极点配置问题
自适应控制--极点配置自校正
A F 1zdBGA m A 0
degF1 degB1 d 1
(14)
degGdegA1
并且右边的阶次小于等于左边阶次，即
d egA 0„d egA F 1d egA m
(15)
现将以上叙述归纳一下：
已知：过程多项式A、z-d和B；
性能要求：期望传递函数分母多项式Am；
1) 对多项式B进行因式分解，BBB，求
（3-2）
其中 F(z1)、R(z1) 和 G ( z 1 ) 为待定多项式，且 F ( z 1 ) 为首一多项式， y r ( k ) 为参考 输入。
这样构成的控制系统方框图见图2，表达式如下。
24
yr (k)
R( z 1 ) F (z1)
(k)
1 A( z 1 )
u(k)
y(k)
zd B(z1)
然后在式（10）中，假定它的左右两边各项有相同阶次，进而确 定和G的阶次，再根据左右两边相同阶次的系数应相等列代数方
程，并解之。
例1 极点配置设计1
设有被控对象：
( 1 1 .3 z 1 0 .3 z 2 ) y ( k ) ( z 2 1 .5 z 3 ) u ( k ) ( k )
两种自校正控制方法 间接自校正控制：按“模型参数－控制器参数－控制量算法”过程获得
的控制量，由于控制器参数是通过模型参数估计间接得到的故取名间接自校正 控制，又由于模型参数有明确的表达式，故又称为显式自校正控制。特点：直 观清晰，便于模块化设计，但计算量大。
直接自校正控制：不用估计模型参数，而是通过输入输出信息直接估计
则反馈系统的系统矩阵为:
0
1
0
L
0
0
1
L
实验五利用MATLAB求解极点配置问题
现代控制理论第四次上机实验报告实验五 利用MATLAB 求解极点配置问题实验目的：1、学习极点配置状态反馈控制器的设计算法；2、通过编程、上机调试，掌握系统极点配置设计方法。
实验步骤：1、极点配置状态反馈控制器的设计，采用MATLAB 的m-文件编程；2、在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。
实验要求：1、 在运行以上程序的基础上，针对状态空间模型为[]01034132x x u y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=&的被控对象设计状态反馈控制器，使得闭环极点为-4和-5，并讨论闭环系统的稳态性能。
先判断系统能控性：>> A = [0 1 ;-3 -4];B = [0;1];Tc=ctrb(A,B)n=size(A);if rank(Tc)==n(1)disp('The system is controlled')elsedisp('The system is not controlled')endTc =0 11 -4The system is controlled再求状态反馈器：>> A = [0 1 ;-3 -4];B = [0;1];J = [-4 -5];K = place(A,B,J)K =17.0000 5.0000即状态反馈控制器为：状态反馈闭环系统状态空间表达式：A1=A-BK=[0 1;-20 -9]配置极点前：>> A=[0 1 ;-3 -4];B=[0;1];C=[3 2];D=0;step(A,B,C,D)得到波形：配置极点后：A变为A1>> A=[0 1 ;-20 -9];B=[0;1];C=[3 2];D=0;step(A,B,C,D)得到波形：由上述两图对比可知，配置极点后，系统动态性能变好，但是稳态误差变大。
2、 分析极点配置对稳态性能有何影响？如何消除对稳态性能的负面影响？答：配置极点后动态性能变好，但是稳态误差不能消除。
极点配置问题
5.2 极点配置问题5.2.1 问题提出控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。
因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。
极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。
在经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特定的根轨迹曲线配置而已。
因此，广义地说，不论综合系统的性能指标怎样不同，究其实质都是运用各种技术手段来实现系统极点零点的重新配置，以期获得所期望的性能。
本节讨论在指定极点分布的情况下，如何设计反馈增益阵的问题。
为简单起见，只讨论单输入—单输出系统。
5.2.2 状态反馈与极点配置定理三 采用状态反馈对系统()0,,A B C =∑任意配置极点的充要条件是0∑完全能控。
证明 只证充分性。
若∑完全能控，通过状态反馈必成立[]*det ()()I A bK f λλ-+= （5.26） 式中*()f λ—期望特征多项式。
***1*1101()()nn n in i f a a a λλλλλλ--==-=++++∏ （5.27）式中*(1,2,,)i i n λ= —期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）。
① 若∑完全能控，必存在非奇异变换CI x T x = 式中CI T —能控标准I 型变换矩阵。
