a C k 中的范数收敛于0y ，故],[b a C k 完备.④ ],[b a C k 按照与],[b a C 中相同的运算是一个线性空间．⑤ ],[b a C k 上的范数在],[b a C k 上令)(max )(0t xx j k j b t a ∑=≤≤=，则],[b a C k 上按其是一个赋范线性空间．证明 因为（i ）显然成立（ii ）x t x t xx j kj b t a j k j b t a αααα===∑∑=≤≤=≤≤)(max )(max )(0)(0成立 （iii ）yx t y t x t y t x y x j k j b t a j k j b t a j j k j b t a +=+≤+=+∑∑∑=≤≤=≤≤=≤≤)(max )(max )()(max )(0)(0)()(0成立．所以],[b a C k 按照该范数是一个赋范线性空间，又因为],[b a C k 完备，所以],[b a C k是巴拿赫空间． 4 结束语以上讨论总结了几个常见距离空间及其上一些性质．距离空间的距离、构成、性质是分析学不可或缺的基础知识．本文通过几个常见的距离空间的距离的定义、构成、性质等对距离空间做了一定的介绍，使我们对距离空间有了一定了解，对学习分析学有一定的帮助．。
空间距离
专题六 距离空间的基本概念(tou)
----p幂L可积函数空间Lp(E)
1 p
1 p
x(t) y(t) dm x(t) z(t) z(t) y(t) dm x(t ) z (t ) dm z (t ) y (t ) dm
( x, y )
E E
故(x,y)有意义。z=z(t)Lp(E)
2 2
x , y x1 y1 x2 y 2 ----二维空间
x, y x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2--三维空间 n 4）全体n元有序数组集合: R x x1 , x2 ,xn xi R
h h(t ) m( X )
f t g t 1 f t ht 1 ht g t dm 1 f t ht f t ht dm 1 ht g t ht g t dm f t ht ht g t
定义2 (子空间）如果AX，且A按照X中距离(x,y) 也是一个距离空间，则称A为X的子空间. 注: 1）要证集合X是距离空间,只要证明定义在X上的函数满足距
离公理条件。 2）距离空间即定义了距离的集合.（距离空间=集合+距离） 3）要证A是X的子空间,只要证X上的距离对A中任两点都适合
2.常见的几个距离空间 1）直线R,按距离(x,y)=x-y ----一维空间 2）平面R2,按距离
按距离 2 x, y ( a xt y t ) dt 也构成另一距离空间
b
1 2 2
证：z=z(t)C[a,b]，非负性与对称性显然
t[ a ,b ] t[ a ,b ]
按距离 1 x, y xt yt dt 也构成另一距离空间
空间距离
思考题：（1999）如图：已知正四棱柱ABCD-A’B’C’D’ 中，点E在棱DD’上，截面EAC∥D’B，且面EAC与底面 ABCD所成的角为450，AB=a （1）求截面EAC的面积 （2）求异面直线A’B’与AC的距离 D’ A’ E D A B C B’ C’
；
北大医疗儿童发展中心 ；
空间距离求法
一、知识概念
1.距离定义 （1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。 （2）点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的 距离叫这点到这个平面的距离。
（3）两平行直线间的距离
两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的 距离。
（4）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。 （5）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。 （6）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。
P B N
2 21 最后可解得 x 3
例2：菱形ABCD中，∠BAD=600，AB=10，PA⊥平 面ABCD，且PA=5，求： P （1）P到CD的距离 B （2）P到BD的距离 A （3）P到AD的距离 O （4）求PC的中点到 C D E 平面PAD的距离 (1)过P作CD的垂线，交CD 的延长线于E，连AE (2)连BD，交AC于O，连PO
丢过来,不然你就准备一辈子睡在这大山里吧."黑衣人不以为意,冷冷扫过来一眼,寒冷而又狂傲.
空间的距离
[注意] 七种距离密切联系，可以相 互转化. 其中求点到平面的距离是重 点，求两条异面直线间的距离是难点.
二、求距离的一般方法和步骤：
一作——作出表示距离的线段； 二证——证明它就是所要求的距离； 三算——在平面图形内计算其值. 此外，常用体积法求点到平面的距离.
求点到平面的距离： (1) 直接法； (2) 转移法； (3) 体积法；
(4) 设n是平面 的法向量， AB是平面
的一条射线， 其中A ，则
n
点B到平面的距离为 ___A__B___n___ .
求异面直线的距离：
只要求会由定义法求异面直线公垂 线段的长.
1. (2005·湖南) 正方体ABCD
—A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，
则E到平面ABC1D1的距离为
C1
A1
B1
求B1C与BD间的
距离.
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AO B
7、已知ABCD是边长为4的正方形，
E，F分别是AB，AD的中点，GC垂
直于ABCD所在平面，且GC=2，
求点B到平面EFG
G
的距离.
