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湖北省武汉市华中师大一附中2018-2019学年高一上期末检测数学试题(无答案)

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2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期中数学试卷

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期中数学试卷

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）A.有两个公共点B.有能组成三角形的三个公共点C.有三个公共点D.有无穷多个公共点2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 1，S4=20，则S6=（）2A.16B.24C.36D.483.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）A. m11B. m1212 -1C. √m11 -1D. √m4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）A. ① ②B. ① ③C. ② ④D. ② ③5.（单选题，5分）数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为（）A. 20714B. 20914C. 21114D. 10676.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）A. 34B. 1116C. √154D. 3√15167.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得√a m a n =4a1，则1m + 4n的最小值为（）A. 32B. 53C. 94D. 2568.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. d＞83B. 83≤d≤3C. 83≤d＜3D. 83＜d≤39.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，b2+b5+b8=6π，则sin b4+b61−a3a7的值是（）A. 12B. −12C. √32D. −√3210.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）A. √104B. 34C. √74D. √6411.（单选题，5分）给出下列命题：① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；③ 若b＜a＜0，则ba + ab＞2；④ 若b＜a＜0，则a2b＜2a-b；⑤ 若b＜a＜0，则2a+ba+2b ＞ab；⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 12．其中正确的命题有（）A.2个B.3个C.4个D.5个12.（单选题，5分）已知a，b∈R，且a是2-b与-3b的等差中项，则ab2|a|+|b|的最大值为（）A. 19B. 29C. 23D. 4313.（填空题，5分）若关于x的不等式ax2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是___ ．14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，下列四个论断正确的是___ （把你认为正确论断的序号都写上） ① 若sinA a = cosBb，则B= π4；② 若B= π4 ，b=2，a= √3 ，则满足条件的三角形共有两个；③ 若a ，b ，c 成等差数列，sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，则△ABC 为正三角形； ④ 若a=5，c=2，△ABC 的面积S △ABC =4，则cosB= 35．16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−12，n 为奇数(12)n 2，n 为偶数，则数列{3a n +n-3}的前2n 项和的最小值为___ ．17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ． （1）求 1x +1y 的最小值； （2）求x+y 的最大值．18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．19.（问答题，12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= √3 b．（1）求角A；（2）已知a=2，求△ABC的面积的取值范围．20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；a n，求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）设b n=a n log1221.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时△OMN的面积最小？最小面积是多少？22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S nn+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若a= 12，c n= a n−1a n+2018，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）两个平面重合的条件是（）A.有两个公共点B.有能组成三角形的三个公共点C.有三个公共点D.有无穷多个公共点【正确答案】：B【解析】：在A中，这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线；在B中，如果两个平行有有能组成三角形的三个公共点，则这两个平面一定重合；在C中，这两个平面可能相交于过这三个公共点的一条直线；在D中，这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一条直线．【解答】：解：在A中，如果两个平面有两个公共点，则这两个平面可能相交于过这两个公共点的一条直线，故A不能确定两个平面重合；在B中，如果两个平面有有能组成三角形的三个公共点，则这两个平面一定重合，故B能确定两个平面重合；在C中，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面可能相交于过这三个公共点的一条直线，故C不能确定两个平面重合；在D中，如果两个平面有无穷多个公共点，则这两个平面可能相交于过这无穷多个公共点的一条直线，故D不能确定两个平面重合．故选：B．【点评】：本题考查两个平面重合的条件的判断，考查空间中两个平面的位置关系的判定定理、性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．，S4=20，则S6=（）2.（单选题，5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1= 12A.16B.24C.36D.48【正确答案】：D【解析】：结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．，S4=20，【解答】：解：∵ a1=12∴S4=2+6d=20，∴d=3，∴S6=3+15d=48．故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．3.（单选题，5分）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（）A. m11B. m1212 -1C. √m11 -1D. √m【正确答案】：D【解析】：先假设增长率为p，再根据条件可得（1+p）11=m，从而可解．11−【解答】：解：由题意，该厂去年产值的月平均增长率为p，则（1+p）11=m，∴ p=√m 1，故选：D．【点评】：本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率问题的函数模型，属于简单题．4.（单选题，5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的投影可能是（）A. ① ②B. ① ③C. ② ④D. ② ③【正确答案】：A【解析】：分析△PAC在该正方体各个面上的投影图形即可．【解答】：解：由正投影知识知，在四个侧面的正投影为图① ，在上、下底面的投影为② ．所以△PAC在该正方体各个面上的投影可能是① ② ．故选：A．【点评】：本题考查了平行投影及平行投影作图法问题，同一图形在不同投影面上的投影可能不同．5.（单选题，5分）数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为（）A. 20714B. 20914C. 21114D. 1067【正确答案】：B【解析】：直接利用数列的通项公式的应用求出结果．【解答】：解：数列1，12，22，13，23，33，…，1n，2n，3n，…，nn，…的前25项和为：T25=1+12+22+13+23+33+…+ 16+26+36+46+56+66+ 17+27+37+47，= 20914故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.（单选题，5分）若三角形ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，cosB=（）A. 34B. 1116C. √154D. 3√1516【正确答案】：B【解析】：由正弦定理可得6a=4b=3c，进而可用a表示b，c，代入余弦定理化简可得答案．【解答】：解：∵6sinA=4sinB=3sinC，由正弦定理asinA =bsinB=csinC．∴由正弦定理可得6a=4b=3c．∴b= 32a，c=2a，由余弦定理可得cosB= a 2+c2−b22ac= a2+4a2−94a22a•2a=114a24a2=1116．故选：B．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，是基础题．7.（单选题，5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得√a m a n =4a1，则1m + 4n的最小值为（）A. 32B. 53C. 94D. 256【正确答案】：A【解析】：由 a7=a6+2a5求得q=2，代入√a m a n=4a1求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】：解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得a1q6=a1q5+2a1q4，∴q2-q-2=0，∴q=2．∵ √a m a n=4a1，∴q m+n-2=16，∴2m+n-2=24，∴m+n=6，∴ 1 m +4n=16(m+n)(1m+4n)=16(5+nm+4mn)≥16(5+4)=32，当且仅当nm= 4mn时，等号成立．故1m +4n的最小值等于32，故选：A．【点评】：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．8.（单选题，5分）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. d＞83B. 83≤d≤3C. 83≤d＜3D. 83＜d≤3【正确答案】：D【解析】：先设数列为{a n}公差为d，则a1=-24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9，进而根据a10＞0，a9≤0求得d的范围．【解答】：解：设数列为{a n}公差为d，则a1=-24；a10=a1+9d＞0；即9d＞24，所以d＞83而a9=a1+8d≤0；即d≤3所以83＜d≤3故选：D．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．9.（单选题，5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=-8，b2+b5+b8=6π，则sin b4+b61−a3a7的值是（）A. 12B. −12C. √32D. −√32【正确答案】：C【解析】：分别运用等差数列和等比数列的性质，结合三角函数的诱导公式，计算可得所求值．【解答】：解：数列{a n}是等比数列，若a1•a5•a9=-8，由a1a9=a52，即有a53=-8，可得a5=-2，则a3a7=a52=4，数列{b n}是等差数列，若b2+b5+b8=6π，由b2+b8=2b5，即有3b5=6π，即b5=2π，b4+b6=2b5=4π，则sin b4+b61−a3a7 =sin 4π1−4=-sin 4π3=sin π3= √32，故选：C．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.（单选题，5分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC=a，点M 在线段AB上，且∠ACM=∠BCM．若b=6CM=6，则cos∠BCM=（）A. √104B. 34C. √74D. √64【正确答案】：B【解析】：运用正弦定理可得B= π2，设∠ACM=∠BCM=α，由S△ABC=S△ACM+S△BCM，运用三角形的面积的公式，化简整理，结合a=cosα，解方程即可得到所求值．【解答】：解：bcosC=a，由正弦定理可得sinBcosC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，即有cosBsinC=0，由sinC＞0，可得cosB=0，由0＜B＜π，可得B= π2，设∠ACM=∠BCM=α，由S△ABC=S△ACM+S△BCM，且b=6CM=6，可得12•6asin2α= 12•6•1•sinα+ 12asinα，即为12acosα=6+a，在直角三角形BCM中，a=cosα，则12cos2α-cosα-6=0，解得cosα= 34或- 23（舍去），故选：B．【点评】：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）给出下列命题：① 若b＜a＜0，则|a|＞|b|；② 若b＜a＜0，则a+b＜ab；③ 若b＜a＜0，则ba + ab＞2；④ 若b＜a＜0，则a2b＜2a-b；⑤ 若b＜a＜0，则2a+ba+2b ＞ab；⑥ 若a+b=1，则a2+b2≥ 12．其中正确的命题有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【正确答案】：D【解析】：利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．【解答】：解： ① ∵b ＜a ＜0，∴|b|＞|a|，故 ① 不正确； ② ∵b ＜a ＜0，∴ab ＞0，∴a+b ＜ab ，故 ② 正确； ③ ∵b ＜a ＜0，∴ a b＞0，b a＞0 ，∴ b a+ a b＞2，故 ③ 正确； ④ ∵b ＜a ＜0，∴a 2+b 2＞2ab ，∴a 2＞b （2a-b ），∴a 2b＜2a −b ，故 ④ 正确；⑤ ∵b ＜a ＜0，∴b 2+2ab ＞a 2+2ab ，∴b （2a+b ）＞a （a+2b ），∴ 2a+ba+2b ＞ ab ，故 ⑤ 正确； ⑥ ∵ a 2+b 2≥(a+b )22，a+b=1，∴a 2+b 2≥ 12 ，当且仅当a=b= 12时取等号，故 ⑥ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题．12.（单选题，5分）已知a ，b∈R ，且a 是2-b 与-3b 的等差中项，则 ab2|a|+|b| 的最大值为（ ） A. 19 B. 29 C. 23 D. 43【正确答案】：A【解析】：若 ab2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号，由条件可得 ab2|a|+|b| = ab2a+b = a (1−2a )b2−3b（0＜b ＜ 12 ）然后令t=2-3b ，换元后用基本不等式求出最大值即可．【解答】：解：由a 是2-b 与-3b 的等差中项，得2a=2-b-3b ，即a+2b=1． 若 ab 2|a|+|b| 取得最大值，则a ，b 同号， 不妨取a ，b 均大于0，∴当 ab2|a|+|b| 取得最大值时， ab2|a|+|b| = ab2a+b = a (1−2a )b 2−3b （0＜b ＜ 12）． 令t=2-3b ，则b= 2−t 3 （ 12＜t ＜2）， ∴ ab2|a|+|b| = 19 •−2t 2+5t−2t = 59−29(t +1t ) ≤ 59−29•2√t •1t =19 ．当且仅当t= 1t ，即t=1，也就是a=b= 13 时上式“=”成立． ∴ ab2|a|+|b| 的最大值为 19 ． 故选：A ．【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想方法，训练了利用换元法求最值，属中档题．13.（填空题，5分）若关于x 的不等式ax 2+3x+a≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，- 32 ）【解析】：讨论a=0和a≠0时，利用判别式列不等式组求出a 的取值范围．【解答】：解：a=0时，不等式ax 2+3x+a≥0化为3x≥0，解得x≥0，解集不是空集，不满足题意；a≠0时，应满足 {a ＜0△＜0 ，即 {a ＜09−4a 2＜0 ，解得a ＜- 32 ；所以实数a 的取值范围是（-∞，- 32 ）． 故答案为：（-∞，- 32 ）．【点评】：本题考查了不等式解集的判断问题、不等式的解法，是基础题．14.（填空题，5分）有一块多边形的花园，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形ABCD ，其中∠ABC=45°，AB=AD=2米，DC⊥BC ，则这块花园的面积为___ 平方米．【正确答案】：[1] 8+2√2【解析】：求出直观图中，DC ，BC ，S 梯形ABCD ，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是2 √2 ，求出平面图形的面积．【解答】：解：DC=ABsin 45°= √2，BC=ABsin 45°+AD= √2 +2，S梯形ABCD= 12（AD+BC）DC= 12（2+ √2+ 2）× √2 =2 √2 +1，这块花园的面积S=√2S梯形ABCD=8+2 √2．故答案为：8+2 √2．【点评】：本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列四个论断正确的是___ （把你认为正确论断的序号都写上）① 若sinAa = cosBb，则B= π4；② 若B= π4，b=2，a= √3，则满足条件的三角形共有两个；③ 若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形；④ 若a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC=4，则cosB= 35．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案．【解答】：解：对于① ：由正弦定理：asinA =bsinB，可得cosBsinA=sinBsinA，即cosB=sinB，0＜B＜π，∴B= π4．① 对．对于② ：由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB，即c2- √6 c-1=0，可得c= √6+√102，三角形只有1个；∴ ② 不对．对于③ ：a，b，c成等差数列，即2b=a+c，sinA，sinB，sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．正弦定理，可得b2=ac．∴△ABC为正三角形；∴ ③ 对．对于④ ：a=5，c=2，△ABC的面积S△ABC= 12 acsinB=4，即sinB= 45，∵ √22＜45＜√32，∴ 2π3＜B ＜3π4或π4＜B＜π3．∴cosB= ±35．④ 不对故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断．属于中档题．16.（填空题，5分）已知数列{a n }的通项公式为 a n ={(12)n−12，n 为奇数(12)n2，n 为偶数，则数列{3a n +n-3}的前2n 项和的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12)k，k∈N *．可得数列{3a n +n-3}的前2n 项和=3[1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n−1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n]-2-1-0+1+……+（2n-3），利用单调性即可得出．【解答】：解：由题意可得：a 2k-1= (12)k−1 ，a 2k = (12)k，k∈N *．∴数列{3a n +n-3}的前2n 项和=3[1+ 12 + (12)2 +……+ (12)n−1 + 12 + (12)2 +……+ (12)n]-2-1-0+1+……+（2n-3） =3×[1−(12)n 1−12+12(1−12n )1−12]+2n (−2+2n−3)2=9（1- 12n ）+2 (n−54)2 - 258 =f （2n ）．n∈N *．可知f （2n ）单调递增，∴最小值为f （2）=9× 12 -3= 32 ． 故答案为： 32【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知x ，y∈R +，且x 2+y 2=x+y ． （1）求 1x +1y 的最小值； （2）求x+y 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1） 1x+1y =x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2 ；（2）由重要不等式可得2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2，则2（x+y ）≥（x+y ）2，解出即可．【解答】：解：（1）∵x ，y∈R +，x 2+y 2=x+y ∴ 1x +1y =x+y xy=x 2+y 2xy≥2xy xy=2 ，当且仅当x 2+y 2=x+y 且x=y 即x=y=1时取等号， ∴求 1x +1y 的最小值为2； （2）∵x 2+y 2≥2xy∴2x 2+2y 2≥x 2+2xy+y 2=（x+y ）2 又∵x 2+y 2=x+y ∴2（x+y ）≥（x+y ）2 即0≤x+y≤2右边取等条件为 {x ，y ∈R +x 2+y 2=x +y x =y 即x=y=1∴x+y 的最大值为2．【点评】：本题主要考查重要不等式和基本不等式的应用，要注意取等条件，属于基础题． 18.（问答题，12分）如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CC 1、C 1D 1的中点．（1）判断直线EF 与GH 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）法一：取CD 的中点I ，推导出CF ∥=12 EI ，在平面ABCD 中，延长EF 与DC必交于C 右侧一点P ，且PC=CI ，同理，在平面CC 1D 1D 中，延长HG 与DC 必交于C 右侧一点Q，且QC=CI，由P与Q重合，得到直线EF与GH相交．法二：推导出EBC1H是平行四边形，从而EH ∥= BC1，再由FG ∥=12BC1，得EH || FG，EH≠FG，由此能推导出直线EF与GH相交．（2）推导出ACC1A1是平行四边形，AC || A1C1，EF || AC，从而EF || A1C1，A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，再由△A1C1D为等边三角形，能求出由直线A1D与EF所成的角的大小．【解答】：解：（1）解法一：取CD的中点I，∵E、F、I分别是正方形ABCD中AB、BC、CD的中点，∴CF ∥=12EI，∴在平面ABCD中，延长EF与DC必交于C右侧一点P，且PC=CI同理，在平面CC1D1D中，延长HG与DC必交于C右侧一点Q，且QC=CI，∴P与Q重合进而，直线EF与GH相交．解法二：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、H分别是AB、C1D1的中点，∴EB ∥=12CD ∥=HC1，∴EBC1H是平行四边形，∴EH ∥=BC1，又∵F、G分别是BC、CC1的中点，∴FG ∥=12BC1，∴EH || FG，EH≠FG，∴EF、GH是梯形EFGH的两腰，∴直线EF与GH相交．（2）解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥=CC1，∴ACC1A1是平行四边形，∴AC || A1C1，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF || AC，∴EF || A1C1，∴A1D与EF所成的角即为A1D与A1C1所成的角，∴A1D与EF所成的角即为∠DA1C1及其补角中的较小角，又∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△A1C1D为等边三角形∴∠DA1C1=60°，∴由直线A1D与EF所成的角为60°．【点评】：本题考查两直线位置关系的判断，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，12分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB= √3 b ． （1）求角A ；（2）已知a=2，求△ABC 的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理进行转化求解即可（2）结合三角形的面积公式求出面积的表达式，求出角的范围结合三角函数的有界性进行求解即可．【解答】：解：（1）由2asinB= √3 b 得2sinAsinB= √3 sinB 又∵sinB ＞0，sinA= √32 ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴A= π3 ； （2）由正弦定理得2R= asinA = √3∴S △ABC = 12 bcsinA= 12 （2RsinB ）（2RsinC ）sinA= √3 sinBsinC= √3 cos （2B- 2π3 ）+ √3又∵△ABC 是锐角三角形，A= π3 ， ∴ {0＜B ＜π20＜2π3−B ＜π2 ，即 π6 ＜B ＜ π2 ， ∴2B - 2π3 ∈（- π3 ， π3 ）， ∴cos （2B- 2π3）∈（ 12，1]，△ABC 的面积的取值范围（2√33， √3 ]． 【点评】：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及三角形的面积公式进行化简是解决本题的关键．20.（问答题，12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【正确答案】：【解析】：（I ）根据a 3+2是a 2，a 4的等差中项和a 2+a 3+a 4=28，求出a 3、a 2+a 4的值，进而得出首项和a 1，即可求得通项公式；（II ）先求出数列{b n }的通项公式，然后求出-S n -（-2S n ），即可求得的前n 项和S n ．【解答】：解：（I ）设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项∴2（a 3+2）=a 2+a 4代入a 2+a 3+a 4=28，得a 3=8∴a 2+a 4=20∴ {a 1q +a 1q 3=20a 3=a 1q 2=8∴ {q =2a 1=2 或 {q =12a 1=32 ∵数列{a n }单调递增∴a n =2n（II ）∵a n =2n∴b n = 2n •log 122n =-n•2n∴-s n =1×2+2×22+…+n×2n ①∴-2s n =1×22+2×23+…+（n-1）×2n +n2n+1 ②∴ ① - ② 得，s n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2【点评】：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．21.（问答题，12分）如图，某镇有一块空地△OAB，其中OA=2km，OB=2√3km，∠AOB=90°．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．（1）当AM=1km时，求防护网的总长度；（2）为节省资金投入，人工湖△OMN的面积要尽可能小，设∠AOM=θ，问：当θ多大时△OMN的面积最小？最小面积是多少？【正确答案】：【解析】：（1）在△OAB中求出∠OAB=60°，在△OAM中，由余弦定理得OM2=22+12-2×2×1×cos60°=3即OM=√3，再求出∠AOM=30°则△OAN为正三角形，其周长为6km（2）在△OAM中求出OM=√3sin(120°−θ)，在△OAN中，求出ON=√3cosθ，写出面积表达式，从而得出θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−3√3)km2【解答】：解：（1）∵在△OAB中，OA=2，OB= 2√3，∠A0B=90°，∴∠OAB=60°．又∵在△OAM中，OA=2，AM=1，∴由余弦定理得OM2=22+12-2×2×1×cos60°=3，即OM=√3，∴OM2+AM2=OA2即OM⊥AN．∴∠AOM=30°∴△OAN为正三角形，其周长为6km．∴防护网的总长度为6km．……………………………………………………………………（5分）（2）由题得0°＜θ＜60°在△OAM中，OMsin60°=2sin(120°−θ)，即OM=√3sin(120°−θ)；在△OAN中，ONsin60°=2sin[180°−(θ+30°+60°)]即ON=√3cosθ；∴ S△OMN=12•OM•ON•sin∠MON = 12•√3sin(120°−θ)•√3cosθ•sin30° =2sin(120°−2θ)+√3．又∵0°＜θ＜60°，即0°＜120°-2θ＜120°，∴当且仅当120°-2θ=90°，即θ=15°时，△OMN的面积取最小值为(6−3√3)km2．………………………………………………（12分）【点评】：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及三角函数求最值．考查了学生的数学建模思想，以及运算能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知常数a≠0，数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n= S nn+a（n-1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=3n+（-1）n a n，且数列{b n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若a= 12，c n= a n−1a n+2018，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得c k=c p c q？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得：na n=S n+na（n-1）．利用递推关系、等差数列的通项公式．（2）由即（-1）n[1+a（2n-1）]＜3n，对n分类讨论，利用单调性即可得出．（3）由（1）．假设对任意k∈N*，总存在正整数p、q，使c k=c p c q，可得．令q=k+1，或q=2k，即可得出．【解答】：解：（1）∵a n= S nn+a（n-1）．∴na n=S n+an（n-1），∴（n-1）a n-1=S n-1+a （n-1）（n-2），相减得na n -（n-1）a n-1=a n +2a （n-1），即（n-1）a n -（n-1）a n-1=2a （n-1），其中n≥2，∴a n -a n-1=2a 为定值，∴{a n }是以2为首项2a 为公差的等差数列，∴a n =2+（n-1）2a=2a （n-1）+2；方法二：∵a n = S n n +a （n-1）．∴S n -S n-1= Sn n +a （n-1）， ∴ (n−1)S n n -S n-1=a （n-1），其中n≥2，∴ S n n - S n−1n−1 =a 为定值，∴{ S n n }是以2为首项a 为公差的等差数列，∴ S n n =2+（n-1）a∴a n = Sn n +a （n-1）=2a （n-1）+2； （2）由{b n }是单调递增数列，得b n ＜b n+1即3n +（-1）n [2a （n-1）+2]＜3n+1+（-1）n+1（2an+2），即（-1）n a ＜ 3n −(−1)n ×22n−1， 1°若n 为正奇数则-a ＜ 3n +22n−1 在n 为正奇数时恒成立，设f （n ）= 3n +22n−1， 则f （n ）-f （n+2）= 3n +22n−1 -3n+2+22n+3 =- 4[(4n−3)•3n −2](2n−1)(2n+3) ＜0， ∴f （1）＜f （3）＜f （5）＜…，∴-a ＜f （1）=5即a ＞-5，方法二：则f （n ）-f （n+1）= 3n +22n−1 -3n+1+22n+1=- 4[(n−1)3n −1](2n−1)(2n+1) ， 它在n=1时为正，在n≥2为负，∴f （1）＞f （2）＜f （3）＜f （4）＜f （5）＜…∴-a ＜min{f （1），f （3）}=min{5， 295 }=5即a ＞-5，2°若n 为正偶数，则a ＜ 3n −22n−1 在n 为正偶数时恒成立，设g （n ）= 3n −22n−1 ，∴g （n+2）-g （n ）= 3n+2−22n+3 - 3n −22n−1 = 4[(4n−3)3n +2](2n+1)(2n+3) ＞0， ∴g （2）＜g （4）＜g （6）＜…，∴a ＜g （2）= 73 ，方法二：则g （n+1）-g （n ）= 3n+1−22n+1 - 3n −22n−1 4[(n−1)3n +1](2n−1)(2n+1) ＞0， ∴g （1）＜g （2）＜g （3）＜g （4）＜…，∴a ＜g （2）= 73 ，综合1°2°及a≠0得-5＜a ＜ 73 且a≠0；（3）由（1）得a n =n+1，∴c n = n n+2009 ，∴c k =c p c q 可化为k k+2019 = p p+2019 • q q+2019 ， 方法一：即p= k (q+2019)q−k = 1×(kq+2019k )q−k = k (q+2019)q−k， 令 {q −k =1p =kq +2019k 得 {p =k 2+2020k q =k +1（或令 {q −k =k p =q +2019 得 {p =2k +2019q =2k，或交换前两组p ，q 的值，能够确定的有四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为得 {p =k 2+2020k q =k +1， 方法二：即pq-kp-kq=2019k 即（p-k ）（q-k ）=k （k+2019）=1×（k 2+2019k ）=k×（k+2019），令 {p −k =1q −k =k 2+2019k 即 {p =k +1q =k 2+2020k， （或令 {p −k =k q −k =k +2019 即 {p =2k q =2k +2019，或交换前两组p ，q 的值，共能确定四组）， ∴存在满足要求的p ，q ，且有一组值为即 {p =k +1q =k 2+2020k ．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期十一月月度检测数学试卷