能将∑化成能控标准I 型x+xA bu =y Cx =式中 1012101000010CI CI n A T AT a a a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦1001CI b T b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]011=C CI n C T b b b -=受控系统∑的传递函数为121121001110()=()n n n n n n n b s b s b s b W s C sI A b s a s a s a -------++⋅⋅⋅++-=++⋅⋅⋅++ （5.28） ② 加状态反馈增益阵 011n K k k k -⎡⎤=⎣⎦ （5.29）可求得对x 的闭环状态空间表达式()+x A bK x bu y Cx ⎫=+⎪⎬=⎪⎭（5.30）式中 0110110100001001()()()n n A b K a k ak a k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦闭环特征多项式为()()f I A bK λλ=-+1110110()()()n n n n a k a k a k λλλ---=+-++-+- （5.31） 闭环传递函数为1212101110110()=()()()n n n n k n n n n b s b s b s b W s s a k s a k s a k -------++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+-+- （5.32） ③ 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足 *()()f f λλ=由等式两边同次幂系数对应相等，可解出反馈阵各系数*(0,1,,1)i i i k a a i n =-=- （5.33）于是得 ***001111n n K a a a a a a --⎡⎤=---⎣⎦ ④ 最后，把对应于X 的K ，通过如下变换，得到对应于状态X 的K 。
反馈控制与极点配置
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
多输入系统极点配置例题
多输入系统极点配置例题篇一：多输入系统极点配置是指将一个输入系统映射到一组极点上,以便在程序中对其进行控制。
极点配置是输入系统设计中的一个重要概念,可以用于优化输入系统的性能和响应特性。
本文将介绍多输入系统极点配置的基本概念和例题,并探讨其在实际应用中的重要性。
正文:1. 多输入系统极点配置的基本概念多输入系统极点配置是指将一个输入系统映射到一组极点上,以便在程序中对其进行控制。
极点是输入系统中的一组点,它们描述了输入系统的动态特性。
极点配置是将输入系统的动态特性映射到一组极点上的过程,以便在程序中对其进行控制。
在多输入系统中,极点配置通常用于优化输入系统的性能和响应特性。
例如,在语音识别系统中,极点配置可以用于优化语音信号的处理方式,以获得更准确的语音分析和识别结果。
在运动控制系统中,极点配置可以用于优化传感器数据的采集和分析,以提高运动控制性能和稳定性。
2. 多输入系统极点配置例题下面是一个典型的多输入系统极点配置例题,用于说明极点配置在实际应用中的重要性。
例题:一个汽车自动驾驶系统汽车自动驾驶系统需要对道路和交通信号进行感知和识别,以控制汽车的运动和行驶方向。
该系统需要一个输入系统来描述道路和交通信号的状态,以及汽车所需的运动参数。
极点配置示例如下:- 道路状态:道路分为两条平行的直线,一条向左弯曲,一条向右弯曲。
- 交通信号状态:交通信号分为黄色信号、绿色信号和红色信号。
- 汽车运动参数:汽车的速度为零,加速度为向右施加。
通过这个极点配置,系统可以实时感知道路和交通信号的状态,并根据所需的运动参数控制汽车的运动。
这个极点配置可以通过软件实现,也可以通过硬件传感器和控制器来实现。
拓展:极点配置在实际应用中有许多应用场景,可以用于优化系统的性能和稳定性。
例如,在语音识别系统中,极点配置可以用于优化语音信号的处理方式,以获得更准确的语音分析和识别结果。
在运动控制系统中,极点配置可以用于优化传感器数据的采集和分析,以提高运动控制性能和稳定性。
线性系统的极点配置设计研究
线性系统的极点配置设计研究【引言】线性系统是现代控制工程学中的基础，系统的稳定性是控制系统设计的一个核心问题。
对于一个线性系统而言，其极点配置设计是控制系统设计中非常重要的一环。
本文将对线性系统的极点配置设计进行研究，并分别从理论和实践两个方面进行分析。
【理论分析】（一）极点概念的介绍在控制系统设计中，极点是非常重要的概念。
在数学上，一个线性系统的极点是其传递函数分母的根，通常将其表示为 s1, s2, ..., sn。
一个线性系统的稳定性与其极点有着密切的关系，当且仅当极点全部位于左半s平面才能保证系统的稳定性。
（二）极点配置设计的方法对于一个控制系统而言，其极点配置设计是控制系统设计的重点之一。
一般分为基于传递函数的极点配置设计和基于状态空间的极点配置设计两种。
1. 基于传递函数的极点配置设计传递函数的极点决定了一个系统的动态响应，因此，极点配置设计是控制系统设计中最重要的一步。
其中，将极点移动到左半s平面可以提高系统的稳定性，将极点分配到希望响应的位置可以改善系统的动态特性。
2. 基于状态空间的极点配置设计状态空间模型是控制系统设计中最常用的一种模型。
通过控制系统的状态变量的配置，可以决定其动态性能。
状态空间模型的主要优点是可以更好地对系统动态性能进行描述，因此，它是现代控制系统设计中非常重要的分析工具。
【实践分析】（一）极点配置设计的应用在实际的控制系统设计中，极点配置设计是不可或缺的环节。
针对不同的控制对象，合理地配置其极点可以有效地改善系统的动态性能。
下面列举几种常用的应用场景。