D
C
FK
A
B
E
8、(2003·全国卷) 在直三棱柱ABC—
A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，
ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别
是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD
上的射影是△ABD的重心G.
C1
(1) 求A1B与平面ABD A1 所成角的大小；
D B1 E
(2) 求点A1到平面AED
的距离.
A
K GC B
F
(2005·湖北卷) 如图所示的多面体是由
空间几何的距离与角度解析几何的基本概念
空间几何的距离与角度解析几何的基本概念空间几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的点、线、面等几何对象之间的关系。
在空间几何中，距离和角度是两个基本的概念，它们分别对应了空间中的度量和方向。
本文将从距离和角度两个方面来解析几何的基本概念。
一、距离的概念距离是空间几何中最基本的度量概念之一，它描述了空间中两点之间的远近关系。
在空间几何中，我们可以使用不同的方法来计算两点之间的距离，比如欧氏距离、曼哈顿距离等。
1. 欧氏距离欧氏距离是空间几何中最常用的距离度量方法之一，它是通过计算两点之间的直线距离得到的。
在三维空间中，欧氏距离可以表示为：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是两点的坐标。
2. 曼哈顿距离曼哈顿距离又称为城市街区距离，它是通过计算两点在各个坐标轴上的差值的绝对值之和得到的。
在三维空间中，曼哈顿距离可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1| + |z2 - z1|除了欧氏距离和曼哈顿距离外，还有其他一些距离度量方法，比如切比雪夫距离、闵可夫斯基距离等，它们根据具体的应用场景选择不同的计算方式。
二、角度的概念角度是空间几何中描述方向的基本概念，它用来衡量两条线之间的夹角。
在解析几何中，我们可以通过向量来表示线的方向，并通过向量的点积或叉积来计算两个向量之间的夹角。
1. 点积在三维空间中，两个向量A和B的点积可以表示为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模，θ是两个向量之间的夹角。
2. 叉积在三维空间中，两个向量A和B的叉积可以表示为：A ×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模，θ是两个向量之间的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位向量。
除了点积和叉积，我们还可以使用反余弦函数来计算两个向量之间的夹角。
空间距离
例2：菱形ABCD中，∠BAD=600，AB=10，PA⊥平
面ABCD，且PA=5，求：
P
（1）P到CD的距离
（2）P到BD的距离
B
A
（3）P到AD的距离 （4）求PC的中点到 平面PAD的距离
O
C
DE
(1)过P作CD的垂线，交CD 的延长线于E，连AE
(2)连BD，交AC于O，连PO
例3：如图：已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是 AB、AD的中点，PC垂直平面ABCD，且PC=2，求点B到 平面EFP的距离。
距离。
（4）两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。
（5）直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。
解：设PA，PB分别垂直平面M， 平面N与A、B，PA，PB所确定 的平面为α,且平面α交直线a与Q，
M A
设PQ=x
a
在直角△PAQ中sin∠AQP=1/x
Q
在RT △PBQ中sin ∠AQP=2/x
P
B N
cos600=cos(∠AQP +∠AQP)，由此可得关于x的方程
最后可解得 x 2 21 3
（1）求截面EAC的面积
（2）求异面直线A’B’与AC的距离
D’
C’
A’
B’
Eபைடு நூலகம்
D A
C B
ALCR
空间距离求法
一、知识概念
1.距离定义 （1）点到直线距离
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。
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2）平面R2,按距离 x,y x1 y12 x2 y2 2 ----二维空间
3）空间R3,按距离 x,y x1 y12 x2 y2 2 x3 y3 2--三维空间
4）全体n元有序数组集合: Rn x x1,x2 , xn xi R
n
按距离 1x, y xi yi 2 ----n维欧氏空间
n
xi
zi
2
2
n
zi
yi
2
2
i1
i1
i1
i1
(x, z) (z, y)
(Minkowski不等式(k=2))
5）闭区间[a,b]上的全体连续函数的集合C[a,b]：
Ca,bxt xt是a,b上连续函数
按距离
x,
y
maxta,b来自xtyt----连续函数空间C[a,b]
按距离
10）全体序列集合 S x 1 ,2 , ,n , i R或C
按函数 x, y 1 i i 构成距离空间
i1 2i 1 i i
----序列空间S
证：级数
i1
1 2i
2 x,
y(
b a
xt
1
yt 2 )2
dt
也构成另一距离空间
按距离
1x,
y
b
a
xt
yt
dt
也构成另一距离空间
证：z=z(t)C[a,b]，非负性与对称性显然
x,
y
max
t[ a ,b ]
x(t)
y(t)
max
t[ a ,b ]
x(t)
z(t)
z(t)
y(t)
max
t[ a ,b ]
x(t)
泛函分析基本内容
一、引言
“实数的极限理论”是“数学分析”（即有限维分析） 的基础, 用“极限思想”研究函数是实分析的主要特点。 包括: 1）实数序列的极限概念：xnx (n) 2）函数序列的各种收敛问题: fn(x)f(x)(n) (一致收敛、 处处收敛、几乎处处收敛、近一致收敛、依测度收敛等) 3）函数的极限：f(x)A （xx0 或x）
定义2 (子空间）如果AX，且A按照X中距离(x,y) 也是一个距离空间，则称A为X的子空间.