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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期十一月月度检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．已知直线:20
l mx y m
-++=和圆22
-+-=相交于M，N两点，则下列说
C x y
:(1)(2)9
法正确的是（）
A．直线l过定点(1,2)
-
A ．点n D 的纵坐标为
213
n +B ．点1D ，2D ，3D ，…，n D 均在曲线28199
y x =
+上C ．长方形n n n OB D C 的面积为
(1)(21)
6
n n n ++D ．第10个倒“L ”形的面积为100
对于C ，当G 落在直线BD 面ABD 所成角，即FEM Ð所以3tan 23
FM FEM EM Ð==余弦最大为63
，故C 正确；
对于D ，如图，连接,EC EB 设平面a 交正四面体ABCD
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题B
称性求解；D选项，关键是
12．0.7/7
10
【分析】先由题意分别求出第一天入住无人酒店和第一天入住常规酒店。

湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案

湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案

华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．已知A ＝{3-，0，1 }，B ＝{4-，3-，1}，则A ∪B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．312．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．(0, 1)C ．(3,1)-D ．((3),(1))f f - 4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A．B ．6C ．D ．3+5．函数(f x（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[0，2]D ．[2，4]6．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a a -+-≤++∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．01a <<C ．12a <<D ．1a <-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x > 的解集为（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是 （ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 10．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0ab >”是“0ab>”的充要条件． B．函数y =2．C ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤” ． D ．若函数21y x ax =-+有负值，则实数a 的取值范围是2a >或2a <-．11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为增函数D ．()f x 为减函数12．设定义域为R 的函数1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 < x 2 < x 3．下列说法正确的是 （ ）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若AB B =，则实数a 的取值集合为____________．14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．16．已知函数2()=x ax a f x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合26{||1|2}{|1}4x A x x B x x -=-≤=<-，，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且. （1）求A B -；（2）求B A -．18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<.命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f = （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使2(1)(1)0f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)()f x x a x a =-++∈R ．（1）若对于任意[1,2]x ∈，恒有2()2f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[0, 2]上的最大值()g a ．21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[a , b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a , b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合2{(,)|()}{(,)|}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．高一年级数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C 二、多选题9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD 三、填空题13．{-1,0,2} 14．3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦15．二 16．12a ≤-或1a ≥四、解答题17．解：{||1|2}{|13}A x x x x =-≤=-≤≤， (2)分26{|1}{|24}4x B x x x x -=<=<<- (4)分（1）{|12}A B x x -=-≤≤ (7)分（2）{|34}B A x x -=<< (10)分18．解：()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦，()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. (2)分∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆. (3)分① 当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意； (5)分② 当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，则212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩ ∴12a <≤. (8)分③ 当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，则213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<. (11)分综上所述，实数a 的取值范围是1[,1)(1,2]2. (12)分19．（1）解法一：因为函数()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，则()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得012n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩， (2)分经检验2m =，0n =时，()221xf x x =+是定义在[1,1]-上的奇函数. (3)分法二：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2211mx n mx nx x -+--=++，则0n =，所以()21mxf x x =+，又因为()11f =，得2m =，所以2m =，0n =. ………………3分设12,[1,1]x x ∀∈-且12x x <，则()()22121221211212222222121212222(1)2(1)2()(1)11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++1211x x -≤<≤ 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ∴->-<++>()()120f x f x ∴-< ()()12f x f x ∴< ()f x ∴在[1,1]-上是增函数 (6)分（2）由（1）知()221xf x x =+，()f x 在[1,1]-上是增函数， 又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由()()2110f a f a -+-<，得()()211f a f a -<-， (7)分2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， (10)分即2020221a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-<<⎩，解得01a ≤<． 故实数a 的取值范围是[0，1)． (12)分20．（1）解法一：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分构造函数()23(1)g x x a x =-+，其中[]1,2x ∈，则()max0g x ≤，即()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，…… 4分 即3(1)0122(1)0a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得5a ≥，因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞.………………6分解法二：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分max 1(3)6a x ∴+≥= (5)分因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞. (6)分（2）()()22211(1)24a a f x x a x x ++⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭． 2a ≥ 102a +∴> (7)分①当122a +<，即23a ≤<时，函数()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； (9)分②当122a +≥，即3a ≥时，()y f x =在[0, 2]上单调递增，此时()()222g a f a ==-．………………11分 综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩． (12)分21．（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则72163006400144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤， ………………2分161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=， ………………4分 当且仅当16x x =，即x = 4时等号成立． ………………5分故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分（2）由题意可得161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[3,6]x ∈恒成立． 故2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立， ………………8分令1x t +=，22(4)(3)961x t t x t t++==+++，[4,7]t ∈． 又96y t t =++在[4,7]t ∈为增函数，故min 494y =. ………………11分所以a 的取值范围为49(0,)4． (12)分22．（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴(0)0g =又当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+所以，当(,0)x ∈-∞时，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩ (3)分 （2）设0a b <<，∵()g x 在(0,)+∞上递单调递减，2()32()3g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根． ∵0a b << ∴12a b =⎧⎨=⎩ ∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]． ………………6分 （3）设[a , b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a b b a <⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号． 当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．[1,2]3,()[2,1]3,h x x x x x -+∈⎧⎨----∈∴=⎩ (8)分依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程23x m x +=-+在[1,2]内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=--，在[2,1]--内恰有一个实数.由方程23x m x +=-+，即230x x m ++-=在[1,2]内恰有一根，令2()3F x x x m =++-，则(1)10(2)30F m F m =-≤⎧⎨=+≥⎩，解得31m -≤≤；由方程23x m x +=--，即230x x m +++=在[2,1]--内恰有一根，令2()3G x x x m =+++，则(1)30(2)50G m G m -=+≤⎧⎨-=+≥⎩，解得53m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值集合为{3}-． ………………12分（用图象法解答也相应给分）。