1. 直流电机系统对于直流电机系统而言，合理地配置极点可以显著提高系统的过渡过程与稳定性能。
通过使用极点配置工具，可以将系统的极点分布在希望的位置上，使得电机系统具有更好的响应速度和精度。
2. 液压伺服系统在液压伺服系统中，通过配置极点使得系统具有更好的质量指标和响应性能。
通过使用控制系统设计软件，可以更加精细地进行控制器的设计，从而提高系统的控制性能和稳定性。
现代控制理论实验指导书4-极点配置
现代控制理论实验指导书4-极点配置实验五利⽤MATLAB 求解极点配置问题实验⽬的：1、学习极点配置状态反馈控制器的设计算法；2、通过编程、上机调试，掌握系统极点配置设计⽅法。
实验原理：给定⼀个连续时间系统的状态空间模型：xA xB u =+ （5.1）其中：nx R ∈是系统的n 维状态向量，mu R ∈是m 维的控制输⼊，A 和B 分别是适当维数的已知常数矩阵。
在状态反馈u K x =- （5.2）作⽤下，闭环系统的状态⽅程是()xA B K x =- （5.3）由线性时不变系统的稳定性分析可知，闭环系统（5.3）的稳定性由闭环系统矩阵A B K -的特征值决定，即闭环系统（5.3）渐近稳定的充分必要条件是矩阵A B K -的所有特征值都具有负实部。
⽽由经典控制理论知道，矩阵A B K -的特征值也将影响诸如衰减速度、振荡、超调等过渡过程特性。
因此，若能找到⼀个适当的矩阵K ，使得矩阵A B K -的特征值位于复平⾯上预先给定的特定位置，则以矩阵K 为增益矩阵的状态反馈控制器（5.2）就能保证闭环系统（5.3）是渐近稳定的，且具有所期望的动态响应特性。
这种通过寻找适当的状态反馈增益矩阵K ，使得闭环系统极点（即矩阵A B K -的特征值）位于预先给定位置的状态反馈控制器设计问题称为是状态反馈极点配置问题，简称为极点配置问题。
对给定的线性定常系统（5.1）和⼀组给定的期望闭环极点12{,,}n λλλΩ= ，按以下步骤可以设计出使得闭环系统（5.3）具有给定极点}12{,,}n λλλΩ= 的状态反馈控制器（5.2）。
第1步：检验系统的能控性。
如果系统是能控的，则继续第2步。
第2步：利⽤系统矩阵A 的特征多项式1110det()n n n I A a a a λλλλ---=++++确定011,,,n a a a - 的值。
第3步：确定将系统状态⽅程变换为能控标准形的变换矩阵T 。
若给定的状态⽅程已是能控标准形，那么1T =。
极点配置问题下二阶系统研究现状及发展动态分析
极点配置问题下二阶系统研究现状及发展动态分析作者：罗海林来源：《锋绘》2018年第06期摘要：極点配置问题常出现于控制结构系统中，是其中重要问题之一。
极点配置问题的关键就是通过选取适当的状态反馈矩阵，使得闭环控制系统中的矩阵所期望的极点配置到事先给定的位置上，从而保证整个系统具有良好的动态特性，即部分极点配置问题。
关键词：极点配置;二阶系统0 引言极点配置问题研究最早是由Wonham （1967）提出。
早期学者主要研究的是在开环控制系统中极点的完全配置问题，但是在实际工程问题中，开环控制系统中仅有小部分极点是其产生共振现象的原因。
因此我们只需重新配置这些点就可以避免共振的发生，如果剩余的特征结构仍然保持稳定性，那么就把这类问题叫做部分极点配置问题。
该问题就是通过状态反馈控制将闭环系统中的不期望的极点配置成预期指定的极点，从而改善系统的性能，也就是通过修正外力控制，来引起开环系统矩阵的部分特征结构的变化。
最近几年还将二阶系统问题的相关研究方法逐步推广到了高阶系统的部分极点配置问题中。
本文的主要工作是对前人研究的问题和所用的方法做一个系统的归纳，为以后学者研究该问题提供参考和依据。
1 二阶系统研究现状及发展动态分析1.1 研究背景二阶系统部分极点配置问题研究的是如下振动结构形式的有限元生成模型：M0v（t）+C0v（t）+K0v（t）=f（t）（1）其中M0，C0和K0分别表示质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，V（t）是n阶状态变量。
然而这些系数矩阵具有以下特殊性质：①矩阵M正定，C和K半正定;②都是n阶对称矩阵。
对于（1）式的一般解可由等式：M0v（t）+C0v（t）+K0v（t）=0（2）确定。
设v（t）=xeλt，其中x∈C，λ∈C n，代入（2）得：（λ2M+λC+K）x=0（3）记P（λ）=λ2M+λC+K，那么就称P（λ）为开环二次束。
其中，特征值λ与自然频率相关，特征向量表示（2）的模态振型，并且（3）式有2n个特征对，表示为{λt，x i}i=12n.在实际工程中，为了避免系统的共振现象，一般是通过修正外力来改变P（λ）的部分特征结构，从而提高系统的稳定性。
极点配置问题课件
PART 03
极点配置问题的算法设计
基于梯度下降的算法设计
总结词
简单、易于实现、适合小规模问题，但可能陷入局部最优解。
详细描述
梯度下降法是一种最优化算法，通过迭代地调整参数以最小化目标函数。在极点配置问题中，可以利 用梯度下降法来优化极点位置。该算法简单易实现，适合小规模问题。但是，梯度下降法容易陷入局 部最优解，可能无法找到全局最优解。
03
3. 分析粒子群优化算法的优缺点 及其在极点配置问题中的应用前景。
04
THANKS
感谢观看
部最优解，无法找到全局最优解。
PART 04
极点配置问题的应用案例
在电力系统中的应用
总结词
提高电力系统的稳定性和可靠性
详细描述
极点配置问题在电力系统中有着广泛的应用。 通过调整电力系统的极点，可以改变系统的 动态性能，提高系统的稳定性和可靠性。例 如，在电力系统的控制器设计中，极点配置 问题被用来确定最优的控制策略，以确保系 统在各种运行条件下都能保持稳定。
