模运算

模运算

“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

∙中文名模运算

∙外文名Mod

∙概述计算机编写程序

∙领域数论和程序设计

∙类型以纯理论为主

举例

11 Mod 2，值为1

上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理：

Turbo Pascal对mod的解释是这样的：

A Mod B=A-(A div B) *

B （div含义为整除）[1]

概念及性质

本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。

基本概念

给定一个正整数，任意一个整数，一定存在等式；其中、是整数，且

，称为除以的商，为除以的余数。

对于正整数和整数 , ，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。

模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -

3(在java、C/C++中%是取余，在python是模运算，此处%按取余处理)。

基本性质

（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）

结合律：

((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * b*c) % p （6）// (a%p*b)%p=(a*b)%p

交换律：

(a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理：

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则(a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（12）

基本应用

判别奇偶数

奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。易知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n

为偶数，否则n为奇数。

C++实现功能函数：

/*

函数名：IsEven

函数功能：判别整数n的奇偶性。能被2整除为偶数，否则为奇数

输入值：int n，整数n

返回值：bool，若整数n是偶数，返回true，否则返回false

*/

bool IsEven(int n)

{

return !(n%2);

}

判别素数

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。

C++实现功能函数：

/*函数名：IsPrime

函数功能：判别自然数n是否为素数。

输入值：int n，自然数n

返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false*/

#include

bool IsPrime(unsigned n)

{

unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子

for (unsigned i = 2 ; i <= maxFactor ; i++)

{

if (!(n % i)) //n能被i整除，则说明n非素数

return false;

}

return true;

}

最大公约数

求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：

/*函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数

函数名：Gcd

输入值：

unsigned int a，自然数a

unsigned int b，自然数b

返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/

unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)

{

if (b)

return Gcd(b , a % b);

return a;

}

/*函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数

函数名：Gcd

输入值：

unsigned int a，自然数a

unsigned int b，自然数b

返回值：

unsigned int，两个自然数的最大公约数*/

unsigned Gcd(unsigned a , unsigned b)

{

unsigned temp;

while (b)

{

temp = a % b;

a = b;

b = temp;

}

return a;

}