湖北省华中师范大学一附中2022-2023学年高二上学期期末数学试题

湖北省华中师范大学一附中2022-2023学年高二上学期期末数学试题

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1华中师大一附中2022-2023学年度上学期高二期末检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个诜项中，只有一项是特合题目要求的.1. 抛物线的焦点坐标为 22y x =A. B.C.D.(1,0)1(,0)21(0,41(0,)8【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线标准方程，可求得p ，进而求得焦点坐标． 【详解】将抛物线方程化为标准方程为 ，可知212x y =14p =所以焦点坐标为 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭所以选D【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题．2. 直线，则“”是“”的（ ）条件 ()12:10,:210l ax y l a x ay +-=--+=2a =-12//l l A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.a 【详解】若，则，12//l l ()()212,20a a a a a ⨯-=⨯-+-=解得或，1a =2a =-当时，和的方程都是，两直线重合，不符合题意. 1a =1l 2l 10x y +-=经验证可知，符合.2a =-所以“”是“”的充要条件. 2a =-12//l l 故选：C3. 设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） {}n a n n S 32127S a a =+q A. 2或 B. 3C. 2D.3-3-【答案】B【解析】【分析】根据已知条件列方程求得. q 【详解】依题意， 32127S a a =+即，1232132127,6a a a a a a a a ++=+=+，依题意，21116a q a q a =+10a >所以，由于，故解得. 260q q --=0q >3q =故选：B4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） {}n a n n S 1472,22a a a =+=19S =A. 380 B. 200C. 190D. 100【答案】A 【解析】【分析】求得等差数列的公差，进而求得 {}n a 19S 【详解】设等差数列的公差为， {}n a d 则， 1294922,2a d d d +=+==所以. 19191819223802S ⨯=⨯+⨯=故选：A5. 若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方()222210,0y x a b a b -=>>y x =()程为（ ）A.B.22168y x -=22186y x -=C.D.22134y x -=22143y x -=【答案】C 【解析】【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，由此可得结果. a =()22,b a【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，，即， a y x b =±a b ∴=a =则双曲线方程可化为：，由双曲线过点，2222413y x b b-=()，解得：，，双曲线方程为：. 2236813b b ∴-=24b =23a ∴=∴22134y x -=故选：C.6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为4，若该塔形几何体是由7个正方体构成，则该塔形的表面积（含最底层的正方体的底面面积）为（ ）A. 127B.C. 143D. 159【答案】D 【解析】【分析】分析各层正方体的边长，利用等比数列的前n 项和公式即可求解． 【详解】不妨设由下到上各层正方形的边长为， n a由题意知，是首项为4的等比数列，所以，{}n a 14n n a -=⨯各层正方形的面积为， 2151116()=()22n n n a --=⨯所以该塔形几何体的表面积为， 2322464(222)159S -=⨯++++= 故选：D ．7. 已知椭圆和点，直线与椭圆交于两点，若四边形为平行四边22:182x y C +=()2,1P -l C ,A B OAPB 形，则直线的方程为（ ） l A. B. 5202x y --=3202x y +-=C. D.220x y --=220x y +-=【答案】C 【解析】【分析】先求得直线所过点，然后利用点差法求得直线的斜率，进而求得正确答案.l l 【详解】由于，所以在椭圆上， ()2212182-+=P C 设的中点为，则，则直线过点，且是的中点， OP D 11,2D ⎛⎫-⎪⎝⎭AB D D AB 设，则：，()()1122,,,A x y B x y 222211221,18282x y x y +=+=两式相减并化简得，121212122184y y y y x x x x +-⋅=-=-+-所以，即直线的斜率为， 12121212111,242y y y y x x x x ---⋅=-=--AB 12所以直线也即直线的方程为. AB l ()111,22022y x x y +=---=故选：C8. 已知双曲线，直线过坐标原点并与双曲线交于两点（在第一象()2222:10,0x y C a b a b-=>>l ,P Q P 限），过点作的垂线与双曲线交于另一个点，直线交轴于点，若点的横坐标为点横坐标P l A QA x B B Q 的两倍，则双曲线的离心率为（ ） A. B.C.D.1【答案】C 【解析】【分析】设，，根据垂直关系及坐标可得直线的方程，联立可():0PQ y kx k =≠(),P t kt ,B Q ,AP AQ 求得点坐标，代入双曲线方程中，结合在双曲线上，可化简整理得到，由离心率A P 22b a =e =可求得结果.【详解】由题意知：直线斜率存在且不为零，则可设直线， PQ ():0PQ y kx k =≠设，则，，(),P t kt (),Q t kt --()2,0B t -，，则直线， AP PQ ⊥ 1AP k k ∴=-()1:AP y kt x t k-=--又，直线，2AQ BQ kt k k k t t ===--+∴1:2AQ x y t k=--由得：，即， ()112y kt x t k x y t k ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩()22223131k t t x k kt k y k ⎧+=-⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩()()2222313,11t k kt k A k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭在双曲线上，，A C ()()()()2222222222222313111t k k t k a k b k ++∴-=--又在双曲线上，即，， P C 222221t k t a b -=222222a b t b a k∴=-，()()()()()()22222222222222222313111b k a k k kb a kkb a k++∴-=----即，()()()()2222222222222231311b k a k k k b a k k +-+=---， ()()()()2222222222231131b k k a k k k ⎡⎤⎡⎤∴+--=+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又，，()()2422228888b k k a k k +=+0k ≠22b a ∴=双曲线离心率∴c e a ===故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题；解题关键是能够通过两直线方程联立的方式，求得点坐标，从而根据点在双曲线上构造方程，化简整理得到之间的关系.A A ,a b 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（ ）{}n a n n S 10a >0d ≠59S S =A. 是数列中的最大项B. 是数列中的最大项 7S {}n S 7a {}n aC.D. 满足的的最大值为140S =0n S >n 13【答案】ACD 【解析】【分析】由得出，代入与，对选项依次判断即可. 59S S =1132a d =-n a n S 【详解】∵，∴，∴，∴， 59S S =1154985922a d a d ⨯⨯+=+11302a d =->0d <∴， ()()113151122n a a n d d n d n d ⎛⎫=+-=-+-=- ⎪⎝⎭， ()()()211113142222n n n n n d S na d dn d n n --=+=-+=-对于A ，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列()()221474922n d d S n n n ⎡⎤=-=--⎣⎦0d <7n =n S 7S 中的最大项，故选项A 正确；{}n S 对于B ，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B 错10a >0d <{}n a {}n a 1a 误；对于C ，，故选项C 正确； ()21414141402dS =-⨯=对于D ，∵，∴，解得， 0d <()()21414022n d dS n n n n =-=->014n <<∵，∴满足的的最大值为，故选项D 正确. *n ∈N 0n S >n 13故选：ACD.10. 设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条22:(1)(1)3C x y -+-=:3430,l x y P ++=l P C 切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） PA PB ､,A B M N ､､A. 的取值范围为 PA [)1,+∞B. 四边形PACBC. 满足的点有两个60APB ∠=o PD. CAB △【答案】AC 【解析】【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C ，根据三角形的面积公式可求解D.【详解】圆心到直线的距离，(1,1)C :3430l x y ++=2d所以，因为圆的半径为，2PC d ≥=r =，1≥当时取得等号，PC l ⊥所以的取值范围为，A 正确； PA [)1,+∞因为，PA AC ⊥所以四边形的面积等于，PACB 2PAC S PA AC ⨯=⨯=△四边形B 错误； PACB 因为，所以，60APB ∠=o 30APC ∠=在直角三角形中，，所以 APC 1sin 302AC CP == CP =设，因为， 33(,)4a P a +-CP ==整理得，225101270a a +-=则有，所以满足条件的点有两个，C 正确； 100127000∆=+>P 因为 13sin sin 22CAB S CA CB ACB ACB =∠=∠△所以当，即，面积有最大值为， sin 1ACB ∠=90ACB ∠= 32此时四边形为正方形，则，满足要求，PACB 2PC ==>故D 错误， 故选:AC.11. 数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（ ）{}n a 21n n n a Aa Ba ++=+*N ,,n A B ∈A. 若，则数列是周期为6的数列 1,1A B ==-{}n aB. 对任意的非零常数，数列不可能为等差数列 ,A B {}n aC. 若，则数列是等比数列3,2A B ==-{}1n n a a +-D. 若正数满足，则数列为递增数列 ,A B 121,0,A B a a B +==={}2n a 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得，进而可得，即可判断； 3n n a a +=-6n n a a +=对于B ，举反例，此时为等差数列，即可判断；2,1A B ==-{}n a 对于C ，由题意可得，，只有当时，数列才是以2112()n n n n a a a a +++-=-*N n ∈10n n a a +-≠{}1n n a a +-2为公比的等比数列，即可判断；对于D ，由题意可得，求得，进而可得，只211()n n n n a a B a a ++++=+22211n n B S B B -=⋅-222(1)1n n B B a B-=-需判断-是否成立即可判断.2(1)n a +20n a >【详解】解：对于A ，因为，所以，， 1,1A B ==-21n n n a a a ++=-*N n ∈所以，， 32111n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=--=-*N n ∈所以， 6(3)33n n n n a a a a ++++==-=*N n ∈所以数列是周期为6的数列，故正确；{}n a 对于B ，当时，则有，， 2,1A B ==-212n n n a a a ++=-*N n ∈即有，， 212n nn a a a +++=*N n ∈由等差中项的性质可知为等差数列，故错误；{}n a 对于C ，当时，，， 3,2A B ==-2132n n n a a a ++=-*N n ∈即有，，2112()n n n n a a a a +++-=-*N n ∈当时，数列是以2为公比的等比数列，故错误； 10n n a a +-≠{}1n n a a +-对于D ，因为正数满足，,A B 121,0,A B a a B +===所以101A B B =->⇔>所以，， 211(1)n n n n n a Aa Ba B a Ba +++=+=-+*N n ∈所以，， 211()n n n n a a B a a ++++=+*N n ∈设数列前项和为，n n S 则有=，242(1)2123421212()()()()[1]n n n n S a a a a a a a a B B B--=++++++=+++++ 2211nB B B -⋅-*N n ∈所以，， 2122122111n n n B B B S B B B----=⋅=--*N n ∈所以，， 2212222122(1)11n n n n n n B B B B a S S B B+---=-==--*N n ∈所以，， 2(1)2(1)2(1)1n n B B a B++-=-*N n ∈所以==，， ()21n a +-2n a ()()21211n B B B +---22(1)1n B B B --2222(1)(1)(1)01n n B B B B B B-⋅-=->-*N n ∈所以数列为递增数列，故正确. {}2n a 故选：AD .12. 已知抛物线的焦点为，直线过焦点分别交抛物线于点2:2E y x =F ,AB CD F E ，其中位于轴上方，且直线经过点，记()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,A C x BC 1,04⎛⎫⎪⎝⎭的斜率分别为，则下列正确的有（ ）,BC AD ,BC AD k k A.B.121y y =-242y y =C. D. 142y y =-2BCADk k =【答案】ACD 【解析】【分析】利用抛物线的性质，可得，设直线的方程为，联立方程可得，1(,0)2F AB 12x ty =+121y y =-可判断；同理可得，再利用直线经过点，可得，进而得出，A 341y y =-BC 1(,0)42312y y =-142y y =-可判断，；利用两点确定斜率可得，可判断. C B 2BCAD k k =D 【详解】由抛物线可得：，设直线的方程为， 2:2E y x =1(,0)2F AB 12x ty =+由，整理可得：，2122x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩2210y ty --=所以，故选项正确；同理可得：，121y y =-A 341y y =-由直线经过点，设，则， BC 1(,0)41(,0)4N //NC NB ，，所以，331(,)4NC x y =- 221(,)4NB x y =- 233211()()44x y x y -=-则，整理可得：，22323211()()2424y y y y -=-2323231()()024y y y y y y -+-=也即，因为，所以， 23231()()024y y y y -+=23y y ≠2312y y =-又，，所以，故选项正确；121y y =-341y y =-142y y =-C 则，故选项错误； 21241412y y y y y y ==B 因为，同理， 则32322232323222BC y y y y k y y x x y y --===--+142ADk y y =+.故选项正确， 14142141224243232432342424112222221BC AD k y y y y y y y y y y y y y k y y y y y y y y y y y y y ++++-+==⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯=++++-+故选：.ACD 三､填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.13. 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点221:210C x y kx y +-++=222:210C x y ky ++-=P 的坐标为__________. P 【答案】 (2,1)-【解析】【分析】两圆的方程相减得出两圆的公共弦所在直线方程，然后根据直线方程求出定点即可. 【详解】由圆与圆， 221:210C x y kx y +-++=222:210C x y ky ++-=两式相减得公共弦所在直线方程为：，2220kx ky y +--=即，令，解得：，(2)(22)0k x y y +-+=20220x y y +=⎧⎨+=⎩21x y =⎧⎨=-⎩所以圆与圆的公共弦所在直线恒过点. 221:210C x y kx y +-++=222:210C x y ky ++-=(2,1)P -故答案为：.()2,1-14. 已知抛物线，直线与相交于两点，若的准线上一点满足2:4E y x =():21l y x =-E ,A B E M ，则的坐标为__________.90AMB ∠= M 【答案】 (1,1)-【解析】 【分析】令，由及数量积的坐标公式得(1,)M y -0MA MB ⋅=，联立抛物线与直线方程，应用韦达定理求横纵坐21()0A B A B A B A B x x x x y y y y y y ++++-++=,A B 标的和积代入上式求的纵坐标即可.M 【详解】令，则， (1,)M y -(1,),(1,)A A B B MA x y y MB x y y =+-=+-由，则，90AMB ∠=(1)(1)()()0A B A B MA MB x x y y y y ⋅=+++--=所以21()0A B A B A B A B x x x x y y y y y y ++++-++=联立，消去y 整理得，则，242(1)y x y x ⎧=⎨=-⎩2310x x -+=3,1A B A B x x x x +==所以，，2(2)2A B A B y y x x +=+-=4(1)4A B A A B B x x x y x y =--+=-综上，，则，故. 2210y y -+=1y =(1,1)M -故答案为：(1,1)-15. 已知双曲线的右焦点为，离心率为，过原点的直线与的左右两支分别2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F e C 交于两点，若，则的最小值为__________.,M N 4,60MF NF MFN ︒=∠=224a e +【答案】 11+【解析】【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与MF 1MF NF =,m a 余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. ,a c m 【详解】依题意，记双曲线的左焦点为，连结，如图， C 1F 1NF 由双曲线的对称性易得，又，=OM ON 12OF OF =所以四边形是平行四边形，则，1MF NF 1NF MF =因为双曲线，所以由双曲线的定义可得，则2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>12MF MF a -=2MF NF a-=，记，则， ()0MF m m =>12MF NF m a ==-又，所以，即，，则， 4MF NF =()24m m a -=42a m m =-42m a m -=2221648a m m=+-因为，所以， 60MFN ∠=︒1120F MF ∠︒=在中，，即1F MF △2221112cos120F FMF MF MF MF =+-︒， ()222222164244412c m a m m a m=-++=++=+所以， 222222222244123111444444a c a a a a e a a a ++=+=+=++≥+=+当且仅当，即时，等号成立，2234a a =2a =此时由于，当且仅当，即时，等号成立， 2216880m m +-≥-=2216m m =2m =注意当时，，不满足题意，故， 2m =22216480a m m =+-=221680m m +->所以当时，有解，2a=22168m m+-=且由得，满足题意，()240m m a -=>20m a ->所以的最小值为224a e+1+故答案为：1+.16. 已知数列满足为公差为1的等差数列，若不等式对任意的{}n a 111,n a na⎧⎫=⎨⎬⎩⎭210nλ⎫--≥⎪⎪⎭都成立，则实数的取值范围是__________.*N n ∈λ【答案】 47λ≤【解析】 【分析】因为为等差数列，已知首项与公差即可求出通项公式，即可求出数列的通项公式，1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 代入不等式，则不等式恒成立问题转化为最值问题求解即可.【详解】因为数列满足为公差为1的等差数列，设，则，{}n a 111,n a na ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭1nnb na =11b =，即，所以，，所以不等式，即1(1)=+-=n b b n d n1n n na =21n a n =*N n ∈210n λ⎫--≥⎪⎪⎭对任意的都成立，即，，210n λ⎛⎫⎪⎪-≥⎪⎪⎭*N n ∈min241n n λ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭2()41n f n n =-，，因为中分子的增长速度远大248(1),(2),(3)3711f f f ===(1)(2),(3)(2)f f f f >>2()41nf n n =-于分母，所以，所以，则实数的取值范围是. min 4()(2)7f n f ==47λ≤λ47λ≤故答案为： 47λ≤四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知圆的圆心坐标为，且圆与直线相切，过点的动直线与圆C ()1,2C :270l x y --=()3,0A m C 相交于两点，点为的中点. ,M N P MN （1）求圆的标准方程；C （2）求的最大值. OP 【答案】（1）22(1)(2)20xy -+-=（2+【解析】【分析】（1）运用点到直线距离公式求出圆C 的半径；（2）求出点P 的运动轨迹，再确定 的最大值.OP【小问1详解】由题意知点到直线的距离为，也是圆C 的半径，C lr 圆的半径为∴C 则圆的标准方程为； C 22(1)(2)20x y -+-=【小问2详解】依题意作上图，为弦的中点，由垂径定理知： ，又过定点A ，P MN CP MN ⊥MN 点的轨迹为以为直径的圆，圆心为A ，C 的中点，半径为∴P CA ()2,1，122CA==；max ||OP ∴=+=综上，圆的标准方程为，的最大值为 .C 22(1)(2)20x y -+-=OP+18. 已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，. {}n a n S {}n b n 41238,a b a b ===36S =（1）求数列的通项公式； {}{},n n a b （2）求的最大值和最小值.n S 【答案】（1），34n a n =-1182n n b -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭（2）的最大值为，最小值为4. n S 8【解析】【分析】(1)根据给定的条件，求出等差数列的首项及公差，等比数列的公比即可求解作答； {}n a {}n b (2)由（1）可得，再分为奇数和偶数时，结合的单调性求解即可. 161[1()]32n n S =⨯--n n S 【小问1详解】设的公差为的公比为，{}n a {},n d b q ，所以，由，解得：，313S b ≠ 1q ≠()313161b q S q-==-12q =-，1182n n b -⎛⎫∴=⨯- ⎪⎝⎭又，所以， 42234,2,82a a d ab a -==== 3d =；()2234n a a n d n ∴=+-=-【小问2详解】由（1）和等比数列的前项和公式可知：n ， 11616181,21,23321611132161611,2,2332n n nn nn k k S n k k ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫⨯--⎢⎥+⨯=+∈ ⎪⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==⨯--=⎢⎥⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎪⎣⎦-- ⎪-⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩Z Z显然，当为奇数时，单调递减； n 16,3n n S S >当为偶数时，单调递增， n 16,3n n S S <时，有最大值为， 1n ∴=n S 8时，有最小值为4.2n =n S 19. 如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且.ABCD ED ⊥,ABCD FB ⊥ABCD 1ED FB ==（1）求证：平面EC ⊥ADF （2）在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出EC G GBD ADF 45 点的位置；若不存在，请说明理由.G 【答案】（1）证明见解析（2）存在，为线段上靠近的三等分点 G EC E 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到 故EC ⊥DF ，EC ⊥DA ，从而证明出线面0EC DF EC DA ⋅=⋅= 垂直；（2）设，得到的坐标为，求出平面的法向量，列出方程，求出(01)EG EC λλ=<<G ()0,,1λλ-，得到为线段上靠近的三等分点.13λ=G EC E 【小问1详解】以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，D ,,DA DC DE x y z则，()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1D A B C E F ，()()()0,1,1,1,0,0,1,1,1EC DA DF ∴=-==，故EC ⊥DF ，EC ⊥DA ， 0110EC DA EC DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=-=⎪⎩∵，平面ADF ，DA DF D = ,DA DF ⊂平面；EC ∴⊥ADF 【小问2详解】设，则的坐标为，(01)EG EC λλ=<<G ()()0,,1,0,,1DG λλλλ-=- 设平面的法向量为，GBD (),,n m n t =则由，令，则， ()10n DG n t n DB m n λλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1n λ=-1,m t λλ=-=-则法向量，()1,1,n λλλ=--- 平面与平面的夹角为，且平面的法向量为，GBD ADF 45ADF ()0,1,1EC =-cos45n EC n EC ⋅∴==，01λ<<Q ∴解得， 13λ=为线段上靠近的三等分点.G ∴EC E 20. 记为数列的前项和，已知，. n S {}n a n 11a =3221n n a S n -=-（1）求证：数列为等比数列；{}1n a +（2）若，则求数列的前项和. 11n n n n a b a a ++={}n b n n T 【答案】（1）证明见解析（2） 31231n n nT -=⋅-【解析】【分析】（1）由与的关系，结合等比数列的定义进行证明； n a n S （2）将代入，使用裂项相消法进行求和. n a 11n n n n a b a a ++=【小问1详解】∵，①3221n n a S n -=-∴当时，，②2n ≥()1132211n n a S n ---=--①②，得，即， -()113322n n n n a a S S -----=12332n n n a a a ---=∴化简整理得（）， ()1131n n a a -+=+2n ≥又∵，11112a +=+=∴数列中各项均不为，且（），{}1n a +01131n n a a -+=+2n ≥∴数列是首项，公比为的等比数列. {}1n a +112a +=3【小问2详解】由第（1）问，，∴，1123n n a -+=⋅1231n n a -=⋅-∴， ()()()()()()111111231231123111122231231231231231231n n n n n n n n n n n n n a b a a -----+⋅--⋅-+⋅⎛⎫===⋅=⋅- ⎪⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⋅-⎝⎭∴12n n T b b b =+++ 1111111125517231231n n -⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭ 1112231n⎛⎫=⋅- ⎪⋅-⎝⎭. 31231n n-=⋅-∴数列的前项和. {}n b n 31231n n nT -=⋅-21. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴，点抛物线上， 且到抛物线C O F x (),2Q m Q 的准线的距离为2. （1）求抛物线的方程；C （2）动点在抛物线的准线上，过点作拋物线的两条切线分别交轴于两点，当面积为P P C y ,A B PAB 时，求点的坐标.P 【答案】（1）24y x =（2）或 ()1,2-()1,2--【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式与标准方程得到关于的方程组，解之即可；,p m （2）先由面积得到，再联立切线与抛物线方程，结合韦达定理得到，从PAB ()1228k k -=1212,k k k k +而求得，由此得解. 2t =±【小问1详解】依题意，设抛物线的方程为，22(0)y px p =>因为点在抛物线上，所以，则， (),2Q m 42pm =2pm =因为到抛物线准线的距离为，所以， Q 222pm +=联立，解得， 222pm pm =⎧⎪⎨+=⎪⎩2,1p m ==所以抛物线的方程为. 24y x =【小问2详解】设动点的坐标为，设直线的斜率为，P ()1,t -,PA PB 12,k k 则直线的方程为，直线的方程为，PA ()11y k x t =++PB ()21y k x t =++令两个方程中的，则可得，0x =()()120,,0,A k t B k t ++此时， 1211122PAB S AB k k =⨯⨯=-因为，所以， PAB S = 12k k -=()1228k k -=设过点的抛物线的切线方程为，P ()1y k x t =++联立方程，消去，得， ()241y x y k x t⎧=⎪⎨=++⎪⎩x 24440t y y k k -++=因为直线与抛物线相切，所以，整理得， 244Δ440t k k ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210k tk +-=由题知直线为抛物线的两条切线，则为方程的两根，,PA PB 12,k k 所以，1212,1k k t k k +=-=-由得，解得，()1228k k -=()221212448k k k k t +-=+=2t =±此时，对于，有，满足题意，210k tk +-=240t ∆=+>所以点的坐标为或. P ()1,2-()1,2--.22. 已知椭圆，过椭圆的一个焦点作垂直于轴的直线与椭圆交2222:1(0)x y C a b a b +=>>x 于两点，.,M N 1MN =（1）求椭圆的方程；C （2）过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在线段上取一点，满足C ()2,2P ,A B AB Q ，证明：点必在某条定直线上.2PA PB PQ PA PQ PB =+Q【答案】（1） 2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得、，即可求出、、，从而求出椭圆方程； c a =221b MN a ==a b c （2）法一：设直线方程为，，，，由()22y k x =-+()11,A x y ()22,B x y (),Q x y ，可得，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达2PA PB PQ PA PQ PB =+()121212224x x x x x x x -+=+-定理，代入即可得到，，消去参数，即可得解； 8641k x k -=+241y k =+k 法二：依题意可得，设，则，设，，PA PBQA QB =PA AQ λ= PB BQ λ=-()11,A x y ()22,B x y (),Q x y ，根据向量共线的坐标表示用、表示、、、，再消去参数即可得解.x y 1x 1y 2x 2y 【小问1详解】解：由题知①，②，又③， c a =221b MN a ==222a b c =+联立①②③解得，所以椭圆的方程为； 21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩C 2214x y +=【小问2详解】解法一：由题知直线的斜率存在，设直线的斜率为，k 则直线方程为，设，，，()22y k x =-+()11,A x y ()22,B x y (),Q x y ， 2PA PB PQ PA PQ PB =+ ，12122222222x x x x x x ∴--=-⋅-+-⋅-，上式可化简为，122,2,2x x x <<< ∴()121212224x x x x x x x -+=+-联立消去化简可得， ()222214y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩y ()()2222148221632120k x k k x k k ++-++-+=则，， 2122161614k k x x k -+=+212216321214k k x x k -+=+，代入直线方程，()1212122286441x x x x k x x x k -+-∴==+-+()22y k x =-+即，解得，862241k y k k -⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭241y k =+由消去可得， 8641241k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩k 420x y +-=则点必在定直线； Q 420x y +-=法二：， 2PA PB PQ PA PQ PB =+ ，即，()()PA PB PQ PB PQ PA ∴-=-PA QB PB QA =。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(无答案)

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(无答案)