新算法的探索与研究
混合算法
结合多种算法的优点，开发出一种混合算法，以实现更高效、更 稳定的极点配置。
优化搜索策略
通过改进搜索策略，减少搜索空间，提高搜索效率，快速找到最优 解。
基于深度学习的方法
利用深度学习技术的优势，构建一个高效的深度学习模型，用于学 习和预测极点配置的结果。
在其他领域的应用拓展
在控制系统中的应用
要点一
总结词
实现控制系统的最优设计
要点二
详细描述
极点配置问题在控制系统的设计中扮演着重要的角色。通 过合理地配置控制系统的极点，可以实现控制系统的最优 设计，提高系统的响应速度、稳定性和鲁棒性。例如，在 航空航天控制系统的设计中，极点配置问题被用来优化控 制回路的设计，以确保飞机和航天器在各种飞行条件下都 能保持稳定的姿态和轨迹。
极点配置优缺点_控制系统极点配置实验报告范文
极点配置优缺点_控制系统极点配置实验报告范文课程名称：控制理论乙指导老师：姚唯成绩：实验名称：控制系统的极点配置实验类型：同组学生姓名：郁明非一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填）三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填）七、讨论、心得实验目的和要求1．掌握全状态反馈系统的极点配置方法2．在Simulink仿真环境中，研究极点配置对系统特性的影响二、实验内容和原理（一）实验内容1．一被控对象，其传递函数为设计反馈控制器u=-k某，使闭环系统的极点为，，。
在Simulink仿真环境下，用基本环节组成经过极点配置后的系统，通过图形观察环节，观察系统的各点响应。
（二）实验原理对一给定控制系统如果其状态完全可控，则可进行任意极点配置即通过设计反馈増益K使闭环系统具有期望的极点。
极点配置有二种方法：第一种方法是采用变换矩阵T，使系统具有期望的极点，从而求出矩阵K；第二种方法基于Caylay-Hamilton理论，通过矩阵多项式φ（a），可求出K（这种方法称为Ackermann公式）。
在MATLAB中，利用控制系统工具箱函数place和acker进行极点配置设计。
三、主要仪器设备一台PC电脑，matlab仿真软件，imulink仿真环境实验源代码及实验结果functionjidianpeizhinum=[10];den=[1,6,11,6];[A,B,C,D]=tf2(num,den);J=[-2-j某2某qrt(3),-2+j某2某qrt(3),-10];K=place(A,B,J);Ky=(A-B某K,[0;0;0],eye(3),0);t=0:0.01:4;某=initial(y,[1;0;0],t);某1=[1,0,0]某某';某2=[0,1,0]某某';某3=[0,0,1]某某';ubplot(3,1,1);plot(t,某2);gridon;title('Reponetoinitialcondition');ylabel('某1');ubplot(3,1,2);plot(t,某2);gridon;ylabel('某2');ubplot(3,1,3);plot(t,某3);gridon;ylabel('某3');某label('t(ec)');实验结果K=8.000045.0000154.0000实验验证：>>num=[10];>>den=[16116];>>[A,B,C,D]=tf2(num,den);>>J=[-2-j某2某qrt(3),-2+j某2某qrt(3),-10];>>K=place(A,B,J)K=8.000045.0000154.0000>>A1=A-B某K;>>y=(A1,B,C,D);>>G1=zpk(y);>>G1=zpk(y)G1=10----------------------(+10)(^2+4+16)imulink仿真简单环节叠加仿真状态函数仿真心得、体会通过本次实验，掌握了状态反馈的概念，并且掌握了利用状态反馈进行极点配置的方法，学会了用MATLAB求解状态反馈矩阵。
极点配置问题
定理2-1 对线性定常系统 (A, B, C) 利用线性状态反 馈阵K，能使闭环系统 K(A-BK, B, C) 的极点任意 配置的充分必要条件为被控系统 (A, B, C) 是状态 完全可控的。
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。
即证明，若被控系统(A, B, C)状态完全可控，则状态反 馈闭环系统K(A-BK, B, C)必能任意配置极点。
证明过程的思路为:
对状态不完 全可控的开 环系统进行
可控分解
对可控分 解后的系 统进行状 态反馈
其完全不可 控子系统不 能进行极点
配置
与假设 矛盾, 必 要性得
证
证明过程:
被控系统(A,B,C)状态不完全可控, 则一定存在线性变换 x=Pc x , 对其可进行可控分解, 得到如下状态空间模型:
K KP1 [a2* -a2 a1* -a1]P1
[5-(-5)
2-(-2)]
1 6
-1 -1
2 8
1 -7 26
3
则在反馈律 u=-Kx+v 作用下的闭环系统的状态方程为
x
1 3
11
4ห้องสมุดไป่ตู้
58 17
x
2 1
u
通过验算可知，该闭环系统的极点为-1±j2，达到设计要求。
置，但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A的
特征值个数。
因此, 系统 (A, B,C)的所有极点并不都能任意配置。
由于线性变换不改变系统特征值，因此系统(A,B,C)的 极点并不是都能任意配置的。