注: 1）要证集合X是距离空间,只要证明定义在X上的函数满足距
离公理条件。 2）距离空间即定义了距离的集合.（距离空间=集合+距离） 3）要证A是X的子空间,只要证X上的距离对A中任两点都适合
2.常见的几个距离空间 1）直线R,按距离(x,y)=x-y ----一维空间
1) 三大空间：距离空间 线性赋泛空间(巴拿赫空间) 内积空间(希尔伯特空间)
2) 三大空间上的线性算子理论： 距离空间上的连续映射(算子) 巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函、共轭算子 希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子
3) 三大基本定理：汉恩-巴拿赫基本定理， 一致有界定理， 逆算子定理与闭图象定理
1.距离、距离空间及子空间的定义 定义1 （距离与距离空间）设X是任一集合，x,yX, 若 能定义实函数(x,y)，满足距离公理：
1) 非负性： (x,y)0， 2) 对称性： (x,y)=(y, x)， 3) 三角不等式： (x,y)(x,z)+(z,y) (zX) 则称X是距离空间， (x,y)是距离空间X中点x与y的距离
n i1
按距离 2x, y xi yi 也构成距离空间
i 1
按距离
3
x, y
max
1in
xi
yi
也构成距离空间
证：z=(z1,z2,…zn}Rn (或Cn)，i(x,y)0, i(x,y)=i(y,x)
1
1
1
1
1 x, y n
xi yi 2 2 n
xi
zi
zi
yi
2
2
z(t)
max t[a,b]
z(t)
y(t)
(x,
z)
(z,
y)
1x,
y
b
a
xt
yt dt
b
a
xt
z(t)
z(t)
yt dt
b a
xt z(t) dt
b a
z(t)
yt dt
1 ( x,
z)
1 ( z,
y)
6）有界数列全体构成的集合m
m x x1 ,x2 , ,xn , xi kx ,i 1,2
这些“极限”概念的一个共性----“距离”概念的渗透 (仅限于实直线上两点之间的距离)：
|xn-x|0是指xn与x之间的“距离”无限地减小； |fn(x)-f(x)|0是指在x点处两个函数值fn(x)与f(x)之间的 “距离”无限地减小。
|f(x)-A|0是指函数值f(x)与数A之间的“距离”无限 地减小。
二、泛函分析的基本内容
在泛函分析中, 将定义一种更具有一般意义的抽象的 “距离”概念，它将实直线上的“数列的收敛”、“函 数列的收敛”及 “函数的极限”等概念都包括在“按距
离收敛”、“距离函数的极限”等概念之中，并建立起 “距离空间及其极限理论---按距离收敛、距离函数的极 限等”，使我们更容易认识那些“初看起来似乎毫无关 系的某些极限过程”之间的本质联系。
按函数 x, y sup xt yt 构成距离空间
tA
----有界函数空间B(A)
9)任一非空集合X按函数
x,
y
0, x 1, x
y y
构成距离空间 --离散距离空间
注: 在任一非空集合上都可以定义距离函数，使之成为距离空间。 在同一集合中,可以构据需要定义不同的距离函数使之成为不 同的距离空间。
4）不动点理论与最佳逼近理论 5）线性算子谱论初步：线性算子的谱
自共轭算子谱 6）抽象空间的微积分：抽象函数的导算子及微分理论
抽象函数的极值 抽象函数的积分
专题六 距离空间的基本概念
•距离与距离空间的定义 •距离空间的极限理论 •距离空间中的开集、闭集与有界集 •距离空间上的连续映射
一、距离与距离空间的定义
“泛函分析”以“距离空间及其极限理论” 为基础，
综合运用分析、代数和几何的观点和方法，研究了“函 数的函数”、“函数空间”及“各种函数空间之间的关 系”等内容,归属于“无穷维分析”。
泛函分析的主要内容包括: 三大空间及其线性算子理论, 三大基本定理，不动点理论，最佳逼近理论及线性算子 谱论初步，抽象空间的微积分。
按距离函数 x, y sup xi yi ----有界数列空间m
i
7）收敛数列全体构成的集合 c x x1, x2, , xn, xn x0
按距离函数 x, y sup xi yi ----收敛数列空间c
i
（cm c是m的子空间）
8）有界函数集合 BA xtt A, xt M