华中师大一附中2023—2024学年度上学期高一期末检测数学试题满分：150分 考试时间：120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22,60A x x B x x x =≥=--≤∣∣，则A B ⋂=（ ） A.{}2xx ≥-∣ B.{}23x x ≤≤∣ C.{}3x x ≥∣ D.{2x x ≤-∣或2}x ≥ 2.已知()1sin 3π3α+=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.23 B.223- C.13- D.13 3.函数()cos 22x x x f x -=-的图像大致为（ ） A. B.C. D.4.已知ππ,,22x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则33sin sin x y x y +>--是0x y +>的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数sin cos 2sin cos y θθθθ=-+的值域为（ ） A.15 B.512,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足关系式：5lg L V =+.已知五分记录法的评判范围为[4.0,5.2]，设lg 1.4a =，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（ ） A.102a + B.2010a a + 10a 21002a + 7.已知0,0x y >>且1x y +=，则2212x y x y +++的最小值为（ ） A.14 B.12 C.1 D.138.已知函数()[]()[]()21,10,10,sin π,10,10.212x x f x x g x x x f x =∈-=+∈-+与()g x 图像共有n 个不同的交点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则121n n y y y y -++⋯++=（ ）A.9B.92C.19D.192二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知下列函数中，最小正周期为π2的是（ ） A.cos2y x = B.πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.cos 2y x = 10.下列命题为真命题的是（ ） A.若0,0a b c >>>，则a a cb bc +<+ B.若22ac bc >，则a b >C.若11a b>，则a b < D.若0,0a b >>，则553223a b a b a b +≥+11.已知函数()44πsin 2sin cos 6f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（ ） A.函数()f x 在2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B.函数()f x 的图象可以由sin2y x =图象向左平移π12个单位长度得到 C.()π6f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.若函数()12y f x =+在[],a b 上至少有11个零点，则b a -的最小值为5π 12.已知函数()()411,12log 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪->⎪⎩，若函数()y f x k =-有四个零点，从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列说法正确的是（ ）A.120x x +>B.34x x +的最小值为4C.2424x x <+≤D.方程()0f f x t ⎡⎤-=⎣⎦最多有10个不同的实根三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2log π404(π4)2(21)-+=__________.14.若幂函数()()22235m m f x m m x -+=+-为偶函数，则不等式()()213f x f x ->+的解集为__________. 15.已知函数()2ππ2tan 1,,22f x x x θθ⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭，若函数()f x 在3⎡-⎣上单调递减，则θ的取值范围为__________.16.定义在R 上的函数()f x 满足()()1313f x f x +=-，且()24f x +关于()2,0-对称，当01x ≤≤时，()2xf x a =-，则20241(1)()k k f k =+=∑__________.（注：1()(1)(2)()n ig i g g g n ==+++∑）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π3353ππcos tan 0,,0,322ααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （1）求πtan 3α⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求β的值.18.已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）若2a =，求()f x 在11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）解关于x 的不等式()1f x >.19.2023年10月17日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型､智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元）年固定成本 每节车厢成本 每节车厢价格 每年最多生产的节数 传统型20 m 10 200节 智能型 40 8 18 120节已知23()m m R ≤≤∈，每销售n 节智能型车厢时，需上交20.1n 百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完.（1）设12,y y 分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出12,y y 与年产量x 之间的函数关系式；（2）①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值；②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？20.如图是函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭图象的一部分.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()2π2sin 222046f x a x a ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，求实数a 的取值范围. 21.已知函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=.（1）求函数()(),f x g x 的解析式；（2）设()()()()212244,21x x h x g x mf x p x -=--=+，对[)12,1,x R x ∞∀∈∃∈+，使得()()12p x h x =，求实数m 的取值范围.22.已知函数()()1111,1.(1)42f x x g x k k k k=-+=-+-> （1）设()()()11,04,0f x x x h xg x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩.若()()()13xh x h x ϕ=+--恰有两个零点12,x x ，且1216x x =-.判断函数()x ϕ的奇偶性（只需给出结论，不需写证明过程），并求实数k 的值； （2）若()()20,,20x t R f x xg x xt t ∃>∀∈++-<成立，求实数k 的取值范围.。

武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案

武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案

华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。

2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

华中师大一附中2022—2023学年度上学期高一期末检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）U M N P UA. B. ()M N P ⋂⋂()M N P ⋃⋂C.D.()()U M N P ⋂⋂ ()()UM N P ⋃⋂ 【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.M N P 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，M N P 即.()()UM N P ⋂⋂ 故选：C.2. 若，均为实数，则“”是“”的（ ）a b 22a b >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.【详解】若，则，则或，故充分性不成立；22a b >a b >a b >a b<-若，则，故必要性成立；a b>22a b >故“”是“”的必要不充分条件.22a b >a b >故选：B.3. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（ ）tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. C. D. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭3,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心.【详解】由已知，令()3,Z 42612k k x x k ππππ-=⇒=+∈当时，，ABD 均符合题意，0,1,2k =35,,121212x πππ=故选：C4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中E M lg 4.8 1.5E M =+国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（ ）m m A. 100 B. 310C. 500D. 1000【答案】C 【解析】【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代E M lg 4.8 1.5E M =+入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.E 【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，1E 2E 则，；1lg 4.8 1.5 6.9E =+⨯2lg 4.8 1.5 5.1E =+⨯可得，所以1122lg lg lg2.7E E E E -==()2.7 2.53121010,10E m E ==∈而，即.52.521010316==≈()316,1000m ∈故选：C5. 函数的部分图象形状大致是（ ）()21sin 1πxf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.()f x 【详解】根据题意可知，定义域为，()2π11sin sin 1ππ1x xxf x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭x ∈R 而，()()π11ππ1sin()sin sin ()π1π1π1x x x x x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD ；()f x y 根据图象可利用可排除B.()2221sin 201πf ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭>故选：A6. 若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角l ()02παα<<的值为（ ）αA. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得S l 结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，r L 因此，22L r r r l α+=+=扇形的面积，2111(2)222S Lr l r r r lr ==-=-+由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；4lr =此时，.2lr α=2α=故选：B 7. 设，，，则（ ）3log 2a =6log 4b =135log 40c =A. B. C. D. c b a <<a b c<<b a c<<a c b<<【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式将表示成分式形式，再利用加糖不等式和对数函数单调性即可判断出大小.,,a b c 【详解】由题意可知，，3lg 2log 2lg 3a ==，6lg 42lg 2lg 2lg 2lg 6lg 3lg 2lg 3lg 2log 4b =+=++==利用加糖不等式可知；(0,0)m m k m n k n n k +<<+a b <又13135131lg 2lg 5lg 40lg 5lg83lg 2lg 5lg 2lg 53log 401lg135lg 5lg 273lg 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 53c ++++======++++又因为，1358,lg 5lg 2<<同理根据加糖不等式，，即.1313lg 2lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 5++++<<a c b <<故选：D8. 定义在上的偶函数满足，且当时，R ()f x ()()22f x f x -=+[]0,2x ∈，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范()21,012sin 1,122x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩x ()ln x f x λ=λ围是（）A. B. 11,ln 6ln 5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,ln 6ln 5⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D. 11,,ln 6ln 5⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,00,ln 6ln 5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解y 不等式即可得到范围.【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，()f x ()()22f x f x -=+()f x 所以，()()()()2222f x f x f x f x +=-=--=-⎡⎤⎣⎦令，()2(4)t x f t f t =-⇒+=所以函数是周期为的周期函数.()f x 4又因为与函数都是偶函数，由对称性可知()f x ln xλ由于关于的方程至少有8个实数解，x ()ln x f x λ=故当时，与至少有个交点.0x >()y f x =ln y x λ=4函数与图像如图所示.()y fx =ln y x λ=由图可知：当时，只需，解得0λ>ln 51λ≤10ln 5λ<≤当时，只需，解得0λ<ln 61λ≥-1ln 6λ-≤<当时，显然符合题意.0λ=综上所述：.11,ln 6ln 5λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列说法中正确的是（ ）()*0,1,N n a b a n n =>>∈A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为n b n a n a n b C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为n a n b ±n b n a±【答案】AD 【解析】【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得()*0,1,N n a b a n n =>>∈n b n 出结果.【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为，n b n a 当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为;n ()n na ab ±==b n a ±所以只有AD 正确.故选：AD10. 已知，则下列不等式正确的是（）1m n >>A.B.22n nm m +<+11m n m n +>+C. D.3322+>m n m n 11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A ：，1m n >> ，22m n ∴>，22mn m mn n ∴+>+，()()22m n n m ∴+>+都大于零,m n ，22n nm m +∴>+故选项A 错误；对于选项B ：，1m n >> ，且，1mn >∴1m n ->，()mn m n m n∴->-，22m n mn m n ∴->-，22m n n mn m ∴+>+，11m n m n +>+∴故选项B 正确；对于选项C ：当，时，3m =2n =，33227835236m n m n +=+=<=故选项C 错误；对于选项D ：，1m n >> ，110n m ∴>>，11m n n m +>+∴故选项D 正确.故选：BD11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,θπ∈7sin cos 5θθ-=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 5θ=-3tan 4θ=-2tan 121tan 25θθ=-+【答案】AD 【解析】【分析】由已知得，，确定的范围判断A ，求解与值判断B 与C ，把sin 0θ>cos 0θ<θcos θtan θ代入，化简判断D.tan θ2tan 1tan θθ+【详解】对于A ：由，，两边平方得：，()0,πθ∈7sin cos 5θθ-=4912sin cos 25θθ-=则,得，，则,故A 正确；242sin cos 025θθ=-<sin 0θ>cos 0θ<π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于B 、C 、D ：∵，则，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴，(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭又，1sin cos 5θθ+====±当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-∴，；sin 4tan cos 3θθθ==-24tan 123161tan 2519θθ-==-++当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=-1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3sin 5θ=4cos 5θ=-∴，.sin 3tan cos 4θθθ==-23tan 12491tan 25116θθ-==-++故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.12. 设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都()f x ()0,∞+(),0,x y ∀∈+∞有；②；则下列结论正确的是（）()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21f =-A.()10f =B. 不等式的解集为()()21f x f x +-<01x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎩C.()42f =-D. 使关于的不等式有解的所有正数的集合为x ()()22f kx f x +-<k 14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法判断选项A ，C ，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断B ，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断D ．k 【详解】因为对，都有，(),0,x y ∀∈+∞()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，即，则，故选项A 正确；1x y ==(1)(1)(1)f f f =-(1)0f =令，则，又，所以，故选项C 正确；4,2x y ==(2)(4)(2)f f f =-()21f =-()42f =-令，则，所以，12,2x y ==()()1422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，，可化为，()()21f x f x +-<(0,2)x ∈()()122f x f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭故，所以()()()1122f x f f f x ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭()122f x f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭因为函数在上单调递减，所以，且，()f x ()0+∞，122x x >-02x <<解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；11x <<+x 11x x ⎧⎪-<<+⎨⎪⎩不等式可化为，()()22f kx f x +-<()()11222f kx f f f x ⎛⎫⎛⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，所以且，，()1242f kx f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭1242kx x >-02x <<0k >得，此不等式有解，等价于，14(2)k x x >-min 14(2)k x x ⎡⎤>⎢⎥-⎣⎦在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成02x <<22(2)12x x x x +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭2x x =-1x =立，，，故即为所求范围，故选项D 正确，4(2)4x x -≤114(2)4x x ≥-14k >故选：ACD ．【点睛】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一小问2分，第二小问3分.13. 函数的单调递增区间是______.()()213log 65f x x x =-+-【答案】##(3,5)[3,5)【解析】【分析】由对数函数的真数大于零可得的定义域，根据复合函数单调性同增异减原则，即求()f x 的单调递减区间即可.265u x x =-+-【详解】由有意义可得，所以，故函数()()213log 65f x x x =-+-2650x x -+->15x <<的定义域为，()()213log 65f x x x =-+-()1,5令， ，265u x x =-+-15x <<又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，265u x x =-+-(1,3]在区间上单调递减，[3,5)又由函数为单调递减函数，13log y u=根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.()f x [3,5)故答案为：.[3,5)14.______.())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭【答案】133【解析】【分析】通过指对运算一步一步运算即可得出答案.【详解】())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭()())102243lg 5lg 2·lg 5lg1019⎛⎫=+++-+⎪⎝⎭()()223lg 5lg 2·lg 5113=+++-+()210lg 5lg 2·lg 5lg 23=+++()10lg 5·lg 5lg 2lg 23=+++()10lg 5·lg10lg 23=++10lg 5lg 23=++1013=+133=故答案为：.13315. 在中，为它的三个内角，且满足，，则ABC ,,A B C 3sin 4cos 6A B +=3cos 4sin 1A B +=______.C =【答案】##π630【解析】【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可1sin()2A B +=求得结果.【详解】由题意可知，将两边同时平方得3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩将两式相加得22229sin 16cos 24sin cos 369cos 16sin 24cos sin 1A B A B A B A B ⎧++=⎨++=⎩，即，所以24(sin cos cos sin )12A B A B +=1sin()2A B +=1sin 2C =可得或；π6C =5π6C =又因为，得，13cos 4sin 0A B -=>11cos 32A <<由余弦函数单调性可得，所以不合题意；π3A >5π6C =因此.π6C =故答案为：π616. 已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为______；函数()1117122f x x x x =+++--的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y m 数），则______.()()()()112233m m x y x y x y x y ++++++++= 【答案】 ①.②. 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，92m 【解析】【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中()712f x +-()f x ()g x ()f x 心重合，结合对称性及加法的运算律求值.【详解】因为，所以，()1117122f x x x x =+++--()7111212f x x x x -=++--设，则函数的定义域为，()()71111211h x f x x x x =+-=+++-()h x ()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞且，()()1111111111h x h x x x x x x x ⎛⎫-=++=-++=- ⎪-+----+⎝⎭所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，()h x ()h x ()712f x +-所以函数的图象关于对称，()f x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为，所以，()132121xx g x -⋅+=+()()17321752512212212x x xxg x +⋅+⋅-+-=-=++所以，()()()()()()521512771122221212xx x x g x g x ----⎡⎤-+-===-+-⎢⎥++⎣⎦所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，()712g x +-()g x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，又函数的图象与函数图象的交点分别为，，…，，()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y ，点不在函数图象上，所以为偶数，设，()712g =71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x m 2m k =不妨设，则，122k x x x <<⋅⋅⋅<1222112k k k k x x x x x x -++=+=⋅⋅⋅=+=，1222117k k k k y y y y y y -++=+=⋅⋅⋅=+=所以，()()()1212121222112k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x k m+--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++==同理，121212772k k k k m y y y y y y k +-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==.()()()()()()11223312212292m m k k m x y x y x y x y x x x y y y ++++++++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称()712f x +-()712g x +-性求解问题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集，集合，非空集合，其中.U =R 12324x A x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭{}232B x a x a =-≤≤+a ∈R （1）若，求；1a =()U A B ∩ （2）从下列三个条件中任选一个作为已知条件，求的取值范围.①；②a ()()UUUA B B ⋃= ；③的一个充分条件是.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个条件的解()U B A =∅x A ∈x B ∈答计分.【答案】（1）{}21x x -≤<（2）113a -≤<【解析】【分析】（1）将代入，求出集合，再求出集合，进一步求解即可；1a =B A （2）三个条件都说明，所以利用子集关系及非空集合列不等式计算即可.B A ⊆B 【小问1详解】当时，，或，又，1a ={}15B x x =≤≤{1U B x x =< }5x >{}25A x x =-≤<则.(){}21U A B x x ⋂=-≤< 【小问2详解】选择条件①：因为，所以，()()UUUA B B ⋃= ()()UUA B Í 即，又已知非空集合，BA ⊆{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件②：因为，则，()U B A =∅B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件③：的一个充分条件是，则，x A ∈x B ∈B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<18. 已知函数.()2f x mx nx=-（1）若的解集为，求不等式的解集；()f x t≥{}21x x -≤≤20nxmx t ++≤（2）若，且，求的最小值.0m >0n >()10f >14m m n n ++-【答案】（1） {|12}x x -≤≤（2）6【解析】【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出2-120(0)mx nx t m --=<，，将要解的不等式化简整理即可求解；n m =-2t m =(2)由可得，然后利用基本不等式即可求解.()10f >0m n ->【小问1详解】因为的解集为，()f x t≥{}21x x -≤≤所以和方程的两根，由韦达定理可知：，2-120(0)mx nx t m --=<12nm t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩则有，，所以不等式可化为，n m =-2t m =20nx mx t ++≤220mx mx m -++≤因为，所以不等式可化为，解得：，0m <220x x --≤12x -≤≤所以不等式的解集为.20nx mx t ++≤{|12}x x -≤≤【小问2详解】因为，也即，又因为，，()10f >0m n ->0m >0n >所以，1414()6m m n n m n n m n n ++=-+++≥=--（当且仅当和同时成立时取等，也即时取等）1m n m n -=-4n n =3,2m n ==所以的最小值为.14m m n n ++-619. 已知函数（其中，）的最小正周期为，当时，取()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π4xπ=()f x 到最大值.（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）当时，若函数在区间上的值域为，求实数，的值.0a >()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3a b 【答案】（1）， 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），43a =53b =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的周期公式，求出，再结合当时，取到最大值，ω4x π=()f x 推出的解析式，再结合三角函数的单调性即可得出答案；()f x （2）结合（1）的结论，的取值范围，得出的范围，即可得出的值域，根据已知条件列出方x ()f x ()g x 程组求解即可得出答案.【小问1详解】函数（其中，）的最小正周期为，()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π，则，3223πωπ∴==()()sin 3f x x ϕ=+又当时，取到最大值，4x π=()f x ，，3242k ππϕπ∴⨯+=+k ∈Z解得，，24k πϕπ=-k ∈Z ，，则，ϕπ< 4πϕ∴=-()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，232242k x k πππππ-+≤-≤+k ∈Z 解得，，2212343k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 故函数的单调递增区间为，；()f x 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问2详解】，，,363x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 33,464x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3,142x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()12a b g x a b∴-+≤≤+函数在区间上的值域为， ()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3，解得，.1123a b a b ⎧-+=⎪∴⎨⎪+=⎩43a =53b =20. 两社区和相距2km ，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一A B ABAB A B 点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区C 的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响A A B 度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为B K A B 对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社A B C A km x C A 区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪B yAB A B 音影响度为0.05.（1）将表示成的函数；y x （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？AB A B 若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.A 【答案】（1）22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.A 1x =A B 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，224BC x =-0.09K =即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是y x y x 否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.【小问1详解】由为直径可得，所以AB ACBC ⊥224BC x =-由题意可知，220.01(02)4Ky x x x =+-<<又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，AB A B 即时，，代入得，x =0.05y =0.09K =所以，220.010.09(02)4y x x x =+-<<即关于的函数为y x 22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<【小问2详解】口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，A B y 由（1）知2222222211984211004100(4)25(4)x x y x x x x x x ++⎛⎫=+== ⎪---⎝⎭22242222211222122192542525119551222442x x x x x x x x ++=⨯=⨯=⨯-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+++- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭令，则可得2119,222x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2192554y t t=⨯-+-，当且仅当时，等号成立；99555244t t t t ⎛⎫-+-=-++≤-+= ⎪⎝⎭32t =且，所以，9504t t -+->212119252522554y t t =⨯≥⨯=-+-即，此时，即，解得.min 125y =32t =21322x +=1x =因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社AB A 1x =A 区的总噪音影响度最小.B 21. 已知函数（且）为奇函数.()412x f x a a =-+0a >1a ≠（1）求实数的值及函数的值域；a ()f x （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.()()()12x g x mmf x =+-(],2-∞m 【答案】（1），的值域为2a =()f x ()1,1-（2）2017⎤-⎥⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算的值，将代入根()00f =a a 据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的()f x ()g x (],2-∞零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根()20212x x m m +++=(],2-∞的分布情况即可求得实数的取值范围.m 【小问1详解】由题意可知，函数的定义域为，()f x x ∈R 由奇函数性质可知，，得；()044011022f a a a =-=-=++2a =所以，；()411222221x x f x =-=-⨯++又因为，所以()211,x+∈+∞()20,221x ∈+因此()()211,121x f x =-∈-+即函数的值域为.()f x ()1,1-【小问2详解】由得，，()()()12xg x m mf x =+-()()212121x x g x m m ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭-又函数在区间上有两个不同的零点，()g x (],2-∞即方程在区间上有两个不同的实数根；()0112122x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭-+(],2-∞整理得，()20212x x m m +++=令，由得，2xt =(],2x ∈-∞(]0,4∈t 即在上有两个不相等的实数根；()210m t t m +++=(]0,4∈t 所以，且或10m +≠14(1)0m m ∆=-+>1m -<1m -<时，需满足，解得1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++≤⎨⎪⎪<-<+⎪⎩0201798m m m ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩2017m ≤-当时，需满足，该不等式组无解；1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++≥⎨⎪⎪<-<+⎪⎩综上可知，实数，m 2017m≤-即2017m ⎤∈-⎥⎦22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定()y f x =D 的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.x x D -∈()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；()10xf x =()22xg x x -=+()y f x =()y g x =（2）若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？()f x R 0x ≤()413x f x x -=+()2023f x =并说明理由；（3）若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，()f x R R ()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=证明：是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【答案】（1）函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；()f x ()g x （2）方程没有整数解，理由见解析；()2023f x =（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；()f x ()g x （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数0x <()()0,1f x ∈()2023f x =0x 00x >，利用零点存在定理可得出结论；()()2023h x f x =-（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件()F x ()F x 的定义证明可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，对任意的，，()f x R x ∈R ()()10101x x f x f x -⋅-=⋅=所以，函数为倒函数，()f x 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，()22xg x x -=+{}2x x ≠-故函数不是倒函数；()g x 【小问2详解】当时，则，由倒函数的定义可得，0x >0x -<()()413x f x x f x ==+-由满足倒函数的定义，()01f =当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，0x >3x y =4y x =()f x ()0,∞+当时，，，，当时，，0x >31x >40x >()1f x >0x <()()()10,1f x f x =∈-若函数有整数解，则，()2023f x =0x ()00,x ∈+∞设，则函数在上单调递增，()()2023h x f x =-()h x ()0,∞+因为，，()5453520230h =+-<()6463620230h =+->故方程无整数解，()2023f x =【小问3详解】因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，()y f x =R 0R 所以，，()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--任取、且，则，所以，，，m n ∈R m n >m <n --()()f m f n >()()f n f m ->-所以，()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，函数为上的增函数，()F x R 因为，故函数为上的奇函数.()()()()F x f x f x F x -=--=-()F x R当时，即，则，所以，，120x x +>12x x >-()()()122F x F x F x >-=-()()120F x F x +>即“”“”；120x x +>⇒()()120F x F x +>若，则，所以，，即.()()120F x F x +>()()()122F x F x F x >-=-12x x >-120x x +>所以，“”“”.120x x +>⇐()()120F x F x +>因此，是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题

湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题

湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期中检测数 学 试 题时限：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一项符合题意．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．）1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2，5}B ．{3，6}C ．{2，5，6}D ．{2，3，5，6，8}2．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B =U 的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．83．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤< C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．下列函数中与函数x y =相等的函数是（ ）A BA ．2()y x = B ．2y x C ．2log 2xy =D ．2log 2xy =5．已知函数2log (1)y ax =-在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()3xf x =，则9(log 4)f 的值为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．27．设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则( )A ．c a b <<B ．a b c << C．ba c <<D ．b c a <<8．下列函数中，与函数||x y e =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是 （ ）A ．xy 1-= B ．||ln x y = C ．33-=xyD ．22+-=xy9．若实数,x y 满足1|1|ln 0x y--=，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )10．设函数21(),[]122xxf x x =-+表示不超过x 的最大整数，则函数[()]y f x =的值域是( )A ．{0,1}B ．{1,1}C ．{1,1}-D ．{0,1}- 11．已知函数,0()ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(0,1)-∞U C ．(0,1) D ．(0,1)(1,)+∞U12．已知函数()(1)(2),()ln()f x x a x a g x x a =---=-，若当x a >时，()()0f xg x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,)+∞B ．[2,0]-C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分） 13．函数)23(log )(221x x x f -=的定义域是 .14．已知函数(3)3(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 .15．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)()(1212<--xx x f x f ，且0)2(=f ，则不等式05)()(2<-+x x f x f 的解集是____________16．已知函数21,()log ,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x xx x <<<，则3122341()x x x x x++的取值范围是______________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}.（1）当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；（2）若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值.18．（本小题满分12分） 已知二次函数2()(,f x axbx a b=+为常数，且0)a ≠满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有两个相等的根．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,]t 上的最大值()g t 的表达式．19．（本小题满分12分）设()f x 定义域为(0,)+∞且在(0,)+∞上是增函数，()()()xf f x f y y =-． （1）求证(1)0,()()()f f xy f x f y ==+； （2）若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-． 20．（本小题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(),t P ，点(),t P落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数 据如下表所示第t天 4 10 16 22Q（万36 30 24 18股）（1）根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据，写出日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y（万元）表示该股票日交易额（日交易额=交易价格×日交易量），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？21．（本小题满分12分） 定义1(0),sgn()0(0),1(0),x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩已知函数||sgn()()(01)xx x f x aa a a =+>≠且.（1）解不等式()2f x ≤； （2）若,25)1(=f 且不等式(2)()40f t mf t ++≥对于任意正实数t 恒成立，求实数m 的取值范围．22．本小题满分12分） 函数3()log,()1log (1)(01)3aa x f x g x x a a x -==+->≠+且，设()()f x g x 和定义域的公共部分为D ． （1）求集合D ；（2）当1a >时，若不等式1()(2)26g x f x -->在D 内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得[,]m n D 时，()f x 在[,]m n 上的值域是[(),()]g n g m ．若存在求a 的取值范围；若不存在说明理由．⊂ ≠高一年级数学期中试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A CB DC B CD B D B A二、填空题13．12[,0)(,1]33-U 14．36a <≤ 15．(0,2)(,2)-∞-U 16．(1,1]-三、解答题17．解：（1）651,0,{|15}11x A x x x x -≥∴≤∴=-<≤++Q 又3,{|13},{|13}Um B x x C B x x x =∴=-<<∴=≤-≥或(){|35}U A C B x x ∴=≤≤I ． （2）由{|15|{|14}A x x A B x x =-<≤=-<<I 及知 4为方程220xx m --=根，8m ∴=当8m =时，{|24}B x x =-<<，此时{|14}A B x x =-<<I 成立 8m ∴=． 18．解：（1）(1)(3),()f x f x f x -=-∴Q 关于1x =对称，12b a ∴-= 又()2f x x =有两个相等实根，2(2)0ax b x ∴+-=中0,2b ∆=∴=21,2,()2a b f x x x∴=-=∴=-+．（2）当01t <≤时，2max()()()2g t f x f t t t===-+当1t >时，max()()(1)1g t f x f ===22,01()1, 1t t t g t t ⎧-+<≤∴=⎨>⎩．19．解：（1）令x y =，则(1)()()0f f x f x =-= ()()()(),()()()xy f xy f x f f y f xy f x f y x -==∴=+． （2）(4)(2)(2)2(2),(4)2f f f f f =+=∴=Q 又1()()[(3)](4)3f x f f x x f x -=-≤-30,{|34}(3)4x x x x x x >⎧⎪∴->∴<≤⎨⎪-≤⎩．20．解：（1）当020t ≤≤时，设p at b =+，将（0，2）和（20，6）代入221,,21620255b b p t a a =⎧=⎧⎪∴∴=+⎨⎨=+=⎩⎪⎩同理：12030,810t p t <≤=-+12,020,518,2030,10t t t N p t t t N ⎧+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩．（2）设Q ct d =+，把表中任意两组数据代入，1,40c d =-=40,030,Q t t t N∴=-+≤≤∈．（3）221(15)125,020,51(60)40,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩当020t ≤≤时，15t =时，max125y =（万元）当2030t <≤时，y 随t 增大而减小，21(2060)4012010y <--=（万元）答：在第30天中第15天，日交易额最大为125万元．21．解：（1）当0x >时，1()2,1,0x x x f x aa x a =+≤∴=∴=舍去 当0x <时，()02x x f x a a =-=≤恒成立当0x =时，()12f x =≤成立综上：不等式解集为(,0]-∞．（2）,25)1(=f 212或=∴a (2)()40f t mf t ++≥Q 恒成立，22112(2)4022t t t t m ∴++++≥ 令212(0),(2,),202tt u t u u mu =+>∴∈+∞∴++≥恒成立2()(2,)m u u u ∴≥-+∈+∞在上恒成立 又2()(2,)u u-++∞在上单调递减 2()3,3u m u ∴-+<-∴≥-．22．解：（1）由30310x x x -⎧>⎪+⎨⎪->⎩，解得3,{|3}x D x x >∴=>．（2）不等式等价于7()(23)6log 123a x x x -+>-在(3,)+∞上恒成立 7()(23)623x x a x -+∴<-在(3,)+∞上恒成立令23x t -=，则32t x += 71()(23)()(6)1410623(),(3,)2323t x x t t t x t t -+++∴==++∈+∞-4(3,)t t ++∞Q 在上递增，41311,132t a t ∴+>∴<≤． （3）,()(),01m n g m g n a <>∴<<Q 6()log (1)3af x x ∴=-+在(3,)+∞上递减 [,]x m n ∴∈时，()[(),()]f x f n f m ∈()(),,()()f n g n m n f m g m =⎧∴∴⎨=⎩为方程()()f x g x =两个根 3(1)(3,)3x a x x -∴=-+∞+在上有两个不相等实根 1(3)(1)3x x a x +-∴=-，令3,0x t t -=> 112128,438t t a t t ∴=+++≥又，当且仅当23t =“=”号 123438,0a a -∴>∴<<。

2014-2015学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)数学期末试卷 及解析

2014-2015学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)数学期末试卷 及解析

2014-2015学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5.00分）设全集U是实数集R，集合M={x|x2＞2x}，N={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U M）∩N为（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}2．（5.00分）若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．3．（5.00分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x4．（5.00分）设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5.00分）函数f（x）=2sinx+tanx+m，有零点，则m的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．6．（5.00分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．7．（5.00分）设满足，则f（n+4）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5.00分）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B．C．D．9．（5.00分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）10．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=，则a+c的最大值为（）A．B．3 C．2 D．9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5.00分）（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则λ+μ的值是．13．（5.00分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．14．（5.00分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是．15．（5.00分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12.00分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．17．（12.00分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．18．（12.00分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，﹣2cosx）设函数f（x）=•（1）求f（x）的单调增区间；（2）若tanα=，求f（α）的值．19．（12.00分）已知向量=（cosx，cosx），=（0，sinx），=（sinx，cosx）=（sinx，sinx）．（1）当x=时，求向量与的夹角θ；（2）当x∈[0，]时，求•的最大值；（3）设函数f（x）=（﹣）（+），将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，令=（s，t），求||的最小值．20．（13.00分）利用已学知识证明：（1）sinθ+sinφ=2sin cos；（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面积．21．（14.00分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5.00分）设全集U是实数集R，集合M={x|x2＞2x}，N={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U M）∩N为（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：由M中的不等式变形得：x2﹣2x＞0，即x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，∴M={x|x＞2或x＜0}，∵全集U=R，∴∁U M={x|0≤x≤2}，由N中的不等式变形得：log2（x﹣1）≤0=log21，得到0＜x﹣1≤1，解得：1＜x≤2，即N={x|1＜x≤2}，则（∁U M）∩N={x|1＜x≤2}．故选：C．2．（5.00分）若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（2π﹣α）=cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故选：B．3．（5.00分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x【解答】解：对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），说明函数是偶函数，满足f（x﹣π）=f（x）的函数是周期为π的函数．对于A，不是偶函数，不正确；对于B，也不是偶函数，不正确；对于C，是偶函数，但是周期不是π，不正确；对于D，f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，是偶函数，周期为：π，正确．故选：D．4．（5.00分）设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：0＜logπ31，，所以0＜a＜1，b＞1，c＜0，所以c＜a＜b，即b＞a＞c．故选：C．5．（5.00分）函数f（x）=2sinx+tanx+m，有零点，则m的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．【解答】解：易知函数f（x）=2sinx+tanx+m在[﹣，]上是增函数，则只需使f（﹣）•f（）≤0，即（2×（﹣）+（﹣）+m）（2×++m）≤0，故m∈；故选：D．6．（5.00分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：C．7．（5.00分）设满足，则f（n+4）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：当n＞6时，f（n）=﹣log3（n+1）=﹣∴n=不满足题意，舍去当n≤6时，f（n）=∴n﹣6=﹣2即n=4∴f（n+4）=f（8）=﹣log39=﹣2故选：B．8．（5.00分）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选：D．9．（5.00分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e ﹣x，又∵f（x）﹣g（x）=e x∴解得：，，分析选项可得：对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误；对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误；对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误；对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=﹣1＜0，D正确；故选：D．10．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=，则a+c的最大值为（）A．B．3 C．2 D．9【解答】解：2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sinB，又sinB≠0，∴cosB=，∴B=．∵由余弦定理可得：3=a2+c2﹣ac，∴可得：3≥2ac﹣ac=ac∴即有：ac≤3，代入：3=（a+c）2﹣3ac可得：（a+c）2=3+3ac≤12∴a+c的最大值为2．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5.00分）（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为2a．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜﹣x＜，∵cos（﹣x）=a，∴sin（﹣x）=，∴cos（+x）=cos[﹣（﹣x）]=sin（﹣x）=，cosx=cos[﹣（﹣x）]=×a+×=（a+），即cos2x=2cos2x﹣1=2×（a+）2﹣1=a2+1﹣a2+2a﹣1=2a，则原式==2a．故答案为：2a12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则λ+μ的值是．【解答】解：∵点C在第一象限内，∠AOC=，且|OC|=2，∴点C的横坐标为x C=2cos=，纵坐标y C=2sin=1，故=（，1），而=（1，0），=（0，1），则λ+μ=（λ，μ）由=+⇒，∴λ+μ=1+故答案为：+1．13．（5.00分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．14．（5.00分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是[﹣5，5] ．【解答】解：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，∴sinθ=，AM=5sinθ，AP=2AM=10sinθ．∴=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈[﹣5，5]，故答案为：[﹣5，5]．15．（5.00分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①③．【解答】解：①f（）=|cos|•sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间[﹣，]上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|•sin x，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12.00分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos （B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，则S=bcsinA=×4×=．△ABC17．（12.00分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵﹣x2﹣2x+8＞0，∴解得A=（﹣4，2）．∵，∴B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；所以A∩B=（﹣4，﹣3]∪[1，2）；（2）∵C R A=（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），C⊆C R A，若a＜0，则不等式的解集只能是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞），故定有≥2得解得﹣≤a＜0若a＞0，则不等式的解集[﹣4，]，但C⊆C R A，故a∈∅．∴a的范围为＜0．18．（12.00分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，﹣2cosx）设函数f（x）=•（1）求f（x）的单调增区间；（2）若tanα=，求f（α）的值．【解答】解：f（x）=•=2cos2x﹣2sinxcosx=1+cos2x﹣sin2x=1+2cos（2x+）…（3分）（1）当2kπ﹣π≤2x+≤2kπ时，f（x）单调递增，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣k∈Z∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]k∈Z …（7分）（2）f（α）=2cos2α﹣2sinαcosα===…（12分）19．（12.00分）已知向量=（cosx，cosx），=（0，sinx），=（sinx，cosx）=（sinx，sinx）．（1）当x=时，求向量与的夹角θ；（2）当x∈[0，]时，求•的最大值；（3）设函数f（x）=（﹣）（+），将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，令=（s，t），求||的最小值．【解答】解：（1）当x=时，向量=（cosx，cosx）=（），=（0，sinx）=（0，），•==，，，﹣﹣﹣﹣（2分）cosθ===，∴θ=﹣﹣﹣﹣（4分）．（2）•=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin2x+sinxcosx===．﹣﹣﹣﹣（6分）∵x∈[0，]，∴2x﹣，∴﹣﹣﹣﹣（8分）．函数f（x）=（﹣）（+）=（cosx，cosx﹣sinx）•（2sinx，cosx+sinx）=．=2sin（2x+），（3）将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，∴2sin2x+1=2sin（2x+﹣2s）+t，t=1，s=+kπ，k∈Z．=（s，t），||=≤=．20．（13.00分）利用已学知识证明：（1）sinθ+sinφ=2sin cos；（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面积．【解答】解：（1）…（4分）（2）∵∴由（1）可得∴…（10分）∵已知△ABC的外接圆的半径为2∴…（12分）21．（14.00分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1，∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在[﹣2，a]上是减函数，，∴此时f（x）的值域为：[a2+2a，0]；当﹣1＜a≤0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，0]；当a＞0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，a2+2a]．（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，即（x+t）2+2（x+t）≤3x，∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈[1，m]∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；由u（x）≤0恒成立知；化简得；v令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，则原题转化为存在t∈[﹣4，0]，使得g（t）≤0；即当t∈[﹣4，0]时，g（t）min≤0；∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2，①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4），∴，解得3＜m≤8；②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜m≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，∴，解得1＜m≤3；综上，m的取值范围是（1，8]．解法二，由，∴m≤，即=8，1＜m≤8；即得m的取值范围（1，8]．。

华中师大一附中2000-2001学年度上学期

华中师大一附中2000-2001学年度上学期

华中师大一附中2000-2001学年度上学期高一年级数学期末考试第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

答案选填在后面答题卡内。

1．已知21//l l ，a ，b 与1l 、2l 都垂直，则a ，b 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交、异面都有可能 2．设3.0)21(-=a ，1.02=b ，4.0)2(=c ，则有A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b3．△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是 A ．54 B ．53 C ．52 D ．54．由函数2x y =的图象变换到函数322+-=x x y 的图象的过程是 A ．先左移1个单位，再上移2个单位 B ．先左移1个单位，再下移2个单位 C ．先右移1个单位，再上移2个单位 D ．先右移1个单位，再下移2个单位5．已知平面α∥平面β，α⊂a ，下列四个命题中①a 与β内的所有直线平行 ②a 与β内的无数条直线平行 ③a 与β内的任何一条直线都不垂直 ④a 与β无公共点 其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46．函数21)31(-=x y 的值域是A ．（0，+∞）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（0，1）∪（1，+∞）7．如图，空间四边形ABCD 中，AC ⊥BD 且AC=BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．正方形 8．函数3222)1(--⋅--=m mx m m y 是幂函数且在x ∈（0，+∞）时为减函数，则实数m 的值为A ．m=－1或2B ．251±=m C ．m=2 D ．m=－1 9．P 点在△ABC 所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 点是△ABC 的A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心10．函数54)(2+-=mx x x f 在区间[-2，+∞）上是增函数，则f （1）的取值范围是 A ．f （1）≥25 B ．f （1）=25 C ．f （1）≤25 D ．f （1）＞2511．二面角βα--l 的平面角为120°，A ，B ∈l ，α⊂AC ，β⊂BD ，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB=AC=BD=1，则CD 等于A ．2B ．3C ．2D ．512．f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上f （x ）＞0且是增函数，2)]([3)(x f x F -=，则F （x ）是A ．偶函数，在（－∞，0）上是减函数B ．偶函数，在（－∞，0）上是增函数C ．偶函数，在（－∞，0）上增减情况无法确定D ．奇函数，在（－∞，0）上是减函数选择题答题卡第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

湖北省华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题与答案

湖北省华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题与答案
【答案】A
5.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6.某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 （元）和销售量 （件）之间的一组数据如表所示：
【答案】
14.空间四点 ， ， ， ，则点 到平面 的距离是______.
【答案】
15.抛物线 的焦点为 ,点 为该抛物线上的动点,又已知点 ,则 的取值范围是________.
【答案】
16.某高中食堂鲜奶站提供 、 两种鲜奶，他们经过统计分析发现：第一次购买的人购买 种鲜奶的概率为 、购买 种鲜奶的概率为 ，而前一次购买 种鲜奶的人下一次来购买 种鲜奶的概率为 、购买 种鲜奶的概率为 ，前一次购买 种鲜奶的人下一次来购买 种鲜奶的概率为 、购买 种鲜奶的概率也是 ，如此往复．记某人第 次来购买 种鲜奶的概率为 ．则 ___________﹔经过一段时间的经营每天来购买鲜奶的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶，那么公司每天应至少准备 种鲜奶___________份．
A. B. C. D.
【答案】C
3.已知随机变量 满足 ， ， ，下列说法中正确的是（）
A. 随着 的增大而增大B. 随着 的增大而增大
C. 随着 的增大而增大D. 随着 的增大而减小
【答案】D
4.已知 是椭圆 上的点， ， 分别是 的左，右焦点， 是坐标原点，若 且 ，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】（1） ；（2） ．
18.如图，在四棱锥 中，四边形 是长方形，： 平面 ；

湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高一上学期期中考

湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高一上学期期中考

华中师大一附中2014—2015学年度第一学期期中检测高一年级数学试题考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人：曹宗庆 审题人：黄进林一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1. 设全集}1lg |{*<∈=⋃=x N x B A U ，若(){1,3,5,7,9}U A C B ⋂=，则集合（ ）2. 下列对应能构成集合到集合的函数的是 （ ），，对应法则圆上的点，圆的切线，对应法则：过作圆的切线，对应法则2:247f a b a a →=-+-， 为非零整数，*1{|,}B b b n N n ==∈，对应法则3. 若，则 （ ）4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （ ）5. 已知的反函数图像的对称中心为，则的值为（ ）6. 已知函数(21),1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是上的减函数，则实数的取值范围是（）7. 定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，若，那么（ ） .(),()l n (x x A g x x h x e e -==++11.()[ln(1)],()[ln(1)]22x x B g x e x h x e x =++=+-.(),()l n (1)22x x xC g x h x e ==+- .(),()l n (1)22x xxD g x h x e =-=++ 8. 若是方程的解，则属于区间 （ ）9. 设，若函数2()min{3,log }f x x x =-，则的解集为（ ）10. 对于方程||2||1111[()]|()|02222x x k ----=的解，下列判断不正确的是 （） 时，无解 时，2个解时，4个解 时，无解二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知，则的图像恒过点 ．12. 已知是幂函数，且在上为减函数，则实数的值为 ．13.计算132.5log 6.25ln(0.064)2-++= ． 14.函数()f x =的最小值为 ．15．函数为偶函数，对任意的都有121212()()0()f x f x x x x x -<≠- 成立，则11223773(log ),(log ),(log )222a f b f c f ===由大到小的顺序为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版

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华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期末检测数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}2||lg 0M x x x N x x ===≤，则M N = A. []0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D.(],1-∞2.已知函数()21f x x =+，那么()1f a += A.22a a +- B. 21a + C. 222a a ++ D. 221a a ++ 3.454sin cos tan 363πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象 A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度 5.设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. b c a >> B. a c b >> C. b a c >> D. a b c >>6.函数cos 2sin 2cos 2sin 2x x y x x+=-的最小正周期为 A. 2π B. π C.2π D.4π 7.已知函数()1lg12ax f x x+=-是定义在(),b b -上的奇函数，（,a b R ∈且2a ≠-），则b a 的取值范围是A. (B. (C. (D.(8.若()sin 3πα-=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于A. 3-B. 6-C. 639.函数()f x 的零点与()ln 28g x x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.5，则()f x 可以是A. ()36f x x =-B. ()24x -C.21x e --D.5ln 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10.定义在R 上的函数()f x 对任意210x x <<都有()()12121f x f x x x -<-，且函数()f x 的图象关于原点对称，若()22f =，则不等式()0f x x ->的解集是A.()()2,00,2-B.()(),22,-∞-+∞C.()(),20,2-∞-D.()()2,02,-+∞11.()()()sin 0,0f x A x A ωωπω=+>>在33,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的最大值为 A. 12 B.34 C. 1 D.4312.已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴的对称点，则a 的取值范围是A.⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛ ⎝第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()f x =的定义域为[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域为 .14.计算：lg 4lg9++= .15.已知11,,2sin cos πθπθθ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，则cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 16.已知集合()()(){}|sin 2cos 2log 1a f x x x ϕϕπϕπϕ=-+-<⎡⎤⎣⎦为奇函数，且的子集个数为4，则a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知幂函数()()()2m m f x x m N +*=∈的图象经过点(. （1）试求m 的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足()(13f a f +>的实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()3sin cos 2sin 2.sin sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且3cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本题满分12分）已知函数()12.2x x f x =- （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若()()220tf t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）已知函数()()()cos 0,02f x x x πωωωωϕω⎛⎫=+-+-<<> ⎪⎝⎭为偶函数，且函数的()y f x =图象相邻的两条对称轴间的距离为2π. （1）求24f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的单调区间，并求其在5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.21.（本题满分12分）现有一圆心角为2π，半径为12cm 的扇形铁皮（如图）.,P Q 是弧AB 上的动点且劣弧 PQ的长为2cm π，过,P Q 分别作与,OA OB 平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT ，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？22.（本题满分12分）函数()(),,.nn f x x bx c n Z b c R =++∈∈ （1）若1n =-，且()111142f f --⎛⎫== ⎪⎝⎭，试求实数,b c 的值；（2）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-有()()21224f x f x -≤恒成立，求b 的取值范围；（3）当1n =时，已知20bx cx a +-=，设()g x =，是否存在正数a ，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()()()()()111,,f g m f g n f g p 为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题

湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题

19.已知函数 f x loga ax 2 x ．
（1）若 a 1 ，求 f x 的单调区间；
2
（2）若 f x 在区间2, 4 上是增函数，求实数 a 的取值范围．
20.一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，
A. f (x) 是奇函数，且在 R 上是增函数
B. f (x) 是奇函数，且在 R 上是减函数
C. f (x) 是奇函数，但在 R 上不是单调函数
D. 无法确定 f (x) 的单调性和奇偶性
10.已知定义域为 R 的函数 f x 满足 f 3 x f x 1 ，当 x 2 时 f x 单调递减且 f a f 0 ，
0.3
，则
（
）
A. a b c
B. b a c
C. a c b
D. c a b
9.若定义在 R 上的函数 f (x) 满足，对任意的 x1 ，x2 R ，都有 f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ，且当 x 0 时，
f (x) 0 ，则（ ）．
华中师大一附中 2017—2018 学年度第一学期期中检测
高一年级数学试题
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的)
1.设全集U {1, 2,3, 4,5,6} ，集合 A ={2,3, 4}， B {3, 4,5} ，则 ðU ( A B) （ ）．
②f

x 3


1f
1
x

1
f
x
，则

华中师大一附中2018年自主招生考试数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2018年自主招生考试数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题考试时间：70分钟 卷面满分:120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题 （本大题共5小题,每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．二次函数y =x 2＋2x ＋c 的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2,0),且x 1＜x 2,点P （m ，n )是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ) A ．当n ＞0时，m ＜x 1 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，m ＜0D ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 22．已知实数a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，并目k =，则直线y =－kx ＋k 一定经过( ）A ．第一、三、四象限B ．第一、二、四象限C ．第一、二、三象限D ．第二、三、四象限3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为16、22,则输出的a =（a ←a －b 的含义：将a －b 的结果赋给a ）（ ） A ．0 B ．2 C ．4D ．144．直线l:kx －y －2k －1=0被以A （1，0)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦长为( ) A ． B ．2 C ．2D ．45．如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=4,BF ⊥AC 于F,D 是AB 的中点,E 为AC 上一点,且2EF=AC ，则tan ∠DEF=( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 6．若a ＋b －2=3c 5，则（b c )a 的值为__________．BA CDEF7．已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x212x＋m＋1=0的两实根,则实数m 的取值范围是__________．8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得∠ADP=∠ACB，则=__________．9．有十张正面分别标有数字1,2,3，4，5，6，7，8,9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________．10．若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足（a2018c2018）（a2018d2018）=2018,(b 2018c2018）（b2018d2018)=2018，则（ab）2018（cd)2018的值为__________．三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．（本小题满分16分）如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1）求证：CE=CF;（2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由；（3)运用（1）（2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC＞AD）,∠B=90°,AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．12．(本小题满分16分）如图1,在平面直角坐标系xOy内，已知点A（1，0)，B(1,1)，C（1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1L2相关点，例如，点P （0，1)是L1－L2相关点．（1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号）;①(1，2)；②(5，2）；③（4，2）．(2）直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；（3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1L2相关点．①当r=1时，求点M的纵坐标；②求r的取值范围．13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0），(,）都是“平衡点"．①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________．（2）直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点"吗？若存在,请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y=ax2＋bx＋1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1），B(x2，x2），且满足0＜x1＜2，=2，令t=b2－2b＋，试求实数t的取值范围．华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：70分钟卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）题号 1 2 3 4 5答案 D A B C A二、填空题(本大题共5小题，每小题7分,共35分)．6．36 7．9<m≤17 8．9．10．－2018 三、解答题（本大题共3小题,共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）11．(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF,BE=DF，∴△ACBE≌△CDF．∴CE=CF．……………………………4分（2)GE=BE＋GD．理由如下：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC,∴△ECG≌△FCG．∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G,在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°,又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=6．已知∠DCE=45°，根据（1)（2）可知，ED=BE＋DG，设DE=x，则DG=x－2，∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4．在Rt△AED中∵DE2=AD2＋AE2，即x2=(8－x）2＋42解得x=5．∴DE=5……………………………16分12．(1)②，③是L1－L2相关点。

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则()A. sinA=5，sinB=11，sinC=13B. a=5，b=11，c=13C. A:B:C=5:11:13D. a:b:c=5:11:132.若各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，则a4⋅a3a2⋅a1的值等于()A. 4B. 8C. 16D. 643.若关于的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.4.下列说法正确的是()A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C. 用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D. 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥5.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为()A. √55B. 2√55C. 2√25D. −2√256.已知：α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列说法正确的是()A. l//ml⊥αm//β}⇒α⊥β B. l⊥mm⊂α}⇒l⊥αC. l⊥ml⊥nm⊂αn⊂α}⇒l⊥α D. l//βm//β l⊂α m⊂α}⇒α//β7.已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于2第m行、第n列的数记为a mn，如a21=4，a42=16.若a mn=248，则m+n=()A. 20B. 21C. 29D. 308.下列说法中正确的个数是()(1)从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；(2)已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“lna>lnb”的充要条件；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0．A. 0B. 1C. 2D. 39.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. π6B. √23π C. 43π D. √32π10.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是()A. 二面角D−BC−E是直二面角B. 直线BM，EN是异面直线C. CM⊥END. 直线EN与平面MCB所成角的正弦值为√3411.下列说法中，正确的是()A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形C. 棱柱的各条棱都相等D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱12.在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知非零向量满足0，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为．14.函数值sin3π5，sin4π5，sin9π10从大到小的顺序为______ (用“>”连接)．15.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0,1]，给出以下五个命题：①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；②当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；③多面体ABCD−MENF的体积为12④四棱锥C′−MENF的体积V=V(x)为常函数；⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[√63,1]以上命题中正确的有______ (天上所有正确命题的序号)16.已知a1=5，a n=2a n−1+3(n≥2)，则a6=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?18. 如图所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F是BC的中点．(1)求证：DF//平面EAB；(2)设动点P从F出发，沿棱BC，CD按照F→C→D的线路运动到点D，求这一运动过程中形成的三棱锥P−EAB体积的最小值．19. 设二次函数满足条件：(1)当时，都有且成立;(2)当时，；(3)在上的最小值为0．(1)求的值及的解析式；(2)求最大的实数，使得存在，只要，就有成立．20. 在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1=，BC=4，点A 1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E，使得OE⊥平面BB 1C 1C，并求出AE的长；(2)求平面A 1B 1C与平面BB 1C 1C夹角的余弦值．21. 如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB//FC//ED，FC=2，点O为FC的中点，点G是AB的中点．且AB=BC=12(Ⅰ)求证：OG⊥平面FCDE；(Ⅱ)请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；(Ⅲ)在线段CD上是否存在点，使得BH//平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．22. 已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n=a n−a n+k，c n=a n+a n+k(n∈N∗).若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H(k)”数列．(1)若数列{a n}的前n项和为S n=n2，证明：{a n}为H(k)数列；(2)若数列{a n}为H(1)数列，且a1=1，b1=−1，c2=5，求数列{a n}的通项公式；(3)若数列{a n}为H(2)数列，证明：{a n}是等差数列．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查正弦定理在三角形中的应用，是基础题．直接运用正弦定理求解即可．解：由正弦定理可知sinA=a2R ，sinB=b2R，sinC=c2R，(其中R为△ABC外接圆的半径)，sinA:sinB:sinC=a2R:b2R:c2R=a:b:c=5:11:13，故选：D．2.答案：C解析：解：∵各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，∴a n+1a n=2，∴a n=a1⋅2n−1，∴a4⋅a3a2⋅a1=a1⋅23⋅a1⋅22a1⋅2⋅a1=16．故选C．由各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，知a n+1a n =2，所以an=a1⋅2n−1，由此能求出a4⋅a3a2⋅a1．本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的灵活运用．3.答案：A解析：试题分析：设，因为，所以的最小值为；由的解集为空集知．故选B．考点：绝对值不等式的性质．4.答案：C解析：解：在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B 中，由棱锥的定义得：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体不一定是棱锥， 由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体，故B 不正确； 在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面，C 正确； 在D 中，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，故不正确．因此D 不正确． 故选：C ．在A 中，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱；在B 中，由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体；在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面；在D 中，分直角三角形绕它的一条直角边和斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体可能是圆锥，可能是两个对底面的两个圆锥，进而可判断出，本题考查命题真假的判断，考查棱柱、棱台等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：本题考查的知识点是异面直线夹角问题.建立空间坐标系，属于简单题．建立空间坐标系，求出异面直线AC 1与B 1C 的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案． 解：∵直三棱锥ABC −A 1B 1C 1底面三边长AC =3，BC =4，AB =5，AC ，BC ，CC 1两两垂直．如图建立坐标系，则C(0,0，0)，A(3,0，0)，C 1(0,0，4)，B 1(0,4，4)， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，4)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)， 设异面直线AC 1与B 1C 所成角为θ， 则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=20√2=2√25， ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为2√25， 故选：C ．6.答案：A解析：本题考查了面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理的运用；熟练掌握定理的条件是关键．利用面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理对四个选项分别分析选择正确答案．解：对于A，设过m的平面与β交于直线n，则m//n，又l//m，则l//n，又l⊥α，所以n⊥α，n⊂β，所以α⊥β；故A正确；对于B，l⊥m，m⊂α，直线l有可能在α内，所以B错误；对于C，如果直线m，n平行，直线l可能在α内；故C 错误；对于D，如果直线m，l平行，平面α，β可能相交；故D错误；故选A．7.答案：A解析：解：前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以m+n=16+4=20，故选：A．前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，根据规律求出即可．考查归纳推理，基础题．8.答案：B解析：解：(1)事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B⊂C，故B，C不互斥，(1)错误；(2)当a=1，b=0时，有√a>√b此时ln b无意义，故(2)错误；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0，故(3)正确．∴正确的说法只有(3)．故选：B．由互斥事件的概念判断(1)；举例说明(2)错误；写出全程命题的否定判断(3)．本题考查命题的真假判断与应用，考查互斥事件的概念，考查充分必要条件的判定方法，注意全称命题的否定的格式，是基础题．9.答案：A解析：解：将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长1，则球的半径R =12则球的体积V =43⋅π⋅R 3=π6 故选：A ．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和球的结构特征，可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键．10.答案：D解析：解：点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，如图，构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点，在A 中，∵二面角D −BC −G 是直二面角，∴二面角D −BC −E 是锐二面角，故A 错误；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，∴MN//BE ，∴BM 与EN 是相交线，故B 错误； 在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB =2，则B(0,2，0)，C(0,0，0)，D(2,0，0)，E(1,0，√3)，M(32,0，√32)，E(1,0，√3)，N(1,1，0)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32≠0，∴CM 与EN 不垂直，故C 错误； 在D 中，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面MCB 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +√32y =0n⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)，设直线EN 与平面MCB 所成角为θ， 则sinθ=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√34． ∴直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值为√34.故D 正确．故选：D ．构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点．在A 中，二面角D −BC −E 是锐二面角；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，MN//BE ，从而BM 与EN 是相交线；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出CM 与EN 不垂直；在D 中，求出平面MCB 的法向量，利用向量法能求出直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：D解析：本题考查了棱柱的定义，几何性质，属于基础题． 运用棱柱的定义，性质判断即可．解：∵棱柱的侧面可以是四边形，不能是三角形， ∴棱柱的侧面是平行四边形，而底面可以是平行四边形，棱柱的各条棱不一定都相等，因为底面的边长与侧棱不一定相等， 故ABC 都是错的； 故选：D ．12.答案：D解析：由于sinAcosB =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ，化简可得cosAsinB =0，又sinB ≠0，故有cosA =0，解得A =90°，即三角形为直角三角形，故选D ．13.答案：解析：试题分析：，所以所以夹角为考点：1.向量的数量积公式；2.夹角公式．14.答案：sin3π5>sin4π5>sin9π10解析：解：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，且函数y=sinx在[π2,π]上单调递减，∴sin3π5>sin4π5>sin9π10，故答案为：sin3π5>sin4π5>sin9π10，利用y=sinx在[π2,π]上单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合y=sinx的单调性是解决本题的关键．比较基础．15.答案：②③④⑤解析：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．①判断周长的变化情况．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③计算两个多面体的体积关系．④求出四棱锥的体积，进行判断．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大．解：①易证EF⊥面BDD′B′因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0,12]时，EM的长度由大变小．当x∈[12,1]时，EM的长度由小变大．所以当x=0或x=1时周长都为最大值．所以①错误．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=12时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=D′N，DN=B′M，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的．所以③正确．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C′EF的距离是个常数，所以四棱锥C′−MENF的体积V=ℎ(x)为常函数，所以④正确．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，正弦值为√2√3=√63，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大，正弦值为1，所以⑤正确．故答案为：②③④⑤．16.答案：253解析：由已知数列递推式可得数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得a n，则a6可求．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列通项公式的求法，是中档题．解：由a n=2a n−1+3(n≥2)，得a n+3=2(a n−1+3)(n≥2)，又a1+3=5+3=8≠0，∴数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，则a n+3=8×2n−1=2n+2，∴a n=2n+2−3．∴a6=28−3=253．故答案为：253．17.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．18.答案：(1)证明：取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=12AC.又∵ED//AC，∴ED//NF且ED=NF，四边形ENFD是平行四边形．∴DF//EN，而EN⊂平面EAB，DF⊄平面EAB，∴DF//平面EAB．(2)解：过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED//AC，∴ED//l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥13×2a×12×√3a×a=√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=13×DC×S△PAE=√33×12×AB×y P≥√33a×12×2a×a=√33a3．∴三棱锥P−EAB体积的最小值为√33a3．解析：(1)取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，由已知得四边形EMCD为矩形，四边形ENFD是平行四边形，由此能证明DF//平面EAB．(2)当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=1 3×DC×S△PAE≥√33a3.由此能求出三棱锥P−EAB体积的最小值．本题考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.答案：(1)；；(2)9．解析：试题分析：(1)由当x∈(0,5)时，都有恒成立可得f(1)=1；由可得二次函数的对称轴为x=−1，于是b=2a，再由，可得c=a，从而可求得函数f(x)的解析式；(2)可由，求得：−4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．试题解析：(1)因为且，所以．由得对称轴，由(1)(2)(3)解得：所以6分(2)由，因为，所以于是有，即因为当时恒有，所以显然，所以由题意知：使上式成立，所以即的最大值是9 14分．考点：二次函数的性质．20.答案：(1)证明：连接AO，在△AOA 1中，作OE⊥AA 1于点E，因为AA 1//BB 1，得OE⊥BB 1，因为A 1O⊥平面ABC，所以A 1O⊥BC．因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA 1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB 1C 1C.又，，得．(2)解：如图，分别以OA，OB，OA 1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,2，0)，C(0,−2,0)，A 1(0,0，2)，由得点E的坐标是，由(1)得平面BB 1C 1C的法向量是，设平面A 1B 1C的法向量n=(x，y，z)，由得令y=1，得x=2，z=−1，即n=(2,1，−1)，所以，即平面BB 1C 1C与平面A 1B 1C的夹角的余弦值是．解析：略21.答案：证明：(Ⅰ)∵四边形ABCF是等腰梯形，点O为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：(Ⅱ)F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED.//FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，由ED.//OC，得EOCD是平行四边形，∴EO//DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC//平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG//平面BCD，∴BC//平面EOG，∴BC//OG，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH//平面EOG．解析：(Ⅰ)推导出OG⊥FC，由此利用平面ABCF⊥平面FCDE，能证明OG⊥平面FCDE．(Ⅱ)F、D点为所求的点，推导出OG⊥FD，FD⊥EO，由此能证明FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，推导出EO//DC，从而DC//平面EOG，进而平面EOG//平面BCD，推导出GBCO是平行四边形，从而GB=CO，矛盾，由此得到不存在点H，使得BH//平面EOG．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面垂直的两点的判断与证明，考查满足线面平行的点是否存在的与求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．22.答案：证明：(1)当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1．当n=1时，a1=S1=1符合上式，则：a n=2n−1所以：b n=a n−a n+k，整理得：b n=−2k，c n=a n+a n+k=4n−2k−2．则b n≤b n+1，c n+1−c n=4．对任意的正整数n满足b n≤b n+1，且数列{c n}，是公差为4的等差数列，所以：数列{a n}为H(k)数列；(2)由于a1=1，b1=−1，c2=5，由数列{a n}为H(1)数列，则数列{c n}是等差数列，且c1=3，c2=5，所以：c n=2n+1．即a n+a n+1=2n+1所以：a n+1−(n+1)=a n−n，则{a n−n}是常数列所以：a1−1=0，则：a n=n．验证：b n=a n−a n−1=−1，所以：b n≤b n+1对任意正整数n都成立所以：a n=n．附：a n+a n+1=2n+1①，a n+1+a n+2=2n+3②，②−①得：a n+2−a n=2所以：a2k−1=a1+2(k−1)=2k−1．a2k=a2+2(k−1)=2k，所以：a n=n．证明：(3)由数列{a n}为H(2)数列可知：{c n}是等差数列，记公差为dc n+2−c n=(a n+2+a n+4)−(a n+a n+2)=−b n−b n+2=2d，所以：−b n+1−b n+3=2d．则：(b n−b n+1)+(b n+2−b n+3)=2d−2d=0又b n≤b n+1，所以：b n=b n+1，所以：数列{b n}为常数列，则b n=a n−a n+2=b1所以：c n=a n+a n+2=2a n−b1．由c n+1−c n=2(a n+1−a n)=d，．所以：a n+1−a n=d2所以：{a n}是等差数列．解析：(1)直接利用定义法证明数列为H(k)数列．(2)利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式．(3)直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列．本题考查的知识要点：数列的定义的应用，赋值法的应用，定义性数列的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。