这与前面假设矛盾，即证明了：被控系统 可任意配置 极点，则系统一定是状态完全可控的。
现代控制理论-第四章 极点配置问题
反馈后，系统的动态方程为
⎧ X = ( A − BK ) X + BV
⎨ ⎩
Y = CX
其中 K 为 Km×n 阵。m 为 U 的维数，n 为状态向量的维数。 记为 {A − BK, B,C} ，其传递矩阵为
GK (s) = C [sI − ( A − BK ]) −1 B
特点：状态反馈并没有增加系统的维数，通过改变 K，可以选择系统的特征值， 使系统获得所要求的性能
第四章 线性定常系统的综合
第四章 线性定常系统的综合
内容： 4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其对系统特性的影响 4.2 SISO 系统的极点配置 4.3 系统镇定问题 4.4 系统解耦问题 4.5 状态观测器 4.6 利用状态观测器实现状态反馈
前面介绍的内容都属于系统的描述与分析。 系统的描述：主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外 部描述)之间的相互转换等。 系统的分析：主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运 动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。
8
第四章 线性定常系统的综合
而巴知状态反馈可保持能控性，从而证明输出反馈的引入不改变系统的能控性。
其次，表示 ∑0 和 ∑K 的能观测判别阵分别为
⎡C ⎤
Qo
⎢
=
⎢ ⎢
CA
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣CAn−1
⎥ ⎦
⎡
C
⎤
和
⎢
QoF
=
⎢ ⎢
C( A − BFC)
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣C
(
A
−
BFC
)
n−1
⎥ ⎦
2．稳定性与镇定 状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。加入反馈，使得通过反馈构成
极点配置问题-24页PPT资料
CC T c1
0 1
0
b
..
0
... n1
1
5.2 极点配置问题
2) 加入状态反馈增益阵
K k 0 ,k 1 ,.k n . 1 .
x (AbK)xbu
ycx
0
1
0
AbK
0
0
0 ... 0
0
1
(a0k0) (a1k1) ... (an1kn1)
i 1
f * ( ) 是期望特征多项式.
* i
是期望的闭环极点.
5.2 极点配置问题
若 0 状态完全能控,必存在非奇异变换
x Tc1x
将 0 化为能控标准型
x A x b u
y cx
0 1
0
A
0
0
0 ...
0
0
1
a0
a1
...
an1
KK
5.2 极点配置问题
状态反馈极点配置的步骤:
1 将原系统化为能控标准型 x Tc1x
2 求出原系统的特征多项式的系数 i.i1,2,.n..1
3 求出期望特征多项式的系数 i*.i1,2,..n.1
4 使闭环极点与给定的期望极点相等
K [0 0 * ,1 1 * ,.n . 1 .n * 1 ]
5 求出原系统的增益阵K
K KTc11
x (A B)x K b,y v cx
5.2 极点配置问题
例题５－２的另一种解法.
w(s)
10
s(s1)(s2)
极点配置
rank(Qo)
ans = 3
系统能 控能观！ 控能观！
利用MATLAB进行辅助运算 进行辅助运算 利用
6、求矩阵的行列式 、 det(Qc)
ans = 194
7、传递函数和状态空间实现的转换 、 [num,den]=ss2tf(A,B,C)
num = 0 den = 1.0000 -7.0000 -10.0000 94.0000 0.0000 -5.0000 37.0000
极点配置
例如对于单输入系统
x = Ax + B u
1 0 0 0 0 1 A= ... ... ... 0 0 0 − a0 − a1 −a2 ... 0 ... 0 ... ... ... 1 ... −an−1
0 0 B = ... 0 1
1 0 0 0 0 1 A−B = ... K ... ... 0 0 0 −a0 −k1 −a −k2 −a2 −k3 1 ... ... ... 1 ... −an−1 −kn ... ... 0 0
则闭环系统的特征多项式为 ψ(s) = det(sI − A+ B ) = sn +(an−1 +kn)sn−1 +L+(a1 +k2)s +(a0 +k1) K 令其与希望的闭环特征多项式相等， 令其与希望的闭环特征多项式相等，可得 ki = ai* 1 −ai−1，则 −
u = Ck xk + D y k
动态反馈
闭环系统为
• x A+ B kC B k x D C • = BC x A xk k k k
极点配置增益过大的原因
极点配置增益过大的原因以极点配置增益过大的原因为标题，写一篇文章在计算机领域中，经常会涉及到对信号进行放大的操作。
放大信号可以带来许多好处，比如增强音频的音量，提高图像的清晰度等。
然而，当放大信号的增益过大时，就会出现一些问题。
本文将探讨极点配置增益过大的原因，并分析其可能引发的后果。
我们需要了解什么是极点配置。
在信号处理的过程中，极点配置是一种常见的技术，用于调整系统的频率响应。
极点是系统函数的根，决定了系统的稳定性和频率特性。
通过调整极点的位置，可以改变系统的增益和相位响应。
当极点配置的增益过大时，系统的稳定性会受到影响。
系统的稳定性是指系统在输入变化或干扰下的响应能力。
当系统的增益过大时，反馈回路可能变得不稳定，导致系统产生震荡或振荡的现象。
这种情况下，系统无法正确地处理输入信号，从而影响到系统的性能和可靠性。
除了稳定性问题，极点配置增益过大还会引发信号失真的问题。
信号失真是指信号在经过放大过程中，输出信号与输入信号之间产生的差异。
当增益过大时，放大器可能会对信号进行过度放大，使得输出信号失真。
这种失真可能会导致信息的丢失或变形，从而影响到信号的可靠性和准确性。
极点配置增益过大还会增加系统的噪声。
在信号处理过程中，噪声是不可避免的。
当增益过大时，系统对噪声的放大也会增加。
这将导致输出信号中噪声的幅度变大，从而降低信号的质量和可靠性。
为了解决极点配置增益过大的问题，可以采取一些措施。
首先，可以通过降低放大器的增益来减少系统的不稳定性。
其次，可以采用滤波器来抑制噪声的干扰，从而提高信号的质量。
此外，还可以通过优化系统的极点配置，来平衡系统的稳定性和频率响应。
总结起来，极点配置增益过大会导致系统的稳定性下降，信号失真和噪声增加。
为了解决这些问题，需要采取相应的措施来降低系统的增益，抑制噪声和优化极点配置。
只有这样，才能保证系统的性能和可靠性。
因此，在进行信号处理时，我们必须注意极点配置的增益，避免增益过大带来的问题。
现代控制理论-010(5.3.5 应用MATLAB求解极点配置问题)
单位阶跃响应： 改善动态性能； 消除静态误差。
output
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0 0.5 1 1.5 time (sec) 2 2.5 3
期望的闭环特征多项式是所要设计的状态反馈增益矩阵是相应的闭环系统状态矩阵闭环传递函数当参考输入为单位阶跃时输出的稳态值开环系统是稳定的且开环传递函数开环系统的稳态误差开环系统是无静差的
现代控制理论
Modern Control Theory (10)
俞
立
浙江工业大学 信息与控制研究所
5.3.5 应用MATLAB求解极点配置问题 提供了两个函数： acker:基于爱克曼公式，单输入系统，多重极点 place:多输入系统，相同极点个数不超过B的秩 对单输入系统，所得的K是一致的 K=acker(A,B,J) K=place(A,B,J)
闭环传递函数
2s + 3 G(s) = 2 s + 9 s + 20
当参考输入为单位阶跃时，输出的稳态值
1 y (∞) = lim y (t ) = lim sG ( s ) = G统是稳定的，且开环传递函数 开环系统的稳态误差
y o (∞ ) = 3 =1 3
证明： Γ = ⎡ B AB A 2 B ⎢ zc
⎣ 0 CB CAB ⎡ A B ⎤ ⎡0 S 1 ⎤ =⎢ C 0 ⎥⎢I 0 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦⎣
其中S1 = [ B AB 关。
A n −1 B
A n + r − 2 B] 是 n × (n + r − 1)m
An−1B] 的行向量线性无
原系统的能控性 ⇒ [ B AB
对增广系统设计状态反馈控制律
状态空间极点配置设计
从而
s z 1 T
s z 1 zT
s 2 z 1 T z 1
（前向差分法/欧拉法）（4.4） （后向差分法） （ 4.5 ） （双线性变换法） （ 4.6 ）
G(z)G(s)
（4.4）式由s平面到z平面的映射
（4.5）式由s平面到z平面的映射
（4.6）式由s平面到z平面的映射
状态空间极点配置 设计
状态反馈极点配置问题，可以分成为两个部分： 首先假定系统的全部状态都可能用于反馈，设计一个 全状态反馈的控制系统；然后，再设计一个状态观测 器，用来估计状态反馈要用的状态变量。设计中依据 的参数为期望的闭环极点的位置和采样周期T。
4.2 状态反馈极点配置
假设系统的全部状态变量都可以量测，并且都能用 于反馈。如果系统是完全状态可控的，那么，用状态 反馈的方法，适当地选择状态反馈增益矩阵，可以将 闭环系统的极点配置在z平面的任何期望的位置。
积分控制的作用是，只要系统有误差存在，积分控制器就不断 地积累，输出控制量，以消除误差。因而，只要有足够的时间， 积分控制将能完全消除误差，使系统误差为零，从而消除稳态 误差。积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。
微分控制可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高， 同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统 的动态性能。
u(t)Kpe(t)
比例+积分（PI）控制器
u(t)Kp[e(t)T1I
te()d]
0
和比例+积分+微分（PID）控制器
式中
u(t)K p[e(t)T 1 I 0 te()dT Dd(d e(t)t]) （5.23）
KP—比例放大系数； TI—积分时间； TD—微分时间。
极点配置问题
5.2 极点配置问题
闭环系统状态方程: 闭环系统状态方程:
x = ( A + bK ) x + bv y = cx
期望特征多项式
0 λ 1 f ( λ ) = det( λ I A ) = 0 λ 1 = λ3 + 3λ 2 + 2 λ 2 λ + 3 0 f * ( λ ) = ( λ + 2 )( λ + 1 + j )( λ + 1 j )
f * (λ ) 是期望特征多项式.
λ* i
是期望的闭环极点.