湖北省华中师范大学第一附中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

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华中师大一附中2018—2019学年度上学期期末考试高二年级数学(理科)试题一，选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.)1.用秦九韶算法求多项式当地值时,,则地值是A. 2B. 1C. 15D. 17【结果】C【思路】【思路】运用秦九韶算法将多项式进行化简,然后求出地值【详解】,当时,,故选【点睛】本题主要考查了秦九韶算法,结合已知款件即可计算出结果,较为基础2.某宠物商店对30只宠物狗地体重(单位：千克)作了测量,并依据所得数据画出了频率分布直方图如下图所示,则这30只宠物狗体重(单位：千克)地平均值大约为A. 15.5B. 15.6C. 15.7D. 16【结果】B【思路】【思路】由频率分布直方图分别计算出各组得频率，频数,然后再计算出体重地平均值【详解】由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为：,频数为：则平均值为：故选【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图计算平均数,需要注意计算不要出错3.若方程,其中,则方程地正整数解地个数为A. 10B. 15C. 20D. 30【结果】A【思路】【思路】将方程正整数解问题转化为排列组合问题,采用挡板法求出结果【详解】方程,其中,则将其转化为有6个完全相同地小球,排成一列,利用挡板法将其分成3组,第一组小球数目为第二组小球数目为第三组小球数目为共有种方式故方程地正整数解地个数为10故选【点睛】本题主要考查了多圆方程地正整数解地问题,在求解过程中将其转化为排列组合问题,运用挡板法求出结果,体现地转化地思想4.过作圆地切线,切点分别为,且直线过双曲线地右焦点,则双曲线地渐近线方程为A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】由题意先求出直线地方程,然后求出双曲线地右焦点,继而解出渐近线方程【详解】过作圆地切线,切点分别为,则两点在以点,连接线段为直径地圆上则圆心为,圆地方程为直线为两圆公共弦所在直线则直线地方程为：即,交轴由题意可得双曲线地右焦点为则解得,,故渐近线方程,即故选【点睛】本题主要考查了直线，圆，双曲线地综合问题,在解题过程中运用了直线与圆相切,两圆公共弦所在直线方程地求解,最后再结合款件计算出双曲线方程,得到渐近线方程,知识点较多,需要熟练掌握各知识点5.给出下面结论：(1)某学校从编号依次为001,002,…,900地900个学生中用系统抽样地方式抽取一个样本,已知样本中有两个相邻地编号分别为053,098,则样本中最大地编号为862.(2)甲组数据地方差为5,乙组数据为5，6，9，10，5,那么这两组数据中较稳定地是甲.(3)若两个变量地线性相关性越强,则相关系数地值越接近于1.(4)对A，B，C三种个体按3:1:2地比例进行分层抽样调查,若抽取地A种个体有15个,则样本容量为30.则正确地个数是A. 3B. 2C. 1D. 0【结果】C【思路】【思路】运用抽样，方差，线性相关等知识来判定结论是否正确【详解】（1）中相邻地两个编号为053,098,则样本组距为样本容量为则对应号码数为当时,最大编号为,不是,故（1）错误（2）甲组数据地方差为5,乙组数据为5，6，9，10，5,则乙组数据地方差为那么这两组数据中较稳定地是乙,故（2）错误（3）若两个变量地线性相关性越强,则相关系数地绝对值越接近于1,故错误（4）按3:1:2地比例进行分层抽样调查,若抽取地A种个体有15个,则样本容量为,故正确综上,故正确地个数为1故选【点睛】本题主要考查了系统抽样，分层抽样，线性相关，方差相关知识,熟练运用各知识来进行判定,较为基础6.已知是之间地两个均匀随机数,则“能构成钝角三角形三边”地概率为A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】由已知款件得到有关地范围,结合图形运用几何概型求出概率【详解】已知是之间地两个均匀随机数,则均小于1,又能构成钝角三角形三边,结合余弦定理则,又由三角形三边关系得,如图：则满足款件地区域面积为,则满足题意地概率为,故选【点睛】本题考查了几何概率,首先要得到满足题意中地款件地不等式,画出图形,由几何概率求出结果,在解题中注意限制款件7.已知实数满足,则地取值范围是A. (－∞,0]∪(1,+∞)B. (－∞,0]∪[1,+∞)C. (－∞,0]∪[2,+∞)D. (－∞,0]∪(2,+∞)【结果】A【思路】【思路】先画出可行域,化简款件中地,将范围问题转化为斜率问题求解【详解】由,可得令,则为单调增函数即有可行域为：又因为,则问题可以转化为可行域内地点到连线斜率地取值范围将代入将代入结合图形,故地取值范围是故选【点睛】本题主要考查了线性规划求范围问题,在解答过程中要先画出可行域,然后将问题转化为斜率,求出结果,解题关键是对款件地转化8.在二项式地展开式中,当且仅当第5项地二项式系数最大,则系数最小地项是A. 第6项B. 第5项C. 第4项D. 第3项【结果】C【思路】【思路】由已知款件先计算出地值,然后计算出系数最小地项【详解】由题意二项式地展开式中,当且仅当第5项地二项式系数最大,故二项式展开式地通项为要系数最小,则为奇数当时,当时,当时,当时,故当当时系数最小则系数最小地项是第4项故选【点睛】本题主要考查了二项式展开式地应用,结合其通项即可计算出系数最小地项,较为基础9.已知椭圆地左，右焦点分别为,过地直线与椭圆交于两点,若且,则椭圆地离心率为A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】由已知款件进行转化,得到三角形三边地表示数量关系,再结合款件运用余弦定理求出结果【详解】如图得到椭圆图形,由题意中,两个三角形高相同故可以得到,又则,,由可以推得,即有,,,又因为,所以即有化简得,即,解得,故椭圆地离心率为故选【点睛】本题考查了求椭圆地离心率以及直线和椭圆地位置关系,结合椭圆地定义和已知角相等分别求出各边长,然后运用余弦定理求出结果,需要一定地计算量10.将一颗质地均匀地骰子先后抛掷三次,则数字之和能被3整除地概率为A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】先计算出一共有多少种情况,然后再计算出满足数字之和能被3整除地情况,求出概率【详解】先后抛掷三次一共有种情况数字之和能被3整除,则以第一次出现1为例,有：,共种,则运用枚举法可得数字之和能被3整除一共有种可能,数字之和能被3整除地概率为故选【点睛】本题主要考查了古典概率,结合古典概率公式分别求出符合款件地基本事件数,然后计算出结果,较为基础11.在下方程序框图中,若输入地分别为18，100,输出地地值为,则二项式地展开式中地常数项是A. 224B. 336C. 112D. 560【结果】D【思路】【思路】由程序图先求出地值,然后代入二项式中,求出展开式中地常数项【详解】由程序图可知求输入地最大公约数,即输出则二项式为地展开通项为要求展开式中地常数项,则当取时,令解得,则结果为,则当取时,令,解得,则结果为,故展开式中地常数项为,故选【点睛】本题考查了运用流程图求两个数地最大公约数,并求出二项式展开式中地常数项,在求解过程中注意题目地化简求解,属于中档题12.如下图,已知分别为双曲线地左，右焦点,过地直线与双曲线C地右支交于两点,且点A，B分别为地内心,则地取值范围是A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】由双曲线定义结合内切圆计算出点地横坐标,同理计算出点地横坐标,可得点地横坐标相等,然后设,用含有地正切值表示出内切圆半径,求出地取值范围.【详解】如图,圆与切于点三点,由双曲线定义,即,所以则,又,,故,同理可得,即,设,,,直线与双曲线右支交于两点,又知渐近线方程为,可得,设圆和圆地半径分别为,则,,所以因为,由基本不等式可得,故选【点睛】本题考查了直线与双曲线地位置关系,又得三角形地内切圆问题,在求解过程中将其转化利用双曲线定义求出,且得到两点横坐标,然后结合了三角函数求出半径之和,考查了转化地能力,较为综合二，填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.向正方形随机撒一些豆子,经查数,落在正方形内地豆子地总数为1000,其中有780粒豆子落在该正方形地内切圆内,以此估计圆周率地值(用分数表示)为____________.【结果】【思路】【思路】运用古典概率和几何概率来估计圆周率地值【详解】令正方形内切圆地半径为,则正方形边长为,则由题意中“落在正方形内地豆子地总数为1000,其中有780粒豆子落在该正方形地内切圆内”可得,化简得【点睛】本题考查了结合概率问题来估计圆周率地值,较为基础14.下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生地表演打出地分数地茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中地x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是____________.【结果】1【思路】【思路】因为题目中要去掉一个最高分,所以对进行分类讨论,然后结合平均数地计算公式求出结果【详解】若,去掉一个最高分和一个最低分86分后,平均分为,不符合题意,故,最高分为94分,去掉一个最高分94分,去掉一个最低分86分后,平均分,解得,故数字为1【点睛】本题考查了由茎叶图求平均值,理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果,注意分类讨论15.将排成一排,则字母不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻地概率是___ _________.【结果】【思路】【思路】分类讨论不同字母和数字地特殊情况可能出现地结果,然后运用古典概率求出结果【详解】将排成一排一共有种不同排法,则字母不在两端,且三个数字中有且只有两个数字相邻有种不同地排法,所以其概率为,故结果为【点睛】本题考查了排列组合问题,注意在排列过程中一些特殊地位置要求,不重复也不遗漏,属于中档题16.已知圆上存在点,使(为原点)成立,,则实数地取值范围是____________.【结果】【思路】【思路】依据款件中计算出点地轨迹,然后转化为圆和圆地位置关系求出实数地取值范围【详解】由题意中,设,则,化简得,又点在圆上,故两圆有交点,可得,又因为,解得【点睛】本题考查了圆和圆地位置关系,在解题时遇到形如款件时可以求出点地轨迹为圆,然后转化为圆和圆地位置关系来求解,属于中档题三，解答题：(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.为了解华师一附中学生喜欢吃辣是否与相关,调研部(共10人)分三组对高中三个年级地学生进行调查,每个年级至少派3个人进行调查.(1)求调研部地甲，乙两人都被派到高一年级进行调查地概率.(2)调研部对三个年级共100人进行了调查,得到如下地列联表,请将列联表补充完整,并判断是否有以上地把握认为喜欢吃辣与相关？喜欢吃辣不喜欢吃辣合计男生10女生2030合计100参考数据：参考公式：,其中.【结果】（1）。