5.2 极点配置问题
若
∑
0
状态完全能控, 状态完全能控,必存在非奇异变换
x = Tc1 x
将
∑
0
化为能控标准型
x = Ax + b u y = cx
0 ... b = 0 β n 1 ] 1
0 0 A= 0 a0
1 0 0 ... 0 0 1 a1 ... an1
f * (λ ) = (λ 1 + j )(λ 1 j ) = λ2 + 2λ + 2
多项式相等
k0 = 2, k1 = 4
5.2 极点配置问题
系统满足什么 条件可以通过 反馈方法任意 配置极点?
反馈前单位阶跃响应? 单位阶跃(u(t-1))响应
5.2 极点配置问题
本节主要内容 状态反馈方法任意配置极点的条件和算法 输出反馈方法可任意配置极点? 输出到x导数反馈方法任意配置极点的条件 和算法
5 求出原系统的增益阵K 求出原系统的增益阵K
K = K T c 1 1
x = ( A + BK ) x + bv , y = cx
线性系统极点配置问题
线性系统极点配置问题张颖(控制学院 检测技术与自动化装置 2009010191)摘要： 极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。
机点配置实质上是对经典控制理论综合方法的一个直接推广。
本文针对单输入连续时间线性时不变受控系统，基于状态反馈类型控制，系统讨论极点配置问题的综合理论和综合算法。
1. 问题的提出：状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=-Kx+v, v 为参考输入即确定一个 的状态反馈增益矩阵K ，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为{ }，也就是成立 解决上述极点配置问题，需要解决两个问题： 1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。
2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。
2.问题的解决： 〈一〉准备知识1. 循环矩阵定义：如果系统矩阵A 的特征多项式等同于其最小多项式，则称为循环矩阵。
2. 循环矩阵特性：1）A 为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中相应于每一个不同的特征值仅有一个特征块。
2）如果A 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特征值必仅有一个约当块，因此A 必定是循环的。
3）若A 为循环矩阵，则其循环性是指：必存在一个向量 b ，使向量组可张成一个 n 维空间，也即{A ，b}为能控。
4）若{A ，B}为能控，且A 为循环，则对几乎任意的实向量 p,单输入矩阵对 {A ，Bp}为能控。
5) 若A 不是循环的，但{A ，B}为能控，则对几乎任意的常阵K ，A-BK为循环。
〈二〉 极点可配置条件线性定常系统 可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。
证：必要性：已知可配置极点，欲证{A ，B}为能控。
n p ⨯BuBK A +-=x x )( **2*1,,,nλλλ n i BK A i i ,,2,1,)(* ==-λλBu A +=x x利用反证法，假设{A ，B}不完全能控，则必可分解为：上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置极点，与已知前提矛盾，故假设不成立。
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1 0 ... ... A 0 0 a a n 1 n C bn bn 1 ...
且其传递函数为
... 0 ... ... ... 1 ... a1 b1
0 ... B 0 1
b1s n1 ... bn G( s) n s a1s n1 ... an
p2 p1 p3
3) 期望的极点必须体现对闭环系统的 性能品质指标等的要求。
基于指定的期望闭环极点，线性定常连续系统的状态反馈极 点配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统
Ax Bu x
确定反馈控制律
u Kx v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的 闭环极点也就是成立
相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为
b1s n 1 ... bn Gk ( s ) n s (a1 k1 ) s n 1 ... (an k n ) f k ( s ) s n ( a1 k1 ) s n 1 ... ( an kn )
求状态反馈阵K 使闭环系统的极点为 -1±j2。
解 ： 1. 判断系统的可控性
开环系统的可控性矩阵为
[B 2 -4 AB ] 1 -5
则开环系统为状态可控，可以进行任意极点配置。
2. 求可控标准型
p1 [0 1][ B
1
AB]1 1/ 6 1/ 3
16
根据零极点相消定理可知，闭环系统或状态不可控或状 态不可观。
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全可控 特性，故该闭环系统只能是状态不完全可观的。 这说明了状态反馈可能改变系统的状态可观性。
从以上说明亦可得知，若SISO系统没有零点，则状态反
馈不改变系统的状态可观性。
17
பைடு நூலகம்
p1 1 1 2 P p A 1 8 6 1 0 1 0 1 1 A P AP BP B 5 2 1
3. 求反馈律
因此开环特征多项式 f(s)=s2-2s-5 而由期望的闭环极点 -1 j2 所确定的期望闭环特征多项式 f*(s)=s2+2s+5 则得状态反馈阵 K 为
通过验算可知，该闭环系统的极点为-1±j2，达到设计要求。
例2-2（P252 例10-1，掌握） 已知系统的传递函数为
10 G(s) s( s 1)(s 2)
试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K，使闭环系统的 极点配置在 -2 和 -1±j 上。 解 ： 1. 要实现极点任意配置，则系统实现需状态完全可控。 因此，可以通过选择可控标准型来建立被控系统的状态 空间模型。
则系统是可以进行极点配置的。
下面的定理就回答了该问题。
定理2-1 对线性定常系统 (A, B, C) 利用线性状态反 馈阵K，能使闭环系统 K(A-BK, B, C) 的极点任意
配置的充分必要条件为被控系统 (A, B, C) 是状态
完全可控的。
证明 (1) 先证充分性(条件结论)。 即证明，若被控系统(A, B, C)状态完全可控，则状态反 馈闭环系统K(A-BK, B, C)必能任意配置极点。 由于线性变换和状态反馈都不改变状态可控性，而开环 被控系统 (A, B, C) 状态可控， 因此一定存在线性变换 能将其变换成可控标准型。
b1s n1 ... bn Gk (s) n s (a1 k1 )s n1 ... (an kn )
状态反馈虽然可以改变系统的极点，但不能改变系统的零点。
当被控系统是状态完全可控时，其极点可进行任意配置。
因此，当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点 重合时，则闭环系统的传递函数中存在零极点相消现象。
这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的，因 此对于实际的控制系统，它可能不能直接测量，甚至
, B )的所有极点并不都能任意配置。 ,C (A 因此, 系统
由于线性变换不改变系统特征值，因此系统(A,B,C)的
极点并不是都能任意配置的。
这与前面假设矛盾，即证明了：被控系统 可任意配置 极点，则系统一定是状态完全可控的。
故必要性得证。
由可控标准型的状态反馈闭环系统的传递函数
不失一般性，下面仅对可控标准型证明充分性。
下面仅对SISO系统进行充分性的证明，对MIMO系统可 完全类似于SISO的情况完成证明过程。
证明过程的思路为:
分别求出开 环与闭环系 统的传递函 数阵 比较两传 递函数阵 的特征多 项式
建立极点 可任意配 置的条件
证明过程: 如果SISO被控系统(A, B, C)为可控标准型，则其各矩阵 分别为
系统的可控标准型实现为
0 1 0 0 x 0 u x 0 0 1 0 2 3 1 y [10 0 0 ] x
2. 系统的开环特征多项式 f(s) 和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式 f *(s) 分别为 f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵 K 为
证明过程的思路为: 对状态不完 全可控的开 环系统进行 可控分解 对可控分 解后的系 统进行状 态反馈 其完全不可 控子系统不 能进行极点 配置 与假设 矛盾, 必 要性得 证
证明过程:
被控系统(A,B,C)状态不完全可控, 则一定存在线性变换 x=Pc x , 对其可进行可控分解, 得到如下状态空间模型:
同时，还可得到相应的状态反馈阵为
K=[kn … k2 k1] 其中
ki ai* ai
(2) 再证必要性(结论条件)。 即证明，若被控系统 (A, B, C) 可进行任意极点配置， 则该系统是状态完全可控的。 采用反证法。
即证明，假设系统是状态不完全可控的，但可以进 行任意的极点配置。
i ( A BK) si* ,
i 1,2,..., n
5
下面分别讨论: 状态反馈极点配置定理 SISO系统状态反馈极点配置方法 MIMO系统状态反馈极点配置方法* 输出反馈极点配置*
6
10.2.1 状态反馈极点配置定理
在进行极点配置时，存在如下问题: 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,
10.2 极点配置问题
1
概 述
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性 定常连续系统的极点配置（Pole assignment），也 就是使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。
对线性定常离散系统的状态反馈设计问题，也
有类似的方法和结论。
2
对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在 很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 因此在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于s 平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极 点，是可以有效地改善系统的性能品质指标的。 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率域法 还是根轨迹法，都是通过改变极点的位置来改善性
1 A x 11 x 2 0 x 1 B A 12 1 u x A22 2 0
2 是完全不可控的。 1是完全可控的; 状态变量 x 其中状态变量 x
对状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)作同样的线性变换, 有
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为可控标准型，则由 9.9节讨论的求可控标准型的方法, 利用线性变换x=P x , ,B ) , 即有 将系统(A,B)变换成可控标准型 (A
P1 AP B P1B A
对可控标准型~ 进行极点配置，求得相应的状态反馈阵
10.2.2 SISO系统状态反馈极点配置方法
上述定理及其证明不仅说明了被控系统能进行任意极点配置 的充分必要条件，而且给出了求反馈矩阵 K 的一种方法。对 此，有如下讨论: 1. 由上述定理的充分性证明中可知，对于SISO线性定常连
续系统的极点配置问题，若其状态空间模型为可控标准
型，则相应的反馈矩阵为 K=[kn … k1 ]=[an*-an … a1*-a1] 其中 ai 和 ai*(i=1, 2, … , n)分别为开环系统特征多项式和 所期望的闭环系统特征多项式的系数。
能指标，本质上均属于极点配置方法。
本节所讨论的极点配置问题，则是指如何通过状态反馈 阵 K 的选择，使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预 先选择的一组期望极点上。
3
由于线性定常系统的特征多项式为实系 数多项式，因此考虑到问题的可解性， 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于 n 阶系统，可以而且必须给出 n 个期望的极点; 2) 期望的极点必须是实数或成对出现 的共轭复数;
a* a K n n
* * an a a 1 n 1 1 a1
因此，原系统的相应状态反馈阵K为
1 K KP
下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵 K 的方法。 例2-1 设线性定常系统的状态方程为
1 2 2 x x u 1 3 1
1 [a* -a K KP 2 2
* a1 -a1 ]P 1
1 -1 2 [5-(-5) 2-(-2)] 6 -1 8 1 -7 26 3
则在反馈律 u=-Kx+v 作用下的闭环系统的状态方程为
11 58 2 1 u x x 3 4 17 1
B K 1 A x 11 1 1 x 0 2 B K x B A 12 1 2 1 1v 2 0 A 22 x