湖北省武汉市华中师大一附中高二数学上学期期末试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题

湖北省武汉市华中师大一附中高二数学上学期期末试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．2．若方程x2+y2+x﹣y+m2=0表示圆，则实数m的取值X围是（）A．B．C．D．3．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样4．从数字1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．5．直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于（）A．B．C．D．6．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．D．7．下列正确的个数是（）（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．（3）一个样本的方差是S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，则这组数据等总和等于60．（4）数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4σ2．A．4 B．3 C．2 D．18．计算机是将信息转化为二进制数处理的，二进制即“逢二进一”如1101（2）表示二进制数，将它转化为十进制数为1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么二进制数转化为十进制数为（）A．22017﹣1 B．22016﹣1 C．22015﹣1 D．22014﹣19．直线与曲线x2﹣y|y|=1的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．11．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为（）A．B．C．D．12．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分x 1 2 3 4y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程为必过点．14．抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，其中恰有一个点数为2的概率为．15．在极坐标系中，定点A（2，0），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为．16．如图是计算++…+的值的程序框图，其中在判断框中应填入的条件是：i ＜．三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心C在直线x+3y﹣15=0上．（1）求圆C的方程；（2）设点P在圆C上，求Rt△PAB的面积．18．某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：（1）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高（保留四位小数）．19．随着机动车数量的迅速增加，停车难已是很多小区共同面临的问题．某小区甲、乙两车共用一停车位，并且都要在该泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两车中有一车在停泊位时，另一车必须等待的概率．20．某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示．男女性别科目文科 2 5理科10 3（1）若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；（2）用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？（参考公式和数据：χ2=（其中n=a+b+c+d））21．三棱锥A﹣BCD中，△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形，侧棱，现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个，并记对应的标号为f（η）（η取值为A、B、C、D），E为侧棱AB上一点（1）求事件“f（C）+f（D）为偶数”的概率p1；（2）若|BE|：|EA|=f（B）：f（A），求二面角E﹣CD﹣A的平面角θ大于的概率p2．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为λ（λ≠0）（1）求动点E的轨迹方程，若动点E的轨迹和点A、B合并构成曲线C，讨论曲线C的形状；（2）当λ=﹣时，记曲线C的右焦点为F2，过点F2的直线l1，l2分别交曲线C于点P，Q和点M，N（点P、M、Q、N按逆时针顺序排列），且l1⊥l2，求四边形PMQN面积的最值．2015-2016学年某某省某某市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】数形结合．【分析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax 递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．【点评】本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．2．若方程x2+y2+x﹣y+m2=0表示圆，则实数m的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；规律型；方程思想；直线与圆．【分析】由二元二次方程表示圆的条件得到m的不等式，解不等式即可得到结果．【解答】解：方程x2+y2+x﹣y+m2=0表示一个圆，则1+1﹣4m2＞0，∴．故选：B．【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，属基础知识的考查，本题解题的关键是看清楚所表示的二元二次方程的各个系数之间的关系．3．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样【考点】简单随机抽样；系统抽样方法．【分析】根据抽样的不同方式，选择合适的名称，第一种是简单随机抽样，第二种编号，选择学号最后一位为3的同学，这种抽样是系统抽样．【解答】解：学生会的同学随机对24名同学进行调查，是简单随机抽样，对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，是系统抽样，故选D【点评】抽样包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，根据条件选择合适的抽样方法，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，4．从数字1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计．【分析】分别求出所有的基本事件个数和符合条件的基本事件个数，使用古典概型的概率计算公式求出概率．【解答】解：从5个数字中随机抽取2个不同的数字共有=10种不同的抽取方法，而两数字和为偶数则必然一奇一偶，共有×=6种不同的抽取方法，∴两个数的和为奇数的概率P==．故选C．【点评】本题考查了古典概型的概率公式，通常使用列举法来计算，有时也可用排列组合公式来解决．5．直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】直线化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长．【解答】解：直线（t为参数）的普通方程为x﹣2y+3=0，圆心到直线的距离d=，∴直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长等于2=．故选：A．【点评】本题考查直线的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．6．如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率．【解答】解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4，∵|F1A|﹣|F2A|=2，∴|F2A|=2，∴|F1A|+|F2A|=6，∵|F1F2|=4，∴C2的离心率是=．故选B．【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．7．下列正确的个数是（）（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．（2）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．（3）一个样本的方差是S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x20﹣3）2]，则这组数据等总和等于60．（4）数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4σ2．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】计算题．【分析】根据频率分步直方图中中位数的求法知（1）正确，根据平均数和方差的特点知（2）正确．根据方差的公式知（3）正确，根据方差的性质知（4）正确．【解答】解：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故（1）正确，如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变，故（2）正确，一个样本的方差是S2=[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x n﹣3）2]，则这组数据等总和等于20×3=60，故（3）正确，数据a1，a2，a3，…，a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2a n的方差为4σ2．故（4）正确．综上可知4个命题都正确，故选A．【点评】本题考查众数，中位数，平均数和方差，本题解题的关键是理解这几个特征数的特点与求法，本题是一个基础题．8．计算机是将信息转化为二进制数处理的，二进制即“逢二进一”如1101（2）表示二进制数，将它转化为十进制数为1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么二进制数转化为十进制数为（）A．22017﹣1 B．22016﹣1 C．22015﹣1 D．22014﹣1【考点】进位制．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】根据二进制与十进制的换算关系，把二进制数转化为十进制数，再用等比数列求和得出结果．【解答】解：根据题意，二进制数转化为十进制数为1×22015+1×22014+…+1×22+1×21+1×20=22015+22014+…+22+2+1==22016﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了二进制、等比数列的前n项和公式的应用问题，二进制转换为十进制方法：按权重相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数．9．直线与曲线x2﹣y|y|=1的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作出曲线x2﹣y|y|=1的图形，画出y=x+的图形，即可得出结论．【解答】解：当y≥0时，曲线方程为x2﹣y2=1，图形为双曲线在x轴的上侧部分；当y＜0时，曲线方程为y2+x2=1，图形为圆在x轴的下方部分；如图所示，∵y=x+与y2+x2=1相交，渐近线方程为y=±x∴直线y=x+与曲线x2﹣y2=1的交点个数为0．故选：B．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，题目中所给的曲线是部分双曲线的椭圆组成的图形，只要注意分类讨论就可以得出结论，本题是一个基础题．10．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值．【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，其中，，由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为；故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型公式求值．11．正四面体的四个面上分别写有数字0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，露在外面的6个数字为2，0，1，3，0，3的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计．【分析】露在外面的6个数字为2，0，1，3，0，3，则向下的数字分别为1和2，求出所有的基本事件个数和向下数字为1和2的基本事件个数，代入概率公式即可．【解答】解：抛两个正四面体，共有4×4=16个基本事件，向下数字为1与2的基本事件共有2个，分别是（1，2）和（2，1），∴向下数字为1与2的概率P==．故选C．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，将所求问题转化为向下数字为1和2是解题关键．12．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1﹣）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值．【解答】解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m﹣2a，|BF2|=m﹣2a，∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，∴4a=m，∴|AF2|=（1﹣）m，∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（﹣）m2，∵4a=m∴4c2=（﹣）×8a2，∴e2=5﹣2故选D．【点评】本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF2|，从而利用勾股定理求解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知x与y之间的一组数据：x 1 2 3 4y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程为必过点（2.5，2）．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；规律型；概率与统计．【分析】求出样本中心即可得到结果．【解答】解：由题意可知：==2.5．=2．y与x的线性回归方程为必过点（2.5，2）．故答案为：（2.5，2）．【点评】本题考查回归直线方程的应用，样本中心的求法，考查计算能力．14．抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，其中恰有一个点数为2的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计．【分析】求出所有的基本事件个数和符合要求的事件个数，代入古典概型的概率公式即可．【解答】解：抛掷两颗质量均匀的骰子各一次共有6×6=36个基本事件，其中恰有一个点数为2的事件共有10个，分别是（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），∴恰有一个点数为2的概率P==．故答案为．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．15．在极坐标系中，定点A（2，0），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为（1，）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】求出动点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+y=0，由此能求出点B的极坐标．【解答】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①，∵在极坐标系中，定点A（2，0），∴在直角坐标系中，定点A（2，0），∵动点B在直线x+y=0上运动，∴当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+y=0，∴k AB=，设直线AB为：y=（x﹣2），即x﹣﹣2=0，…②，联立方程①②求得交点B（），∴ρ==1，tan==﹣，∴θ=．∴点B的极坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．16．如图是计算++…+的值的程序框图，其中在判断框中应填入的条件是：i＜10．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该题是当型循环结构，应先判断是否满足条件，再执行循环体，共执行了9次循环运算，从而得出结论．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知赋值i=1，m=0，n=0．判断满足条件，执行i=1+1=2，m=0+1=1，n=0+；判断满足条件，执行i=2+1=3，m=1+1=2，n=+；判断满足条件，执行i=3+1=4，m=2+1=3，n=++；判断满足条件，执行i=4+1=5，m=3+1=4，n=+++；…判断满足条件，执行i=9+1=10，m=8+1=9，n=+++…+；判断不满足条件，输出n=+++…+，算法结束．由此看出i=10时不满足10＜10．所以判断框中的条件应是i＜10．故答案为：i＜10．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据题意，模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，18至22题每题12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知以点C为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），且圆心C在直线x+3y﹣15=0上．（1）求圆C的方程；（2）设点P在圆C上，求Rt△PAB的面积．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】（1）圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15的交点，解之可得C（﹣3，6），由距离公式可得半径，进而可得所求圆C的方程；（2）求出|AB|，由题意可得角A或角B为直角，可知Rt△PAB的斜边长为圆的直径，由勾股定理求得另一直角边长，则Rt△PAB的面积可求．【解答】解：（1）依题意所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y﹣15=0的交点，∵AB的中点为（1，2），斜率为=1，∴AB的垂直平分线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即y=﹣x+3，联立，解得，即圆心C（﹣3，6）．∴半径r=．∴所求圆C的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40；（2）如图，|AB|=，PA或PB为圆的直径，等于，∴Rt△PAB的另一条直角边为，∴Rt△PAB的面积为×4×8=32．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查了直线与圆的性质，训练了数形结合的解题思想方法，属中档题．18．某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：（1）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高（保留四位小数）．【考点】茎叶图；频率分布直方图．【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计．【分析】（1）利用茎叶图和频率分布直方图确定分数在[50，60）的面积，然后求出对应的频率和人数．（2）利用茎叶图计算出分数在[80，90）之间的人数，以及对应的频率，然后计算出对应矩形的高【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在[50，60）的人数为3人，分数在[50，60）的矩形的面积为0.0125×10=0.125，即分数在[50，60）的频率为0.125；设全班人数为n人，则=0.125，解得n=24（人）；（2）则分数在[80，90）之间的人数为24﹣（3+7+10+2）=2人．则对应的频率为=，所以=≈0.0083，即频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为0.0083．【点评】本题考查了茎叶图和频率分布直方图的识别和应用问题，是基础题目．19．随着机动车数量的迅速增加，停车难已是很多小区共同面临的问题．某小区甲、乙两车共用一停车位，并且都要在该泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两车中有一车在停泊位时，另一车必须等待的概率．【考点】几何概型．【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计．【分析】先确定概率类型是几何概型中的面积类型，再设甲到x点，乙到y点，建立甲先到，乙先到满足的条件，再画出并求解0＜x＜24，0＜y＜24可行域面积，再求出满足条件的可行域面积，由此求出概率．【解答】解：设甲、乙两车达泊位的时刻分别为x，y．则作出如图所示的区域：区域D的面积S1=242，区域d的面积S2=242﹣162．∴P===．即两车中有一车在停泊位时另一车必须等待的概率为．【点评】本题主要考查了建模与解模能力，解答时应利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出对应事件的概率．20．某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示．男女性别科目文科 2 5理科10 3（1）若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；（2）用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？（参考公式和数据：χ2=（其中n=a+b+c+d））【考点】独立性检验．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型，求出事件发生所包含的事件和符合条件的事件数，得到概率．（2）根据所给的表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，得到有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．【解答】解：（1）从报考文科的2名男生，报考理科的3名女生中任取3人，有=10种，其中全是女生的情况只有1种，∴求3人中既有男生也有女生的概率为1﹣=；（2）χ2== 4.43＞3.841，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．【点评】本题是一个概率与统计的综合题目，是一个考查的比较全面的解答题，这种题目可以出现在大型考试中，解决本题是要注意列举做到不重不漏．21．三棱锥A﹣BCD中，△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形，侧棱，现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个，并记对应的标号为f（η）（η取值为A、B、C、D），E为侧棱AB上一点（1）求事件“f（C）+f（D）为偶数”的概率p1；（2）若|BE|：|EA|=f（B）：f（A），求二面角E﹣CD﹣A的平面角θ大于的概率p2．【考点】几何概型．【专题】分类讨论；数形结合法；概率与统计．【分析】（1）用M1表示“f（C）和f（D）均为奇数”，M2表示“f（C）和f（D）均为偶数”，计算P（M1）与P（M2）的值，再求“f（C）+f（D）为偶数”的概率P1=P（M1）+P（M2）；（2）画出图形，结合图形，找出二面角E﹣CD﹣A的平面角θ，计算θ=时的值，θ＞时的值，讨论f（B）=1、2或大于等于3时，f（A）的可能取值，从而求出P2的值．【解答】解：（1）用M1表示“f（C）+f（D）为奇数”，M2表示“f（C）+f（D）为偶数”，由题意知，P（M1）==，P（M2）==；记“f（C）+f（D）为偶数”为事件Q，则Q=M1+M2，所以P1=P（M1）+P（M2）=；…4分（2）如图，取CD中点F，连结BF、AF、EF，因为△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形，所以AF⊥CD，BF⊥CD，因此CD⊥平面ABF，所以∠AFE为二面角E﹣CD﹣A的平面角θ；…6分又AF=BF==AB，所以∠AFB=；若θ=，则∠EFB=﹣=，此时====+1，所以θ＞即＞+1；…8分当f（B）=1时，f（A）≥3，所以f（A）可取3，4，5，6，7，8共6个值；当f（B）=2时，f（A）≥6，所以f（A）可取6，7，8共3个值；当f（B）≥3时，f（A）≥9，所以f（A）不存在；所以P2==．…12分【点评】本题考查了概率的计算与应用问题，考查了数形结合法与分类讨论思想的应用问题，是全国高中数学竞赛题目，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为λ（λ≠0）（1）求动点E的轨迹方程，若动点E的轨迹和点A、B合并构成曲线C，讨论曲线C的形状；（2）当λ=﹣时，记曲线C的右焦点为F2，过点F2的直线l1，l2分别交曲线C于点P，Q和点M，N（点P、M、Q、N按逆时针顺序排列），且l1⊥l2，求四边形PMQN面积的最值．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设动点E的坐标为（x，y），由点点，，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为λ（λ≠0），知•=λ（λ≠0），由此能求出动点E的轨迹C的方程．（2）分斜率存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，即可求得结论．【解答】解：（1）设动点E的坐标为（x，y），∵点，，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为λ（λ≠0），∴•=λ（λ≠0），整理，得x2﹣=2，x≠±，∴动点E的轨迹C的方程为﹣=1．λ=﹣1，曲线C表示圆；λ＜﹣1，焦点在y轴上的椭圆；﹣1＜λ＜0，焦点在x轴上的椭圆；λ＞0，焦点在x轴上的双曲线；（2）当λ=﹣时，记曲线C：+y2=1的右焦点为F2（1，0）（ⅰ）若l1与l2中一条斜率不存在，另一条斜率为0，则S==2…（ⅱ）若l1与l2得斜率均存在，设l1：y=k（x﹣1）与椭圆方程联立，消去y可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∴|PQ|=|x1﹣x2|=同理可得|MN|=…S=|PQ||MN|==由≥2，得…由（ⅰ）（ⅱ）知，S min=，S max=2 (12)【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确表示四边形PMQN的面积是关键．。

华中师大一附中高一期末考试数学试题

华中师大一附中高一期末考试数学试题

华中师大一附中高一期末考试数学试题华中师大一附中高一期末考试数学试题一、选择题：1.若当x+y=6时，x-y=4，则结果是______。

A.x=2,y=4B.x=3,y=3C.x=4,y=2D.x=5,y=12.如果a > b > 0, 且loga (a) + loga (b) = 0.7236，则ab = _______。

A. 0.25B. 0.5C. 1D. 23.一个正六边形的顶点至其一边中点的线段和连续两条线段之和等于______。

A.6B.12C.20D.364.2π/3和5π/6三角函数的大小关系是_______。

A.等于B.大于C.小于5.已知函数f(x)=2cos2x+1的最小正周期是_______。

A.π/2B.πC.2πD.4π二、填空题：1.已知a，b，c为实数，若a2 + b2 = c2，则此等式的解一定是______。

2.函数f(x)=cotx + 1 的最小正周期是______________。

3.关于x的方程(x - 2)(x + 1)(x - 4) = 0的解为_______、_______、_______。

4.函数f(x)=2cos3x-3的大小期为___________________。

5.圆心角AOB的正余弦值分别是AO/OB=________和AO/AOB =________。

三、解答题：1.若方程2x-1=y2-5y+6=0有两个不同实数根，求其解。

2.设a，b，c都不为零，且b2 - ac = 0１，求下列不等式的解集：a2 + b2 + c2 < 2a + 2b + 2c。

3.已知函数f(x)=2x2+2x+1的极值点，求它的函数值。

4.计算如下数列的前n项和：Sn = 2n2 - 2n + 3。

5.如果方程x2－2x－3 = 0有两个相等的实数根的话，求它的解集。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试 语文试题(含解析)

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试 语文试题(含解析)

华中师大一附中2023—2024学年度下学期期末检测高一年级语文试题满分：150分考试时间：150分钟一、现代文阅读（共35分）（—）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一先秦哲学家荀子是中国第一个写了一篇较有系统的美学论文——《乐论》的人。

他有一句话说得极好，他说：“不全不粹不足以谓之美。

”这话运用到艺术美上就是说：艺术既要极丰富地全面地表现生活和自然，又要提炼地去粗存精，提高、集中，更典型，更具普遍性地表现生活和自然。

由于“粹”，由于去粗存精，艺术表现里有了“虚”，“洗尽尘滓，独存孤迥”（恽南田语）。

由于“全”，才能做到孟子所说的“充实之谓美，充实而有光辉之谓大”。

“虚”和“实”辩证的统一，才能完成艺术的表现，形成艺术的美。

但“全”和“粹”是相互矛盾的。

既去粗存精，那就似乎不全了，全就似乎不应“拔萃”。

又全又粹，这不是矛盾吗？然而只讲“全”而不顾“粹”，这就是我们现在所说的自然主义；只讲“粹”而不能反映“全”，那又容易走上抽象的形式主义的道路；既粹且全，才能在艺术表现里做到真正的“典型化”，全和粹要辩证地结合、统一，才能谓之美，正如荀子在两千年前所正确地指出的。

清初文人赵执信在他的《谈艺录》序言里有一段话很生动地形象化地说明这全和粹、虚和实辩证的统一才是艺术的最高成就。

他说：“钱塘洪防思（即洪昇，《长生殿》曲本的作者）久于新城（即王渔洋，提倡诗中神韵说者）之门矣。

与余友。

一日在司寇（渔洋）论诗，防思嫉时俗之无章也，曰：‘诗如龙然，首尾鳞鬣，一不具，非龙也。

’司寇哂之曰：‘诗如神龙，见其首不见其尾，或云中露一爪一鳞而已，安得全体？是雕塑绘画耳！’余曰：‘神龙者，屈伸变化，固无定体，恍惚望见者第指其一鳞一爪，而龙之首尾完好固宛然在也。

若拘于所见，以为龙具在是，雕绘者反有辞矣！’”艺术的表现正在于一麟一爪具有象征力量，使全体宛然存在，不削弱全体丰满的内容，把它们概括在一麟一爪里。

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华中师大一附中2018-2019学年度上学期高一期末检测数学试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{}{}{}，，，，，，，，，，，54532654321===N M U 则集合{}=61，
A.N M
B.N M
C.()N M C U
D.()N M C U
2.若幂函数()x f y =的图像经过点(-2,4),则在定义域内函数()x f
A.有最小值
B.有最大值
C.为增函数
D.为减函数
3.如图所示,已知，b 2====则下列等式中成立的是 A.a b c 2123
-= B.-=2 C.-=2 D.b a c 2
123-= 4.若()()
，ππππ2cos sin 4cos 224sin -=+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθ则=θtan A.41- B.21- C.23 D.4
1 5.若向量与向量()12，-=为共线向量,
，
53=则向量的坐标为 A.(-6,3) B.(6,-3) C.(6,-3)或(-6,3) D.(-6,-3)或(6,3)
6.函数bx ax y +=2与x y a
b log =(0≠ab 且b a ≠)在同一直角坐标系中的图象可能是
7.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数,且()x f 是以π为周期的周期函数,当2
6ππ≤≤x 时， ()，a x x f +=sin 则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-65πf A.23 B.21- C.21 D.2
3- 8.如图,一个大风车的半径长为8m,每12min 旋转一周,最低点离地面为2m,若风车翼片从如图所示的点0P 处按逆时针方向开始旋转，已知点0P 离地面6m,则该翼片的端点离地面的距离y (m)与时间x (min)之间的函数关系是
A.1036cos 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππx y
B.1036
cos 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ππx y C.1063sin 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y D.1036
sin 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y 9.已知函数()x e x x f --=ln (e 是自然对数的底数),若实数c b a 、、满足，＜＜＜c b a 0且 ()()()，＜0c f b f a f ∙∙则关于函数()x f 的零点，0x 的下列说法一定正确的是
A.()b a x ，∉0
B.()c a x ，∉0
C.()e a x ，∉0
D.()c b x ，∉0
10.将函数()x f 的图像向左平移
3π个单位,再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2
3倍，纵坐标不变,所得图像对应的函数解析式为，x x y 34cos 334sin +=则函数()x f 的解析式为
A.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321sin 2πx x f
B.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62
1sin πx x f C.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f D.()⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=62sin 2πx x f
11.已知向量a 为单位向量,()，
，43=+b a 则a +2的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.6
12.若函数()x f 是R 上的单调函数,且对任意实数，x 都有()，31122=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++x x f f 则 ()=3log 2f A.21 B.1 C.5
4 D.0 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。

请将答案填写在答题卡对应题号的位置， 答错位置,书写不清。

模棱两可均不得分)
13.《九章算术》是中国古代数学名著,其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现 在数学的算法一致,根据这一算法解决下列问题:现有一扇形田,下周长(弧长)为20米,径长(两段半径的和)为24米,则该扇形田的面积为_______平方米.
14.已知，
，31tan 71tan ==βα则()βα2tan +的值为_________. 15.若，，，21
352ln 2log -===c b a 则c b a 、、的大小关系是________.
16.将函数x y cos =的图象向左平移3
π个单位长度,再将图象上每个点的横坐标变为原来的
()01
＞ωω倍(纵坐标不变),得到函数()x f y =的图象,若函数()x f y =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有且 仅有一个零点,则ω的取值范围为__________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
，
1==向量a 与b 的夹角为60°. (1)当m 为何值时,向量b a c +=与b a m d 2-=垂直?
(2)当m 为何值时,向量b a c +=与b a m d 2-=的夹角为
6
5π
18.(本小题满分12分) 已知函数().62sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πx x f (1)请用“五点法”画出函数()x f 在[]，π0上的图象；
(2)求()x f 在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡434π，π的最大值和最小值； (3)写出()x f 的单调递增区间(不需要写过程)。

19.(本小题满分12分) 若b a 、
是两个不共线的非零向量,.R t ∈ (1)若起点相同,t 为何值时,()
b a b t a +31
、、三向量的终点在条直线上?
(2)=与的夹角为t ，︒60为何值时-的值最小，并求出最小值(的式子表示)。

20.(本小题满分12分)
某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一扇形(如图)荒地改造成市民休闲中心,其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所,其余区域(阴影部分)改造为景观绿地(种植各种花草).已知该扇形OAB 的
半径为200米,圆心角∠AOB=60°,点Q 在OA 上,点M 、N 在OB 上,点P 在弧AB 上,设∠POB=.θ
(1)若矩形MNPQ 是正方形,求θtan 的值；
(2)为方便市民观赏绿地景观,从P 点处向OA 、OB 修建两条观赏通道PS 和PT(宽度不计),使PS ⊥OA,PT ⊥OB,其中PT 依PN 而建,为让市民有更多时间观赏,希望PS+PT 最长,试问:此时点P 应在何处?说明你的理由.
21.(本小题满分12分) 已知向量()()，
，，1cos sin 31cos 2-+==x x x 函数().x f ∙= (1)将函数()x f 的图像向右平移()0＞m m 个单位长度,所得图像对应的函数为奇函数，写出m 的最小值(不要求写过程)；
(2)若()，，ππ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈-=435600x x f 求02cos x 的值； (3)若函数()()0＞ωωx f y =在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛23π，π上是单调递增函数，求正数ω的取值范围。

22.(本小题满分12分)
已知函数()()n x m x e x h e x g --==2，(其中e 为自然对数的底数,n m 、为常数),函数()x f 定
义为:对每一个给定的实数()()()()()()().⎩
⎨⎧≤=x h x g x h x h x g x g x f x ＞，，，
(1)当n m 、满足什么条件时,()()x g x f =对所有的实数x 恒成立；
(2)设b a 、是两个实数,满足b a ＜且()，，，b a n m ∈当()()b f a f =时,求函数()x f 在区间 []b a ，的上的单调增区间的长度之和(用含b a 、的式子表示)(闭区间[]q p ，的长度定义为 p q -).。

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